18 2025年学业水平考试预测模拟卷(二)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— １０３— — １０４— — １０５— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列各数中，是有理数的是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 槡Ａ．５ Ｂ．３．２３２２３２２２３… Ｃ． π ３ Ｄ．３槡８ ２．北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共４５０６件，其中很多设计方案体现了 对称之美。以下４幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是 （　　） 　　 　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．实数ａ，ｂ在数轴上的位置如图所示，化简｜ａ＋１｜－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２后的结果为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．２＋２ａ－２ｂ Ｃ．２ Ｄ．０ ５．纳米是表示微小距离的单位，１纳米＝０．０００００１毫米，而１毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小 格，可想而知１纳米是多么的小。中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳 米管———直径０．５纳米，已十分接近碳纳米管的理论极限值０．４纳米。０．４纳米相当于０．００００００４毫 米，数据０．００００００４用科学记数法可以表示为 （　　） Ａ．０．４×１０－６ Ｂ．０．４×１０－７ Ｃ．４×１０－６ Ｄ．４×１０－７ ６．如图，Ｏ是正六边形ＡＢＣＤＥＦ对角线ＤＦ上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在 阴影部分的概率是 （　　） Ａ． １ ３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ３ ８ Ｄ． ３ ５ ７．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝６９°，将△ＡＢＣ在平面内绕点 Ａ旋转到△ＡＢ′Ｃ′的位置，使 ＣＣ′∥ＡＢ，则旋 转角的度数为 （　　） Ａ．４３° Ｂ．４２° Ｃ．４５° Ｄ．６９° 第７题图 　 　 第８题图 　 　 第９题图 　 　 第１０题图 ８．如图，已知∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＢ＝２，ＡＣ＝３，点Ｐ在△ＡＢＣ内，将△ＡＰＣ绕着点Ａ逆时针方向旋转６０°得到 △ＡＥＦ，则ＡＥ＋ＰＢ＋ＰＣ的最小值为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．１９ Ｂ．５ Ｃ．５３ Ｄ．１３ ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象如图所示，下列结论：①ａｂｃ＞０；②若ｍ为任意实数，则ａ＋ｂ＞ａｍ２＋ｂｍ；③ａ－ ｂ＋ｃ＜０；④３ａ＋ｃ＜０；⑤若ａｘ２１＋ｂｘ１＝ａｘ ２ ２＋ｂｘ２，且ｘ１≠ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝２。其中正确的有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 １０．如图，在平面直角坐标系中，点Ａ１的坐标为（－１，０），以ＯＡ１为直角边作等腰直角三角形 ＯＡ１Ａ２，再 以ＯＡ２为直角边作等腰直角三角形ＯＡ２Ａ３，再以ＯＡ３为直角边作等腰直角三角形ＯＡ３Ａ４……按此规 律进行下去，则点Ａ２０２４的横坐标为 （　　） Ａ．－２１０１１ Ｂ．２１０１１ Ｃ．－２１０１２ Ｄ．２１０１２ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．把－１２ｍ２ｎ＋３ｎ因式分解为 。 １２．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法。幻方 历史悠久，是中国一种传统游戏。如图是一个不完整的３×３的幻方，则其中ａ－ｂ的值为 。 ｂ ａ ５ ９ 第１２题图 　　　　 第１３题图 　　　　 第１４题图 １３．已知⊙Ｏ的直径为２０，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，∠ＣＡＢ的平分线交⊙Ｏ于点 Ｄ。若 ＢＣ是⊙Ｏ的直径， ＡＢ＝１２，则ＡＣ＝ ，ＢＤ＝ 。 １４．如图，Ａ是反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象上一点，过点Ａ作ＡＣ⊥ｘ轴，垂足为Ｃ，延长ＡＣ至点Ｂ，使 ＢＣ＝３ＡＣ，Ｄ是ｙ轴上任意一点，连接ＡＤ，ＢＤ，若△ＡＢＤ的面积为１２，则ｋ＝ 。 １５．若关于ｘ的方程 ａ ｘ＋１ ＋１＝ ｘ＋ａ ｘ－１ 的解为负数，且关于 ｘ的不等式组 －１ ２ （ｘ－ａ）＞０， ｘ－１≥ ２ｘ－１ ３        无解，则所有满足条 件的整数ａ的值之和为 。 １６．如图１，点Ｐ从△ＡＢＣ的顶点Ａ出发，沿Ａ→Ｂ→Ｃ匀速运动到点Ｃ，图２是点Ｐ运动时，线段ＡＰ的长度ｙ 随时间ｘ变化的关系图象，其中Ｍ是曲线部分的最低点，则△ＡＢＣ的边ＡＣ上的高ＢＧ为 。 图１ 　　 图２ 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：(ｘ－１ｘ－ ｘ－２ ｘ＋１)÷ ２ｘ２－ｘ ｘ２＋２ｘ＋１ ，其中ｘ满足ｘ２－７ｘ－７＝０。 １８．（７分）某校举办以北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了５０名学生的竞 赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： ａ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图。 （数据分成 ５组：５０≤ｘ＜６０，６０≤ｘ＜７０，７０≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜９０， ９０≤ｘ≤１００） ｂ：七年级抽取成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的是 ７０，７２，７３，７３，７５，７５，７５，７６，７７，７８，７８，７８，７９，７９，７９，７９。 ｃ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如表所示。 年级 平均数 中位数 七年级 ７６．５ ｍ 八年级 ７８．２ ７９ 请结合以上信息回答下列问题： （１）七年级抽取成绩在６０≤ｘ＜９０的人数为 ，并补全频数分布直方图； （２）表中ｍ的值为 ； （３）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都为７８，则 （填“甲”或“乙”）的成绩在本年 级抽取成绩中排名更靠前； （４）七年级的学生共有８００人，请你估计七年级竞赛成绩在９０分及以上的学生人数； （５）全校得满分的分别是七年级２名同学和八年级３名同学，现在从这５人中随机选２人参加市级 竞赛，求选取的２人来自同一年级的概率。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １０６— — １０７— — １０８— １９．（８分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动。如图，点Ａ为出发点， 途中设置两个检查点，分别为点Ｂ和点Ｃ，行进路线为Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ。点Ｂ在点Ａ的南偏东２５°方向 槡６２ｋｍ处，点Ｃ在点Ａ的北偏东８０°方向，行进路线ＡＢ和ＢＣ所在直线的夹角∠ＡＢＣ为４５°。 （１）求行进路线ＢＣ和ＡＣ所在直线的夹角∠ＢＣＡ的度数； （２）求检查点Ｂ和Ｃ之间的距离（结果保留根号）。 ２０．（８分）如图，将边长为６的等边三角形纸片沿边ＢＣ上的高ＡＤ剪成两个三角形，用这两个三角形拼 成平行四边形。 （１）画出平行四边形； （２）根据（１）中所画平行四边形求出两条对角线的长。 ２１．（９分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展。小明计划给朋友快递一些家乡 特产，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适。甲公司：快递物品不超过１千克的，按每千克２２元 收费；超过１千克，超过的部分按每千克１５元收费。乙公司：按每千克１６元收费，另加包装费３元。 设小明快递特产ｘ千克。 （１）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该特产的费用ｙ（元）与重量ｘ（千克）之间的函数关系式； （２）小明现有一件超过１千克的特产需快递，选择哪家快递公司更省钱？ ２２．（１０分）如图，以 Ｒｔ△ＡＢＣ的直角边 ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交斜边 ＡＣ于点 Ｄ，Ｅ是 ＢＣ的中点，连接 ＯＥ，ＤＥ。 （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＤ＝６，ＤＥ＝５，求⊙Ｏ的半径及ＡＤ的长。 ２３．（１１分）在Ｒｔ△ＡＢＣ与Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°。 （１）如图１，若延长ＤＡ到点Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连接ＣＤ，ＣＥ。 ①求证：ＣＤ＝ＣＥ，ＣＤ⊥ＣＥ； ②求证：ＡＤ＋ＢＤ＝槡２ＣＤ； （２）若△ＡＢＣ与△ＡＢＤ位置如图２所示，请写出线段ＡＤ，ＢＤ，ＣＤ的数量关系，并说明理由。 图１ 　　　 图２ ２４．（１３分）如图，抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴交于点 Ａ，Ｂ，与 ｙ轴交于点 Ｃ，连接 ＢＣ。若 ＢＣ＝槡１０， ｔａｎ∠ＣＢＯ＝３，Ｐ是线段ＡＣ下方抛物线上一动点，连接ＯＰ交ＡＣ于点Ｍ。 （１）求抛物线的表达式； （２）求 ＰＭ ＯＭ 的最大值； （３）Ｅ是抛物线上一动点，Ｆ是坐标系内任意一点。若四边形ＡＣＥＦ是矩形，求点Ｅ，Ｆ的坐标。 ∴ ＡＣ ＢＣ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ 。 又∵∠２＝∠３，∴△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ。 ∴ ＡＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＢＣ ＝槡３ ３ ，∠４＝∠５。 又∵∠６＝∠７，∴∠５＋∠６＝∠４＋∠７＝９０°。 ∴∠ＢＦＥ＝９０°。∴ＡＦ⊥ＢＤ。 ∴ ＡＥ ＢＤ ＝槡３ ３ ，ＡＥ⊥ＢＤ。 图２ 　　　 图３ （３） ＣＮ ＣＭ ＝槡３ ３ ，ＣＮ⊥ＣＭ。 证明：如图３，标注各角。 由（２）知，△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ。 ∴∠ＡＥＣ＝∠ＢＤＣ， ＡＥ ＢＤ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ 。 ∵ＢＤ＝ｍ·ＤＭ，ＡＥ＝ｍ·ＮＥ， ∴ ｍ·ＥＮ ｍ·ＤＭ ＝ＣＥ ＣＤ ，即 ＥＮ ＤＭ ＝ＣＥ ＣＤ 。 又∵∠ＮＥＣ＝∠ＭＤＣ，∴△ＮＥＣ∽△ＭＤＣ。 ∴ ＣＮ ＣＭ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ ，∠８＝∠９。 ∵∠９＋∠ＥＣＭ＝９０°， ∴∠８＋∠ＥＣＭ＝９０°，即∠ＮＣＭ＝９０°，∴ＣＮ⊥ＣＭ。 ∴ ＣＮ ＣＭ ＝槡３ ３ ，ＣＮ⊥ＣＭ。 ２４．解：（１）由题意，得Ｃ（０，４）。 ∵Ａ（－１，０），Ｂ（４，０），∴设ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－４）。 ∵过点Ｃ（０，４），∴－４ａ＝４。∴ａ＝－１。 ∴ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４）＝－ｘ２＋３ｘ＋４。 （２）如图１，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ。 设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ。 ∵Ｃ（０，４），Ｂ（４，０）， ∴ ｎ ＝４， ４ｍ＋ｎ＝０。{ 解得 ｍ＝－１，ｎ＝４。{ ∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４。 设Ｄ（ｔ，－ｔ２＋３ｔ＋４），则Ｅ（ｔ，－ｔ＋４）。 ∴ＤＥ＝－ｔ２＋３ｔ＋４－（－ｔ＋４）＝－ｔ２＋４ｔ。 ∵ＯＢ＝ＯＣ，∠ＣＯＢ＝９０°，∴∠ＯＣＢ＝４５°。 ∵ＯＣ∥ＤＦ，∴∠ＤＥＨ＝４５°。 ∴ＤＨ＝ＤＥ·ｓｉｎ４５°＝槡 ２ ２ （－ｔ２＋４ｔ）＝－槡 ２ ２ ｔ２＋槡２２ｔ。 ∵－槡 ２ ２ ＜０，∴当ｔ＝２时， ＤＨ最大＝－ 槡２ ２ ×２２＋槡２２×２＝－槡２２＋槡４２＝槡２２。 此时Ｄ（２，６）。 图１ 　　 图２ （３）如图２，连接ＡＣ。 令ｘ＝２，则ｙ＝－２＋４＝２。∴Ｅ（２，２）。 ∴ＢＥ＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２，ＢＣ＝ ４ ２＋４槡 ２＝槡４２，ＡＢ＝５。 ①若△ＢＥＧ∽△ＢＣＡ，则 ＢＥ ＢＣ ＝ＢＧ ＢＡ ，∴ 槡 ２２ 槡４２ ＝ＢＧ ５ 。 ∴ＢＧ＝ ５ ２ 。∴ＯＧ＝４－ ５ ２ ＝３ ２ 。∴Ｇ１( ３２，０)； ②若△ＢＧＥ∽△ＢＣＡ，则 ＢＧ ＢＣ ＝ＢＥ ＢＡ ，∴ ＢＧ 槡４２ ＝槡２２ ５ 。 ∴ＢＧ＝ １６ ５ 。∴ＯＧ＝４－ １６ ５ ＝４ ５ 。∴Ｇ２( ４５，０)。 综上所述，点Ｇ的坐标为 ( ３２，０)或 ( ４５，０)。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】 槡∵ ５，３．２３２２３２２２３…， π ３ 是无理数， ∴选项Ａ，Ｂ，Ｃ不符合题意。 ∵３槡８＝２，∴选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ既不是中心对称图形，也不是轴对称 图形，故此选项不符合题意；Ｂ是中心对称图形，不 是轴对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ既是中心 对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；Ｄ 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选 项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】由主视图可知这个几何体是上下两个部 分组成且上下两个部分的高度相等，上面是长方 形，可能是圆柱体或长方体；由左视图可知上下两 个部分的宽度相等，且高度相等；由俯视图可知上 面是圆柱体，下面是长方体。综上所述，这个几何 体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度 相等，所以选项Ｂ中的几何体符合题意。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由数轴可得－１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，∴ａ＋１＞０， ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０。∴ ａ＋１－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２＝ ａ＋１－（ｂ－１）＋（ｂ－ａ）＝ａ＋１－ｂ＋１＋ｂ－ａ＝２。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】将０．００００００４用科学记数法表示为４× １０－７。故选Ｄ。                                                                —０６— ６．Ａ　【解析】设 ＤＦ的长为２ｈ，则正六边形的面积为 ３ＡＦ·ｈ，阴影部分的面积为 ＡＦ·ｈ，所以这个点取 在阴影部分的概率是 １ ３ 。故选Ａ。 ７．Ｂ　【解析】∵ＣＣ′∥ＡＢ，∴∠ＡＣＣ′＝∠ＣＡＢ＝６９°。 ∵△ＡＢＣ在平面内绕点 Ａ旋转到△ＡＢ′Ｃ′的位置， ∴∠ＣＡＣ′等于旋转角，ＡＣ＝ＡＣ′。 ∴∠ＡＣＣ′＝∠ＡＣ′Ｃ＝６９°。 ∴∠ＣＡＣ′＝１８０°－∠ＡＣＣ′－∠ＡＣ′Ｃ＝１８０°－２×６９°＝ ４２°。故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＢＦ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＦ，与ＦＡ 的延长线交于点Ｄ，则∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵将△ＡＰＣ绕着点 Ａ逆时针方向旋转 ６０°得到 △ＡＥＦ，∴∠ＰＡＥ＝∠ＣＡＦ＝６０°，ＡＰ＝ＡＥ，ＰＣ＝ＥＦ， ＡＣ＝ＡＦ＝３。∴△ＡＰＥ是等边三角形。∴ＡＥ＝ＰＥ。 ∴ＡＥ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＥ＋ＰＢ＋ＥＦ。 ∵ＰＢ＋ＰＥ＋ＥＦ≥ＢＦ，∴当点 Ｂ，Ｐ，Ｅ，Ｆ在同一条直 线上时，ＰＢ＋ＰＥ＋ＥＦ的最小值为ＢＦ，即ＡＥ＋ＰＢ＋ＰＣ 取得最小值为ＢＦ。 ∵∠ＢＡＣ＝６０°＝∠ＣＡＦ，∴∠ＢＡＤ＝６０°。 ∴∠ＡＢＤ＝３０°。∴ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ＝１，ＢＤ＝槡３ＡＤ＝槡３。 ∴ＤＦ＝ＡＤ＋ＡＦ＝１＋３＝４。 在Ｒｔ△ＢＤＦ中，ＢＦ＝ ＢＤ２＋ＤＦ槡 ２＝槡１９，∴ＡＥ＋ＰＢ ＋ＰＣ的最小值为槡１９。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵图象开口向下，与ｙ轴交于正半轴，对 称轴在ｙ轴右侧，∴ａ＜０，ｃ＞０，－ ｂ ２ａ ＞０。∴ｂ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①错误； ∵对称轴为直线ｘ＝１，图象开口向下， ∴当ｘ＝１时，函数值最大，最大值为ａ＋ｂ＋ｃ。 ∴ｍ为任意实数，∴ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ。 ∴ａ＋ｂ≥ａｍ２＋ｂｍ。故②错误； 由图象，得当ｘ＝－１时，ｙ＜０。 ∴ａ－ｂ＋ｃ＜０。故③正确； ∵－ ｂ ２ａ ＝１，∴ｂ＝－２ａ。∴３ａ＋ｃ＜０。故④正确； ∵ａｘ１ ２＋ｂｘ１ ２＝ａｘ２ ２＋ｂｘ２ ２，ｘ１≠ｘ２， ∴ａｘ１ ２＋ｂｘ１＋ｃ＝ａｘ ２ ２＋ｂｘ２＋ｃ。∴ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝１。 ∴ｘ１＋ｘ２＝２。故⑤正确。故正确的有３个。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】∵等腰直角三角形△ＯＡ１Ａ２的直角边 ＯＡ１在ｘ轴的负半轴上，且 ＯＡ１＝Ａ１Ａ２＝１，以 ＯＡ２ 为直角边作第二个等腰直角三角形△ＯＡ２Ａ３，以 ＯＡ３为直角边作第三个等腰直角三角形△ＯＡ３Ａ４ ……∴ＯＡ１＝１，ＯＡ２＝槡２，ＯＡ３＝（槡２） ２，……，ＯＡ２０２４ ＝（槡２） ２０２３。∵Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，每 ８个一循环，再回 到ｘ轴的负半轴，２０２４＝８×２５３，∴点 Ａ２０２４在第三 象限。∵ＯＡ２０２４＝（槡２） ２０２３，∴点 Ａ２０２４的横坐标为 －槡２ ２ ×（槡２） ２０２３＝－２１０１１。故选Ａ。 １１．－３ｎ（２ｍ＋１）（２ｍ－１）　【解析】－１２ｍ２ｎ＋３ｎ＝－３ｎ （４ｍ２－１）＝－３ｎ（２ｍ＋１）（２ｍ－１）。 １２．４　【解析】由题意，知ａ＋５＝ｂ＋９，故ａ－ｂ＝４。 １３． 槡１６　１０２　【解析】∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＣ＝９０°。 ∵ＡＢ＝１２，ＢＣ＝２０，∴在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＡＣ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２＝ ２０２－１２槡 ２＝１６。 ∵∠ＣＡＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ。∴ＣＤ＝ＢＤ。 ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＤＣ＝９０°。 ∴在Ｒｔ△ＢＣＤ中，设ＢＤ＝ＣＤ＝ｘ，则２ｘ２＝２０２。 解得ｘ＝ 槡１０２。故ＢＤ＝ 槡１０２。 １４．６　【解析】如图，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＢ交 ＡＢ的延长 线于点Ｅ。 设点Ａ的坐标为（ｍ，ｎ）。 ∵ｘ＞０，点Ａ在第一象限， ∴ｍ＞０，ｎ＞０，ｋ＝ｍｎ。 ∵ＡＣ⊥ｘ轴于点Ｃ， ∴ＯＣ＝ｍ，ＡＣ＝ｎ。 ∴ＢＣ＝３ＡＣ＝３ｎ。∴ＡＢ＝ＢＣ＋ＡＣ＝４ｎ。 ∵ＡＣ⊥ｘ轴，ＤＥ⊥ＡＢ，∠ＤＯＣ＝９０°， ∴四边形ＯＤＥＣ是矩形。∴ＤＥ＝ＯＣ＝ｍ。 ∵△ＡＢＤ的面积为１２， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ ＡＢ·ＤＥ＝１２，即 １ ２ ·４ｎ·ｍ＝１２。 ∴ｍｎ＝６。∴ｋ＝ｍｎ＝６。 １５．３　【解析】将分式方程去分母，得ａ（ｘ－１）＋（ｘ＋１） （ｘ－１）＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋１），解得ｘ＝－２ａ－１。 ∵解为负数，∴－２ａ－１＜０。∴ａ＞－ １ ２ 。 ∵当ｘ＝－１时，ａ＝０，此时分式的分母为０， ∴ａ＞－ １ ２ ，且ａ≠０。 将不等式组整理，得 ｘ＜ａ， ｘ≥２。{ ∵不等式组无解，∴ａ≤２。 ∴ａ的取值范围是－ １ ２ ＜ａ≤２，且ａ≠０。 ∴满足条件的整数ａ的值为１，２。 ∴所有满足条件的整数ａ的值之和为３。 １６．９．６　【解析】根据题图２中的曲线，可知当点 Ｐ从 △ＡＢＣ的顶点 Ａ处运动到点 Ｂ，Ｃ处时，题图 １中 的ＡＢ＝ＡＣ＝１０。当点 Ｐ运动到 ＢＣ中点时，此时 ＡＰ⊥ＢＣ。根据题图２，可知 Ｍ是曲线部分的最低 点，所以ＡＰ＝８。根据勾股定理，得 ＢＰ＝ １０２－８槡 ２ ＝６。∴ＢＣ＝２ＢＰ＝１２。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＰ＝ １ ２ ＡＣ·ＢＧ，                                                                —１６— ∴ １ ２ ×１２×８＝ １ ２ ×１０ＢＧ。解得ＢＧ＝９．６。 １７．解：原式＝ ｘ２－１ ｘ（ｘ＋１） －ｘ ２－２ｘ ｘ（ｘ＋１）[ ] ÷ｘ（２ｘ－１）（ｘ＋１）２ ＝ ２ｘ －１ ｘ（ｘ＋１） · （ｘ＋１）２ ｘ（２ｘ－１） ＝ｘ ＋１ ｘ２ 。 ∵ｘ２－７ｘ－７＝０，∴ｘ２＝７ｘ＋７＝７（ｘ＋１）。 ∴原式＝ ｘ＋１ ７（ｘ＋１） ＝１ ７ 。 １８．解：（１）成绩在 ６０≤ｘ＜９０的人数为 １２＋１６＋１０＝ ３８。故答案为３８。 补全频数分布直方图如下： （２）第２５，２６名学生的成绩分别为７７，７８， 所以ｍ＝７７．５。故答案为７７．５。 （３）∵７８大于七年级的中位数，而小于八年级的 中位数，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更 靠前。故答案为甲。 （４）８００× ８ ５０ ＝１２８，即估计七年级竞赛成绩在９０分 及以上的学生人数为１２８。 （５）七年级的２名学生记为 Ａ１，Ａ２，八年级的３名 学生记为Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，画树状图如下： 共有２０种等可能的结果，来自同一年级的有８种， 所以选取的２人来自同一年级的概率为 ８ ２０ ＝２ ５ 。 １９．解：（１）由题意，得∠ＮＡＣ＝８０°，∠ＢＡＳ＝２５°， ∴∠ＣＡＢ＝１８０°－∠ＮＡＣ－∠ＢＡＳ＝７５°。 ∵∠ＡＢＣ＝４５°， ∴∠ＢＣＡ＝１８０°－∠ＣＡＢ－∠ＡＢＣ＝６０°。 ∴行进路线ＢＣ和ＡＣ所在直线的夹角∠ＢＣＡ的度 数为６０°。 （２）如图，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝槡６２ｋｍ，∠ＡＢＣ＝４５°， ∴ＡＤ＝ＢＤ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝槡６２× 槡２ ２ ＝６（ｋｍ）。 