精品解析：广东省广州市白云区2024-2025学年高三下学期期初综合训练数学试题

2024学年第二学期初高三综合训练 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，（其中i为虚数单位），，，则复数z的虚部为（ ） A. 3 B. C. 3i D. 2. 在某次演讲比赛中，10位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选手甲的得分（ ） A. 极差不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 中位数不变 3. 已知p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，是两个单位向量，，则向量与向量的夹角的余弦值（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在正四棱台中，平面与平面ABCD所成角的余弦值为，，，则此正四棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 图象可由图象向左平移个单位得到 C. 与存在相同的零点 D. 与图象存在相同的对称轴 10. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图像关于点对称 D. 函数有2个零点 11. 已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（ ） A. 直线、的斜率之积为 B. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 C. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 D. 若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，若，，则________. 13. 若，是第三象限角，则________. 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则每个方格被选中的概率为________；按要求选中的4个方格中的4个数之和的最小值是________. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 4 26 39 66 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 16. 已知函数. （1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程； （2）若存在实数，使得，则称为函数不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围. 17. 如图，BCFE是平行四边形，AEFD是梯形，，，，，平面AEFD，二面角的平面角是. （1）求多面体体积; （2）求直线AB与平面ACF的夹角的正弦值. 18. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为;前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. （1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知餐厅连续运营一个月（30天）后，到两个餐厅用餐的人数趋于稳定.若该校共有约3000学生在餐厅用餐，为了节约粮食减少浪费，两个餐厅每天各自应该预备多少人的用餐量? 19. 蝴蝶定理是数学中的一道名题，已经有两百年的历史，迄今依然是一颗生机勃勃的常青树，因其图形像一只蝴蝶而得名.蝴蝶模型在圆锥曲线中经常出现，其中点、线有很多优美的性质.已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线l交抛物线E于A，B，当l与x轴垂直时，△AOB的面积为2，其中O为坐标原点， （1）求抛物线E的方程； （2）若直线l斜率存在为，过作直线AP，BP分别交抛物线E于C，D，连CD，设直线CD的斜率为，证明：为定值； （3）记（2）中直线AB，CD的倾斜角分别为，，当最大时，求直线AB的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期初高三综合训练 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，（其中i为虚数单位），，，则复数z的虚部为（ ） A. 3 B. C. 3i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，然后得到求虚部即可. 【详解】因为，所以， 则，所以复数的虚部为-3. 故选：B. 2. 在某次演讲比赛中，10位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选手甲的得分（ ） A. 极差不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 中位数不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用极差、平均数、方差、中位数的意义依次判断即可. 【详解】处理后选手甲的得分为7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4， 对于A，处理前后最低分不变，最高分变小，极差变小，A错误； 对于B，处理前平均分， 处理后平均分，平均数变小，B错误； 对于C，去掉一个最低分和一个最高分后，数据的波动变小，方差变小，C错误； 对于D，处理前后的中位数都为，D正确. 故选：D 3. 已知p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求解出命题和命题中不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义判断是的什么条件. 【详解】对于，解得，即命题对应的集合. 对于，解得或，即命题对应的集合或. 充分性：若，即，那么一定有，因为集合中的元素都满足集合的条件，所以由可以推出，充分性成立. 必要性：若，即或，当时，不满足，所以由不可以推出，必要性不成立. 因为能推出，但不能推出，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若，是两个单位向量，，则向量与向量的夹角的余弦值（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的性质得到，然后整理得，最后求余弦值即可. 