精品解析：山东省济宁市汶上县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分：共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，5，7 C. 5，6，11 D. 2，2，5 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 6. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A B. C. D. 9. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 用四个全等的长方形和一个小正方形拼成所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，分别表示矩形的长和宽（），则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________ 12. 计算的结果为______． 13. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 14. 如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 15. 观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式___________． 16. 如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是__________（只填写序号） 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 19. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 20. 如图，点B，E，C，F是直线l上四点，，相交于点G．，，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由； （3）连接，直接写出与l的位置关系． 21. 如图，在中，，，的平分线交于点，过点作于点，，，求的面积． 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为_________； （2）若，，求的值； （3）如图，点C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积． 23. 【探究】 （1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点D在线段上时，连接．探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段延长线上时，连接．再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，在等边三角形中，，点E在线段上，，点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分：共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件．根据分式值为零时需分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，5，7 C. 5，6，11 D. 2，2，5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是三角形三边关系，关键是根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边判断各选项．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【详解】∵， ∴选项A不能组成三角形； ∵ ∴选项B能组成三角形； ∵， ∴选项C不能组成三角形； ∵， ∴选项D不能组成三角形； 故选：B． 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 6. 形如燕尾几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 10. 用四个全等的长方形和一个小正方形拼成所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，分别表示矩形的长和宽（），则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大正方形的面积和小正方形的面积，可得出方程组，进行求解，然后依次检验选项即可． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意知：，， ∴，． 组成方程组为： ， 可得：，． ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：D． 【点睛】题目主要考查数形结合思想，理解题意对完全平方公式及二元一次方程组的运用是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 15. 观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 16. 如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是__________（只填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，证明，即可判断①；根据，得到，即可判断②；过作于，于，得到，推出，即可判断④；题干条件不充分，不足以判断平分，即可判断．本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形内角和、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，， ∴， ， ， ，故①正确， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故②正确， 过作于，于， ， ， 即， ， ， ， 即平分， 故④正确； ， 但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等， 则不一定相等， 故得不出， ∴不一定平分； 故③不正确， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，分式加减乘除混合运算． （1）先运用单项式乘多项式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先通分括号内进行加法运算，再运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），8 （2），1 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，平方差公式，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式展开，再合并同类项，然后把代入进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，得，根据，得，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 19. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 20. 如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由； （3）连接，直接写出与l的位置关系． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，见解析 （3）平行 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“边边边”即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的判定，即可得到答案； （3）先证明，然后根据等腰三角形的性质，得到，进一步利用三角形内角和性质证明，最后根据平行线的判定定理，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 解：是等腰三角形； 理由：， ， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：． 理由：，， ， ， ，，，， ， ． 21. 如图，在中，，，的平分线交于点，过点作于点，，，求的面积． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式，熟练掌握是解答本题的关键．过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为点，， 平分，，， ． 同理：，． ． ， ， ， ， ． 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为_________； （2）若，，求的值； （3）如图，点C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积． 【答案】（1）12 （2）4 （3）5 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键． （1）利用完全平方公式整体代入求解即可； （2）利用完全平方公式整体代入求解即可； （3）设，，用含有a，b的代数式分别表示，以及的面积，再利用题目条件求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． ∴． 即； 【小问3详解】 设，， ∴． ∴． 即． ∵， ∴． ∴． 由题意得，为直角三角形， ∴． 23. 【探究】 （1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点D在线段上时，连接．探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，连接．再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，在等边三角形中，，点E在线段上，，点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出长． 【答案】（1）①，见解析；②，见解析；（2）5或8 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质及已知条件可证得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答；②根据等边三角形的性质及已知条件可证得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）分点当点D在点H左侧时、点D在点H右侧且在线段上、点D点在H右侧且在延长线上三种情况，分别根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）①，理由如下： 证明：∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ②．理由如下： 证明：∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． 在和中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：过E作，则为等边三角形 ①如图1：当点D在点H左侧时， ∵，，， ∴． ∴． ∴不可能为直角三角形． ②如图2：当点D在点H右侧，且在线段上时， 同理可得：， ∴， 此时只有有可能为90°． 当时，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ③如图3：当点D点在H右侧，且在延长线上时， 此时只有， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 综上：长为5或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$