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，∠ＡＣＢ＝６０°， ∴ＣＤ＝ ＡＤ ｔａｎ６０° ＝６ 槡３ ＝槡２３（ｋｍ）。 ∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝（６＋槡２３）ｋｍ。 ∴检查点Ｂ和Ｃ之间的距离为（６＋槡２３）ｋｍ。 ２０．解：（１）如图１以 ＡＢ为对角线，如图２以 ＡＤ为对 角线，如图３以ＢＤ为对角线。 图１ 图２ 图３ （２）∵ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝６，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＢＤ＝ＣＤ＝３。∴ＡＤ＝槡３３。 如图１所示，四边形 ＡＣＢＤ是矩形，连接 ＣＤ，则其 对角线ＡＢ和ＣＤ的长都为６； 如图２所示，ＡＤ＝槡３３，连接ＢＣ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＢＤ， 交ＢＤ延长线于点Ｅ，则ＣＥ＝槡３３，ＢＥ＝２ＢＤ＝６。 ∴ＢＣ＝ ＣＥ２＋ＢＥ槡 ２＝槡３７； 如图３所示，ＢＤ＝３，过点Ａ作ＡＦ⊥ＣＢ，交ＣＢ延长 线于点Ｆ，连接ＡＣ，则ＡＦ＝３，ＣＦ＝２ＢＣ＝槡６３。 ∴ＡＣ＝ ＡＦ２＋ＣＦ槡 ２＝ 槡３ １３。 ２１．解：（１）由题意，知当０＜ｘ≤１时，ｙ甲＝２２ｘ， 当ｘ＞１时，ｙ甲＝２２＋１５（ｘ－１）＝１５ｘ＋７， ∴ｙ甲＝ ２２ｘ（０＜ｘ≤１）， １５ｘ＋７（ｘ＞１），{ ｙ乙＝１６ｘ＋３。 （２）ｘ＞１时，令ｙ甲＜ｙ乙，即１５ｘ＋７＜１６ｘ＋３，解得ｘ＞４； 令ｙ甲＝ｙ乙，即１５ｘ＋７＝１６ｘ＋３，解得ｘ＝４； 令ｙ甲＞ｙ乙，即１５ｘ＋７＞１６ｘ＋３，解得１＜ｘ＜４。 综上所述，当１＜ｘ＜４时，选乙快递公司省钱；当ｘ＝ ４时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当 ｘ＞４ 时，选甲快递公司省钱。 ２２．（１）证明：如图，连接ＯＤ，ＢＤ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＢＤＣ＝１８０°－∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵Ｅ是ＢＣ的中点， ∴ＤＥ＝ＢＥ＝ＣＥ。 ∵ＯＢ，ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＯＢ＝ＯＤ。 ∵ＯＥ＝ＯＥ， ∴△ＯＤＥ≌△ＯＢＥ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＥ＝９０°，即ＯＤ⊥ＤＥ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）∵在Ｒｔ△ＢＤＣ中，Ｅ是ＢＣ的中点，                                                                —２６— ∴ＢＣ＝２ＤＥ＝２×５＝１０。 ∴ＢＤ＝ １０２－６槡 ２＝８。 ∵ｃｏｓＣ＝ ６ １０ ＝１０ ＡＣ ，∴ＡＣ＝ ５０ ３ 。 ∴ＡＤ＝ ５０ ３ －６＝ ３２ ３ 。 ∴在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝ ８２＋( ３２３)槡 ２ ＝４０ ３ 。 ∴⊙Ｏ的半径长为 ２０ ３ 。 ２３．（１）证明：①在四边形ＡＤＢＣ中， ∠ＤＡＣ＋∠ＤＢＣ＋∠ＡＤＢ＋∠ＡＣＢ＝３６０°， ∵∠ＡＤＢ＋∠ＡＣＢ＝１８０°， ∴∠ＤＡＣ＋∠ＤＢＣ＝１８０°。 ∵∠ＥＡＣ＋∠ＤＡＣ＝１８０°，∴∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣ。 ∵ＢＤ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＡＣ，∴△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＣＥ，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ。 ∵∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＡ＝９０°，∴∠ＡＣＥ＋∠ＤＣＡ＝９０°。 ∴∠ＤＣＥ＝９０°。∴ＣＤ⊥ＣＥ。 ②∵ＣＤ＝ＣＥ，ＣＤ⊥ＣＥ， ∴△ＣＤＥ是等腰直角三角形。∴ＤＥ＝槡２ＣＤ。 ∵ＤＥ＝ＡＤ＋ＡＥ，ＡＥ＝ＢＤ，∴ＤＥ＝ＡＤ＋ＢＤ。 ∴ＡＤ＋ＢＤ＝槡２ＣＤ。 （２）解：ＡＤ－ＢＤ＝槡２ＣＤ。 理由：如图，在 ＡＤ上截取 ＡＥ＝ ＢＤ，连接ＣＥ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°。 ∵∠ＡＤＢ＝９０°， ∴∠ＣＢＤ＝９０°－∠ＢＡＤ－∠ＡＢＣ＝ ９０°－∠ＢＡＤ－４５°＝４５°－∠ＢＡＤ。 ∵∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝４５°－∠ＢＡＤ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＥ。 ∵ＢＤ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＡＣ， ∴△ＣＢＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＣＥ，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ。 ∵∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＣＤ＋∠ＢＣＥ＝９０°， 即∠ＤＣＥ＝９０°。 ∴ＤＥ＝ ＣＤ２＋ＣＥ槡 ２＝ ２ＣＤ槡 ２＝槡２ＣＤ。 ∵ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝ＡＤ－ＢＤ，∴ＡＤ－ＢＤ＝槡２ＣＤ。 ２４．解：（１）在Ｒｔ△ＢＯＣ中，∵ｔａｎ∠ＣＢＯ＝ ＯＢ ＯＣ ＝３， ∴ＯＣ＝３ＯＢ。 ∴ＯＢ２＋（３ＯＢ）２＝（槡１０） ２。 ∴ＯＢ＝１，ＯＢ＝－１（舍）。 ∴Ｂ（１，０），Ｃ（０，－３）。 将Ｂ，Ｃ两点坐标代入ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得 １＋ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝－３，{ ∴ ｂ＝２，ｃ＝－３。{ ∴抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３。 （２）如图１，过点Ｐ作ＰＱ∥ｙ轴，交ＡＣ于点Ｑ。 图１ 令ｙ＝０，得ｘ２＋２ｘ－３＝０。∴ｘ１＝－３，ｘ２＝１。 ∴Ａ（－３，０）。 设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 将Ａ，Ｃ两点坐标代入，得 －３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝－３，{ ∴ ｍ＝－１，ｎ＝－３。{ ∴直线ＡＣ的表达式为ｙ＝－ｘ－３。 设Ｐ（ｔ，ｔ２＋２ｔ－３），则Ｑ（ｔ，－ｔ－３）。 ∴ＰＱ＝ｙＱ－ｙｐ＝－ｔ－３－（ｔ ２＋２ｔ－３）＝－ｔ２－３ｔ。 ∵ＰＱ∥ＯＣ，∴∠ＱＰＭ＝∠ＣＯＭ，∠ＰＱＭ＝∠ＯＣＭ。 ∴△ＰＭＱ∽△ＯＭＣ。 ∴ ＰＭ ＯＭ ＝ＰＱ ＯＣ ＝ －ｔ２－３ｔ ３ ＝－１ ３ ｔ２－ｔ。 ∵－ １ ３ ＜０， ∴当ｔ＝－ －１ ２×(－１３) ＝－３ ２ 时， ＰＭ ＯＭ 取最大值 ０－１ ４×(－１３) ＝３ ４ 。 （３）如图２，标注∠１，∠２，∠３。 图２ 设Ｅ（ｋ，ｋ２＋２ｋ－３）。 ∵四边形ＡＣＥＦ是矩形， ∴点Ｅ在点Ｃ下方，∠ＥＣＡ＝９０°。 ∴∠１＋∠２＝９０°，∠２＋∠３＝９０°。 ∴∠１＝∠３。 ∴ｔａｎ∠１＝ｔａｎ∠３。 ∴ －ｋ －３－（ｋ２＋２ｋ－３） ＝３ ３ ＝１。 ∴ｋ１＝－１，ｋ２＝０（舍）。∴Ｅ（－１，－４）。 设Ｆ（ｘＦ，ｙＦ）， 则 －１＋（－３）＝０＋ｘＦ， ０＋（－４）＝ｙＦ＋（－３）。{ ∴ ｘＦ＝－４， ｙＦ＝－１。{ ∴Ｆ（－４，－１）。                                                                —３６—