精品解析： 山东省2024-2025学年上学期九年级12月联考数学试题（北师大版）

2024－2025学年山东省九年级12月联考 数学试题（北师版） （总分120分 考试时间120分钟） 2024.12 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标是， 故选：D 2. 笛声，是一种清远悠扬的音乐，古人用“晚风拂柳笛声残，夕阳山外山”极其形象地道出了离别的伤感．贵州的玉屏竹笛是我国传统的民族管乐器，以音色清越优美、雕刻精致而著称．如图所示的一截竹竿正适合用来制作横笛，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 俯视图与左视图相同 C. 主视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考好了简单几何体的三视图，熟知圆柱的三视图是解题的关键． 【详解】解：主视图与俯视图是两个一样的长方形，左视图是一个圆， 故选：C 3. 如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标平面内的点的坐标的特征、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键． 先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可解答． 【详解】解：矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上， ， 轴，轴， ，， ， ， 故选：D． 4. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．把代入得到，再代入，即可求解． 【详解】解：把代入 得：， 把代入 得：， 故选：C． 5. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 6. 如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影中相似三角形的性质，根据题可知：两条光线与两圆直径构成的两个三角形相似，根据相似三角形的性质可求出阴影部分的半径解题即可． 【详解】解：如图2所示，由图形知道， ， 而， ， ， ， ， 即地面上阴影部分的面积为． 故选：B． 7. 化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的酒精的浓度y与酒精的质量x，酒精的浓度，则乙醇质量为，结合体函数图象，即可求解． 【详解】依题意，乙醇质量为， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种乙醇质量相同， ∵甲在反比例函数的图象上方，丙在反比例函数的图象下方 ∴乙醇质量最多的是甲，最少的是丙， 故选：A． 8. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形实际应用，根据题意，得到，设，勾股定理求出米，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 设， 在中，， ∴米， ∴米； 故选B． 9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，开口方向判断的符号，对称轴的位置判断的符号，与轴交点的位置，判断的符号，与轴的交点个数判断的符号，判断①②⑤，特殊点和增减性，判断③和④． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴为直线与轴交于负半轴，与轴有2个交点， ∴，故①⑤正确； ∴ ∴，故②正确； ∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴，故③错误， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小，为， ∴， 即：，故④错误； 综上，正确的有3个； 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知：，则锐角的度数为______． 【答案】75° 【解析】 【分析】由可知，据此解题． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的正切值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以． 故答案为：． 13. 菱形周长为40，对角线、交于点，，点在上，，交于点，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．先根据菱形的性质得出，，再用勾股定理求出，再证，根据相似三角形对应边长成比例，列式求解即可． 【详解】解：菱形周长为40， ， 对角线、交于点，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：6． 14. 中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得，知，故，解出尺，即第一时刻的影长为尺．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 15. 已知点都在反比例函数的图象上．如果且，则的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和代入求值，用待定系数法求抛物线的解析式是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求当时的值，即可解答． 【详解】解：图像是经过原点的一条抛物线的一部分， 设抛物线解析式为， 把，代入，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 当时，， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 17. （1）一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查根据三视图计算几何体的表面积，解直角三角形的实际应用： （1）根据三视图，得到几何体为底面边长为，高为的长方体，根据长方体的表面积公式进行计算即可； （2）分别解直角三角形和直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）由三视图可知：几何体为底面边长为，高为的长方体， 其表面积为：； （2）在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：的长度约为． 18. “远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） （1）计算小华站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 【答案】（1）1米 （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可； （2）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，，，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 即：小华站在Q处在路灯A下的影长为1米； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：路灯A的高度为12米． 19. 某中学化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小文先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则由小文分享；其他的情况，则由小华分享．这个规则对小文和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查树状图和列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 详解】解：不公平，理由如下： 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中抽到的金属均能置换出氢气的情况有9种，抽到的金属不能都置换出氢气的情况有7种， ∴小文分享的概率为：，小华分享的概率为：， ， ∴不公平． 20. 如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． （1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； （2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少； （3）如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设， 由图象，把代入得：， ∴； 小问2详解】 当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； 【小问3详解】 当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要． 21. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）56元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率， 某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． ， 解得：或（舍去）， ， 答：该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率为； 小问2详解】 解：设售价应降低元，则每天可售出箱， 当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱． ， 整理，得：， 解得：或， 要尽量减少库存， ，（元）， 答：售价应为56元． 22. 如图1所示，在正方形的边和边上，分别有动点（点不和重合）和（点不和重合），在点和移动的过程中，始终保证． （1）猜测线段、、之间的等量关系为 （不必证明）； （2）如图2所示，如果把正方形改为一般四边形，、分别在四边形的边、上，，，，则线段、、的等量关系又如何？请加以证明； （3）应用：在条件（2）中，若，，（如图3），求此时的周长． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）；延长至，使得，证明结合已知得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）同（1）的方法，延长至，使，证明，，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （3）连接，证明，进而得出，解得出，根据（2）的结论，得出，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 如图所示，延长至，使得， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ 即 【小问2详解】 ． 证明：延长至，使， ，，， 又， ． ，． ， ． ，即． 又， ． ，即． ． 【小问3详解】 连接， ，，， ． ，． ， ，． 在中，， 由（2）得． 的周长． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求PM的长； （3）当时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）由全等三角形的性质可得PO＝PC，，可得点P在CO的垂直平分线上，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用面积关系列出方程即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∵点B，点C，点A在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）连接OM， ∵M为BC中点， ∴， ∵， ∴，， ∴MP是OC的垂直平分线， ∴轴， ∴点P纵坐标为1， 当时，代入， 解得：， ∴或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵，， ∴直线BC解析式为， 当点P在BC上方时，如图2，过点P作轴，交BC于点E， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∴点； 当点P在BC下方时，如图3，过点P作轴，交BC于点E， ∴， ∴， ∴， ∴点或； 综上，点P的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年山东省九年级12月联考 数学试题（北师版） （总分120分 考试时间120分钟） 2024.12 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 笛声，是一种清远悠扬的音乐，古人用“晚风拂柳笛声残，夕阳山外山”极其形象地道出了离别的伤感．贵州的玉屏竹笛是我国传统的民族管乐器，以音色清越优美、雕刻精致而著称．如图所示的一截竹竿正适合用来制作横笛，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 俯视图与左视图相同 C. 主视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 若是关于一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（ ） A. B. C. D. 7. 化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（ ）． A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（ ）米． A. B. C. D. 9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知：，则锐角的度数为______． 12. 方程的解是______． 13. 菱形周长为40，对角线、交于点，，点在上，，交于点，则的长为______． 14. 中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 15. 已知点都在反比例函数的图象上．如果且，则的大小关系是______． 16. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 17. （1）一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 18. “远远街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） （1）计算小华站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 19. 某中学化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小文先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则由小文分享；其他的情况，则由小华分享．这个规则对小文和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 20. 如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． （1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； （2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少； （3）如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 21. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 22. 如图1所示，在正方形的边和边上，分别有动点（点不和重合）和（点不和重合），在点和移动的过程中，始终保证． （1）猜测线段、、之间的等量关系为 （不必证明）； （2）如图2所示，如果把正方形改为一般四边形，、分别在四边形的边、上，，，，则线段、、的等量关系又如何？请加以证明； （3）应用：在条件（2）中，若，，（如图3），求此时的周长． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求PM的长； （3）当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$