精品解析：东北三省部分高中联盟2025届高三下学期联合调研模拟数学试题

2025届高三年级东北三省部分高中联盟 联合调研模拟试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部是（   ） A. B. C. D. 2. 已知，则函数的定义域为（   ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为6的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若正实数满足，则的最小值为4 5. 已知命题p:，命题q:，则p是q的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 现有甲、乙两位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知两位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 乙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的有（    ） A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于21分 B. 甲球员连续5场比赛得分都不低于22分 C 乙球员连续5场比赛得分都不低于21分 D. 乙球员连续5场比赛得分的下四分位数大于21 7. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 8. 已知函数在上的最小值恰为，方程表示焦点在y轴上的椭圆，所有满足条件的两个不同的的积的取值集合为A，实数m的取值集合为B，则（   ） A. B. C. D. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 （附：，） A. B. C. D. 10. 在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使增加且只增加的是：（ ）. A. B. C D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A. 存在的等差数列，使得为等比数列 B. 存在等差数列，使得等差数列 C. 不存在等比数列，使得为等差数列 D. 若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为______ 13. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为______ 14. 如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，. （1）当时，求的值； （2）当时，求ac的取值范围. 16. 如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为20．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知． （1）求证：⊥平面； （2）连接AC1，求二面角的正弦值. 17. 已知各项均为正数的数列满足：，且 （1）设，求数列的通项公式 （2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数． 18. 已知函数，存在三个零点，，． （1）求实数的取值范围； （2）设，求证：． 19. 圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用. （1）已知椭圆，是椭圆C上任意两点，若直线与坐标轴不垂直，点H为线段中点，直线 (O为坐标原点)与C交于两点，已知四点共圆，求直线的斜率； （2）已知抛物线B:，过的直线与抛物线B交于两点，设抛物线B在这两点处的切线分别为，已知分别与x轴交于点，相交于点A，若四点共圆，求点A的坐标； （3）已知点是x轴上一动点，过T的动直线l交双曲线右支于，过T作l的垂线分别交曲线于 (分别在第一、二象限)，直线 (O为坐标原点)交双曲线于点S，求证：四点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级东北三省部分高中联盟 联合调研模拟试题 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出复数，再确定其虚部. 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 2. 已知，则函数的定义域为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为的定义域为， 所以，即. 所以所求函数的定义域为. 故选：B 3. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为6的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，由勾股定理求得其高，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 故选：A 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若正实数满足，则的最小值为4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性判断A的真假；利用不等式的性质判断B的真假；举反例说明C是错误的；利用基本不等式判断D的真假. 【详解】对A：由，故A正确； 对B：因为， 两边同除以，因为，所以，故B正确； 对C：令，则，此时，故C错误； 对D：由， 因为， （当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：C 5. 已知命题p:，命题q:，则p是q的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】取，则， 而，即命题不能推出命题； 若，取，无意义，因此命题不能推出命题， 所以p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 现有甲、乙两位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知两位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 乙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的有（    ） A 甲球员连续5场比赛得分都不低于21分 B. 甲球员连续5场比赛得分都不低于22分 C. 乙球员连续5场比赛得分都不低于21分 D. 乙球员连续5场比赛得分的下四分位数大于21 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本特征数的概念逐项进行判断即可. 【详解】甲球员5场篮球比赛的得分可以是：20,22,28,30,30，故AB是错误的； 乙球员5场篮球比赛的得分可以是：20,25,25,25,30，故C错误； 对D：设乙球员5场篮球比赛的得分为：，且， 因为5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10， 则， 所以. 若，则， 所以矛盾， 所以，， 且， 又，所以乙球员连续5场比赛得分的下四分位数为， 因为， 所以，若，则，所以； 若，则，所以； 若，则. 总之乙球员连续5场比赛得分的下四分位数大于21，故D正确. 故选：D. 7. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 【答案】D 【解析】 【分析】判断两函数的关系，判断A的真假；求函数被直线截得的弦长，判断B真假；求曲线上的点到直线距离的最大值，判断C的真假；构造矩形包含图形，求矩形的面积，判断D的真假. 【详解】如图： 对A：由，所以函数的反函数为，所以关于直线对称，故A正确； 对B：有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于.故B正确； 对C：因为直线与直线垂直，设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故C正确； 对D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，如图所示，构成矩形，该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又，， 所以矩形的面积为. 又，所以D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对D选项，关键是构造矩形包含图形，求出矩形面积，与比较即可. 8. 已知函数在上的最小值恰为，方程表示焦点在y轴上的椭圆，所有满足条件的两个不同的的积的取值集合为A，实数m的取值集合为B，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数能否取到最小值进行分类讨论，通过两类情况分析可得集合，再利用椭圆方程的理解可得集合，进而通过判断即可作出选择. 【详解】当时，，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间， 由椭圆焦点在轴上得：，解得：， 所以实数的取值集合为， 即可知，所以选项C、D错误； 又由，，所以选项A错误； 故选：B. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 （附：，） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当、时的、相关系数(r)和方差()，进而比较大小即可. 详解】①当时，，解得， 则， ，，， ， ， 所以，得， ， ； ②当时，，解得， 则， ，，， ， ， 所以，得， ， ； 所以， 故选：BD． 10. 在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使增加且只增加的是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意设相应量，根据递归思想可得，按此规律对原表格进行数字填充，结合题意分析判断即可. 【详解】由递归思想，假设到达某一个格子只能从的三个方向进入，分别记为， 记为从起点到格子最多可以除去的雷数， 表示数中最大的数， 表示格子中的地雷数， 则可以写出递推式：， 按此规律对原表格进行数字填充： 由分析可知，最多可以除掉7个雷. 再从终点规划路线，每一次都挑选反方向3个中数字最大的走就可以找到除掉7个雷需要经过的所有格子， 在这些格子同一线路上，选择1个埋入地雷， 再在另一条线路或未经过的格子上埋入1个地雷，就可以得到满足题意的答案（也可以在选项上仿照前面的思想画图），对比得：BD正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：根据递归思想可得，按此规律对原表格进行数字填充，结合数据分析判断. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（   ） A. 存在的等差数列，使得为等比数列 B. 存在等差数列，使得为等差数列 C. 不存在等比数列，使得为等差数列 D. 若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值大于 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，在假设存在等差数列，使得为等比数列的前提下，推导出，与相矛盾，，故A错；对于选项B，在假设存在等差数列，使得为等差数列的前提下，推导出与相矛盾，故B错；对于选项C，在假设存在等比数列，使得为等差数列的前提下，推导出与有关的方程无解，即假设不成立，故C正确；对于选项D，在假设存在等差数列，使得为等比数列，且的前提下，推导出的最小值是，故D正确. 【详解】因为当时，， 所以当时，，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以. 对于选项A，假设存在等差数列，使得为等比数列， 令， 因为，所以， 因为，所以有， 即， 即， 即， 若，则， 若，则， 显然与题目中的相矛盾，故A错. 对于选项B，假设存在等差数列，使得为等差数列， 则，且， 所以，则， 设等差数列的公差为，则，即. 显然不满足，故B错. 对于选项C，假设存在等比数列，使得为等差数列， 则， 不妨设，只需， 只需， 即有解. 令则， 令，则， 且， 则在上单调递增，又， 故对于任意都有. 令，则， 即在上单调递增， 令，且， 则， 故在上单调递减，则， 所以无解， 所以假设不成立，故C正确. 对于选项D，假设存在等差数列，使得为等比数列， 因为为等差数列，且，且， 所以可知，设， 所以， 所以， 因为且为奇函数，所以， 因为数列为等比数列，设公比为， 所以，所以，所以， 所以， 令则， 令， 则，观察得. 令， 则，显然， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以为的唯一零点. 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 即的最小值是，故D正确. 故选：AB 【点睛】关键点睛： 对于选项A，推导出，与相矛盾，是关键； 对于选项B，推导出与相矛盾，是关键； 对于选项C，推导出无解是关键； 对于选项D，推导出的最小值是是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数定义可得，由此变形给定不等式，再利用换元法，结合指数函数性质求得解集. 【详解】函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，则不等式化为， 令，则有，即，因此或， 由，得，即，解得； 由，得，即，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 14. 如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为______ 【答案】 【解析】 【分析】由球心到各面距离为9，求出对应正棱柱的侧面积，即可得解. 【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱， 其侧面积为， 当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为， 由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为， 因此中层正六棱柱的侧面积， 所以该模型侧面积至少为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，. （1）当时，求的值； （2）当时，求ac的取值范围. 