精品解析：山东省德州市德城区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期末检测九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，正确理解抛物线的顶点式求顶点坐标是解题的关键．抛物线的顶点坐标是．直接利用顶点式求解即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解． 【详解】∵∽ 相似比为，， ， 线段长度能确定， 故选：． 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 旋转角， 旋转角的度数为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 6. 如图，点A，B，C均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理．，得到，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是，即． 故选：A． 8. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图， 则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接， ∵点E为中点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：C． 9. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设参加此次活动的同学人数为人， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 10. 如图，，点是的角平分线上的一点，半径为4的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故选：． 11. 如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确的作出辅助线，技巧性较强． 延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据菱形的面积，求出的面积，然后可得出的面积． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵点F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点是中点， ∴， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴的面积为6， ∴的面积为， 故选：A． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点坐标问题，根据都是正整数，得到抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧，根据和都大于1，得到，得到对称轴在的左侧，进而得到，当时，，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，得到，，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点． ∴是的两个实数根， ∵都是正整数， ∴，，抛物线的开口向上，对称轴直线在轴的左侧， ∵和都大于1， ∴， ， ∴对称轴在的左侧，， ∴，，故B选项错误，符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意， ∴当时，， 则，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵都是正整数，， ∴的最小值为1， 当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值也为5， ∴的最小值为：；故D选项正确，不符合题意； 故选B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，该图案绕其中心至少旋转__________度后能与原图案完全重合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 观察图形可得，图形由四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成， 所以最小旋转的角为． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 16. 把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 17. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，延长交于点，过点作交的延长线于点，设，则：，，根据同角的余角相等，得到，利用正切值求出，进而求出，再利用正切值求出，证明，即可得出结论． 【详解】解：延长交于点，过点作交的延长线于点， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标：_______，_______； （2）若点是内任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标：________． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）分别找出、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据各点坐标的变化规律即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点，，点的坐标是，的坐标是， ∴点P的对应点的坐标是． 故答案：． 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． （1）当点P恰好为中点时， mm． （2）若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【答案】（1）60 （2）20 【解析】 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【小问1详解】 解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 22. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． （2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意列出函数式子是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，根据6月和8月的增长情况列出方程求出增长率即可解答； （2）设每天销售利润为元，根据利润每一件利润数量列出函数式子，再根据取值范围分析求解即可． 【小问1详解】 解：设平均每月增长率为， 根据题意得：， 解得：或（不合题意舍去）， ∴ ； 小问2详解】 设每天销售利润为元， 根据题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取最大值， 答：销售单价定为90元时，每天的销售利润最大． 23. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）4 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； 【小问2详解】 解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 24. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 25. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末检测九年级数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. D. 9. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 10. 如图，，点是的角平分线上的一点，半径为4的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 11. 如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 9 12. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是25 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 如图，该图案绕其中心至少旋转__________度后能与原图案完全重合． 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 16. 把一个球放在长方体纸盒内，球一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ____． 17. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 18. 如图，在中，，，点为中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为____． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标：_______，_______； （2）若点是内任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标：________． 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． （1）当点P恰好为中点时， mm． （2）若矩形的周长为220mm，求出的长度． 22. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． （2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 23. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 24. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 25. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $