精品解析：江苏省徐州市鼓楼区徐州市第三中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

徐州三中2025届高三下第一次质量调研. 数学试题. 2025.2. 一、选择题（本大题共8小题，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出各个集合，再由集合的补集和交集的定义求解即可 【详解】解不等式，则其解为. 又因为，所以. 求解集合：解不等式，则，得，所以. 那么或. 所以. 故选：B. 2. 已知数列的各项均不为零，若命题甲：；命题乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明当满足条件时数列不是等比数列，从而判断充分性不成立，当数列是等比数列时，利用等比数列的定义可判断成立，即必要性成立. 【详解】若，则， 当时满足，但数列不是等比数列， 所以充分性不成立； 若数列是等比数列，则，所以，必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，再由平面向量的夹角公式即可求解. 【详解】由，， ． 故选：D． 4. 若为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用差角余弦公式得，再应用齐次式法并化弦为切得，结合求函数值. 【详解】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新数据的平均值，然后计算新数据的回归方程，进而根据残差定义计算. 【详解】因为过点，将代入得. 增加两个样本点后x的平均数为，，. 所以新的经验回归方程为，当时，. 所以样本的残差是，解得. 故选：B. 6. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解. 【详解】取中点，连接，如图， 是边长为2的等边三角形，， ，又平面，， 平面， 又，， 故，即， 所以， 故选：A 7. 已知函数且，则等于（ ） A. 0 B. 100 C. -100 D. 10200 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出通项公式，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和 【详解】 由已知条件知， 即 是奇数） 故选：B． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，即得到是奇数）. 8. 若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点求出切线方程并代入，得到关于的等式，通过分离参数将切线条数转化为两函数图象交点个数问题，再构造函数利用导函数研究函数单调性，结合图象求参数范围可得. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为. 由切线过点，得. 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点. ， 当或时，，函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 且当时，恒有.又，， 如图，作出函数的大致图象， 由形可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，均为模是1的复数，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设，复数和均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项． 【详解】对于A，设，，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，， 则， 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离， 因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误． 故选：BC． 10. 如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，可求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断AB；将绕旋转使与在一个平面内，利用余弦定理可求得判断C；设关于平面的对称点为，求得可判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 所以不平行于平面，故A错误； 又，所以，故B正确； 将绕旋转使与在一个平面内，如图所示： 易求得，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 的最小值即为，故C正确； 设关于平面的对称点为， 的中点为，所以， 则，因为，， 所以，， 解得，所以， 所以， 的最小值即为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据求导即可求解A，根据奇偶性的定义即可求解B，利用假设法得矛盾求解C，根据对称性可得，进而可得，从而可得求解D. 【详解】由，可得，则， 令，得，A正确． 令，则，故为偶函数，B正确． 假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确． 因为的图象关于点对称，所以，令，则， 则（C为常数），则， 从而，即， 由，得，D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：根据对称得，进而可得，求导可得，从而得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 14. 已知双曲线与平行于x轴的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，F为双曲线E的左焦点，延长BF至点C，使，连接AC交x轴于点D，若，则该双曲线的离心率为______ 【答案】2 【解析】 【分析】利用直线平行于轴，可得三角形相似，得出，再利用已知条件中的线段的关系进行转化列出等式，化简即可求解. 【详解】根据题意设，， ，其中， 则，，， 直线平行于轴，，， ，， ， 即 ， 点在双曲线上，， ，. 故答案为：2. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用直线平行于轴，得到，从而得到，设，，，求出，，，化简并结合双曲线定义，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，的对边分别为，满足． （1）若，求的面积； （2）已知向量，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理对等式化简得到角，由向量的数量积公式求得，再由三角形面积公式求得结果； （2）利用向量平行建立等式求得的正弦值，利用和差角公式即可求得的值. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ． ，． ，． ． 【小问2详解】 ，且，， ， ， ． 16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，设平面PBC和平面PAD的交线为l，． （1）若，证明：平面平面PAB； （2）若，，平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再线面平行的性质定理证明，然由面面垂直的判定定理可得； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的公式求出，再代入线面夹角公式求出即可； 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，在平面内，垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 显然平面的一个法向量为， 依题意， 解得， 设与平面所成的角为，因为，又平面的一个法向量为， 所以，所以直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 18. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． （1）求的标准方程； （2）延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； （3）过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明如下： 设的中点为，直线的方程为， 联立方程组化简得， 可得，代入直线的方程得． 点的坐标为直线的方程为． 由题意直线的方程为． 联立解得即， 点在定直线上． （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）由短轴和焦半径得到椭圆的的值，从而得到椭圆方程； （2）设的中点坐标和直线的方程，联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，由韦达定理得到中点的横坐标，代入直线方程得到中点纵坐标，从而求得直线方程，在联立两直线方程求得交点坐标即可； （3）首先分类讨论切线斜率不存在、切线斜率为0，和切线斜率存在且不为0.斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立切线和椭圆的方程整理得到一个关于的一元二次方程，由相切得到参数的关系，得到点的坐标.然后得到直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程求得交点的横坐标与点横坐标的关系，找到的关系.设交点坐标，联立切线方程和椭圆得到一元二次方程，由韦达定理求得的值，由坐标系中三角形面积公式求得，从而求得. 【小问1详解】 的短轴长为，又轴， ， 的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ②当直线的斜率为0时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ③当直线的斜率存在且不为0时，设． 联立， 得，① ， ，则直线的方程为， ， 由题可得，位于轴两侧，故．即， 设，将直线代入椭圆的方程， 可得， 则有， 所以，将①代入得， 由直线与轴交于， 则． 故． 综上，的面积为定值． 【点睛】思路点睛，直线与椭圆交点问题，首先需要讨论直线的斜率不存在或者斜率为0两种特殊情况，然后再讨论斜率存在且不为0的情况.然后分别求出对应情况时三角形的面积即可. 19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. （1）求和的值； （2）求； （3）设，数列的前n项和为，若，证明：. 【答案】（1），； （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意得到，再构造等比数列求解通项即可； （3）由（2）得到，确定，再结合待定系数法得到，累加求和，再通过放缩得到，利用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 第1次传花后到乙或丙手里，，第2次传花后乙或丙有的概率将花传到甲手里，故， 经过4次传花共有16种情形， 甲 乙 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲 丙 甲 乙 丙 乙 甲 甲 乙 丙 乙 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 甲 丙 甲 甲 丙 甲 乙 甲 甲 丙 甲 乙 丙 甲 丙 甲 丙 甲 甲 丙 甲 丙 乙 甲 丙 乙 甲 丙 甲 丙 乙 甲 乙 甲 丙 乙 丙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 其中花回到甲手里共有6种情形， 根据古典概型得. 【小问2详解】 结合题意得概率为经过次传花后花回到甲手里， 要使传花n次后，花回到甲手里，则第次传花，花不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传花都有的概率将花传到甲手里， 故， 所以与之间的递推关系为：. 得，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，所以， 设， 其中， 所以 故， 所以 因此， 设数列的前n项和为，则，① 所以，② 由①－②得， ， 所以，即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用待定系数得到，再通过放缩得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2025届高三下第一次质量调研. 数学试题. 2025.2. 一、选择题（本大题共8小题，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的各项均不为零，若命题甲：；命题乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 6. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 已知函数且，则等于（ ） A. 0 B. 100 C. -100 D. 10200 8. 若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，均为模是1的复数，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为5 10. 如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 14. 已知双曲线与平行于x轴的动直线交于A，B两点，点A在点B左侧，F为双曲线E的左焦点，延长BF至点C，使，连接AC交x轴于点D，若，则该双曲线的离心率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，的对边分别为，满足． （1）若，求的面积； （2）已知向量，且，求的值． 16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，设平面PBC和平面PAD的交线为l，． （1）若，证明：平面平面PAB； （2）若，，平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 18. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． （1）求的标准方程； （2）延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； （3）过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. （1）求和的值； （2）求； （3）设，数列的前n项和为，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $