精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题

独山中学2024-2025学年度第二学期高二年级2月份月考数学试卷 一、单选题（每题5分共40分） 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 99 B. 98 C. 97 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件求出首项和公差，再运用等差数列的通项公式即可得到所求. 【详解】由题意知：设公差为，则，解得， 则，则. 故选：A. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得，，， ，， 可以判断出数列是以4为周期的数列，故， 故选：C. 3. 已知倾斜角为的直线过，两点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可 详解】由题意知，即． 故选A． 4. 已知点，椭圆和直线相交于点A，B，则△ABM的周长是（ ） A 6 B. 12 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得点为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】由椭圆，得点为椭圆的右焦点， 直线过定点，是椭圆的左焦点， 则的周长为. 故选：B. 5. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】底边为定值，求出点P到距离的范围即可求出面积的取值范围. 【详解】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为. 故选：A. 6. 已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合点到面的距离公式运算求解. 【详解】由题意可得：，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 7. 已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先运用中位线定理，将转化得到两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到的值. 【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以， 所以， 设，， 根据定义可得， 联立， ． 故选：B. 8. 已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为，设， 由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，故B项正确． 故选： B． 二. 多选题（每题6分，多选或答错不得分.部分对答部分分共18分） 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】数列， 所以，A选项正确，C选项错误. ，B选项正确， ，D选项错误. 故选：AB 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有条公切线 D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A根据圆的一般方程即可求解；对于B将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；对于C通过两圆的位置关系判断公切线条数；对于D将两圆作差求出公共弦的方程，圆心到直线的距离公式求出,利用公式即可求解． 【详解】对于A：若方程表示圆， 则或，故A错误； 对于B：直线，得， 由，得，即直线恒过定点，故B正确； 对于C： 曲线，即，圆心为，半径为， 曲线，即，圆心为，半径为， 两圆心的距离为，则两圆外切，有条公切线，故C错误； 对于D：圆和圆， 两方程作差可得公共弦所在的直线方程为， 圆即， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，所以公共弦长为，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于选项B，通过条件得到，再利用线面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】如图，取中点，中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 易知，故可建立如图所示的空间直角坐系， 又棱长均为，， 则， 所以，又，所以， 对于选项A，因为，得， 所以，即有，故选项A正确， 对于选项B，因为是线段的中点，又是与的交点，则为的中点， 所以，又面，面，所以平面，故选项B正确， 对于选项C，因为，， 设与所成的角为，则， 故选项C错误， 对于选项D，易知平面一个法向量为，又， 设与平面所成的角为， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 直线过点，且斜率为3，则直线在轴上的截距为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用点斜式求出直线方程，然后令即可求解. 【详解】直线过点，若的斜率为3， 由直线的点斜式方程得：，即， 当时，， 则在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为__________. 【答案】＋＝1 【解析】 【分析】先求出c，再根据离心率求出a,最后利用关系求出b2，即可求出椭圆的标准方程. 【详解】由焦点在x轴上且焦距是8，可得， 由离心率等于可得，解得， 所以， 所以，椭圆的标准方程为＋＝1. 故答案为：＋＝1. 14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据光学性质可得，进而根据可得，故，结合双曲线的定义，以及相似即可求解. 详解】 过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点， 由题意可得，， 又，所以，所以，故， 由双曲线定义可得，故， 因为，，所以，故， 故离心率为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线l3：，直线l经过两条直线l1：和l2：的交点. （1）若l∥l3，求l的直线方程； （2）若若l⊥l3，求l的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先求出l1与l2的交点坐标.再分别由l∥l3，，l⊥l3求出直线l方程即可. 【小问1详解】 由，得. ∴l1与l2的交点为(1，3) 设与直线平行的直线方程为， 则， ∴ ∴所求直线方程为. 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为 则，解得 ∴所求直线方程为. 16. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为, 则由题意得，故该圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 由垂径定理得：，解得. 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 18. 如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形， 平面，，分别是，的中点．为上的动点，与平面所成最大角的正切值为． （1）证明：； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)要证明，可证明平面，由已知易得，只要证明即可，由于四边形菱形，故可转化为证明，由此即可证明； (2)由与平面所成最大角的正切值为，可求出，然后为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出异面直线与所在向量的夹角的余弦值，从而求解； (3)将三棱锥的体积转化成三棱锥，然后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由四边形菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以． 又，因此． 因为平面，平面，所以． 而平面，平面且， 所以平面．又平面， 所以． 【小问2详解】 设为上任意一点，连接 由（1）知平面， 则为与平面所成的角． 在中， 所以当最短时，最大，即当时，最大． 此时 因此．又 所以所以 以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则 则，， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值； 【小问3详解】 连接，由题意可知：，所以， 因为，平面，平面，所以， 又，所以平面，因为为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，也即 所以 19. 设分别是椭圆的左、右焦点． （1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； （2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解； (2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，设， 则， 又，有，解得， 所以； 【小问2详解】 显然不满足题意，设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，AOB不共线，则，即，， 所以 ， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 独山中学2024-2025学年度第二学期高二年级2月份月考数学试卷 一、单选题（每题5分共40分） 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A 99 B. 98 C. 97 D. 96 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知倾斜角为的直线过，两点，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知点，椭圆和直线相交于点A，B，则△ABM的周长是（ ） A. 6 B. 12 C. 4 D. 8 5. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（ ） A. B. C. D. 二. 多选题（每题6分，多选或答错不得分.部分对答部分分共18分） 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有条公切线 D. 已知圆和圆，圆和圆公共弦长为 11. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每题5分共15分） 12. 直线过点，且斜率为3，则直线在轴上截距为___________. 13. 中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为__________. 14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______. 四、解答题 15. 已知直线l3：，直线l经过两条直线l1：和l2：的交点. （1）若l∥l3，求l的直线方程； （2）若若l⊥l3，求l的直线方程. 16. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形， 平面，，分别是，的中点．为上的动点，与平面所成最大角的正切值为． （1）证明：； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）若，求三棱锥的体积． 19. 设分别是椭圆的左、右焦点． （1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； （2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$