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）先由，得，及，代入由正弦定理得到即可； （2）先由，得到的范围，在三角形中，作于，由图可得，，，利用勾股定理得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 因为，即，可得. 在三角形中，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 当时，. 【小问2详解】 因为，若，则， 此时，不合题意， 故，. 在三角形中，作于，如下图： 所以，由图可得，， 因为，由图可得，所以， 则 ， ， 所以， 因为， 展开并移项得， 即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意可知，故ac的取值范围为. 16. 如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为20．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知． （1）求证：⊥平面； （2）连接AC1，求二面角正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质证得，再利用线面垂直判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角. 【小问1详解】 依题意，是的中位线，则，而平面，平面，于是平面， 平面平面，平面，因此， 由是的中点，得，则，又，， ，平面，则平面， 平面，则，又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 以直线，，分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图，， ，设平面的法向量， 则，令，得， 而直线平面，直线平面，且，则平面与平面重合， 而平面的法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值. 17. 已知各项均为正数的数列满足：，且 （1）设，求数列的通项公式 （2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数． 【答案】（1） ； （2）；9． 【解析】 【分析】（1）由递推关系可得，从而可得，即可得出答案 （2）由，根据（1）中的答案，可求出的表达式，结合二项式定理可得答案. 【详解】（1） 是公比为2的等比数列， ， （2） 若为整数，因为 ，即 能被整除 所以可得时，能被整除 的最小值是 18. 已知函数，存在三个零点，，． （1）求实数的取值范围； （2）设，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点，当时结合函数的单调性与零点存在性定理说明必存在一个负根，当时转化为与有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得解； （2）根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得. 【小问1详解】 因为且存在三个零点， 所以有个实数根， 当时，，，， 所以在上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根， 当，，即有两个根， 令，，可转化为与有两个交点， ， 可得时，即在单调递增， 可得时，即在单调递减， 其中，当，，， 且当时， 所以可得，解得. 综上可得. 【小问2详解】 因为且存在三个零点. 设，，，，易知其中，， 因为，所以，所以，，， 故可知①； 由（1）可知与有两个交点， 当，是单调递增，所以，，，所以②； 即，， 若，则， 若，构造函数，， 则 ， 设， 则， 因为， 又因为， 所以③； 因为 ， 又因为， 所以， 即得④； 由③④可知，在上单调递增， 又可得， ，可知与同号，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，又由（1）可知， 所以，， ，，是单调递增， 所以⑤， 由①②⑤可知. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式，解决问题的关键点是极值点偏移问题，证明方法总结：先构造，再确定的单调性，结合特殊值得到再利用单调性可得. 19. 圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用. （1）已知椭圆，是椭圆C上任意两点，若直线与坐标轴不垂直，点H为线段中点，直线 (O为坐标原点)与C交于两点，已知四点共圆，求直线的斜率； （2）已知抛物线B:，过的直线与抛物线B交于两点，设抛物线B在这两点处的切线分别为，已知分别与x轴交于点，相交于点A，若四点共圆，求点A的坐标； （3）已知点是x轴上一动点，过T的动直线l交双曲线右支于，过T作l的垂线分别交曲线于 (分别在第一、二象限)，直线 (O为坐标原点)交双曲线于点S，求证：四点共圆. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线，联立直线与椭圆方程，由四点共圆转化为长度关系，再利用韦达定理转化为表达，建立方程求解斜率即得； （2）设直线方程，，利用导数分别由切点得切线方程，求解与轴交点的坐标以及交点坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，根据共线特点转化四点共圆长度关系转化为数量积关系，建立关于的方程求解，进而得点坐标； （3）由题意由点差法得直线斜率之和为，即倾斜角互补，设直线的参数方程代入双曲线方程，结合参数的几何意义，利用韦达定理得进而得，同理，由关系可证，四点共圆得证. 【小问1详解】 设直线的方程为，， 联立，消得， ，即， 由韦达定理得， 所以 ， 所以. 又， 所以中点，则直线的斜率， 则直线方程为， 联立，解得，且， 由四点共圆，且为的中点， 则， 所以有， 由，解得，， 故的斜率为. 【小问2详解】 由题意知直线存在斜率， 设直线的方程为，， 联立，消得， 恒成立， 由韦达定理得①， 抛物线方程，则， 则在处的切线斜率为，切线方程为， 当时，过的切线为轴，不满足题意，故直线斜率； 令，得，， 在处的切线斜率为，切线方程为， 同理可得，且， 联立，解得， 将①式代入可得，又， 若四点共圆，设与交于点， 则，可得， 由，，可设， 则， 则可得，化简得② 则， ， 由，代入化简得③. 联立②③解得（其中一组解舍去）， 则. 【小问3详解】 设，设斜率为， 若直线与双曲线右支交于两点，可知斜率或. 由题意知直线斜率存在且不为，则，且. 由双曲线对称性可知，关于原点对称，则， 且且， 故； 又，可知， 所以. 设直线与将于点，设倾斜角为，的倾斜角为， 则. 可设方程为，（为参数），设对应的参数为， 将参数方程代入双曲线方程化简可得， ， 若直线与双曲线右支有两个交点，则 则由韦达定理知， 同理，直线与双曲线左支交于两点，设点对应的参数为，以代可得， ， 所以， 故四点共圆. 【点睛】关键点点睛：此题的关键在共线长度关系的转化，第（1）问中借助弦长公式化斜为直坐标化；第（2）问则借助共线特点将长度积转化为向量数量积处理；第（3）问中则引入直线参数方程，利用参数的几何意义将长度积转化为，进而用韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$