精品解析：湖南省永州市宁远县第二中学2024-2025学年高一下学期开学数学试卷

2024-2025学年湖南省永州市宁远二中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数是增函数，且满足，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与函数同一个函数 C. 若幂函数在区间上单调递减，则 D. 函数的零点是 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数 上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：____________． 13. 已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，则正确的有______． ①最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2）已知，求的值. 16 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 18. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 19. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省永州市宁远二中高一（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】由图可知阴影部分对应的集合为， 集合，， ， 即. 故选：A. 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】由已知可得，，则， 又，所以，则 故选：C. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断. 【详解】，的否定是，. 故选：C. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理逐个判断即可； 【详解】易知单调递增； ， 所以零点所在区间为， 故选：B 5. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基底的定义，即可求解． 【详解】对于A，因为零向量与任何向量是共线向量，不能作为基底，故A错误； 对于B，，故两个向量是共线向量，故不能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以两个向量不共线，可以作为基底，故C正确； 对于D，，故两个向量共线，不能作为基底，故D错误． 故选：C. 6. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知函数是增函数，且满足，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由函数关系式利用赋值法求，，，再结合单调性及函数值为正整数求结论. 【详解】因为，， 所以，故， 所以，故， 所以，故， 因为函数是增函数， 所以, 所以，. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答. 【详解】 对于A，，，与不垂直，A不正确； 对于B，，有，B正确； 对于C，，有，C不正确； 对于D，，由选项C知，，D正确. 故选：BD 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与函数是同一个函数 C. 若幂函数在区间上单调递减，则 D. 函数的零点是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同， 故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确， 对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减， 所以，得到，故选项C正确， 对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误， 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在 上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】观察图象可得函数的周期，函数的图象过点，，列关系式求，再求函数的对称轴及单调递增区间即可判断结论. 【详解】对于A，B，观察图象可得函数的周期， 又，， 所以， 又函数的图象过点，， 所以，， 由，，可得或， 若，由可得，， 所以，，与矛盾，故，故A错误； 若，由可得，， 所以，，又， 所以，，故B正确； 由上分析可得：， 对于C，函数的对称轴方程为，， 即， ，取，可得， 所以函数的图象关于直线 对称，故C正确； 对于D，由，， 可得，， 取，可得， 所以函数在 上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算以及指数幂的运算求解即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，向量与共线， 可得，即，可得，解得. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则正确的有______． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】①④ 【解析】 【分析】由图象及三角函数的性质可得函数的解析式，进而判断出所给命题的真假． 【详解】对于①：由图可知：，故①正确； 由，知， 因为，所以，所以，即，， 又因为，所以， 所以函数为； 对于②：当时，，所以，故②错误； 对于③，由题意得到的图象，故③错误； 对于④：由题意得到的图象， 因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确． 故选：①④． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用指、对数的运算，即可求解； （2）利用诱导公式化简得，再利用特殊角的三角函数值，即可求解. 【小问1详解】 因为 . 【小问2详解】 因为， 又，所以. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，从而可得，于； （2）由，可得，再由夹角公式计算即可. 小问1详解】 因为，， 所以，. 由，可得，即， 解得，所以，故. 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以. 则，， 所以， 所以与夹角余弦值为. 17. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，化简集合，解一元二次不等式化简，结合集合的运算法则求； （2）结合（1）由关系列不等式可求结论. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以， 由， 得，解得， 所以， 当时，， 所以或 所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或. 18. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【小问1详解】 由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． 【小问2详解】 ， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 19. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式即可； （2）①将不等式恒成立转化为，利用换元法得到的最小值即可得到，然后分，，三种情况讨论即可； ②将，都存在以为三角形的三条边长转化为为所包含的任意子区间，然后通过求最值得到，最后根据定义计算即可. 【小问1详解】 是定义在上奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. 【小问2详解】 ①， 令，， 在上单调递增， ∴当时，， ∴不等式恒成立，转化为：， i当时，恒成立， ii当时，恒成立， iii当时，，则， 由i，ii，iii知： 不等式恒成立的m的取值范围是. ②不妨设 依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”， 等价于， 等价于所包含的任意子区间． 由（2）知，，令，则． 又，当时，有， ∴所有符合条件的区间D上，满足， 即：，等价于，等价于， 综上，，有. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： ①恒成立； ②恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $