重难点6-2 立体几何的交线与截面问题（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

重难点6-2 立体几何的交线与截面问题 三年考情分析 2025年考向预测 考查内容稳定，命题形式多样，以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．交线与截面问题常与其他立体几何知识（如空间几何体的表面积、体积）结合，考查综合应用能力． 预计考查频率较高，尤其是空间中几何体（如棱柱、棱锥、球体等）的交线求解，复杂几何体的截面形状、面积计算以及与函数、向量等知识的结合． 题型1 判断截面多边形的形状 判断截面多边形形状时需要注意以下几点： 1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数． 2、不会与同一个表面有两条交线． 3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）． 4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系． 1．（23-24高三上·福建宁德·月考）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（24-25高三上·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 4．（24-25高三上·河南焦作·月考）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型2 截面多边形的周长与面积 1、求截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分别利用解三角形进行求解． 2、求截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多个三角形求解． 1．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则 . 题型3 截面分几何体的体积问题 截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行体积的求解． 1．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，用平行于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与底面的面积之比为1∶4，则剩余几何体的体积为 . 2．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 3．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 4．（24-25高三上·河北邯郸·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 题型4 与截面有关的最值问题 截面最值问题的计算，主要由以下三种方法： 1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）； 2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解； 3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算． 1．（23-24高三下·湖北荆州·模拟预测）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 2．（24-25高三上·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·福建泉州·一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（    ） A． B． C．3 D．9 4．（23-24高三下·山东·二模）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ． 题型5 与球有关的截面问题 求解球的截面问题的要点：（1）确定球心与半径；（2）寻找作出并计算截面与球心的距离；（3）充分利用“球心做弦的垂线，垂足是弦中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点． 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知平面截半径为R的球所得的截面圆的周长等于大圆周长的一半，则球心到平面的距离为 . 2．（23-24高三下·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 题型6 与交线有关的证明问题 1．（24-25高三上·福建·期中）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积． 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 4．（24-25高三上·山东·联考模拟）如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线． (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·河南信阳·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（24-25高三上·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高三下·广东江门·模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·辽宁·月考）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 6．（23-24高三下·广东深圳·模拟预测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（    ） A．π B． C． D． 7．（24-25高三上·云南昆明·月考）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 三、填空题 8．（24-25高三下·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ． 9．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ． 10．（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为 . 四、解答题 11．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 12．（24-25高三上·江西上饶·月考）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 13．（23-24高三上·河北衡水·月考）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②. (1)设平面平面，证明：平面； (2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点6-2 立体几何的交线与截面问题 三年考情分析 2025年考向预测 考查内容稳定，命题形式多样，以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．交线与截面问题常与其他立体几何知识（如空间几何体的表面积、体积）结合，考查综合应用能力． 预计考查频率较高，尤其是空间中几何体（如棱柱、棱锥、球体等）的交线求解，复杂几何体的截面形状、面积计算以及与函数、向量等知识的结合． 题型1 判断截面多边形的形状 判断截面多边形形状时需要注意以下几点： 1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数． 2、不会与同一个表面有两条交线． 3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）． 4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系． 1．（23-24高三上·福建宁德·月考）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】如图，把截面补形为四边形， 连接，， 因为，分别为，的中点，则， 又在正方体中， 所以，则四点共面. 则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选：B. 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形.故选：B 3．（24-25高三上·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形.故选：B． 4．