15 2023年龙口市九年级模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ８５— — ８６— — ８７— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 １．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记 数工具）正放表示正数，斜放表示负数。如图，根据刘徽的这种表示法，图 １可列式计算为（＋１）＋ （－１）＝０，由此可推算图２中计算所得的结果为 （　　） Ａ．＋１ Ｂ．＋７ Ｃ．－１ Ｄ．－７ 图１ 　　 图２ 第１题图 　　 第７题图 　　 第８题图 ２．下列运算正确的是 （　　） Ａ．２ａ２·ａ＝２ａ３ Ｂ．（ａ＋１）２＝ａ２＋１ Ｃ．ａ２÷２ａ＝２ａ Ｄ．（２ａ２）３＝６ａ６ ３．下列交通标志是轴对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心。据统计，中国 每年浪费的食物总量折合粮食约５００亿千克，这个数据用科学记数法表示为 （　　） Ａ．５×１０１０千克 Ｂ．５０×１０９千克 Ｃ．５×１０９千克 Ｄ．０．５×１０１１千克 ５．实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ａ＋ｃ＝０，那么下列结 论正确的是 （　　） Ａ．ｂ＜０ Ｂ．ａ＜－ｂ Ｃ．ａｂ＞０ Ｄ．ｂ－ｃ＞０ ６．下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是 （　　） 年龄 １３ １４ １５ １６ 频数 ５ ７ １３ ■ Ａ．中位数是１４ Ｂ．中位数可能是１４．５ Ｃ．中位数是１５或１５．５ Ｄ．中位数可能是１６ ７．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验。如图所示，在轻 质木杆Ｏ处用一根细线悬挂，左端Ａ处挂一重物，右端Ｂ处挂钩码，每个钩码质量为５０ｇ。若 ＯＡ＝ ２０ｃｍ，ＯＢ＝４０ｃｍ，挂３个钩码可使轻质木杆水平位置平衡。设重物的质量为ｘｇ，根据题意列方程为 （　　） Ａ．２０ｘ＝４０×５０×３ Ｂ．４０ｘ＝２０×５０×３ Ｃ．３×２０ｘ＝４０×５０ Ｄ．３×４０ｘ＝２０×５０ ８．如图所示，电路图上有Ａ，Ｂ，Ｃ三个开关和一个小灯泡，闭合开关Ｃ或者同时闭合开关 Ａ，Ｂ，都可使 小灯泡发光。现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 （　　） Ａ． １ ４ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ． １ ２ ９．运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是 （　　） Ａ．计算槡５的按键顺序依次为 槡　 ５ ＝ Ｂ．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是 ＯＮ／Ｃ ＭＯＤＥ ２ Ｃ．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键２ｎｄＦ ＣＡ Ｄ．用计算器计算时，依次按如下各键 ｓｉｎ （ ７ ５ － １ ５ ） ＝ ，最后 显示的结果是０．５ １０．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的ｘ与ｙ的部分对应值如下表所示。 ｘ … －１ ０ １ ２ … ｙ … ０ －１．５ －２ －１．５ … 根据表格中的信息，得到了如下的结论： ①二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ可改写为ｙ＝ａ（ｘ－１）２－２的形式； ②二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象开口向下； ③关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋１．５＝０的两个根为０或２； ④若ｙ＞０，则ｘ＞３。 其中所有正确的结论为 （　　） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．②④ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．因式分解：４ｍ２ｎ－４ｎ３＝ 。 １２．已知反比例函数ｙ＝ ｍ－１ ｘ 的图象的一个分支位于第三象限，则ｍ的取值范围是 。 １３．对于实数ａ，ｂ定义新运算：ａ※ｂ＝ａｂ２－ｂ，若关于ｘ的方程１※ｘ＝ｋ有两个不相等的实数根，则ｋ的取 值范围是 。 １４．如图，由边长为１的小正方形构成的网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，以ＡＢ为直径的圆经过点Ｃ，Ｄ， 则ｃｏｓ∠ＡＤＣ的值为 。 第１４题图 　　　　　 第１５题图 １５．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，点 Ｅ在 ＡＢ的延长线上，Ｆ是 ＤＥ的中点，连接 ＣＦ，若 ＢＥ＝１０，则ＣＦ的长为 。 １６．国际象棋的棋盘上共有６４个小方格，假设在棋盘上摆米，第１格放１粒米，第２格放２粒米，第３格放 ４粒米，然后是８粒，１６粒，３２粒，……一直到第６４格，故棋盘上可摆的米粒总数Ｓ＝１＋２＋４＋８＋１６＋ ３２＋…＋２６３，则Ｓ的个位数字为 。 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：(ｘ－２ｘｙ－ｙ ２ ｘ )÷ ｘ２－ｙ２ ｘ２＋ｘｙ ，其中ｘ＝ｔａｎ２６０°＋１，ｙ＝ｔａｎ４５°－２ｃｏｓ３０°。 １８．（６分）如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＡＤ的延长线上，且ＢＥ＝ＤＦ，连接 ＣＥ，ＣＦ。 求证：ＣＥ＝ＣＦ。 １９．（８分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木 工、编织”五大类劳动课程。为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名 学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。 （１）本次随机调查的学生人数为 ； （２）补全条形统计图； （３）若该校七年级共有８００名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （４）七年级（１）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活 动，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率。 　 １５２０２３年龙口市九年级模拟试题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ８８— — ８９— — ９０— ２０．（８分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图。身高 １．６米的小聪做了如下实验：当他在地面Ｍ处时，“测温门”开始显示额头温度，此时在额头Ｂ处测 得Ａ处的仰角为３０°；当他在地面Ｎ处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头Ｃ处测得Ａ处 的仰角为５８°。如果测温门顶部Ａ处距地面的高度ＡＤ为２．８米，求小聪在有效测温区间ＭＮ的长 度约为多少米？（保留两位小数。注：额头到地面的距离以身高计，ｓｉｎ５８°≈０．８５，ｃｏｓ５８°≈０．５３， ｔａｎ５８°≈１．６０，槡３≈１．７３） ２１．（８分）为加快产品生产的效率，某工厂将使用Ａ，Ｂ两种型号机器生产产品，已知 Ａ型机器比 Ｂ型 机器每小时多生产１０千克，且Ａ型机器生产６００千克所用时间与Ｂ型机器生产５００千克所用时间 相等。 （１）求这两种机器每小时分别生产多少千克产品？ （２）该工厂为了在每小时以内至少完成１０００千克产品生产的任务量，决定使用Ａ，Ｂ两种型号机器 共１８台，并且同时开始生产产品，那么至少需要Ａ型号机器多少台？ ２２．（１０分）如图，ＤＰ是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点，弦 ＡＢ∥ＤＰ，连接 ＢＯ并延长，与⊙Ｏ交于点 Ｃ，与直线 ＤＰ交于点Ｅ，连接ＡＣ并延长，与直线ＤＰ交于点Ｆ，连接ＯＤ。 （１）求证：ＡＦ∥ＯＤ； （２）若ＯＤ＝５，ＡＢ＝８，求线段ＥＦ的长。 ２３．（１２分）将正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ绕点Ｂ逆时针旋转至ＢＥ，旋转角记为α，过点Ａ作ＡＦ垂直于直线 ＣＥ，垂足为Ｆ，连接ＡＥ，ＤＦ。 （１）如图１，当α＝４０°时，请判断△ＡＥＦ的形状；（不用写出证明过程） （２）如图２，当９０°＜α＜１８０°时，（１）中的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程，并求出 ＣＥ ＤＦ 的值；如果不成立，请说明理由。 图１ 　 图２ ２４．（１４分）如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ＋３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，点Ａ的坐标为（－１，０）。 （１）求抛物线的解析式； （２）Ｐ是抛物线对称轴ｌ上的一个动点，求ＰＡ＋ＰＣ的最小值； （３）设Ｆ是抛物线上一点，其横坐标为－２，在抛物线上是否存在一点 Ｍ，使得 ＡＭ被直线 ＢＦ平分？ 若存在，请求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由。 　 备用图 ∴点Ｐ的坐标为 (－３，－７２)； 图３ 　 图４ 如图４所示，当ＢＣ为平行四边形 ＢＰＣＱ的对角线 时， １＋ｎ ２ ＝４ ＋０ ２ ，解得ｎ＝３。 ∴点Ｐ的坐标为 (３，５２)。 综上所述，点Ｐ的坐标为 (５，－７２)或 (－３，－７２ ) 或 (３，５２)。 １５２０２３年龙口市九年级模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ １．Ｃ　【解析】由题意，得（＋３）＋（－４）＝－１。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】Ａ．２ａ２·ａ＝２ａ３，本选项符合题意； Ｂ．（ａ＋１）２＝ａ２＋２ａ＋１≠ａ２＋１，本选项不符合题意； Ｃ．ａ２÷２ａ＝ １ ２ ａ≠２ａ，本选项不符合题意； Ｄ．（２ａ２）３＝８ａ６≠６ａ６，本选项不符合题意。故选Ａ。 ３．Ａ　【解析】Ａ是轴对称图形，本选项符合题意；Ｂ不 是轴对称图形，本选项不符合题意；Ｃ不是轴对称 图形，本选项不符合题意；Ｄ不是轴对称图形，本选 项不符合题意。故选Ａ。 ４．Ａ　【解析】５００亿千克＝５００００００００００千克＝５× １０１０千克。故选Ａ。 ５．Ｂ　【解析】∵ａ＋ｃ＝０，∴ａ，ｃ互为相反数。 ∴原点在ａ，ｃ中间，ｂ＞０。 ∴Ａ选项不符合题意； ∵ｂ在原点右侧，∴－ｂ在原点左侧。 ∵｜ｃ｜＞｜ｂ｜，∴｜ａ｜＞｜－ｂ｜。∴ａ＜－ｂ。 ∴Ｂ选项符合题意； ∵ａ＜０，ｂ＞０，∴ａｂ＜０。 ∴Ｃ选项不符合题意； ∵ｃ＞ｂ，∴ｂ－ｃ＜０。∴Ｄ选项不符合题意。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】５＋７＋１３＝２５， 由列表可知人数大于２５， 则中位数是１５或（１５＋１６）÷２＝１５．５或１６。故选Ｄ。 ７．Ａ　【解析】由题意，得２０ｘ＝４０×５０×３。故选Ａ。 ８．Ｂ　【解析】∵闭合开关 Ｃ或者同时闭合开关 Ａ，Ｂ， 都可使小灯泡发光， ∴任意闭合其中一个开关共有３种等可能的结果， 而只有选择闭合开关Ｃ小灯泡才会发光。 ∴小灯泡发光的概率为 １ ３ 。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】Ａ．计算的按键顺序正确，本选项不符合 题意；Ｂ．要打开计算器并启动其统计计算功能应按 的键正确，本选项不符合题意；Ｃ．启动计算器的统 计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 ２ｎｄＦ ＣＡ ，本选项不符合题意；Ｄ．用计算器计算时，依次 按如下各键 ｓｉｎ （ ７ ５ － １ ５ ） ＝ ，最后显示的结果是 ０．８６６０２５４０３，不是０．５，本选项符合题意。故选Ｄ。 １０．Ｃ　【解析】∵该函数的图象经过（０，－１．５），（２，－１．５）， ∴该函数图象的对称轴为直线ｘ＝ ２＋０ ２ ＝１。 ∴该函数图象的顶点坐标为（１，－２），有最小值，开 口向上。 ∴二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ可改写为 ｙ＝ａ（ｘ－１）２－２ 的形式。故选项①正确，选项②错误； ∵该函数的图象经过（０，－１．５），（２，－１．５）， ∴关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－１．５， 即ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋１．５＝０的两个根为０或２。 故选项③正确； ∵该函数的图象经过（－１，０），关于对称轴ｘ＝１的 对称点为（３，０），且开口向上， ∴若ｙ＞０，则ｘ＞３或ｘ＜－１。故选项④错误。 综上，正确的结论为①③。故选Ｃ。 １１．４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）　【解析】４ｍ２ｎ－４ｎ３＝４ｎ（ｍ２－ｎ２） ＝４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）。 １２．ｍ＞１　【解析】∵反比例函数 ｙ＝ ｍ－１ ｘ 的图象的一 个分支位于第三象限，∴ｍ－１＞０。解得ｍ＞１。 １３．ｋ＞－ １ ４ 　【解析】∵ａ※ｂ＝ａｂ２－ｂ， ∴１※ｘ＝ｘ２－ｘ＝ｋ。 整理，得ｘ２－ｘ－ｋ＝０， ∴Δ＝（－１）２－４×１×（－ｋ）＝１＋４ｋ＞０， 解得ｋ＞－ １ ４ 。 １４．槡 ３ １３ １３ 　【解析】如图，连接ＡＣ，ＢＣ。 ∵ＡＣ) ＝ＡＣ) ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。                                                                —１５— ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ２２＋３槡 ２＝槡１３。 ∴ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ ３ 槡１３ ＝ 槡３ １３ １３ 。 １５．３　【解析】如图，延长ＢＣ至点 Ｇ，使 ＢＧ＝ＢＥ＝１０， 连接ＥＧ，延长ＤＣ交ＥＧ于点Ｈ。 ∵在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°， ∴∠ＧＢＥ＝∠Ａ＝６０°。 ∵ＢＥ＝ＢＧ， ∴△ＧＢＥ是等边三角形。 ∴ＢＧ＝ＢＥ＝ＥＧ＝１０。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ＝６，ＣＧ＝ＢＧ－ＢＣ＝４，∠ＤＣＢ ＝∠Ａ＝∠ＧＣＨ＝∠Ｇ＝６０°。 ∴△ＧＣＨ是等边三角形。 ∴ＣＨ＝ＧＨ＝ＣＧ＝ＣＤ＝４。 ∴ＥＨ＝ＥＧ－ＧＨ＝６。 ∵Ｆ是ＤＥ的中点， ∴ＣＦ是△ＤＥＨ的中位线。 ∴ＣＦ＝ １ ２ ＥＨ＝３。 １６．５　【解析】∵２１＝２，２２＝４，２３＝８，２４＝１６，２５＝３２，……， ∴个位数字是以 ４项为一组循环，个位数字的和 为２＋４＋８＋６＝２０。 ∵６３÷４＝１５……３，∴２６３的末位数字与２３的末位数 字相同，是 ８；２６２的末位数字与 ２２的末位数字相 同，是４；２６１的末位数字与 ２１的末位数字相同，是 ２；２＋４＋８＝１４。∴２＋４＋８＋１６＋３２＋…＋２６３的个位数 字为４。∴Ｓ的个位数字为５。 １７．解：(ｘ－２ｘｙ－ｙ ２ ｘ )÷ｘ ２－ｙ２ ｘ２＋ｘｙ ＝ｘ ２－２ｘｙ＋ｙ２ ｘ ÷（ｘ ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ｘ（ｘ＋ｙ） ＝（ｘ －ｙ）２ ｘ · ｘ（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ＝ｘ－ｙ。 ∵ｘ＝ｔａｎ２６０°＋１＝３＋１＝４， ｙ＝ｔａｎ４５°－２ｃｏｓ３０°＝１－２×槡 ３ ２ ＝１－槡３， ∴原式＝４－（１－槡３）＝３＋槡３。 １８．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＣ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ。 ∵∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝１８０°，∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ＝１８０°， ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＦ。 在△ＣＤＦ和△ＣＢＥ中， ＣＤ＝ＣＢ， ∠ＣＤＦ＝∠ＣＢＥ， ＤＦ＝ＢＥ，{ ∴△ＣＤＦ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）。∴ＣＥ＝ＣＦ。 １９．解：（１）１８÷３０％＝６０（人）。故答案为６０。 （２）６０－１５－１８－９－６＝１２（人）， 补全条形统计图如图所示。 （３）８００× １５ ６０ ＝２００（人）。 答：该校七年级８００名学生中选择“厨艺”劳动课 程的人数为２００。 （４）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 　　　第１项 第２项　　　 园艺 电工 木工 编织 园艺 电工、园艺 木工、园艺 编织、园艺 电工 园艺、电工 木工、电工 编织、电工 木工 园艺、木工 电工、木工 编织、木工 编织 园艺、编织 电工、编织 木工、编织 共有１２种等可能的结果，其中恰好选中“园艺、编织” 的结果有２种，∴Ｐ（恰好选中园艺、编织）＝ ２ １２ ＝１ ６ 。 ２０．解：如图，延长ＢＣ交ＡＤ于点Ｅ， 则ＡＥ＝ＡＤ－ＤＥ＝２．８－１．６＝１．２（米）。 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＢＥ＝３０°， ∴ＢＥ＝槡３ＡＥ＝槡３×１．２＝ 槡６３ ５ （米）。 在Ｒｔ△ＡＣＥ中，∠ＡＣＥ＝５８°， ｔａｎ∠ＡＣＥ＝ ＡＥ ＣＥ ＝ｔａｎ５８°≈１．６０， ∴ＣＥ≈ ＡＥ １．６０ ＝１．２ １．６０ ＝０．７５（米）。 ∴ＭＮ＝ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ＝槡 ６３ ５ －０．