精品解析：湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中等学校2024-2025学年高二下学期2月联考数学试题

汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年度下学期2月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年2月25日上午8：00--10：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则（ ） A. 或3 B. 0或3 C. 0或 D. 或0或3 3. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 4. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知平行四边形，，且，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则A与C之间距离为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 若曲线C是椭圆，则 C. 曲线C不可能表示直线 D. 若，则C为双曲线 10. 已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 直三棱柱的外接球的表面积为 11. （多选）已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是__________. 13. 设是数列的前项和，且，则__________. 14. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切直线方程. 16. 记为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求整数的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面，点在棱PB上，且平面ACE. （1）求证：为PB的中点； （2）求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值. 18. 已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 19. 已知抛物线（为正整数），为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记点的纵坐标分别为（其中）． （1）证明：成等差数列； （2）若，记等差数列的公差为． （i）用和表示； （ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的问题：若为正奇数，为正整数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，证明：一定可以表示为某两个正整数的平方之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年度下学期2月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年2月25日上午8：00--10：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线化成标准方程再求出焦点坐标即可. 【详解】由抛物线可得， 可得焦点坐标为. 故选：D. 2. 已知直线与平行，则（ ） A. 或3 B. 0或3 C. 0或 D. 或0或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，列式计算并验证得解. 【详解】由直线与平行，得， 解得或或，当时，两直线重合，不符合题意； 或符合题意，所以或. 故选：B 3. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求. 【详解】由条件可知，的公比， 由题意得，，解得，所以． 故选：C. 4. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 5. 如图，已知平行四边形，，且，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则A与C之间距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 平面与平面所成角的余弦值为， ， ， ， ， 则，即与之间距离为， 故选：C． 6. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知将化为，在底面内构建如下图示的直角坐标系，应用向量数量积的坐标表示求动点轨迹. 【详解】由， 由平面，平面，则， 所以，底面是边长为的正方形， 在平面内构建如下图示的直角坐标系，则， 设，则， 所以，即动点在圆上. 故选：B 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 若曲线C是椭圆，则 C. 曲线C不可能表示直线 D. 若，则C为双曲线 【答案】ACD 【解析】 分析】 当时，化简方程可判断出正确；曲线是椭圆，则，解出可判断不正确；由，，，可判断出正确；若，则，可判断出正确． 【详解】当时，方程，化为，表示圆，所以正确； 曲线是椭圆，则，解得，所以不正确； 由，，，所以曲线不可能表示直线，所以正确； 若，则，为双曲线，所以正确； 故选：ACD 10. 已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 直三棱柱的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先计算出外接球的半径，根据球的表面积公式即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； 对于C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D：因为，直三棱柱的外接球的半径为， 则有， 所以直三棱柱的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. （多选）已知数列满足，，设，记数列前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，只需要依次对赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】对于A，由，因， 可得，，故A正确； 对于B，当时， （*）， 因，则， 故由（*）可得，则， 即数列为公差为1的等差数列， 则有，可得，故B正确； 对于C，由， 可得， 上面两式相减可得 ， 可得，故C错误； 对于D，由，，可得：， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果. 【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示：  当直线与半圆相切时， 设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率， 所以曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是. 故答案为：. 13. 设是数列的前项和，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值. 【详解】因为，左右同时乘以， 则，又因为， 所以是以1为首项以1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答. 【详解】过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点， 有，过作于点C，则四边形是矩形， 于是，，又，从而， 设直线AB与平面的交点为P，则有，， 所以椭圆的长轴长. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； 【小问2详解】 画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 16. 记为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【小问1详解】 已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． 【小问2详解】 由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面，点在棱PB上，且平面ACE. （1）求证：为PB的中点； （2）求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于点，连接EF，由平面，得到，再由为BD的中点证明； （2）先证明OF，OC，OP两两垂直，再以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量，易知是平面ACD的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 证明：连接BD交AC于点，连接EF， 因为底面ABCD是矩形，所以为BD的中点， 因为平面平面PBD， 平面平面，所以， 又因为为BD的中点，所以为PB的中点. 【小问2详解】 解：取CD的中点，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，所以， 因为为CD的中点， 所以， ，所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD，所以， 所以OF，OC，OP两两垂直. 以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可得，， 则， 由上可知为平面ACD的一个法向量， 设平面ACE的法向量为， 则，令，则，所以， 所以， 所以平面ACE与平面ACD夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解出，求得，进而求解即可； （2）当直线的斜率不存在，可得，当直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式表示出，进而结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当直线斜率不存在时，，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 所以，， 由于异号，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 综上所述，的最大值为． 19. 已知抛物线（为正整数），为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记点的纵坐标分别为（其中）． （1）证明：成等差数列； （2）若，记等差数列的公差为． （i）用和表示； （ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的问题：若为正奇数，为正整数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，证明：一定可以表示为某两个正整数的平方之和． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，根据韦达定理以及中点坐标公式即可求得之间的关系； （2）（i）由第一问的结论结合两点间的距离公式可以得到关系式；（ii）由已知条件的信息，通过证明来说明. 【小问1详解】 由题意有，点，设直线的斜率分别为， 直线的方程为，代入，有， 整理为， 有，有， 同理有，可得是关于的方程的两个根， 有, 又由，同理有，有， 故成等差数列； 【小问2详解】 （i）若，有，可得， 有， 故有； （ii）由（i）有，又由为正整数，为正整数，为正奇数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，可得为奇数， 方程可化为，可化为，可化为， 由为奇数，可得和都为整数， 设和的最大公约数为，可得是和的因数， 又由的最大公约数为1，可得， 因为和的最大公约数为为一个整数的平方， 可得和都是一个整数的平方， 不妨设（其中都正整数，）， 可得，故一定可以表示为某两个正整数的平方之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $