第02讲 向量数量积的运算律（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第02讲 向量数量积的运算律 课程标准 学习目标 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律． 2.能利用运算律进行向量的数量积运算． 1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养． 2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养. 知识点01 平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【注意】向量数量积不满足： ①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c； ②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)． 【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．. 知识点02 平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【即学即练2】（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 题型01 利用运算律求数量积 【典例1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【变式3】 （24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式4】 （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型02 向量的夹角问题 【典例2】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】 （24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型03 向量的模的问题 【典例3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式2】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 【变式3】 （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·河南·期末）已知，为相互垂直的单位向量，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式5】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型04 数量积的最值问题 【典例4】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型05 判断三角形的形状 【典例5】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【变式1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期中）中，若非零向量与满足，，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【变式4】是所在平面上一点满足的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 题型06 三角形的“心” 【典例6】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1】 （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【变式2】（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型07 新定义问题 【典例7】 （多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B． C． D．若，则 【变式1】（多选）（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则与平行 【变式2】（多选）（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 【变式3】（多选）（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 【变式4】（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有 A．在方向上的投影为 B． C． D．若，则与平行 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 5．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，若，则（    ） A． B． C． D．1 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 8．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 9．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．若，则 B．非零向量满足，则与的夹角为 C．非零向量和满足，，则 D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为 三、填空题 12．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 . 13．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 14．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 16．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 17．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 19．（23-24高一下·浙江宁波·期末） 已知向量满足，且与互相垂直. (1)求向量在向量上的投影向量 （用表示）； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：（其中是非零向量和的夹角），求 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 向量数量积的运算律 课程标准 学习目标 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律． 2.能利用运算律进行向量的数量积运算． 1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养． 2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养. 知识点01 平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【注意】向量数量积不满足： ①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c； ②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)． 【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】A 【分析】根据向量的四则运算、数量积的定义及分配律逐个判断即可. 【详解】对A，得出的是数量，故结果是与共线的向量， 同理得出的是与共线的向量， 等式对任意三个向量、、不一定正确，故A错误； 对B，由数量积定义可得，，故B正确； 对C，向量数量积运算满足加乘分配律，故C正确； 对D，由分配律可得， 故D正确. 故选：A. 知识点02 平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【即学即练2】（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 题型01 利用运算律求数量积 【典例1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】，利用向量数量积公式计算出结果. 【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， . 故选：D 【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解. 【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，， 所以， 故选：B. 【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 【变式3】 （24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】结合向量的线性运算，利用数量积定义直接求解即可. 【详解】如图： 可知， 故. 故选：A. 【变式4】 （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合数量积的定义得，最后由数量积的运算律即可求解. 【详解】， ， ， ，，， ， ， ， 故选：C. 题型02 向量的夹角问题 【典例2】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算律求得，利用向量的夹角公式可求得，可求与的夹角. 【详解】由，可得，即 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以与的夹角为. 故选：C. 【变式1】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可. 【详解】设向量，的夹角为.因为，则， 所以，则，解得，所以. 故选：C. 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得，即可得答案. 【详解】由题设，，， 所以，即向量与的夹角为. 故选：C 【变式3】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 【变式4】 （24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 【变式5】 题型03 向量的模的问题 【典例3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 【变式3】 （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 【变式4】（24-25高三上·河南·期末）已知，为相互垂直的单位向量，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由知，，的模都等于1，先计算的平方，再开方即得模长. 【详解】解：因为向量，满足，，， 所以， 则 故选：C 【变式5】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 题型04 数量积的最值问题 【典例4】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案. 【详解】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 【变式3】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B 题型05 判断三角形的形状 【典例5】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据可得为等腰三角形，根据可得，由此可得答案. 【详解】∵，∴，其中分别是与方向相同的单位向量. 如图，在边上分别取点，使， 作平行四边形，则， 由得平行四边形为菱形，则为的平分线， 由得，故， 延长交于点，则，故既是高线，又是角平分线， ∴为等腰三角形，且， ∵，∴， 由得，， ∴为等边三角形. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据向量的减法法则可得，化简可得，即可得出结果. 【详解】解：由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期中）中，若非零向量与满足，，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用和都为单位向量，得到，再利用，得到，判断即可． 【详解】和都为单位向量，垂直平分，故， ，， 为等腰直角三角形． 故选：A． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 【变式4】是所在平面上一点满足的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形. 故选：B 题型06 三角形的“心” 【典例6】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 【变式1】 （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 题型07 新定义问题 【典例7】 （24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据数量积的公式和新定义判断即可. 【详解】A选项，，则，即或，所以，故A正确； B选项，，故B正确； C选项，，故C错； D选项， 当时，，故D错. 故选：AB. 【变式1】（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则与平行 【答案】BD 【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，在上的投影向量为， 可知与共线，但与共线，两者方向不一定相同， 所以在上的投影向量不为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以， 则，即，故选项D正确， 故选：BD． 【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可. 【变式2】（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 【答案】BD 【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可． 【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，， 对于A，由上可知， 则， 又，所以，则， 当为钝角时，，即，故A错误； 对于B，因为， ， 所以，故B正确； 对于C，设为非零常数， 则， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确， 故选：BD． 【变式3】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：若，， 则， 可得，则， 且，可知， 结合题意可知，，所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式4】定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有 A．在方向上的投影为 B． C． D．若，则与平行 【答案】BD 【解析】本题首先根据投影的定义判断出是否正确，然后通过即可判断出是否正确，再然后通过取即可判断出是否正确，最后通过计算得出即可判断出是否正确并得出答案． 【详解】由向量投影的定义可知，A显然不成立； ，故B成立； ，当时不成立，故C不成立； 由，得，即两向量平行，故D成立． 综上所述，故选BD． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解. 【详解】, 故选：D 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方后得即可. 【详解】因为，两边平方得， 所以，故. 故选：A 4．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果； 【详解】， 等式两边平方得， 因为，，，化简可得， 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解． 【详解】在平行四边形中，， 由题意得. 故选：C. 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由于，所以， 由于，所以. 故选：B 7．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，，，且， 因三点共线，故，即，， 故． 故选：C． 8．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面向量的数量积、模长的运算、向量平行逐项判断即可得结论. 【详解】，是两个相互垂直的单位向量， 所以， 对于A，， ，所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 10．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，. 【详解】对于，若，则，故不正确； 对于，设，的夹角为，所以， 若，则，所以，即，同向， 所以，故正确； 对于，若，则， 所以， 因为，，所以，故正确； 对于，设，的夹角为， 若，则， 所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 11．（24-25高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．若，则 B．非零向量满足，则与的夹角为 C．非零向量和满足，，则 D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】A选项，变形计算得到，得到或，或；B选项，利用向量线性运算法则得到四边形为菱形，可确定与的夹角为；C选项，利用计算出，得到模长；D选项，推出，为等边三角形，，利用投影向量的定义得到在方向上的投影向量为. 【分析】A选项，， 故或，或， A错误； B选项，设，，则， 又，故为等边三角形， 又，四边形为平行四边形， 所以四边形为菱形， 由此可确定与的夹角为，B正确； C选项，，， 故， 又，故，，故C正确； 对于D，，为中点，又为外接圆圆心，， ，为等边三角形，，， 在方向上的投影数量为：， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解. 【详解】由题意，所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 【答案】8 【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可. 【详解】由得， 所以，所以. 故答案为：. 14．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）根据矩形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量表示向量的式子； （2）由结合算出然后根据向量的模的公式算出的最小值． 【详解】解：（1）根据题意，可得且所以可得 结合、可得； （2）因为所以 观察图形可得：当时等号成立， 所以可得即的最小值为 故答案为：； 四、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 16．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 17．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【详解】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，利用向量数量积公式得到； （2）设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以 . （2）因为点为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 19．（23-24高一下·浙江宁波·期末） 已知向量满足，且与互相垂直. (1)求向量在向量上的投影向量 （用表示）； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：（其中是非零向量和的夹角），求 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由与互相垂直得，再根据投影向量的定义计算可得答案； （2）利用定义对平方再开方计算可得答案. 【详解】（1）因为与互相垂直，所以， 可得，所以， 向量在向量上的投影向量为 ； （2）因为， 又，所以，， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$