精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题

2024~2025学年上海市延安中学高一下学期摸底考试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1． 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具． 2． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3． 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限. 2. 已知，则________. 3. 与终边相同的角组成的集合为_______．（用弧度制表示） 4. 已知，则角x的取值集合为_________． 5. 集合，集合，则_________． 6. 若，则______． 7. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 8. 函数的零点的个数是______. 9. 在中，角所对边分别为，若，则__________． 10. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______________． 11. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为_________． 12. 已知在中，角的对边分别为，则为等腰三角形的一个充分不必要条件可以为_______． ① ②方程的两根之积等于两根之和 ③． ④ ⑤ （选填所有满足题意的序号） 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 是成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知△ABC不是直角三角形，下列说法正确的是（ ） A. △ABC所有内角余弦值的和等于所有内角余弦值的积 B. △ABC所有内角正弦值的和等于所有内角正弦值的积 C. △ABC所有内角正切值的和等于所有内角正切值的积 D. 以上说法都不正确 15. 在中，已知，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 16. 设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. （1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案） （2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的方程在上有解，求实数的最大值； （3）证明：函数关于点中心对称. 19. 某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； （2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 20. 已知函数（常数）. （1）当时，用定义证明在区间上是严格增函数； （2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）令，设在区间上的最小值为，求的表达式. 21. 已知数列是等差数列，设的公差为d，前n项和为，， （1）若，，求：数列的前n项和 （2）若数列中的任意项均为正整数，无穷等比数列满足，公比，求：数列中所有项的和 （3）在（2）的条件下，设数列的通项公式为（其中且），设数列{an}的前n项和为，试比较与的大小，并证明你的结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市延安中学高一下学期摸底考试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1． 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具． 2． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3． 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四 【解析】 【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案. 【详解】因为是第三象限角，所以，， 所以，， 当为偶数时，为第二象限角， 当为奇数时，为第四象限角. 故答案为：二或四. 2. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得出，然后利用诱导公式可计算出的值. 【详解】，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要明确各角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 3. 与终边相同的角组成的集合为_______．（用弧度制表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据角度与弧度的转化关系及终边相同的角的表示规则计算可得. 【详解】因为，又， 所以与的终边相同， 所以与的终边相同， 则与终边相同的角组成的集合为. 故答案为： 4. 已知，则角x的取值集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得或或或，求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以或或或， 所以或或或， 所以角x的取值集合为. 故答案为：. 5. 集合，集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得集合，利用交集的意义可求得. 【详解】由，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 6. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可. 【详解】 又，所以原式 故答案为： 7. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故. 故答案为：2. 【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 8. 函数的零点的个数是______. 【答案】 【解析】 【分析】在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象，利用数形结合思想可得出结论. 【详解】在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，函数与函数的图象的交点个数为， 因此，函数的零点个数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断，在判断函数的零点个数时，一般转化为对应方程的根，或转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 9. 在中，角所对边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 又A为锐角，所以A= 10. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形中正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求． 【详解】由题意知：，，所以， 在中，， 在中，由正弦定理得，所以， 且 在中， 故答案为： 11. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，由圆的性质可知当为弧的中点时，到的距离最大， 此时阴影部分的面积取最大值， 此时， 面积的最大值为 . 故答案为：. 12. 已知在中，角的对边分别为，则为等腰三角形的一个充分不必要条件可以为_______． ① ②方程的两根之积等于两根之和 ③． ④ ⑤ （选填所有满足题意的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用三角恒等变换由可得，可判断①；由正弦定理由可得，可判断②；由，利用三角恒等变换可得，计算可判断③；由，利用正弦定理与三角恒等变换可得，可判断④；由，可得，分类讨论计算可判断⑤. 【详解】① ， 而当为等腰三角形，不一定有， 所以是为等腰三角形的一个充分不必要条件， 故①符合题意； 由两根之和等于两根之积，可得， 所以同理可判断②是为等腰三角形的一个充分不必要条件，故②符合题意； 当时，可得， 反过来，由，可得，所以， 所以，所以， 所以或，所以或， 故③是为等腰三角形的一个既不充分也不必要条件，故③不符合题意； ， 所以同理④是为等腰三角形的一个充分不必要条件，故④符合题意； ， 若，则，可得，所以， 当时，则， 若， 所以⑤是为等腰三角形的一个既不充分又不必要条件，故⑤不符合题意. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算化简，得到角的关系，进而可得边的关系，可判断三角形的形状. 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 是成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，，此时， 即推不出成立； 当时，，此时， 即推不出成立； 故是成立的既非充分也非必要条件， 故选：D 14. 已知△ABC不是直角三角形，下列说法正确的是（ ） A. △ABC所有内角余弦值的和等于所有内角余弦值的积 B. △ABC所有内角正弦值的和等于所有内角正弦值的积 C. △ABC所有内角正切值的和等于所有内角正切值的积 D. 以上说法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AB，利用两角和与差的正切公式计算可判断C. 【详解】对于A，取时，， 又，故A错误； 对于B，取时，， 又，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，故C正确. 故选：C. 15. 在中，已知，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以 因为 所以，即，即 所以 当时可验证A，B，C不成立 因为，所以，故D正确 故选：D 16. 设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意，，即. 由图可知，，解得，， 此时， 将点代入解析式， 可得，即， 所以，， 即，取，， 所以. 故选：A. 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. （1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案） （2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或，等；（2）不存在和能让该同学能继续“混对”. 【解析】 【分析】（1）化简即得解； （2）化简已知得，即得解. 【详解】解：由， 错误公式得， 当时，， 得， 所以或. 所以老师给出的可能是等. 【点睛】解：因为， 若该同学能继续“混对”，则，得到，显然无解，则不存在和能让该同学能继续“混对”. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的方程在上有解，求实数的最大值； （3）证明：函数关于点中心对称. 【答案】（1） （2）最大值为 （3）在函数的图象上任意取一点， 关于点的对称点， 由得，即 , 把代入得 , 所以对称点在函数的图象上. 即函数的图象关于中心对称. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式来求得不等式的解集. （2）通过求在上的值域来求得的取值范围，进而求得的最大值. （3）通过证明、都在的图象上来证得函数关于点中心对称. 【小问1详解】 的定义域为， 因为， 所以 ，即， 所以， 因为，所以，解得， 由，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得关于的方程在上有解， 则的取值范围即在上的值域. 因为，所以， 所以， 即，所以实数的最大值为. 【小问3详解】 略 19. 某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； （2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 【答案】（1），平方米； （2）（其中是满足的锐角），米. 【解析】 【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值； （2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值． 【小问1详解】 在中，，米，米， 所以，， 因为，，所以， 在中，因为，则，故， 所以在中，， 所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米； 【小问2详解】 设正的边长为，因为， 则，， 在中，，， 因为为平角，所以， 所以， 所以在中，， 整理得（其中是满足的锐角）， 所以的周长， 当时，的周长有最小值米. 20. 已知函数（常数）. （1）当时，用定义证明在区间上是严格增函数； （2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）令，设在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1）当时，函数， 设且， 则 ， 因为，可得 又由，可得，所以 所以，即， 所以函数是上是严格增函数. （2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由如下： 由函数的定义域为关于原点对称， 当时，函数，可得，此时函数为奇函数； 当时，，此时且， 所以时，函数为非奇非偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明； （2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论. （3）根据正负性,结合具体类型的函数的单调性,进行分类讨论可以求出的表达式； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 当时, ,函数在区间的最小值为； 当时,函数的对称轴为：. 若,在区间的最小值为； 若,在区间的最小值为 ; 若,在区间的最小值为； 当时, ,在区间的最小值为. 综上所述：； 21. 已知数列是等差数列，设的公差为d，前n项和为，， （1）若，，求：数列的前n项和 （2）若数列中的任意项均为正整数，无穷等比数列满足，公比，求：数列中所有项的和 （3）在（2）的条件下，设数列的通项公式为（其中且），设数列{an}的前n项和为，试比较与的大小，并证明你的结论 【答案】（1） （2） （3） 由（2）可得，，所以， ， ，因此要比较与的大小， 可先比较与的大小， 取时，有，取时，， 由此推测①， 若①式成立，则由对数函数的性质可得： 当时，，当时，. 下面用数学归纳法证明①式， （i）当时已验证①式成立， （ii）假设当时，①式成立， 即， 那么当时， ， 又， 所以， 所以， 这就是说①式当时成立， 由（i）（ii）知①式对任何正整数均成立. 【解析】 【分析】（1）先确定的终边在第三象限，进而计算得到，进一步得到公差，进而可求数列的前n项和； （2）先利用及已知确定，，进而可求数列中所有项的和； （3）由（1）可求得，先比较与的大小，取特殊值确定猜想大小关系，进而利用数学归纳法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以的终边在第二，三象限及的负半轴上， 又，所以的终边在第三象限， 所以 ， 又，解得， 所以只有，其余各均大于0， 当时，， 当时， ， 所以的前n项和； 【小问2详解】 由，可得， 所以，所以， 因为数列中的任意项均为正整数，所以，所以或， 又，所以，，所以，所以， 所以数列中所有项的和为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：关键是取几个特殊值，猜想，再进一步利用数学归纳法证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $