精品解析：广东省潮州市暨实高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 潮州暨实高级中学高三十月份月考 数 学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用列举法表示集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程，得到，故用列举法表达出集合. 【详解】，解得：，故列举法表示为. 故选：B 2. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】 分和讨论，即得解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故或. 故选：C 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，后根据交集概念计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 4. 已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. ( C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数定义域的定义，结合函数有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，即， 则函数满足，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及诱导公式求解即可. 【详解】 ． 故选：A. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 8. 已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导可得为单调递减函数，即可求解. 【详解】由于的定义域为，且， 故， 因此， 因此为单调递减函数，由于，故故， 即， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域为，则函数的定义域为 B. 是为奇函数的必要不充分条件 C. 正实数x，y满足，则的最小值为5 D. 函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域的求法，可判定A正确；举反例结合充分、必要条件的判定方法，可判定B不正确；化简等式为，结合基本不等式求得最小值，可判定C正确；根据复合函数的单调性的判定方法，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由函数定义域为，即， 令，解得，即函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，利用满足，但函数不是奇函数，所以充分性不成立； 反之：例如函数是奇函数，但无意义，所以必要性也不成立，所以B错误； 对于C中，由正实数x，y满足，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，令，即，解得， 由函数表示开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，函数单调递减， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增， 因为函数在区间内单调递增， 则满足，解得，所以D不正确. 故选：AC. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. C. 的解集为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可． 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 当时，，当或时，， 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A正确 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式，因为， 即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误 对于选项D：因为，则，且， 可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：ABD 11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ） A. 若的最小正周期，则； B. 当时，函数的图象向右平移后得到的图象； C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是； D. 若在区间上有两个零点，则的取值范围是； 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期公式可判断A正确；由平移规则可求判断B错误；由余弦函数图像性质可得，解不等式可判断C正确；根据零点个数可求得，即可得的取值范围是，可得D错误. 【详解】对于A，若的最小正周期，可得，可得，即A正确； 对于B，当时，可得，的图象向右平移后得到，即B错误； 对于C，由可知若在区间上单调递增，可得， 因此需满足，解得； 显然当时符合题意，即可得，所以C正确； 对于D，当时，， 若在区间上有两个零点，可得，解得； 即的取值范围是，所以D错误； 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 奇函数满足，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可． 【详解】解：由可得的图象关于直线对称， 所以． 故答案为：． 13. 若，是函数的两个相邻极值点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解. 【详解】，是函数的两个相邻极值点,则， 即，解得. 故答案为： 14. 定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可． 【详解】解：令 则，， 当时，， 所以当时，， ，故在上为减函数， 令， 则， 所以， 故不等式的解集为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据 “”是“”的必要条件， 由B⊆A，结合集合是非空集合求解； （2）根据命题“，”是真命题，由求解. 【详解】（1）不等式，即为，且，解得， 所以， 因为“”是“”的必要条件，所以B⊆A，又集合是非空集合， 所以，解得； （2）由（1）知：， 因为命题“，”是真命题，所以， 所以，解得. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【小问1详解】 ）① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. 【小问2详解】 设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）根据条件，利用辅助角公式得到，进而得到，从而有，再利用正弦定理，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得. 因为，所以，. 化简得. 在中，由余弦定理得. 又因为，所以. 【小问2详解】 由，可得， 又，所以，得到，即， 所以， ，又， 由正弦定理得，得到， 解得，， 故的周长为. 18. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 【答案】（1）因为在区间上单调递增， 又，， 所以的值域为， 所以区间是的一个“优美区间”. （2） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定于判断即可证明； （2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增， 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为， 所以，同号，只需， 解得或， 因为， 所以当时，取得最大值. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将转化为方程的两个同号且不等的实数根，再结合，代入计算即可. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数有两个零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；（3）根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，， ，，， 所以函数在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当时，， 所以要满足函数有2个零点，只需， 即， 整理得， 设，函数的定义域为， ，所以在定义域上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 证明：由（2）知，，则， 要证明，即证明， 不妨设， 因为，所以， 又，函数在上单调递增， 此时需证明， 当，时， 可得， 因为，即证明， 设，函数的定义域为， ， 所以在单调递增，则， ，所以， 所以， 即，命题得证. 【点睛】关键点睛：本题考查导数研究函数的性质，不等式，双变量，零点偏移问题，本题第三问的关键是利用分析法转化为证明，再根据，构造函数，即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 潮州暨实高级中学高三十月份月考 数 学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用列举法表示集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. ( C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域为，则函数的定义域为 B. 是为奇函数的必要不充分条件 C. 正实数x，y满足，则的最小值为5 D. 函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. C. 的解集为 D. 当时， 11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ） A. 若的最小正周期，则； B. 当时，函数的图象向右平移后得到的图象； C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是； D. 若在区间上有两个零点，则的取值范围是； 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 奇函数满足，则 __________ 13. 若，是函数的两个相邻极值点，则______． 14. 定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 18. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数有两个零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $