精品解析：山东省垦利第一中学2024-2025学年高二下学期收心考试数学试题

高二数学试题 2025.2 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合公式即可得到答案. 【详解】由题意得不同选派方法的总数为. 故选：C. 2. 已知双曲线：，则其渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可直接写出双曲线的渐近线. 【详解】所求双曲线的渐近线为：即. 故选：D 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其焦点坐标. 【详解】抛物线化为：，其焦点坐标为. 故选：C 4. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得，由此可求出离心率. 【详解】由题可得，即， 则， . 故选：B. 5. 圆与圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2. 圆与圆的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有3条. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率的公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 7. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为， 故选：A. 8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点, 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，直线，即为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间坐标系，利用向量判断线面关系，求解平面夹角，求出轨迹可得其面积. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,; ,设是平面的一个法向量， 则，令可得，，即. 对于A，,因为，且平面，所以平面，A正确； 对于B，，因为，所以平面，B正确； 对于C，易知平面的一个法向量为, 设平面与平面的夹角为，则，C不正确； 对于D，设到平面的距离为，,， 由可知平面，设平面，因为直线与直线夹角为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心的圆， 设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹构成的图形的面积为，D正确. 11. 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于两点，过原点作，垂足为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 抛物线上的点到距离的最小值为4 D. 存在一个定点，使得线段长度为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可判断A，设直线方程，联立抛物线方程结合韦达定理，由可判断，对于C，通过特殊点可判断；对于D，，得到点在以为直径的圆上，可判断； 【详解】 由抛物线的定义可得：到其准线的距离为2，所以准线方程为：，也即；A对； 由题意可设故可设直线的方程为，，. ，所以，. . 所以，也即， 所以，B对， 又，所以，所以点在以为直径的圆上， 所以圆心.满足.定值；D正确； 对于C：取点在抛物线上，此时两点间距离为：，C错； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题为选做题，只能选一个，多选不给分. 12. 已知直线l:和圆心为C的圆,则直线l被圆C截得的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离,再计算即可求出弦长. 【详解】圆化为标准方程为:, 圆心,, , 弦长为. 故答案为:. 13. 设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】由以及，解得，，根据余弦定理可得，根据三角形面积公式可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 由以及， 解得，， 三角形中由余弦定理得， 所以， 所以的面积为. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义，考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题. 14. （1）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率______；（2）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为.若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，的斜率分别为和，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解（1），联立直线与曲线方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式求解（2）. 【详解】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则,, 所以, （2）右焦点F到渐近线的距离为，又离心率为，故， 因此,则, 设直线，联立与可得， 设,故， 故 ， 故答案为：， 四、解答题题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：，所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 16. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接DM,分别以DB,DC,DM为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得平面的法向量，证明直线CD的方向向量与平面的法向量垂直后，结合CD不在平面内，证得平面； （2）再求得平面的法向量，结合（1）的平面的法向量，利用空间向量的夹角余弦值公式计算即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取的中点M，连接DM,则, 由正棱柱的性质可知平面，所以平面, 又因为底面△为正三角形，所以DB、DC、DM两两垂直， 分别以DB,DC,DM为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示： 因为，， 所以, ,设平面的法向量为, = 令得,, ， 又∵平面， ∴平面． （2）设平面的法向量为, = , 令得,, 又∵由（1）平面的法向量为, ∴, 由图可知二面角为锐二面角角， 二面角的余弦值. 17. 已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为起始边，按逆时针旋转角，其终边分别交圆和圆于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，记，点坐标为，此时称为点轨迹的离心角. （1）请用表示点的横坐标、纵坐标，并求出点的轨迹方程； （2）若离心角、分别对应点轨迹上、两点，且.证明：和为定值； （3）若直线与点的轨迹交于、两点，为点轨迹上一动点.当时，求到距离的最大值. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，结合求出轨迹方程； （2）由（1）可知、，再由诱导公式得到，最后根据平方关系计算可得； （3）设、，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据数量积为，求出，不妨取，设与直线的平行线为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，再求两平行线间的距离（最大值）. 【小问1详解】 由题意可知：，. 所以， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知、， 因为，所以，， 所以. 所以，. 【小问3详解】 设、， 联立，消去整理得：， 因为过定点，又，即点在椭圆内部，显然， 所以，， 又， 因为，所以， 所以， 将，代入上式得， 解得， 不妨取，则， 设直线的平行线为， 联立消去整理得：， 令，即， 解得， 所以， 所以当点为与椭圆的切点时，到的距离最大. 最大距离为直线和之间的距离，即为. 所以到距离的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2025.2 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 120 2. 已知双曲线：，则其渐近线方程（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 圆与圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线过定点 10. 如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为. 11. 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于两点，过原点作，垂足为，则下列说法正确的有（ ） A B. C. 抛物线上的点到距离的最小值为4 D. 存在一个定点，使得线段长度为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题为选做题，只能选一个，多选不给分. 12. 已知直线l:和圆心为C的圆,则直线l被圆C截得的弦长为__________． 13. 设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________. 14. （1）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率______；（2）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为.若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，的斜率分别为和，则______. 四、解答题题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 16. 如图，已知正三棱柱，是中点，是的中点，且，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为起始边，按逆时针旋转角，其终边分别交圆和圆于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，记，点坐标为，此时称为点轨迹的离心角. （1）请用表示点的横坐标、纵坐标，并求出点的轨迹方程； （2）若离心角、分别对应点轨迹上、两点，且.证明：和为定值； （3）若直线与点的轨迹交于、两点，为点轨迹上一动点.当时，求到距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $