第01讲 向量数量积的概念（4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第01讲 向量数量积的概念 课程标准 学习目标 1．掌握平面向量的夹角的概念； 2．掌握平面向量的数量积的定义、性质； 3．了解向量投影的概念以及投影向量的意义. 1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关系；会计算两个向量的夹角。 2．通过本节的学习，加深同学们对数学基础性的理解，加强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学的实用性。 知识点01 向量的夹角 1、如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角，记作. 显然,当时,与同向;当时,与反向. 2、如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 知识点02 向量数量积的定义 1、 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 2、 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03向量的投影向量 1、如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2、如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 3、设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 【即学即练3】（24-25高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点04向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 【即学即练4】（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（    ） A．若，则与中至少有一个为 B．向量与向量夹角的范围是 C．若，则 D． 题型01 向量数量积的相关概念 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知下列命题中： （1）若，且，则或； （2）若，则或； （3）若不平行的两个非零向量，满足，则； （4）若与平行，则； （5）. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 题型02 平面向量的夹角 【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 . 题型03 向量数量积的简单计算 【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式3】（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 【变式4】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ． 【变式5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ． 题型04 求向量的投影向量 【典例4】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京昌平·期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河北·期末）在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量为 B． C．若，则为钝角三角形 D．若是等边三角形，则，的夹角为 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为2 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 三、填空题 12．（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 13．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示) 14．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．    四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 向量数量积的概念 课程标准 学习目标 1．掌握平面向量的夹角的概念； 2．掌握平面向量的数量积的定义、性质； 3．了解向量投影的概念以及投影向量的意义. 1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关系；会计算两个向量的夹角。 2．通过本节的学习，加深同学们对数学基础性的理解，加强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学的实用性。 知识点01 向量的夹角 1、如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角，记作. 显然,当时,与同向;当时,与反向. 2、如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 知识点02 向量数量积的定义 1、 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 2、 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用向量数量积公式计算可得答案. 【详解】. 故选：A． 知识点03向量的投影向量 1、如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2、如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. 3、设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 【即学即练3】（24-25高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可． 【详解】因为． 故选：B． 知识点04向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 【即学即练4】（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（    ） A．若，则与中至少有一个为 B．向量与向量夹角的范围是 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据互相垂直的平面向量的性质判断A，结合平面向量数量积的定义、运算性质判断C,D,向量与向量夹角的范围判断B. 【详解】A，若，则与可以是夹角为，所以A选项错误. B，向量与向量夹角的范围是，B选项错误. C，若，则，所以C选项正确. D，，D选项正确. 故选：AB. 题型01 向量数量积的相关概念 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，向量与的方向相反，然后即可得出正确的选项. 【详解】由得，所以向量与方向相反. 对于A：由得向量与的方向相同，故A错误； 对于B：由得向量与方向相反，故B正确； 对于C：由得，故C错误； 对于D：由得向量与的方向相同，故D错误. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解. 【详解】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知下列命题中： （1）若，且，则或； （2）若，则或； （3）若不平行的两个非零向量，满足，则； （4）若与平行，则； （5）. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数乘的定义可判断（1）；根据向量数量积的定义可判断（2）（4）；根据向量数量积的运算律可判断（3）（5）. 【详解】对于（1），若，且，则或，故（1）正确； 对于（2），若，则，不一定能得到或，故（2）错误； 对于（3），若不平行的两个非零向量，满足，则，故（3）正确； 对于（4），若与平行，则，故（4）错误； 对于（5），，而，故（5）错误. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或； 若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行． 综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件． 故选：B． 【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 题型02 平面向量的夹角 【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出草图，运用平行四边形法则，结合外接圆圆心特征，得到平行四边形为菱形，进而得到和为等边三角形，得解. 【详解】由，得， 如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形， 又因为为外接圆圆心，所以， 所以平行四边形为菱形，和为等边三角形， 所以向量的夹角为． 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式得出结合角的范围得出夹角即可. 【详解】依题意． 又． 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 . 【答案】/ 【分析】根据向量数量积公式可得夹角. 【详解】由，， 则， 解得， 又，所以， 故答案为：. 题型03 向量数量积的简单计算 【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【答案】C 【分析】由题意可得，再由向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】由图形可知：，，， . 故选：A. 【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据内接正各边以及与单位圆半径的关系，求出各边长度，再根据的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案. 【详解】如图所示:    因为单位圆半径为1，为单位圆的内接正三角形， 可得，又也是正的中心，延长交于， 可得，，， 设的边长为，则由勾股定理得， 即，解得. 所以，.又因为的夹角为的补角， ，所以的夹角为， 所以. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 【答案】1 【分析】根据向量数量积的定义运算得解. 【详解】由题，. 故答案为：1. 【变式4】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ． 【答案】30 【分析】利用向量投影数量的计算公式以及向量的模长、结合数量积定义计算求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ． 【答案】2 【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】． 故答案为：2. 题型04 求向量的投影向量 【典例4】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 【变式2】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为. 故选：A． 【变式3】已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 【变式4】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【答案】 【分析】由数量积的运算公式可以得到，再根据题中条件得到, 最后利用投影向量的公式进行求解即可. 【详解】 由，则， 又，则， 又，则，即， 故， 又向量在方向上的投影向量是， 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3)-4 【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可； （2）应用投影数量的公式计算即可； （3）应用投影数量的公式计算即可. 【详解】（1）． 为直角三角形，且． ． （2）． （3） 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量积的定义可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即必要性成立； 反之，若“”可得，所以， 可得为锐角，但角可能为钝角，不一定为锐角，所以充分性不成立； 故选：B 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 4．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法和向量数量积的定义逐项判断即可. 【详解】因为，又不共线， 所以，则，故A和C都不正确； 因为，又不共线， 所以，则，故B不正确，D正确； 故选：D 5．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，向量在向量上的投影向量是， ∴， 则，即，且， 则， 故选：D. 7．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程有实根得到，得，借助于余弦函数的性质，解此三角不等式即得. 【详解】设为向量与的夹角， 关于的方程有实根，则有， 又，则有，得， 又，所以． 故选：B. 8．（24-25高三上·北京昌平·期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】△中，，为的中点， 所以， 设，则，， ， 即当时，的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·河北·期末）在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选项C；由投影向量的计算验证选项D. 【详解】正中，为的中点，如图所示， ，A错误； ，则，正确． ，C正确． 在上的投影向量为，正确． 故选：BCD. 10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量为 B． C．若，则为钝角三角形 D．若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC 【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可. 【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以且，所以为钝角，所以C正确； 对于D，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为2 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】利用投影向量的定义及模的定义判断A，利用数量积的定义判断B，由向量的和的运算判断C，由向量线性运算法则判断D． 【详解】如图，正的内心为点，则也为的外心和重心， 分别是中点，则，在上， ，则， 在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模等于在方向上的投影向量的模，模为2，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【答案】/ 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：.    13．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 14．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．    【答案】 【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以．因为， 所以． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据数量积的公式计算即可，要注意其夹角. 【详解】（1）与的夹角为， . （2）与的夹角为， . （3）与的夹角为， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$