章节综合训练一 数与式（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

章节综合训练一 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在，，5，0，中，负整数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如果与是同类项，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．用代数式表示“的2倍与的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 7．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．当x 时，分式有意义． 12．已知，则= ． 13．因式分解： ． 14．已知，互为相反数，，互为倒数，且，则的值为 ． 15．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为 ；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是 ． 3． 解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．因式分解： 18．计算： 19．先化简，再求值：，其中． 20．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，，．根据以上材料，求： (1)； (2)； (3)若，则、与、的关系是什么？并说明理由． 21．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 22．某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得元，若超额完成，则超额部分每辆再奖元，少生产一辆扣元，用代数式分别表示该厂最高一天工资总额和最低一天工资总额． (4)当元，元时，本周最高每日工资总额比最低每日工资总额多多少元？ 23．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 解答下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式写成真分式带和的形式； (3)若分式的值为正数，求的取值范围． 24．在计算时，小青的做法如下： ． 请用这种方法计算：． 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是4，则点C叫做点A的“幸福点”，若点C到A、B的距离之和为10，则点C叫做A、B的“幸福中心”．    (1)点A表示的数为，则点A的幸福点点C所表示的数应该是_______； (2)M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，且满足，点C是M、N的幸福中心，则点C所表示的数应该是_______； (3)如图，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点P是A、B的幸福中心？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练一 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在，，5，0，中，负整数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，熟记整数、分数、负整数相关形式是解决问题的关键． 【详解】解：在，，5，0，中，负整数只有一个， 故选：D． 2．如果与是同类项，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同类项的概念，有理数的减法运算，根据同类项的概念可求，的值，从而根据有理数减法法则即可求解，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故选：． 3．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是； 故选B． 4．用代数式表示“的2倍与的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“的2倍与的差的平方” 用代数式表示为， 故选：B． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 6．若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 7．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则此项不成立，不符合题意； B、，则此项不成立，不符合题意； C、，没有意义，则此项不成立，不符合题意； D、，则此项成立，符合题意； 故选：D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算法则分别计算即可得到答案． 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 9．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 10．已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，或，，或，，三种情况， ∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当时，，a、b、c均为正整数， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于0．根据分式有意义的条件解得即可． 【详解】解：根据题意，当分式有意义时，， 解得x， 故答案为：， 12．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．将已知条件，代入原式计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．已知，互为相反数，，互为倒数，且，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴，，， 当，，时，； 当，，时，； ∴的值为或． 故答案为：或． 15．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为 ；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是 ． 【答案】 8532 13487 【详解】解：为“轮差数”， ，且，为整数， ∴， ∴， ， 这个数为； 为 “轮差数”， ① 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： ， ∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除， 能被7整除， ∵四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0， ． 当时，不存在满足条件的，； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；或，代入①可知，，此时四位数为； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，或，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d或，代入①可知，，此时四位数为； 当时，不存在满足条件的，； 当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d； 当时，不存在满足条件的，． ∴满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是． 故答案为：；． 3． 解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式， ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整指数幂，绝对值的性质，零指数幂的性质，求一个数的算术平方根，熟练掌握相关运算法则是关键．先根据有理数的乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、算术平方根的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ， 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 20．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，，．根据以上材料，求： (1)； (2)； (3)若，则、与、的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． （1）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （2）将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解：， （2）解：； （3）解：，， 理由：， ， ， ，． 21．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图2中阴影部分的边长为，根据正方形面积公式得出答案即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的边长为，面积为：； （2）解：∵， 又∵，， ∴， ∴． 22．某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得元，若超额完成，则超额部分每辆再奖元，少生产一辆扣元，用代数式分别表示该厂最高一天工资总额和最低一天工资总额． (4)当元，元时，本周最高每日工资总额比最低每日工资总额多多少元？ 【答案】(1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车26辆 (2)根据记录可知本周共生产电动车2109辆 (3)最高一天工资总额为元，最低一天工资总额为元 (4)最高每日工资总额比最低每日工资总额多234元 【分析】（1）判断出产量最多的一天和最少的一天，即可求解； （2）求出增减情况的和，再加上一周计划生产量，即可求解； （3）根据生产最多一天和最少的一天的生产数量，列出代数式即可； （4）把元，元，代入解析（3）中的代数式，求出结果，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （辆）， 答：本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车辆． （2）解：由题意得： （辆）； 答：本周共生产电动车2109辆； （3）解：∵最高一天比计划多生产16辆，最低一天比计划少生产10辆， ∴最高一天工资总额为元，最低一天工资总额为元； （4）解：∵元，元， ∴最高一天工资总额为：（元）， 最低一天工资总额为：（元）， （元）， 答：最高每日工资总额比最低每日工资总额多234元． 【点睛】本题考查了有理数的实际应用，列代数式，代数式求值，理解有理数的实际意义是解题的关键． 23．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 解答下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式写成真分式带和的形式； (3)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查了分式的定义及性质，配方法的应用，理解题意是解题的关键． （）根据“真分式”的定义即可判断； （）根据示例解答即可； （）利用配方法可得分子是正数，进而得到分母为正数，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：； （3）解：， ∵，且分式的值为正数， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 24．在计算时，小青的做法如下： ． 请用这种方法计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式将原式变形即可求出答案． 【详解】解：原式， ， ， ． 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是4，则点C叫做点A的“幸福点”，若点C到A、B的距离之和为10，则点C叫做A、B的“幸福中心”．    (1)点A表示的数为，则点A的幸福点点C所表示的数应该是_______； (2)M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，且满足，点C是M、N的幸福中心，则点C所表示的数应该是_______； (3)如图，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点P是A、B的幸福中心？ 【答案】(1)或3 (2)或 (3)经过或秒后，点P是A、B的幸福中心 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性； （1）设点表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出，的值，设点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或， ∴点表示的数是或3． 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点M表示的数为4，点N表示的数为． 设点表示的数为， ∵， ∴，即， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得； ∴点C表示的数为或． 故答案为：或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴，即； 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得； 答：经过或秒后，点P是A、B的幸福中心． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$