７５≈１．３３（米）。 答：小聪在有效测温区间ＭＮ的长度约为１．３３米。 ２１．解：（１）设Ａ型号机器每小时生产 ｘ千克产品，则 Ｂ型号机器每小时生产（ｘ－１０）千克产品。 根据题意，得 ６００ ｘ ＝５００ ｘ－１０ 。解得ｘ＝６０。                                                                —２５— 经检验，ｘ＝６０是原方程的解，且符合题意。 所以ｘ－１０＝６０－１０＝５０。 答：Ａ型号机器每小时生产６０千克产品，Ｂ型号机 器每小时生产５０千克产品。 （２）设需要 Ａ型号机器 ｍ台，则需要 Ｂ型号机器 （１８－ｍ）台。 根据题意，得６０ｍ＋５０（１８－ｍ）≥１０００。解得ｍ≥１０。 答：至少需要Ａ型号机器１０台。 ２２．（１）证明：如图，延长ＤＯ交ＡＢ于点Ｈ。 ∵ＤＰ是⊙Ｏ的切线，∴ＯＤ⊥ＤＰ。 ∵ＡＢ∥ＤＰ，∴ＤＨ⊥ＡＢ。 ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＡＣ＝９０°。∴ＡＦ∥ＯＤ。 （２）解：∵ＯＨ⊥ＡＢ，ＡＢ＝８， ∴ＢＨ＝ＡＨ＝４。 ∴ＯＨ＝ ＯＢ２－ＢＨ槡 ２＝ ５２－４槡 ２＝３。 ∵ＢＨ∥ＤＥ， ∴△ＢＯＨ∽△ＥＯＤ。 ∴ ＢＨ ＥＤ ＝ＯＨ ＯＤ ，即 ４ ＤＥ ＝３ ５ 。解得ＤＥ＝ ２０ ３ 。 ∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＨ⊥ＡＢ，ＤＨ⊥ＤＰ， ∴四边形ＡＦＤＨ是矩形。 ∴ＤＦ＝ＡＨ＝４。 ∴ＥＦ＝ＤＥ－ＤＦ＝ ２０ ３ －４＝ ８ ３ 。 ２３．解：（１）△ＡＥＦ是等腰直角三角形。证明如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，α＝４０°， ∴∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＣＢＥ＝５０°。 ∵边ＢＣ绕点Ｂ逆时针旋转至ＢＥ， ∴ＢＣ＝ＢＥ＝ＢＡ。 ∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝ １ ２ （１８０°－∠ＣＢＥ）＝７０°， ∠ＢＥＡ＝∠ＢＡＥ＝ １ ２ （１８０°－∠ＡＢＥ）＝６５°。 ∴∠ＡＥＦ＝１８０°－６５°－７０°＝４５°。 ∵ＡＦ⊥ＣＥ， ∴∠ＡＦＥ＝９０°。 ∴△ＡＥＦ是等腰直角三角形。 （２）（１）中的结论仍然成立。证明如下： 如图，连接ＡＣ。 ∵ＢＣ绕点Ｂ逆时针旋转至ＢＥ， ∴ＢＣ＝ＢＥ。 ∴∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝ １８０°－α ２ 。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴ＡＢ＝ＢＥ，∠ＡＢＥ＝α－９０°。 ∴∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ＝ １８０°－（α－９０°） ２ ＝２７０° －α ２ 。 ∵ＡＦ⊥ＣＥ， ∴∠ＡＦＣ＝９０°。 ∴∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＥ＝ １８０°－α ２ 。 ∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＥ－∠ＢＡＦ＝ ２７０°－α ２ －１８０° －α ２ ＝４５°。 ∴∠ＡＥＦ＝４５°。 ∴∠ＡＥＦ＝∠ＥＡＦ。 ∴ＡＦ＝ＥＦ。 ∴△ＡＥＦ是等腰直角三角形。 ∵ ＡＣ ＡＤ ＝槡２， ＡＥ ＡＦ ＝槡２， ∴ ＡＣ ＡＤ ＝ＡＥ ＡＦ 。 ∵∠ＣＡＥ＝∠ＥＡＦ＋∠ＢＡＦ＋∠ＢＡＣ＝４５°＋∠ＢＡＦ＋４５°＝ ９０°＋∠ＢＡＦ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＦ＝９０°＋∠ＢＡＦ， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＦ。 ∴△ＣＡＥ∽△ＤＡＦ。 ∴ ＣＥ ＤＦ ＝ＡＣ ＡＤ ＝槡２。 ２４．解：（１）把点Ａ（－１，０）代入ｙ＝ａｘ２＋２ｘ＋３， 得０＝ａ－２＋３，解得ａ＝－１。 故抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）在ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３中，令ｘ＝０，则ｙ＝３， ∴点Ｃ的坐标为（０，３）。 令ｙ＝０，则－ｘ２＋２ｘ＋３＝０，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝３。 ∴点Ｂ的坐标为（３，０）。 ∴ＯＢ＝３，ＯＣ＝３。 如图１，连接ＢＣ交抛物线的对称轴ｌ于点 Ｐ，则此 时ＰＡ＋ＰＣ的值最小。 