（24-25高三上·河南焦作·月考）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 则五边形为平面截该长方体所得的截面图形， 不妨设，又点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点， 所以，，，所以，又， 所以，又，所以， 又，即，解得， 又，即，解得，符合题意， 即五边形为平面截该长方体所得的截面图形.故选：C 题型2 截面多边形的周长与面积 1、求截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分别利用解三角形进行求解． 2、求截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多个三角形求解． 1．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知，所以， 而，所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为.故选：D. 2．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，在正四棱锥中，， 且， 所以，所以三角形是等边三角形， 设是的中点，则，所以，且， 设平面与分别相交于点， 则由得， ， 所以，故， 所以， 所以， 在三角形中，由余弦定理得：， 所以， 所以结合正四棱锥对称性得， 所以截面面积为.故选：A. 3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为.故选：A. 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则 . 【答案】 【解析】令球半径为，则，解得，由平面与直线成角， 得平面截球所得小圆半径，因此， 由球的内接圆锥高为2，得球心到此圆锥底面距离， 则圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点为弦中点，如图，依题意，，， ，显然， 于是，所以. 题型3 截面分几何体的体积问题 截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行体积的求解． 1．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，用平行于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与底面的面积之比为1∶4，则剩余几何体的体积为 . 【答案】 【解析】设底面中心为，连接, 如图：故， 由于截面与底面的面积之比为1∶4， 故截面以上的棱锥与原四棱锥的体积之比为1∶8， 故剩余几何体的体积为, 2．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】； 【解析】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号，所以a的最小值为. 3．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形， 由，得平行四边形为矩形，则， 由平面平面，平面平面，平面，得平面. 又平面，则，由，，得， 由，，得，则，即， 而，平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）由，，，平面， 得平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成角的正弦值为. （3）设截面交于，由，面，面，得平面， 又平面，平面平面，则， 依题意，，则， 设，则， ， ，， 到的距离， 截面的面积为， 设平面的法向量， 则，取，得， 则到平面的距离， 于是，解得， 所以点到截面的距离为. 4．（24-25高三上·河北邯郸·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中， 由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. （2）在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式.   因为，，， 所以，则. 题型4 与截面有关的最值问题 截面最值问题的计算，主要由以下三种方法： 1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）； 2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解； 3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算． 1．（23-24高三下·湖北荆州·模拟预测）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】由直三棱柱可知，平面， 又，所以两两垂直， 设直三棱柱外接球的半径为R， 通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同； 过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小， 因为， 则所求截面面积最小值为. 2．（24-25高三上·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是.故选：B. 3．（23-24高三下·福建泉州·一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】把这个半正多面体补全为正方体，再设该正方体的边长为， 则每个截去的小三棱锥的体积为， 所以该半正多面体的体积：，解得， 由图可知，半正多面体的外接球半径是， 由正方体的性质易证明平面平面： 又因为在正方体中平面，所以平面， 所以过点截外接球的最小截面圆的半径是，最大截面圆的半径是， 即的最小值比最大值等于， 则最大值比最小值等于3.故选：C. 4．（23-24高三下·山东·二模）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，因为平面，设面，所以， 同理：， 设，所以，即， 所以四边形为平行四边形，即， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，即，且， 取中点，连接，易得，， ，所以面，所以，所以， 所以四边形为矩形， 所以面与三棱锥的交线围成的面积， 当，即为中点时，面积最大，最大值为， 故答案为：. 题型5 与球有关的截面问题 求解球的截面问题的要点：（1）确定球心与半径；（2）寻找作出并计算截面与球心的距离；（3）充分利用“球心做弦的垂线，垂足是弦中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点． 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知平面截半径为R的球所得的截面圆的周长等于大圆周长的一半，则球心到平面的距离为 . 【答案】 【解析】依题意，平面截半径为R的球所得的截面圆的周长为，则该截面圆半径， 所以球心到平面的距离. 2．（23-24高三下·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为.故选：C 3．（23-24高三下·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为4. 连球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面， 再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5， 则表面积为.故选：B. 4．（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆， 同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得， 则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为．故选：D． 题型6 与交线有关的证明问题 1．（24-25高三上·福建·期中）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面，所以. （2）由题意可知：，平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，则，可得为平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则， 令，则，可得为平面的一个法向量； 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）法一： ，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面，； 法二： 圆面圆面，平面圆面， 平面圆面，， 又，； （2）法一： 以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 劣弧的长为， ，， ，， 设平面的法向量为， 由，即， 令，则，， 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 则， 即，(负值舍去)，即到平面距离为， 则. 法二： 如图，过作，即平面与平面的交线为， 作于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 平面，， 是平面与平面夹角， 的长为， ，， ， 则，， 即到平面距离为， . 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，平面平面且平面平面，平面， 所以平面，则平面． （2）取中点记为，中点记为，连接，所以， 连接，因为为等腰三角形，所以， 所以，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，， 令，所以，，， 记平面的一个法向量，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 当时，，当时， ， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 4．（24-25高三上·山东·联考模拟）如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线． (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面，又平面，平面平面，∴， 又，平面平面，平面平面，平面， ∴平面，则平面． （2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得：，，，，， ∴，，设，则． 依题意可得：，即： 又与都在的同侧，所以，即 于是：， 设平面的法向量为 则，取，可得 再设平面的法向量为， 则，取，得 于是 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·河南信阳·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形，故选：C． 2．（24-25高三上·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】如图所示，分别取的中点，连结E，F， 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O， 所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1， 则由勾股定理可得， 所以在等腰三角形FAB中：．故选：A． 3．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为.故选：B. 4．（23-24高三下·广东江门·模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由沙漏的对称性，通过圆锥顶点作沙漏的截面，上下两部分截面为全等的三角形， 只需要讨论通过顶点作圆锥的截面的最大值， 如图，在圆锥中，过顶点作截面为， 作于，延长交底面圆交于点，连接， 设，， ， 当且仅当时，“=”号成立，解得， 所以沙漏截面面积最大值为，故选：B． 方法二：设， 所以， 当为底面圆直径时，取得最大，此时，最大为钝角， 所以当时，，沙漏截面面积最大值为，故选：B． 二、多选题 5．（24-25高三上·辽宁·月考）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】AD 【解析】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C错误，D项正确； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错，故选：AD. 6．（23-24高三下·广东深圳·模拟预测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（    ） A．π B． C． D． 【答案】BCD 【解析】如图，作平面，是等边的中心，O是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连结，连结交于点，， 设该球半径为，则． 由可得， 在中，,解得， 因为，，所以，所以， 在中，,所以， 设球心O到过点E的截面圆的距离为d,可知， 截面圆半径， 所以截面圆的面积的取值范围为，故选：BCD． 7．（24-25高三上·云南昆明·月考）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 【答案】ABD 【解析】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 故选：ABD 三、填空题 8．（24-25高三下·山西·开学考试）正方体的棱长为2，则以的中点为球心，为半径的球与侧面相交，则交线（在正方形内部）的长度为 ． 【答案】 【解析】如图：作，垂足为E，则平面， 设为球心，为半径的球与相交于， 则， 即以的中点为球心，为半径的球与侧面相交， 交线为以E为圆心，2为半径的圆弧（如图示）， 在中，，同理，则， 所以交线的长度． 9．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．    【答案】； 【解析】过点在平面内作，垂足为，如下图 易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即， 所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图： 则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 10．（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为 . 【答案】 【解析】由正四棱柱可知底面为正方形，由正四棱柱的外接球特征可知， 外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，所以，所以. 如图，取长方形的中心，连结， 则，而平面，平面，故平面， 所以球心到平面的距离等于点到平面的距离. 过点作交于点，则球心到平面的距离等于的长. 在长方形中，连结，则， 所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面为圆面， 所以此圆的半径为， 故截面面积为. 四、解答题 11．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【答案】(1)证明见解析，；(2)答案见解析 【解析】（1）证明：因为是中点，是中点，所以， 又，所以 又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，平面 所以平面平面 ； 因为平面,平面， 所以平面，则就是与平面所成的角， 又平面平面，所以就是直线与平面所成角. 因为在直角梯形中，，所以 在中，， 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为. （2） 延长交于点连接，延长与交于点， 因为由分别为中点，所以，所以， 所以是中点，取中点，则就是所求的直线 理由如下：由以上作图过程可知，是中点，是中点， 所以,即，又 所以，所以四点共面， 所以平面，又平面 所以平面平面，所以就是所求的直线 12．（24-25高三上·江西上饶·月考）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【解析】（1）由题意知长方体中，底面为边长为2的正方形， 点在棱上，故M到平面的距离为2， 则； （2）连接，长方体中，平面， 故即为直线与平面所成角； 由于， ，故, 在中，， 故. （3）过线段作一个与底面成角的截面， 当时，截面即为底面四边形，面积为4； 设交于O，因为，故在中，， 故； 当时，不妨设截面与交于点N，连接， 则，而，故为截面与底面所成二面角的平面角， 即，故，则截面面积为； 当时，则截面为如图所示四边形，为等腰梯形， 设EF中点为P，连接，则，则， PO为梯形的高，， 由题意可知为等腰直角三角形，故， 故截面面积为. 13．（23-24高三上·河北衡水·月考）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②. (1)设平面平面，证明：平面； (2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，连接， 因为分别为的中点，所以， 所以分别为以为斜边的直角三角形，即， 又，平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面. （2）如图，过作，连接并延长，交于点， 连接，因为，所以为的中点，所以， 连接，因为，所以， 又平面平面，所以平面，连接， 则是截面与平面所成二面角的平面角，即. 在中，，所以， 又在中，由余弦定理可得， 所以在中，， 所以，所以，所以 因为，所以，即为中点. 又是中点，所以是的重心，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$