17 2025年学业水平考试预测模拟卷(一)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ９７— — ９８— — ９９— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列各数是无理数的是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．１．１０１００１０００１ Ｂ． ２２ ７ Ｃ．ｔａｎ６０° Ｄ．３－槡 ２７ ２．若｜２０２４－ｘ｜＝ｘ－２０２４，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＝２０２４ Ｂ．ｘ≥２０２４ Ｃ．ｘ≤－２０２４ Ｄ．ｘ≤２０２４ ３．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创 作的艺术。民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案。下列 剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．如图是一个正方体，被切去一角，则其主视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．下列运算正确的是 （　　） Ａ．（２ａ３ｂ）３＝６ａ３ｂ３ Ｂ．ａ５·ａ３＝ａ８ Ｃ．（ａ２）３＝ａ５ Ｄ．ａ１０÷ａ５＝ａ２ ６．将不等式组 ｘ－３（２ｘ－１）≥８， －２ｘ＋１＜７{ 的解集表示在同一条数轴上，正确的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ７．表格记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（ｃｍ） １８８ １８１ １８８ １８１ 方差 ３．９ ３．９ ２．３ ８．１ 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （　　） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ８．为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会。班会上，他设计了一个如图所示的飞镖靶盘， 靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为１５ｃｍ，大圆半径为３０ｃｍ，每个扇形的圆心角为６０度。如果用 飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖１次（击中边界或没有击中靶盘，则重 投１次），投中“送一本书”的概率是 （　　） Ａ． １ ８ Ｂ． １ １０ Ｃ． １ ６ Ｄ． １ １２ 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．已知经过点（－１，０）且对称轴为直线 ｘ＝１的二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，有以下结论： ①ａｂｃ＜０；②ａ－ｂ＋ｃ＜０；③４ａ＋２ｂ＋ｃ＜０；④２ａ＋ｂ＝０；⑤－ａ＋ｃ＞０；⑥ａｍ２＋ｂｍ－ｂ＜ａ。其中正确结论有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 １０．如图，∠ＭＯＮ＝３０°，点 Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４……在射线 ＯＮ上，点 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３……在射线 ＯＭ上，△Ａ１Ｂ１Ａ２， △Ａ２Ｂ２Ａ３，△Ａ３Ｂ３Ａ４……均是等边三角形，依此类推，若ＯＡ１＝１，则△Ａ２０２４Ｂ２０２４Ａ２０２５的边长为（　　） Ａ．２２０２３ Ｂ．２０２３ Ｃ．２２０２４ Ｄ．２０２４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化 发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到５２３０万人，处于高等教育普 及化阶段。５２３０万用科学记数法表示为 。 １２．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＡＥ＝ ８６°，∠Ｅ＝３５°，则∠ＤＣＥ的度数为 。 　 第１２题图 　　　 第１３题图 　　　 第１５题图 １３．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的。弧三角形是这样 画：先画正三角形ＡＢＣ，然后分别以点Ａ，Ｂ，Ｃ为圆心，ＡＢ长为半径画弧。若一个弧三角形的周长为 ４π，则此弧三角形的面积为 。 １４．利用计算器求值时，小明记按键顺序为（ ｃｏｓ３０） ｙｘ － ２ ＝的显示结果为ａ，－ ６ｘ２ ａｂ／ｃ ３ ＝的显示结果为ｂ，则ｂ与ａ的商为 。 １５．如图，已知Ａ是双曲线ｙ＝ ６ ｘ 在第一象限上的一动点，连接ＡＯ并延长交另一分支于点Ｂ，以ＡＢ为边 作等边三角形ＡＢＣ，点Ｃ在第四象限，已知点Ｃ的位置始终在一函数图象上运动，则这个函数表达 式为 。 １６．如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，ＡＣ＝４，Ｐ是线段ＡＢ上的动点，以每秒１个单位长度的速度从点 Ａ向点Ｂ移动，到达点Ｂ时停止。过点Ｐ作ＰＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，作ＰＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，连接ＭＮ，线段ＭＮ 的长度 ｙ与点 Ｐ的运动时间 ｔ（秒）的函数关系如图 ２所示，则函数图象最低点 Ｅ的坐标 为 。 图１ 　　　 图２ 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：( ３ｘ－１－ｘ－１)÷ ｘ２－４ｘ＋４ ｘ－１ ＋１，其中ｘ＝槡９＋｜－２｜－( １２) －１ 。 １８．（７分）为了让同学们了解自己的体育水平，初二（１）班的体育老师对全班４５名学生进行了一次体 育模拟测试，成绩满分为１０分（得分均为整数），（１）班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计 图和分析表如下： 初二（１）班全体女生体育模 拟测试成绩扇形统计图 　 初二（１）班全体男生体育模 拟测试成绩条形统计图 初二（１）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 ７．９ １．９９ ８ ７ 女生 ７．９２ １．９９３６ ８ ８ 根据以上信息，解答下列问题： （１）这个班共有男生　　　　人，共有女生　　　　人； （２）你认为在这次体育测试中，（１）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由；（至少 从两个不同的角度说明推断的合理性） （３）若（１）班恰有３名女生和１名男生在体育测试中表现优异，预计从这４名学生中随机选取２名 学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的２名学生恰好为１名男生、１名女生的概率。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １００— — １０１— — １０２— １９．（８分）如图，一艘轮船在Ａ处测得灯塔Ｍ位于Ａ的北偏东３０°方向上，轮船沿着正北方向航行６０海 里到达Ｂ处，测得灯塔Ｍ位于Ｂ的北偏东６０°方向上，测得港口Ｃ位于Ｂ的北偏东４５°方向上。已 知港口Ｃ在灯塔Ｍ的正北方向上，求港口Ｃ与灯塔Ｍ的距离（结果保留根号）。 ２０．（８分）如图，ＢＤ是矩形ＡＢＣＤ的对角线。 （１）作线段ＢＤ的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （２）设ＢＤ的垂直平分线交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ，连接ＢＥ，ＤＦ。 ①判断四边形ＢＥＤＦ的形状，并说明理由； ②若ＡＢ＝４，ＢＣ＝１６，求四边形ＢＥＤＦ的周长。 ２１．（９分）随着时代的发展，“直播”已经成为当前的新潮流。某企业计划购买 Ａ，Ｂ两种型号直播设 备。已知Ａ型设备价格是Ｂ型设备价格的１．２倍，用２４００元购买Ａ型设备的数量比用１５００元购 买Ｂ型设备的数量多５台。 （１）求Ａ，Ｂ型设备单价分别为多少元？ （２）如果该企业计划购买两种设备共６０台，要求 Ａ型设备数量不少于 Ｂ型设备数量的一半，设购 买Ａ型设备ａ台，购买总费用为ｗ元，求ｗ与ａ的函数关系式，并求出最少购买费用。 ２２．（１０分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｄ，Ｅ是⊙Ｏ上的两点，延长ＡＢ至点Ｃ，连接ＣＤ，∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＤ。 （１）求证：△ＡＣＤ∽△ＤＣＢ； （２）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （３）若ｔａｎＥ＝ ３ ５ ，ＡＣ＝２０，求⊙Ｏ的半径。 ２３．（１１分）【初步感知】 （１）如图１，△ＡＢＣ和△ＤＥＣ均是等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，请探究ＡＥ与ＢＤ之间的关 系： ； 【深入探究】 （２）如图２，△ＡＢＣ和△ＤＥＣ均是直角三角形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝３０°，请探索ＡＥ 与ＢＤ的关系，并证明； 【拓展提升】 （３）如图３，在（２）的条件下，分别在ＢＤ，ＡＥ上取点Ｍ，Ｎ，使得ＢＤ＝ｍ·ＤＭ，ＡＥ＝ｍ·ＥＮ，试探索ＣＮ 与ＣＭ的关系，并证明。 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ ２４．（１３分）如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４与ｘ轴交于Ａ（－１，０），Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ。 （１）求抛物线的表达式； （２）Ｄ是直线ＢＣ上方抛物线的一个动点（与点Ｃ，Ｂ不重合），过点Ｄ作ＤＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，交直线ＢＣ 于点Ｅ，求点Ｄ到ＢＣ的最大距离并直接写出此时点Ｄ的坐标； （３）在（２）条件下的点Ｅ，若Ｇ是ｘ轴上一点，△ＥＢＧ与△ＡＢＣ相似，求符合条件的所有点Ｇ的坐标。 　　　 备用图 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２＝ ６２－３槡 ２＝槡３３。 由（２）知，△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ＣＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＡＢ ＝８ ６ ＝４ ３ 。 ∴ＣＥ＝ ４ ３ ＢＤ＝槡４３。 ∵∠ＤＡＥ＝９０°， ∴四边形ＡＤＦＥ是矩形。∴ＥＦ＝ＡＤ＝３。 ∴ＣＦ＝ＣＥ－ＥＦ＝槡４３－３。 ２４．解：（１）设抛物线的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ－３）（ｘ＋１）＝ ａ（ｘ２－２ｘ－３）＝ａｘ２－２ａｘ－３ａ， ∴－２ａ＝－ ４ ３ 。解得ａ＝ ２ ３ 。 ∴抛物线的解析式为ｙ＝ ２ ３ ｘ２－ ４ ３ ｘ－２。 （２）∵ｙ＝ ２ ３ ｘ２－ ４ ３ ｘ－２，当ｘ＝０时，ｙ＝－２， ∴Ｃ（０，－２）。 ∵∠ＢＡＰ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ＝９０°，ＯＡ＝ＯＡ， ∴△ＡＯＤ≌△ＡＯＣ（ＡＳＡ）。∴ＯＣ＝ＯＤ＝２。∴Ｄ（０，２）。 设直线ＡＰ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋２。 将点Ａ（３，０）代入，得０＝３ｋ＋２，解得ｋ＝－ ２ ３ 。 ∴直线ＡＰ的解析式为ｙ＝－ ２ ３ ｘ＋２。 （３）设点Ｍ(ｍ，２３ｍ２－４３ｍ－２)，点Ｎ(ｎ，－２３ｎ＋２)， 由平移，得ＡＣ∥ＭＮ且ＡＣ＝ＭＮ。 ∴四边形ＡＣＮＭ是平行四边形。 ∴ ｍ＋０＝３＋ｎ， －２＋ ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝０－ ２ ３ ｎ＋２，{ 解得ｍ１＝４，ｍ２＝－３。 当ｍ＝４时， ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝ １０ ３ ； 当ｍ＝－３时， ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝８。 ∴点Ｍ的坐标为 (４，１０３)或（－３，８）。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ａ １．Ｃ　【解析】∵ｔａｎ６０°＝槡３， ３－槡 ２７＝－３，∴１．１０１００１０００１， ２２ ７ ， ３－槡 ２７是有理数，ｔａｎ６０°是无理数。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】∵ ２０２４－ｘ＝ｘ－２０２４， ∴２０２４－ｘ≤０，即ｘ≥２０２４。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符合题意；Ｃ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，不符合题意；Ｄ既是轴对称图形，又是中心对 称图形，符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的主视图是 。 故选Ａ。 ５．Ｂ　【解析】Ａ．（２ａ３ｂ）３＝８ａ９ｂ３，故选项错误；Ｂ．ａ５·ａ３ ＝ａ８，故选项正确；Ｃ．（ａ２）３＝ａ６，故选项错误；Ｄ．ａ１０÷ ａ５＝ａ５，故选项错误。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】ｘ －３（２ｘ－１）≥８，① －２ｘ＋１＜７，②{ 解不等式①，得ｘ≤－１。解不等式②，得ｘ＞－３。 所以不等式的解集为－３＜ｘ≤－１。故选Ｄ。 ７．Ｃ　【解析】∵甲和丙的平均数相等且比乙和丁的平 均数大，又∵丙的方差比甲的小，∴应该选丙运动 员参加比赛。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】投中“送一本书”的概率是 ６０° ３６０° × π×３０２－π×１５２ π×３０２ ＝１ ８ 。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口方向向下，与 ｙ轴交于正 半轴，∴ａ＜０，ｃ＞０。 ∵对称轴为直线ｘ＝１， ∴ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１。∴ｂ＝－２ａ＞０。∴ａｂｃ＜０。故①正确； ∵当ｘ＝－１时，ｙ＝０，∴ａ－ｂ＋ｃ＝０。故②错误； ∵当ｘ＝２时，ｙ＞０，∴４ａ＋２ｂ＋ｃ＞０。故③错误； ∵ｂ＝－２ａ，∴２ａ＋ｂ＝０。故④正确； ∵当ｘ＝１时，ｙ＞０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＞０。∴ａ－２ａ＋ｃ＞０。 ∴－ａ＋ｃ＞０。故⑤正确； ∵对称轴为直线ｘ＝１，ａ＜０， ∴当ｘ＝１时，ｙｍａｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ。 ∴ａｍ２＋ｂｍ－ｂ≤ａ。故⑥错误。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】∵△Ａ１Ｂ１Ａ２是等边三角形， ∴∠Ｂ１Ａ１Ａ２＝６０°。 ∵∠ＭＯＮ＝３０°，∴∠Ａ１Ｂ１Ｏ＝３０°。 ∴ＯＡ１＝Ａ１Ｂ１。 ∴ＯＡ２＝２ＯＡ１＝２。 同理可求得 ＯＡｎ＋１＝２ＯＡｎ＝４ＯＡｎ－１＝…＝２ ｎ－１ＯＡ２＝ ２ｎＯＡ１＝２ ｎ。 在△ＯＢｎＡｎ＋１中，∠Ｏ＝３０°，∠ＢｎＡｎ＋１Ｏ＝６０°， ∴∠ＯＢｎＡｎ＋１＝９０°。 ∴ＢｎＡｎ＋１＝ １ ２ ＯＡｎ＋１＝ １ ２ ×２ｎ＝２ｎ－１，即△ＡｎＢｎＡｎ＋１的 边长为２ｎ－１。 ∴△Ａ２０２４Ｂ２０２４Ａ２０２５的边长为２ ２０２４－１＝２２０２３。 １１．５．２３×１０７　【解析】５２３０万＝５２３０００００＝５．２３×１０７。 １２．１２１°　【解析】如图，延长ＤＣ 交ＡＥ于点Ｆ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠Ａ＝∠ＥＦＣ＝８６°。 ∵∠Ｅ＝３５°，                                                                —７５— ∴∠ＤＣＥ＝∠Ｅ＋∠ＥＦＣ＝３５°＋８６°＝１２１°。 １３．８π－槡８３　【解析】∵△ＡＢＣ是正三角形， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°。 ∵一个弧三角形的周长为４π，∴３× ６０π·ＡＢ １８０ ＝４π。 ∴ＡＢ＝４。 ∴此弧三角形的面积 ＝３Ｓ扇形ＢＡＣ－２Ｓ△ＡＢＣ＝３× ６０π×４２ ３６０ －２× １ ２ ×４×（４×槡 ３ ２ ）＝８π－槡８３。 １４．－９　【解析】由计算器知ａ＝（ｃｏｓ３０°）－２＝(槡３２ ) －２ ＝４ ３ ，ｂ＝－ ６２ ３ ＝－１２， 所以ｂ与ａ的商为（－１２）÷ ４ ３ ＝－９。 １５．ｙ＝－ １８ ｘ 　【解析】如图，连 接ＯＣ，过点 Ａ作 ＡＭ⊥ｙ轴 于Ｍ，过点 Ｃ作 ＣＮ⊥ｙ轴 于Ｎ。 ∵双曲线 ｙ＝ ６ ｘ 是中心对 称图形，∴ＯＡ＝ＯＢ。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴ＯＣ⊥ＡＢ，∠ＡＣＯ＝ １ ２ ×６０°＝３０°。 ∴ ＯＡ ＯＣ ＝ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３ 。 ∵∠ＡＯＮ＋∠ＡＯＭ＝９０°，∠ＡＯＮ＋∠ＣＯＮ＝９０°， ∴∠ＡＯＭ＝∠ＣＯＮ。 又∵∠ＡＭＯ＝∠ＣＮＯ＝９０°，∴△ＡＯＭ∽△ＣＯＮ。 ∴ Ｓ△ＡＯＭ Ｓ△ＣＯＮ ＝(ＯＡＯＣ) ２ ＝１ ３ 。 ∵Ｓ△ＡＯＭ＝ ６ ２ ＝３，∴Ｓ△ＣＯＮ＝９。 又∵点 Ｃ在第四象限，∴过点 Ｃ的双曲线表达式 为ｙ＝－ １８ ｘ 。 １６．（３．２，２．４）　【解析】如图，连接ＣＰ。 ∵ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，ＡＣ＝４， ∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝４２＋３２＝５２＝ＡＢ２。 ∴△ＡＢＣ是直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵ＰＭ⊥ＡＣ，ＰＮ⊥ＢＣ， ∴∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝９０°。 ∴∠ＰＭＣ＝∠ＰＮＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴四边形ＣＭＰＮ是矩形。 ∴ＭＮ＝ＣＰ。 当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＣＰ取得最小值，此时ＣＰ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ２．４，ＡＰ＝ ＡＣ２－ＣＰ槡 ２＝３．２。 ∴函数图象最低点Ｅ的坐标为（３．２，２．４）。 １７．解：原式＝ ３－（ｘ２－１） ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ－２）２ ＋１ ＝－（ｘ ＋２）（ｘ－２） ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ－２）２ ＋１ ＝－ｘ ＋２ ｘ－２ ＋１ ＝－４ ｘ－２ 。 由题意，得ｘ＝槡９＋｜－２｜－( １２) －１ ＝３＋２－２＝３， 当ｘ＝３时，原式＝－ ４ ３－２ ＝－４。 １８．解：（１）由条形统计图可知，男生有１＋２＋６＋３＋５＋３ ＝２０（人）， ∴女生有４５－２０＝２５（人）。 故答案为２０，２５。 （２）我认为女生队表现更突出。理由如下： 女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好； 女生队的众数较高，女生队的众数为８，中位数也 为８，而男生队的众数为７低于中位数８，表示女生 队的测试成绩高分较多。 （３）根据题意画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，恰好为一名男生、一名 女生的结果有６种， 所以恰好为一名男生、一名女生的概率是 ６ １２ ＝１ ２ 。 １９．解：如图，分别过点 Ｃ，Ｍ作 ＣＤ⊥ＡＢ，ＭＥ⊥ＡＢ，垂 足分别为Ｄ，Ｅ。 ∵∠ＤＢＭ＝∠Ａ＋∠ＡＭＢ＝６０°，∠Ａ＝３０°， ∴∠ＡＭＢ＝３０°。∴∠Ａ＝∠ＡＭＢ。 ∴ＢＭ＝ＡＢ＝６０海里。 在Ｒｔ△ＥＢＭ中， ∵ｓｉｎ∠ＥＢＭ＝ ＥＭ ＢＭ ， ∴ＥＭ＝ＢＭ·ｓｉｎ∠ＥＢＭ ＝ｓｉｎ６０°×６０ ＝槡３ ２ ×６０ ＝ 槡３０３（海里）。 ∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＭＥ⊥ＡＢ，ＡＢ，ＭＣ都是正北方向， ∴四边形ＤＥＭＣ是矩形。 ∴ＣＤ＝ＥＭ＝ 槡３０３海里，ＤＥ＝ＣＭ。 在Ｒｔ△ＣＤＢ中，∵∠ＤＢＣ＝４５°，                                                                —８５— ∴∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ。∴ＢＤ＝ＣＤ＝ 槡３０３海里。 在Ｒｔ△ＥＭＢ中，ｃｏｓ∠ＥＢＭ＝ ＢＥ ＢＭ ， ∴ＢＥ＝ＢＭ·ｃｏｓ∠ＤＢＭ＝６０×ｃｏｓ６０°＝６０× １ ２ ＝ ３０（海里）。　 ∴ＣＭ＝ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝（ 槡３０３－３０）海里。 答：港口Ｃ与灯塔Ｍ的距离为（ 槡３０３－３０）海里。 ２０．解：（１）如图所示，直线ＭＮ即为所求作。 （２）①四边形ＢＥＤＦ是菱形。理由如下： 如图，∵ＥＦ垂直平分ＢＤ， ∴ＢＥ＝ＤＥ，ＢＦ＝ＤＦ，∠ＤＥＦ＝∠ＢＥＦ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＥＦ＝∠ＢＦＥ。 ∴∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ。∴ＢＥ＝ＢＦ。 ∵ＢＦ＝ＤＦ，∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＤＦ＝ＢＦ。 ∴四边形ＢＥＤＦ是菱形。 ②∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＢＣ＝１６， ∴∠Ａ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝１６。 由①可设ＢＥ＝ＤＥ＝ｘ，则ＡＥ＝１６－ｘ。 ∵ＡＢ＝４，∴ＡＢ２＋ＡＥ２＝ＢＥ２，即４２＋（１６－ｘ）２＝ｘ２， 解得ｘ＝８．５。 ∴四边形ＢＥＤＦ的周长为８．５×４＝３４。 ２１．解：（１）设 Ｂ型设备的单价为 ｘ元，则 Ａ型设备的 单价为１．２ｘ元。 根据题意，得 ２４００ １．２ｘ ＝１５００ ｘ ＋５。解得ｘ＝１００。 经检验，ｘ＝１００是原方程的解，且符合题意。 ∴１．２ｘ＝１．２×１００＝１２０。 答：Ａ型设备的单价为１２０元，Ｂ型设备的单价为 １００元。 （２）根据题意，得ａ≥ １ ２ （６０－ａ）。解得ａ≥２０。 ｗ＝１２０ａ＋１００（６０－ａ）＝２０ａ＋６０００。 ∵２０＞０， ∴ｗ随ａ的增大而增大。 ∴当ａ＝２０时，ｗ取最小值， ｗ最小＝２０×２０＋６０００＝６４００。 ∴ｗ与ａ的函数关系式为ｗ＝２０ａ＋６０００，最少购买 费用为６４００元。 ２２．（１）证明：∵∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＤ，∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＤ， ∴△ＡＣＤ∽△ＤＣＢ。 （２）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°。 ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＯＤＢ。 ∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＢＤＣ＋∠ＯＤＢ＝９０°。 ∴∠ＯＤＣ＝９０°。∴ＯＤ⊥ＣＤ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线。 （３）解：∵∠ＡＤＢ＝９０°，ｔａｎ∠ＢＥＤ＝ ３ ５ ， ∴ｔａｎ∠ＢＡＤ＝ ＢＤ ＡＤ ＝３ ５ 。 ∵△ＡＣＤ∽△ＤＣＢ，∴ ＣＤ ＡＣ ＝ＢＣ ＣＤ ＝ＢＤ ＡＤ ＝３ ５ 。 ∵ＡＣ＝２０，∴ ＣＤ ２０ ＝３ ５ 。∴ＣＤ＝１２。 ∴ ＢＣ １２ ＝３ ５ 。∴ＢＣ＝ ３６ ５ 。 ∴ＡＢ＝ＡＣ－ＢＣ＝２０－ ３６ ５ ＝６４ ５ 。 ∴⊙Ｏ的半径为 ３２ ５ 。 ２３．解：（１）∵∠ＢＣＤ＋∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ＝９０°， ∴∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ。 在△ＡＣＥ和△ＢＣＤ中， ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ， ＣＥ＝ＣＤ，{ ∴△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＥ＝ＢＤ，∠ＣＡＥ＝∠ＣＢＤ。 如图１，延长ＡＥ交ＢＤ于点Ｇ。 图１ ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°。 在△ＡＢＧ中，∠ＡＢＧ＋∠ＢＡＧ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＧ＋ ∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°。 ∴∠ＡＧＢ＝９０°。∴ＡＧ⊥ＢＤ，即ＡＥ⊥ＢＤ。 故答案为ＡＥ＝ＢＤ，ＡＥ⊥ＢＤ。 （２） ＡＥ ＢＤ ＝槡３ ３ ，ＡＥ⊥ＢＤ。 证明：如图２，延长ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，标注各角。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ－∠１＝∠ＤＣＥ－∠１。∴∠２＝∠３。 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠ＡＢＣ＝３０°， ∴ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＢＣ ＝槡３ ３ 。 在Ｒｔ△ＥＤＣ中，∠ＥＤＣ＝３０°， ∴ｔａｎ∠ＥＤＣ＝ ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ 。                                                                —９５— ∴ ＡＣ ＢＣ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ 。 又∵∠２＝∠３，∴△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ。 ∴ ＡＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＢＣ ＝槡３ ３ ，∠４＝∠５。 又∵∠６＝∠７，∴∠５＋∠６＝∠４＋∠７＝９０°。 ∴∠ＢＦＥ＝９０°。∴ＡＦ⊥ＢＤ。 ∴ ＡＥ ＢＤ ＝槡３ ３ ，ＡＥ⊥ＢＤ。 图２ 　　　 图３ （３） ＣＮ ＣＭ ＝槡３ ３ ，ＣＮ⊥ＣＭ。 证明：如图３，标注各角。 由（２）知，△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ。 ∴∠ＡＥＣ＝∠ＢＤＣ， ＡＥ ＢＤ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ 。 ∵ＢＤ＝ｍ·ＤＭ，ＡＥ＝ｍ·ＮＥ， ∴ ｍ·ＥＮ ｍ·ＤＭ ＝ＣＥ ＣＤ ，即 ＥＮ ＤＭ ＝ＣＥ ＣＤ 。 又∵∠ＮＥＣ＝∠ＭＤＣ，∴△ＮＥＣ∽△ＭＤＣ。 ∴ ＣＮ ＣＭ ＝ＣＥ ＣＤ ＝槡３ ３ ，∠８＝∠９。 ∵∠９＋∠ＥＣＭ＝９０°， ∴∠８＋∠ＥＣＭ＝９０°，即∠ＮＣＭ＝９０°，∴ＣＮ⊥ＣＭ。 ∴ ＣＮ ＣＭ ＝槡３ ３ ，ＣＮ⊥ＣＭ。 ２４．解：（１）由题意，得Ｃ（０，４）。 ∵Ａ（－１，０），Ｂ（４，０），∴设ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－４）。 ∵过点Ｃ（０，４），∴－４ａ＝４。∴ａ＝－１。 ∴ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４）＝－ｘ２＋３ｘ＋４。 （２）如图１，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ。 设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ。 ∵Ｃ（０，４），Ｂ（４，０）， ∴ ｎ ＝４， ４ｍ＋ｎ＝０。{ 解得 ｍ＝－１，ｎ＝４。{ ∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４。 设Ｄ（ｔ，－ｔ２＋３ｔ＋４），则Ｅ（ｔ，－ｔ＋４）。 ∴ＤＥ＝－ｔ２＋３ｔ＋４－（－ｔ＋４）＝－ｔ２＋４ｔ。 ∵ＯＢ＝ＯＣ，∠ＣＯＢ＝９０°，∴∠ＯＣＢ＝４５°。 ∵ＯＣ∥ＤＦ，∴∠ＤＥＨ＝４５°。 ∴ＤＨ＝ＤＥ·ｓｉｎ４５°＝槡 ２ ２ （－ｔ２＋４ｔ）＝－槡 ２ ２ ｔ２＋槡２２ｔ。 ∵－槡 ２ ２ ＜０，∴当ｔ＝２时， ＤＨ最大＝－ 槡２ ２ ×２２＋槡２２×２＝－槡２２＋槡４２＝槡２２。 此时Ｄ（２，６）。 图１ 　　 图２ （３）如图２，连接ＡＣ。 令ｘ＝２，则ｙ＝－２＋４＝２。∴Ｅ（２，２）。 ∴ＢＥ＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２，ＢＣ＝ ４ ２＋４槡 ２＝槡４２，ＡＢ＝５。 ①若△ＢＥＧ∽△ＢＣＡ，则 ＢＥ ＢＣ ＝ＢＧ ＢＡ ，∴ 槡 ２２ 槡４２ ＝ＢＧ ５ 。 ∴ＢＧ＝ ５ ２ 。∴ＯＧ＝４－ ５ ２ ＝３ ２ 。∴Ｇ１( ３２，０)； ②若△ＢＧＥ∽△ＢＣＡ，则 ＢＧ ＢＣ ＝ＢＥ ＢＡ ，∴ ＢＧ 槡４２ ＝槡２２ ５ 。 ∴ＢＧ＝ １６ ５ 。∴ＯＧ＝４－ １６ ５ ＝４ ５ 。∴Ｇ２( ４５，０)。 综上所述，点Ｇ的坐标为 ( ３２，０)或 ( ４５，０)。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】 槡∵ ５，３．２３２２３２２２３…， π ３ 是无理数， ∴选项Ａ，Ｂ，Ｃ不符合题意。 ∵３槡８＝２，∴选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ既不是中心对称图形，也不是轴对称 图形，故此选项不符合题意；Ｂ是中心对称图形，不 是轴对称图形，故此选项不符合题意；Ｃ既是中心 对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；Ｄ 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选 项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】由主视图可知这个几何体是上下两个部 分组成且上下两个部分的高度相等，上面是长方 形，可能是圆柱体或长方体；由左视图可知上下两 个部分的宽度相等，且高度相等；由俯视图可知上 面是圆柱体，下面是长方体。综上所述，这个几何 体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度 相等，所以选项Ｂ中的几何体符合题意。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】由数轴可得－１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，∴ａ＋１＞０， ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０。∴ ａ＋１－ （ｂ－１）槡 ２＋ （ａ－ｂ）槡 ２＝ ａ＋１－（ｂ－１）＋（ｂ－ａ）＝ａ＋１－ｂ＋１＋ｂ－ａ＝２。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】将０．００００００４用科学记数法表示为４× １０－７。故选Ｄ。                                                                —０６—