图１ ∵点Ａ，Ｂ关于抛物线的对称轴对称， ∴ＰＡ＝ＰＢ。 ∴ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＣ＝ＢＣ。 在Ｒｔ△ＢＯＣ中，ＢＣ＝ ＯＢ２＋ＯＣ槡 ２＝ ３２＋３槡 ２＝槡３２，                                                                —３５— ∴ＰＡ＋ＰＣ的最小值为 槡３２。 （３）存在。如图２，ＡＭ与ＢＦ相交于点Ｇ。 图２ ∵Ｆ是抛物线上一点，其横坐标为－２， ∴ｙ＝－４－４＋３＝－５。 ∴点Ｆ的坐标为（－２，－５）。 设直线ＢＦ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 将点Ｂ，Ｆ的坐标代入， 得 ３ｋ＋ｂ＝０， －２ｋ＋ｂ＝－５，{ 解得 ｋ＝１，ｂ＝－３。{ ∴ｙ＝ｘ－３。 设点Ｍ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）， ∴线段ＡＭ的中点Ｇ的坐标为 (－１＋ｍ２ ， －ｍ２＋２ｍ＋３ ２ )。 ∵直线ＢＦ平分线段ＡＭ， ∴直线ＢＦ过点Ｇ。 将点Ｇ的坐标代入ｙ＝ｘ－３， 得 －ｍ２＋２ｍ＋３ ２ ＝ －１＋ｍ ２ －３， 解得ｍ１＝ １＋槡４１ ２ ，ｍ２＝ １－槡４１ ２ 。 当ｍ＝ １＋槡４１ ２ 时，ｙ＝ －１３＋槡４１ ２ ； 当ｍ＝ １－槡４１ ２ 时，ｙ＝ －１３－槡４１ ２ 。 综上所述，点 Ｍ的坐标为 (１＋槡４１２ ， －１３＋槡４１ ２ ) 或 (１－槡４１２ ， －１３－槡４１ ２ )。 １６２０２３年莱州市诊断性测试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】｜－５｜＝５。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】不等式ｘ≤１在数轴上表示为 。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】再增加一个相同的正方体， 使主视图和左视图都不变，第五个正方 体摆放的位置只有在图中的阴影部分。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ即不是轴对称图形，也不是中心对称 图形；Ｂ既是轴对称图形，又是中心对称图形；Ｃ不 是轴对称图形，是中心对称图形；Ｄ是轴对称图形， 不是中心对称图形。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ３＋ｘ３＝２ｘ３，故本选项计算错误； Ｂ．（２ｘ）３＝８ｘ３，故本选项计算错误；Ｃ．２ｘ２·３ｘ＝６ｘ３， 故本选项计算正确；Ｄ．（２ａ－２ｂ）２＝４ａ２－８ａｂ＋４ｂ２，故 本选项计算错误。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】根据图形的对称性知黑色部分的面积为 圆面积的一半，设圆的半径为１，则正方形的面积为 ４，黑色部分的面积为 １ ２π ×１２＝π ２ 。∴点取自太极 图中黑色部分的概率为 π ２ ４ ＝π ８ 。故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】Ａ．按键顺序如下： （－） ２ ｓｉｎ ３ ０ ＋ ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ａｂ／ｃ ８ ） ＝ ，最 后输出的结果为－０．５。故本选项错误；Ｂ．设原来输 入的数为ｘ。由题意，得方程 １ ｘ－１ －１＝－０．７５，解得 ｘ ＝５。经检验，ｘ＝５是方程的解，所以原来输入的数 为５。故本选项正确；Ｃ．用计算器求一组数据的平 均数，其按键顺序如下：ＭＯＤＥ ２ ２ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ６ ＤＡＴＡ ｘ ＝ ，最后输出的结果为３．５。故 本选项错误；Ｄ．在计算器的使用中 ＤＥＬ表示清除 刚输入的数据。故本选项错误。故选Ｂ。 ８．Ｂ　【解析】６８０００００００＝６．８×１０８。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∵对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１＜０，∴ａ，ｂ同号。 ∵ａ＞０，∴ｂ＞０。 ∵抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴的负半轴，∴ｃ＜０。 ∴ａｂｃ＜０。故①正确；                                                                —４５—