【详解】由题意得，即， 即，所以，. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的解析式结合指数和对数函数的运算求解即可. 【详解】，. 故选：C 6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线与圆相切列等式，整理即可得到离心率. 【详解】双曲线的方程为，即， 因为渐近线与圆，所以，即， 整理得，所以双曲线离心率为2. 故选：B. 7. 在正四棱台中，平面与平面ABCD所成的角的余弦值为，，，则此正四棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的机构特征，先求出正四棱台的高，再根据棱台体积公式，即可求解. 【详解】如图，分别为上下底面的中心，为的中点，所以即为平面与平面ABCD所成角的平面角，即，所以， 过作，垂足为，则，，，所以， 所以，即正四棱台的高为2， 所以正四棱台的体积是. 故选：D. 8. 已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】由题可得，即， 在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象， 由，可知，由，可得， 联立，解得， 因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称， 则，，且，， 对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 图象可由图象向左平移个单位得到 C. 与存在相同的零点 D. 与的图象存在相同的对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】对于，分别求解与的最小正周期即可判断；对于，将图象向左平移个单位得到函数解析式即可判断；对于，求解的零点代入即可判断；对于，求出的对称轴方程代入即可判断. 【详解】对于，的最小正周期为，的最小正周期为， 所以与有相同的最小正周期，故正确； 对于，图象向左平移个单位， 可得，故正确； 对于，令，，则，， 所以的零点为，， ，故错误； 对于，的对称轴方程为，，所以，， 所以，故错误. 故选：. 10. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图像关于点对称 D. 函数有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据对称性得到，再结合得到，即可得到周期，然后利用周期求函数值即可；B选项，利用对称性求解析式，然后判断单调性；C选项，根据得到对称中心；D选项，将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，然后结合图象求零点个数. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 又，所以， 则，所以，所以， 所以的周期为8， 所以，故A正确； 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故B正确； 由得的图象关于点对称，故C错； 函数零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 由此可得与的图象有2个交点， 所以有2个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（ ） A. 直线、的斜率之积为 B. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 C. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 D. 若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出、、的值，利用斜率公式以及椭圆方程可判断A选项；利用韦达定理结合斜率公式可判断BC选项；设直线、的斜率分别为、，则、，将直线的方程与椭圆方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式化简得出的值，可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，则， 所以，、、，设点、，则， 所以，，其中， 对于A选项，，A对； 对于B选项，由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ，B对； 对于C选项，当直线过点时， ，C错； 对于D选项，设直线、的斜率分别为、，则、， 联立可得，则， 点到直线的距离为， ， 整理可得，即，解得，D错. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知根据等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 13. 若，是第三象限角，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的正弦展开式结合余弦二倍角的余弦公式计算即可； 【详解】由题意可得， 所以，即， . 故答案为：. 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则每个方格被选中的概率为________；按要求选中的4个方格中的4个数之和的最小值是________. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 4 26 39 66 【答案】 ①. ②. 125 【解析】 【分析】第一空，分布乘法原理算出选法总数和某个方格被选中的种类，再结合古典概率公式计算；第二空，先按列分析，利用列举法或分类加法原理写出所有可能结果，即可求解. 【详解】第一空， 在方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，可以从第一行选出一个方格，共有4种选法， 去掉相应的行和列后，再从剩下的方格表中用相同的方法选出第2个方格，共有3种选法，……， 选法总数为种，即. 某一方格被选中，可以先选定这个方格，去掉相应的行和列后，剩下的三个方格有：种选法， 令“某个方格被选中”，，则. 第二空， 方法一：先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和最小，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 此时最小为， 所以选中的方格中4，23，32，66的4个数之和最小为.答案为：125. 方法二：先按列分析，每列十位数字是相同的，4列数的十位数字分别为0，2，3，6， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最小值分别为2，3，6，4， 只要按规则所取的4个数的个位数为这4个数字其和必最小， 据此，可从第一行取32（取62则不能实现上述个位数的结果），从第二行取23，从第三行取66，从第四行选4，此时个位上的数字之和最小， 所以选中方格中的4个数之和的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据正弦定理化简求解即可； （2）由（1）可得，设，在中，由余弦定理可得，再由面积公式求解即可. 【小问1详解】 为直角三角形，理由如下： 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 因，所以，所以，所以， 所以为直角三角形； 【小问2详解】 因为，为以为直角的直角三角形，所以， 设，则，，所以， 所以在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程； （2）若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，，利用导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到方程，求出，从而求出切线方程； （2）依题意方程有个不同实数根，令，则函数有个零点，求出函数导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 当时，，则， 设切点为，，所以切线斜率， 解得，即， 所以切线方程为，即为所求切线方程. 【小问2详解】 由题意得，方程有个不同实数根， 令，则函数有3个零点， ， 当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意： 当时，令，得， 则，随着的变化情况如下表， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由函数有3个零点，根据上表可得， 解得， 综上可得，的取值范围. 17. 如图，BCFE是平行四边形，AEFD是梯形，，，，，平面AEFD，二面角的平面角是. （1）求多面体的体积; （2）求直线AB与平面ACF的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二面角定义求出，再利用线面垂直判定得平面，再利用割补法和锥体体积计算公式即可得到体积； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 平面平面， 又，平面，平面， 又因为平面，， 是二面角的平面角，． 又， . 连接．则， . 是平行四边形，，又， 是正三角形，， ， 同理可证平面，平面， ， . 【小问2详解】 设中点为，连接，易得， 又因为平面AEFD，面AEFD，则， 则两两互相垂直，则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， 由，得，令，则，则， 设直线AB与平面的夹角为，则 ， 所以直线与平面的夹角正弦值为. 18. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为;前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. （1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知餐厅连续运营一个月（30天）后，到两个餐厅用餐的人数趋于稳定.若该校共有约3000学生在餐厅用餐，为了节约粮食减少浪费，两个餐厅每天各自应该预备多少人的用餐量? 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）A、B餐厅应分别准备1200、1800人的用餐量. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算； （2）根据全概率公式得到，然后利用等比数列的定义证明； （3）由（2）得到，然后计算均值即可. 【小问1详解】 设同学甲第i天选择B餐厅”，，2，3，n 根据题意可知：，， 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. 【小问2详解】 设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 ∴ ∴且 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知：， ∴， ∴，即30天后一个学生选择B餐厅的概率约为. 设3000名学生选择B餐厅的人数为X，， 3000名学生中选择B餐厅的平均人数约为（人）， 选择A餐厅的人数为（人）， ∴A、B餐厅应分别准备1200、1800人的用餐量. 19. 蝴蝶定理是数学中的一道名题，已经有两百年的历史，迄今依然是一颗生机勃勃的常青树，因其图形像一只蝴蝶而得名.蝴蝶模型在圆锥曲线中经常出现，其中点、线有很多优美的性质.已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线l交抛物线E于A，B，当l与x轴垂直时，△AOB的面积为2，其中O为坐标原点， （1）求抛物线E的方程； （2）若直线l的斜率存在为，过作直线AP，BP分别交抛物线E于C，D，连CD，设直线CD的斜率为，证明：为定值； （3）记（2）中直线AB，CD的倾斜角分别为，，当最大时，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由l与x轴垂直可由表示线段的长，然后利用面积公式列方程求出的值，进而求出抛物线的标准方程； （2）分别设出四点对应的坐标，结合抛物线的标准方程分别表示对应直线的斜率与方程，再结合两点在对应直线上对斜率进行化简整理可证出为定值； （3）由上一问知道，的关系，结合两角差的正切公式及基本不等式对其化简得到的最大值进而得到最大值和直线AB的方程. 【小问1详解】 焦点，当l与x轴垂直时，， 从而，， 所以抛物线E的方程为； 【小问2详解】 设，，，， 则， 从而直线AB的方程为， 即， 将代入有， 同理，直线AP的方程为， 直线BP的方程为， 将代入有， 由有，从而得证； 【小问3详解】 由（2）知，，且，或， 当，时，，，， 当，时，，，， 由， 当，时，取得最大值，此时最大， 所以当最大时，，此时直线AB的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$