精品解析：广西柳州市柳南区2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题

2025年1月九年级教学实验研究质量监测试卷数学 （考试时间：120分，满分：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故选项A符合题意． B、不是中心对称图形，故选项B不符合题意． C、不是中心对称图形，故选项C不符合题意． D、不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 故选：A． 3. 据统计，2024年上半年，柳州市新能源汽车销量达到238000辆，同比增长，数据238000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需要明确小于号对应的数轴表示规则，包括空心圆圈和方向． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集时，步骤如下： ①先找到数字对应的点， ∵是（不包含）， ∴在这个点画空心圆圈； ②再根据“小于向左”的原则，将空心圆圈左边的区域表示出来． A、是的表示，不符合题意； B、是的表示（实心圆点且向右），不符合题意； C、在处画空心圆圈，且向左表示，符合的解集表示，符合题意； D、是的表示（实心圆点且向左），不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握数轴的表示规则． 5. 如图，一条公路两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 6. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 7. 水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以得到方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 8. 抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a、b的符号由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， 故选：D． 9. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 10. 已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴． 故选：D． 11. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：B． 12. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，函数的图象，掌握扇形面积计算公式及反比例函数的图象是解题的关键． 设扇面所在圆的半径为，根据扇形面积公式分别表示出来，再求出与的函数关系式，从而判断其图象即可． 【详解】解：设扇面所在圆的半径为． 根据题意，得， 则， ∵与之间为反比例关系， ∴与关系的图象是双曲线中位于第一象限的一支， ∴B符合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 计算：________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 14. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 16. 如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及整式化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）按照单项式乘以多项式运算法则和平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），  ，  或， ∴； （2）原式 ， 当时，原式． 18. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； （2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） （3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 【答案】（1）； （2）乙； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键． （）根据平均数的计算方法即可求解； （）根据方差的计算即可求解； （）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则； 【小问2详解】 解：甲班平均分：， 则， 乙班平均分：， 则， 丙班平均分：， 由 所以，整体发挥较好的是甲班和乙班， ∵ ∴乙整体发挥稳定性最好， 故答案为：乙； 【小问3详解】 列表如下． 第二名 第一名 由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种， ∴（选择同一套图书）． 19. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式； （2）根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设一次函数的关系式为， 由题意可知，函数图象过点和点， 把这两点的坐标代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：； ， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识， （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，则，因为，，所以，有勾股定理可求得直径，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ， ， ， ， ∴， ， 于点， ， ∴， 是的半径，， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ，， ，， ， ， ， ∴， 解得（负值舍去）， ， 即的半径为2． 21. 【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出与的几组对应值； ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 3 2 ．．． ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 任务一：函数自变量的取值范围是_____； 任务二：表格中的值是_____； 任务三：把函数图象补充完整； 任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而_____（填“增大”或“减小”）； 任务五：若一次函数与函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】任务一：；任务二： 1 ；任务三：见解析；任务四：减小；任务五：或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键． 任务一：根据分式有意义的条件即可得到结论， 任务二：把代入解方程得到即可； 任务三：根据题意画出函数的图象即可； 任务四：根据反比例函数的性质即可得到结论； 任务五：根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论． 【详解】解：任务一：函数自变量的取值范围是， 故答案为：； 任务二：把代入得， 故答案为： 1 ； 任务三：把函数图象补充完整如图所示； 任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而减小， 故答案为：减小； 任务五：如图所示， 由图象得，不等式成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 22. 雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题，掌握一次函数的性质，图象的平移，面积的计算，确定点的坐标是本题解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，联立上述函数和抛物线的表达式求出点的坐标，即可求解； （3）求出平移后抛物线解析式，进而得出与轴的交点，由，求出的取值，再根据和与轴的正半轴相交，即可确定的值． 【小问1详解】 解：∵关于轴对称，，点到轴的距离是 0.6 ， 则点， ∵， ∴， 将点，点代入得， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为：，由点的坐标得直线的表达式为：， 联立抛物线与直线得：． 解得：（舍去）或 ， ， ∴点的坐标为， 则根据对称性可得； 【小问3详解】 解：将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：， 令，则， 此时抛物线与轴的交点为， ， 即， 解得：或． ， 或4， 新抛物线与轴的正半轴相交， 当时，， ， ． 23. 【综合与实践】 【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题． 【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：； 【拓展应用】 （2）继续探究，作点关于的对称点，连接，（如图2），若． ①求四边形面积的最小值； ②请在图2中连接，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）① 16 ；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，根据旋转的性质得，进而得，由此可依据“”判定和全等； （2）①过点作于点，连接，先求出，则，证明四边形形是正方形，得四边形面积的为，根据“垂线段最短”得，即当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小，由此即可得出答案； ②作的外接圆，过点作交的延长线于，过点作于点，设，则是等腰直角三角形，则，由（1）的结论得，则，进而得点在的外接圆上，，继而得，则是等腰直角三角形，，在 和中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，且， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中 ， ； （2）①解：过点作于点，连接，如图2所示： ∵是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵点关于对称点为， ∴是的垂直平分线， ， ∵， ， ∴四边形是菱形， 又 ∵， ∴菱形是正方形， ∴四边形面积的为， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，此时四边形面积的为最小， ∴四边形面积的最小值为 16 ； ②作的外接圆，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图3所示： 设， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， 由（2）①可知：四边形是正方形，为对角线， ， ∴是外接圆的直径， ， ， ∴点在的外接圆上， 根据圆周角定理得：， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月九年级教学实验研究质量监测试卷数学 （考试时间：120分，满分：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，2024年上半年，柳州市新能源汽车销量达到238000辆，同比增长，数据238000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 7. 水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 9. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 11. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 12. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C D. 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 计算：________． 14. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 16. 如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； （2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） （3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 19. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，销售单价为25元时，日销售量是50个；当单价为35元时，销售量是30个．已知日销售量（个）与销售单价（元）之间是一次函数关系． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出与的几组对应值； ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 3 2 ．．． ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 任务一：函数自变量的取值范围是_____； 任务二：表格中的值是_____； 任务三：把函数图象补充完整； 任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值随的增大而_____（填“增大”或“减小”）； 任务五：若一次函数与函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 22. 雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图1）是我们熟悉的数学模型-抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点A，B在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是两点之间的距离为4．设抛物线解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）分别延长，，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值． 23. 【综合与实践】 【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察分析，发现并提出系列有趣的数学问题． 【实践过程】如图1，是等腰直角三角形，且，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 【猜想证明】经过观察分析，大家猜想与是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：； 【拓展应用】 （2）继续探究，作点关于的对称点，连接，（如图2），若． ①求四边形面积的最小值； ②请在图2中连接，当时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $