14 2023年芝罘区阶段检测练习题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

∴∠ＤＡＥ＋∠ＤＡＣ＝１８０°，即Ｃ，Ａ，Ｅ三点共线。 ∴△ＣＤＥ是等腰直角三角形，ＣＥ＝槡２ＣＤ。 ∴ＣＥ＝ＡＣ＋ＡＥ＝ＡＣ＋ＢＣ。∴ＡＣ＋ＢＣ＝槡２ＣＤ。 （２）如图，连接ＡＣ，ＡＤ，ＢＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵ＡＤ) ＝ＢＤ) ，∴ＡＤ＝ＢＤ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２， ∴ＡＣ＝ １３２－１２槡 ２＝５。 由（１）知，ＡＣ＋ＢＣ＝槡２ＣＤ，∴ＣＤ＝ １２＋５ 槡２ ＝ 槡１７２ ２ 。 （３）∵ＡＣ＝ＢＣ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。 ∵Ｐ是ＡＢ的中点，∴ＡＰ＝ＢＰ＝槡２２。 ∵ＡＥ＝２，Ｑ是ＡＥ的中点，∴ＡＱ＝ＥＱ＝１。 ∵ＡＣ＝ＣＥ，∴∠ＡＱＣ＝９０°。 ∴ＣＱ＝ ＡＣ２－ＡＱ槡 ２＝ ４２－１槡 ２＝槡１５。 由（１）知，ＡＱ＋ＣＱ＝槡２ＰＱ， ∴ＰＱ＝ ＡＱ＋ＣＱ 槡２ ＝１ ＋槡１５ 槡２ ＝槡２ ＋槡３０ ２ 。 ２４．解：（１）将Ａ（－４，０），Ｂ（－１，０）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４， 得 １６ａ－４ｂ－４＝０， ａ－ｂ－４＝０，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝－５。{ ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－５ｘ－４。 （２）四边形ＰＱＯＣ是平行四边形。理由如下： 设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ。 将Ｃ（０，－４）代入ｙ＝ｍｘ＋ｎ中，得ｎ＝－４。 将Ａ（－４，０）代入ｙ＝ｍｘ－４中，得ｍ＝－１。 ∴直线ＡＣ的表达式为ｙ＝－ｘ－４。 设点Ｑ（ｔ，－ｔ２－５ｔ－４）， 由ＰＱ∥ｙ轴，得点Ｐ的坐标为（ｔ，－ｔ－４）。 ∴ＰＱ＝－ｔ２－５ｔ－４－（－ｔ－４）＝－ｔ２－４ｔ＝－（ｔ＋２）２＋４。 当ｔ＝－２时，ＰＱ有最大值，最大值为４。 ∵ＰＱ＝ＯＣ＝４，ＰＱ∥ｙ轴， ∴四边形ＰＱＯＣ是平行四边形。 （３）存在。 如图，过点 Ｑ作 ｙ轴的平行线， 过点Ｅ作ｘ轴的平行线，两直线 交于点Ｆ。 ∵点Ｂ的坐标为（－１，０）， ∴点Ｂ在直线ｙ＝－２ｘ－２上。 ∵ＦＱ∥ｙ轴，∴∠ＦＱＢ＝∠ＯＤＱ。 ∴当∠ＤＱＥ＝２∠ＯＤＱ时，∠ＥＱＦ＝∠ＯＤＱ。 ∵直线ｙ＝－２ｘ－２与ｙ轴交于点Ｄ， ∴点Ｄ的坐标为（０，－２）。∴ＯＤ＝２。 ∴ｔａｎ∠ＥＱＦ＝ｔａｎ∠ＯＤＱ＝ ＯＢ ＯＤ ＝１ ２ ＝ＥＦ ＦＱ 。 ∴ＦＱ＝２ＥＦ。 设点Ｅ（ｋ，－ｋ２－５ｋ－４）， 由（２）知，点Ｑ的坐标为（－２，２）， ∴ＥＦ＝－２－ｋ，ＦＱ＝２－（－ｋ２－５ｋ－４）＝ｋ２＋５ｋ＋６。 ∴ｋ２＋５ｋ＋６＝２（－２－ｋ），得ｋ１＝－２（舍去），ｋ２＝－５。 ∴点Ｅ的坐标为（－５，－４）。 １４２０２３年芝罘区阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】 槡∵ ４＝２， ∴无理数有槡６，π，共２个。故选Ｂ。 ２．Ｃ　【解析】圆台的主视图是 。 故选Ｃ。 ３．Ａ　【解析】１５５３７亿＝１５５３７００００００００＝１．５５３７× １０１２。故选Ａ。 ４．Ｄ　【解析】标注字母如图所示。 ∵点 Ｂ在点 Ａ的北偏西 ５０° 方向， ∴∠ＢＡＥ＝５０°。 ∴∠ＢＡＤ＝９０°－∠ＢＡＥ＝９０°－ ５０°＝４０°。 ∵点Ｃ在点Ｂ的正东方向， ∴ＢＣ∥ＡＤ。∴∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝４０°。 ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝ １ ２ ×（１８０°－４０°）＝７０°。 ∴∠ＥＡＣ＝７０°－５０°＝２０°。 ∴点Ａ相对于点Ｃ的方向是南偏西２０°。故选Ｄ。 ５．Ｃ　【解析】由题意，得ｘ＝１００－２０－３８－８－２＝３２。故 选项Ａ不符合题意；这组数据中２ｈ出现的次数最 多，故众数是２ｈ。故选项Ｂ不符合题意；这组数据 的中位数是 １．５＋１．５ ２ ＝１．５（ｈ）。故选项 Ｃ符合题意； 这组数据的平均数是 １ １００ ×（１×２０＋１．５×３２＋２×３８＋ ２．５×８＋３×２）＝１．７（ｈ）。故选项Ｄ不符合题意。 故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】设侧面展开图的圆心角为度数ｎ°。 ∵圆锥的母线长为５ｃｍ，高为４ｃｍ， ∴圆锥底面圆的半径为 ５２－４槡 ２＝３（ｃｍ）。 ∴２π×３＝ ｎ×π×５ １８０ 。解得ｎ＝２１６。故选Ｂ。 ７．Ｃ　【解析】如图，设弓形所在圆的圆心为Ｏ，圆的半 径为ｒ，连接ＯＣ，ＯＡ。 由题意知，Ｏ，Ｃ，Ｄ三点共线。 ∵ＡＢ＝８，∴ＡＣ＝ １ ２ ＡＢ＝４。 ∵ＣＤ＝３，∴ＯＣ＝ｒ－３。 ∵ＯＡ２＝ＯＣ２＋ＡＣ２，∴ｒ２＝（ｒ－３）２＋４２。∴ｒ＝ ２５ ６ 。                                                                —７４— ∴弓形所在圆的直径长为２ｒ＝ ２５ ３ 。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＥＦ交ＡＣ于点Ｏ。 ∵四边形ＥＧＦＨ是菱形，∴ＥＦ⊥ＡＣ，ＯＥ＝ＯＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ。∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＢ。 在△ＣＦＯ和△ＡＥＯ中， ∠ＦＣＯ＝∠ＥＡＯ， ∠ＣＯＦ＝∠ＡＯＥ， ＯＦ＝ＯＥ，{ ∴△ＣＦＯ≌△ＡＥＯ（ＡＡＳ）。∴ＯＡ＝ＯＣ。 ∵ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝槡４５，∴ＯＡ＝ １ ２ ＡＣ＝槡２５。 ∵∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＯＥ＝∠Ｂ＝９０°， ∴△ＡＯＥ∽△ＡＢＣ。∴ ＡＯ ＡＢ ＝ＡＥ ＡＣ 。∴ 槡 ２５ ８ ＝ＡＥ 槡４５ 。 ∴ＡＥ＝５。故选Ａ。 ９．Ｄ　【解析】如图，过点Ｄ作ＤＭ⊥ｘ轴于点Ｍ。 ∵四边形ＡＯＢＣ是矩形，∠ＡＢＯ＝３０°，点 Ｂ的坐标 为（０，槡３３）， ∴ＡＣ＝ＯＢ＝槡３３，∠ＣＡＢ＝３０°。 ∴ＢＣ＝ＡＣ·ｔａｎ３０°＝槡３３× 槡３ ３ ＝３。 ∵将△ＡＢＣ沿ＡＢ所在直线对折后，点Ｃ落在点Ｄ处， ∴∠ＢＡＤ＝３０°，ＡＤ＝槡３３。 ∵∠ＣＡＢ＝∠ＢＡＤ＝３０°， ∴∠ＤＡＭ＝３０°。∴ＤＭ＝ １ ２ ＡＤ＝槡 ３３ ２ 。 ∴ＡＭ＝槡３３×ｃｏｓ３０°＝ ９ ２ 。∴ＯＭ＝ ９ ２ －３＝ ３ ２ 。 ∴点Ｄ的坐标为 ( ３２，槡３３２ )。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】∵抛物线开口向下，∴ａ＜０。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１， ∴ｂ＝－２ａ＞０。 ∵抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴正半轴，∴ｃ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝１，抛物线与 ｘ轴的 一个交点为（３，０）， ∴抛物线与ｘ轴的另一个交点为（－１，０）。 ∴当ｘ＝－２时，ｙ＜０。∴４ａ－２ｂ＋ｃ＜０。故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越近的点，函数值越大。 ∵１－(－１２)＜１－（－２），∴ｙ１＞ｙ２。故③正确； ∵ｍ，ｎ（ｍ＜ｎ）为方程ａ（ｘ－３）（ｘ＋１）＝２的两个根， ∴把ｍ，ｎ看作二次函数ｙ＝ａ（ｘ－３）（ｘ＋１）与直线ｙ ＝２的交点的横坐标。 ∴－１＜ｍ＜ｎ＜３。故④正确。 ∴说法正确的有②③④。故选Ｂ。 １１． １ ２ 　【解析】－ １ ２ ＝１ ２ 。 １２．ｘ＜－ ４ ３ 　【解析】把 Ａ（ｍ，４）代入 ｙ＝－３ｘ，得－３ｍ＝ ４，解得ｍ＝－ ４ ３ ，∴点Ａ的坐标为 (－４３，４)。 当ｘ＜－ ４ ３ 时，ｋｘ＋ｂ＋３ｘ＜０， ∴关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＋３ｘ＜０的解集为ｘ＜－ ４ ３ 。 １３．π ４ 　【解析】设正方形的边长为２ａ，则圆的直径为 ２ａ，故随机地向正方形内投一粒米，这粒米落在圆 内的概率为 Ｓ圆 Ｓ正方形 ＝πａ ２ ４ａ２ ＝π ４ 。 １４．６　【解析】如图，作ＰＱ⊥ＯＡ于点Ｑ， ∴ＰＱ∥ＡＢ。 ∴△ＯＰＱ∽△ＯＢＡ。 ∵Ｐ是ＯＢ的中点， ∴Ｑ是ＯＡ的中点。 ∴ＰＱ∶ＢＡ＝１∶２。 ∴Ｓ△ＯＰＱ∶Ｓ△ＯＢＡ＝１∶４。 ∵Ｓ△ＯＰＱ＝ ｜ｋ｜ ２ ＝１＝Ｓ△ＯＡＥ＝Ｓ△ＯＣＦ，∴Ｓ△ＯＢＡ＝４。 ∴Ｓ矩形ＯＡＢＣ＝２×４＝８。∴Ｓ四边形ＯＥＢＦ＝８－２＝６。 １５．１３　【解析】如图，设河北岸为直线 ａ，河南岸为直 线ｂ，则河宽 ＥＦ＝３米，过点 Ａ作 ＡＭ⊥ａ于点 Ｍ， ＡＭ的延长线交ｂ于点Ｇ，过点Ｂ作ＢＨ⊥ｂ于点Ｈ， 作ＢＮ⊥ＡＭ，交ＡＭ的延长线于点Ｎ，在ＡＭ上截取 ＡＡ′＝ＥＦ＝３米，连接 Ａ′Ｂ交直线 ｂ于点 Ｃ，过点 Ｃ 作ＣＤ⊥ａ于点 Ｄ，连接 ＡＤ，则从 Ａ处经过平板桥 到达Ｂ处的最短路程为ＡＤ＋ＣＤ＋ＢＣ。 ∵ＡＡ′＝ＣＤ，ＡＡ′∥ＣＤ， ∴四边形ＡＤＣＡ′是平行四边形。 ∴ＡＤ＝Ａ′Ｃ。∴ＡＤ＋ＣＤ＋ＢＣ＝Ａ′Ｃ＋ＢＣ＋ＣＤ＝Ａ′Ｂ＋ＣＤ。 根据题意，得 ＡＭ＝４．５米，ＧＮ＝ＢＨ＝１．５米，ＢＮ＝                                                                —８４— ８米，ＧＭ＝ＥＦ＝３米， ∴Ａ′Ｍ＝ＡＭ－ＡＡ′＝４．５－３＝１．５（米）。 ∴Ａ′Ｎ＝Ａ′Ｍ＋ＧＭ＋ＧＮ＝１．５＋３＋１．５＝６（米）。 ∴Ａ′Ｂ＝ Ａ′Ｎ２＋ＢＮ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０（米）。 ∴从Ａ处经过平板桥到达Ｂ处的最短路程为Ａ′Ｂ＋ ＣＤ＝１０＋３＝１３（米）。 １６．１０　【解析】由题意，可知ＡＣ＋ＢＣ＝１４，当点Ｐ运动 到点Ｃ时，点Ｐ到 ＡＢ的距离最远，此时 ＰＤ扫过 的面积为最大值１２。 ∵Ｄ是ＡＢ的中点， ∴当点Ｐ运动到点Ｃ时，Ｓ△ＡＰＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＣ＝１２。 ∴ １ ４ ＡＣ·ＢＣ＝１２。∴ＡＣ·ＢＣ＝４８。 ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ （ＡＣ＋ＢＣ）２－２ＡＣ·槡 ＢＣ ＝ １４２－２×槡 ４８＝１０。 １７．解：原式＝ ｘ－２ ｘ ÷ （ｘ －２）２ （ｘ＋２）（ｘ－２） －ｘ ＋４ ｘ＋２ ＝ｘ －２ ｘ · （ｘ＋２）（ｘ－２） （ｘ－２）２ －ｘ ＋４ ｘ＋２ ＝ｘ ＋２ ｘ －ｘ ＋４ ｘ＋２ ＝（ｘ ＋２）２－ｘ（ｘ＋４） ｘ（ｘ＋２） ＝ｘ ２＋４ｘ＋４－ｘ２－４ｘ ｘ２＋２ｘ ＝ ４ ｘ２＋２ｘ 。 ∵ｘ２＋２ｘ－１３＝０，∴ｘ２＋２ｘ＝１３。 ∴原式＝ ４ １３ 。 １８．证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，△ＢＣＥ是等边三 角形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＢＥ＝ＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝９０°， ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ＝６０°。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ。∴△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＥ＝ＤＥ。 １９．解：（１）由题意，得ａ＝３６÷０．４５＝８０， ∴ｂ＝１６÷８０＝０．２。故答案为８０，０．２。 （２）Ｄ对应扇形的圆心角度数为３６０°× ８ ８０ ＝３６°。 （３）画树状图如下： 共有１６种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选 中同一社团的情况有４种， ∴甲、乙两人恰好选中同一社团的概率为 ４ １６ ＝１ ４ 。 ２０．解：如图，延长ＡＢ和ＣＤ分别与直线 ＯＦ交于点 Ｇ 和点Ｈ，则∠ＡＧＯ＝∠ＥＨＯ＝９０°。 ∵∠ＧＡＣ＝９０°，∴四边形ＡＣＨＧ是矩形。∴ＧＨ＝ＡＣ。 由题意，得 ＡＧ＝６０ｍ，ＯＦ＝２４ｍ，∠ＡＯＧ＝７０°， ∠ＥＯＦ＝３０°，∠ＥＦＨ＝６０°， 在Ｒｔ△ＡＧＯ中，∠ＡＧＯ＝９０°，ｔａｎ∠ＡＯＧ＝ ＡＧ ＯＧ ， ∴ＯＧ＝ ＡＧ ｔａｎ∠ＡＯＧ ＝ ６０ ｔａｎ７０°≈ ６０ ２．７５≈ ２２（ｍ）。 ∵∠ＥＦＨ是△ＥＯＦ的外角， ∴∠ＦＥＯ＝∠ＥＦＨ－∠ＥＯＦ＝６０°－３０°＝３０°。 ∴∠ＥＯＦ＝∠ＦＥＯ。∴ＥＦ＝ＯＦ＝２４ｍ。 在Ｒｔ△ＥＨＦ中，∠ＥＨＦ＝９０°，ｃｏｓ∠ＥＦＨ＝ ＦＨ ＥＦ ， ∴ＦＨ＝ＥＦ·ｃｏｓ∠ＥＦＨ＝２４×ｃｏｓ６０°＝１２（ｍ）。 ∴ＡＣ＝ＧＨ＝ＯＧ＋ＯＦ＋ＦＨ＝２２＋２４＋１２＝５８（ｍ）。 ∴楼ＡＢ与ＣＤ之间的距离ＡＣ的长约为５８ｍ。 ２１．解：（１）设１个甲种奖品的价格为ｘ元，则１个丙种 奖品的价格为 ２ｘ元，１个乙种奖品的价格为（ｘ＋ １０）元。 由题意，得 １２０ ｘ ＋１２０ ２ｘ ＝１２０ ｘ＋１０ ×２。解得ｘ＝３０。 经检验，ｘ＝３０是原方程的解，且符合题意。 ∴２ｘ＝２×３０＝６０，ｘ＋１０＝３０＋１０＝４０。 ∴１个甲、乙、丙三种奖品的价格分别为 ３０元，４０ 元，６０元。 （２）设购买丙种奖品 ｍ个，则购买甲、乙两种奖品 分别为３ｍ个和（３００－４ｍ）个。 由题意，得３ｍ≥（３００－４ｍ）＋ｍ。解得ｍ≥５０。 设该校购买奖品的总费用为ｙ元， 则ｙ＝９０ｍ＋４０（３００－４ｍ）＋６０ｍ＝－１０ｍ＋１２０００。 ∵－１０＜０，∴ｙ随ｍ的增大而减小。 ∴当ｍ＝５０时，ｙ取最大值，且ｙ最大＝１１５００。 ∴该校完成购买计划最多要花费１１５００元。 ２２．（１）证明：如图，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 由题意，知ＢＦ平分∠ＡＢＣ，ＯＣ⊥ＢＣ于点Ｃ， ∴ＯＣ＝ＯＨ，即ＯＨ是⊙Ｏ的半径。 ∴ＡＢ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：设ＯＣ＝ＯＨ＝ｒ， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＣ＝８。 ∵∠Ａ＝∠Ａ，∠ＡＨＯ＝∠ＡＣＢ，∴△ＡＯＨ∽△ＡＢＣ。 ∴ ＯＨ ＢＣ ＝ＯＡ ＢＡ ，即ＯＨ·ＢＡ＝ＯＡ·ＢＣ。                                                                —９４— ∴１０ｒ＝６（８－ｒ），解得ｒ＝３。 ∴⊙Ｏ的半径长为３。 （３）解：∵ＦＧ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＦＣＧ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＦＣＯ＝∠ＢＣＧ。 ∵ＯＣ＝ＯＦ，∴∠ＣＦＯ＝∠ＦＣＯ＝∠ＢＣＧ。 ∵∠ＦＢＣ＝∠ＣＢＧ，∴△ＦＢＣ∽△ＣＢＧ。 ∴ ＦＣ ＣＧ ＝ＢＣ ＢＧ 。 在Ｒｔ△ＯＨＢ中，ＯＢ＝ ＯＨ２＋ＢＨ槡 ２＝ ３２＋６槡 ２＝槡３５。 ∴ＢＧ＝槡３５－３。∴ ＣＧ ＣＦ ＝ＢＧ ＢＣ ＝槡３５ －３ ６ ＝槡５ －１ ２ 。 ２３．（１）证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°， ∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＤ＝９０°。 ∵ＡＤ⊥ＤＥ，ＢＥ⊥ＤＥ， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＣＤＡ＝９０°，∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＥ＝９０°。 ∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＢＥ。 在△ＢＥＣ和△ＣＤＡ中， ∠ＢＥＣ＝∠ＣＤＡ， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＣＤ， ＢＣ＝ＣＡ，{ ∴△ＢＥＣ≌△ＣＤＡ（ＡＡＳ）。 （２）解：如图 １，作 ＤＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，作 ＣＥ⊥ＡＢ交 ＢＡ的延长线于点Ｅ。 图１ ∵∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ， ∴ＡＤ＝ＢＤ。 ∴ＡＦ＝ＢＦ＝ １ ２ ＡＢ＝槡３。 ∵∠ＣＡＤ＝９０°，∴∠ＤＡＦ＋∠ＣＡＥ＝９０°。 ∵∠ＤＡＦ＋∠ＡＤＦ＝９０°，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ。 在△ＣＡＥ和△ＡＤＦ中， ∠ＣＥＡ＝∠ＡＦＤ＝９０°， ∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ， ＣＡ＝ＡＤ，{ ∴△ＣＡＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＥ＝ＡＦ＝槡３，即点Ｃ到ＡＢ的距离为槡３。 （３）解：如图２，过点Ｄ作ＤＭ＝ＤＣ，交ＢＣ的延长线 于点Ｍ， 图２ ∴∠ＤＣＭ＝∠Ｍ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＤＭ＝ＣＤ＝ＡＢ＝１０，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠Ｂ＝∠ＤＣＭ＝∠Ｍ。 ∵∠ＦＥＣ＝∠ＤＥＦ＋∠ＤＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＦＥ，∠Ｂ＝∠ＤＥＦ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＦＥ。 ∴△ＢＦＥ∽△ＭＥＤ。 ∴ ＥＦ ＤＥ ＝ＢＥ ＭＤ 。 ∴ＤＥ＝ ＥＦ·ＭＤ ＢＥ ＝６ ×１０ ４ ＝１５。 ２４．解：（１）∵直线ｙ＝－ｘ＋４与ｘ轴交于点Ｃ，与ｙ轴交 于点Ｂ， ∴点Ｃ的坐标为（４，０），点Ｂ的坐标为（０，４）。 ∴ １６ａ ＋４＋ｃ＝０， ｃ＝４，{ 解得 ａ＝－ １ ２ ， ｃ＝４。{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｘ＋４。 （２）如图１，过点Ｅ作 ＥＦ⊥ｘ轴于点 Ｆ，交直线 ＢＣ 于点Ｇ。设点 Ｅ的坐标为 (ｍ，－１２ｍ２＋ｍ＋４)，则 点Ｇ的坐标为（ｍ，－ｍ＋４）。 ∴ＥＧ＝－ １ ２ ｍ２＋ｍ＋４＋ｍ－４＝－ １ ２ ｍ２＋２ｍ。 ∴Ｓ△ＢＣＥ＝Ｓ△ＢＥＧ＋Ｓ△ＣＥＧ ＝１ ２ ＥＧ·（ｘＧ－ｘＢ）＋ １ ２ ＥＧ·（ｘＣ－ｘＧ） ＝１ ２ ＥＧ·（ｘＣ－ｘＢ） ＝２(－１２ｍ２＋２ｍ) ＝－（ｍ－２）２＋４。 ∴当ｍ＝２时，△ＢＣＥ的面积有最大值，最大值为 ４，此时点Ｅ的坐标为（２，４）。 图１ 　 图２ （３）存在。设点Ｐ的坐标为 (ｎ，－１２ｎ２＋ｎ＋４)。 如图２所示，当ＢＣ为平行四边形ＢＣＰＱ的边时， ∵抛物线的解析式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｘ＋４， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ １ ２×(－１２) ＝１。 ∴ ｎ＋０ ２ ＝１ ＋４ ２ 。 ∴ｎ＝５。 ∴点Ｐ的坐标为 (５，－７２)； 如图３所示，当 ＢＣ为平行四边形 ＢＣＱＰ的边时， ｎ＋４ ２ ＝１ ＋０ ２ ，解得ｎ＝－３。                                                                —０５— ∴点Ｐ的坐标为 (－３，－７２)； 图３ 　 图４ 如图４所示，当ＢＣ为平行四边形 ＢＰＣＱ的对角线 时， １＋ｎ ２ ＝４ ＋０ ２ ，解得ｎ＝３。 ∴点Ｐ的坐标为 (３，５２)。 综上所述，点Ｐ的坐标为 (５，－７２)或 (－３，－７２ ) 或 (３，５２)。 １５２０２３年龙口市九年级模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ １．Ｃ　【解析】由题意，得（＋３）＋（－４）＝－１。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】Ａ．２ａ２·ａ＝２ａ３，本选项符合题意； Ｂ．（ａ＋１）２＝ａ２＋２ａ＋１≠ａ２＋１，本选项不符合题意； Ｃ．ａ２÷２ａ＝ １ ２ ａ≠２ａ，本选项不符合题意； Ｄ．（２ａ２）３＝８ａ６≠６ａ６，本选项不符合题意。故选Ａ。 ３．Ａ　【解析】Ａ是轴对称图形，本选项符合题意；Ｂ不 是轴对称图形，本选项不符合题意；Ｃ不是轴对称 图形，本选项不符合题意；Ｄ不是轴对称图形，本选 项不符合题意。故选Ａ。 ４．Ａ　【解析】５００亿千克＝５００００００００００千克＝５× １０１０千克。故选Ａ。 ５．Ｂ　【解析】∵ａ＋ｃ＝０，∴ａ，ｃ互为相反数。 ∴原点在ａ，ｃ中间，ｂ＞０。 ∴Ａ选项不符合题意； ∵ｂ在原点右侧，∴－ｂ在原点左侧。 ∵｜ｃ｜＞｜ｂ｜，∴｜ａ｜＞｜－ｂ｜。∴ａ＜－ｂ。 ∴Ｂ选项符合题意； ∵ａ＜０，ｂ＞０，∴ａｂ＜０。 ∴Ｃ选项不符合题意； ∵ｃ＞ｂ，∴ｂ－ｃ＜０。∴Ｄ选项不符合题意。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】５＋７＋１３＝２５， 由列表可知人数大于２５， 则中位数是１５或（１５＋１６）÷２＝１５．５或１６。故选Ｄ。 ７．Ａ　【解析】由题意，得２０ｘ＝４０×５０×３。故选Ａ。 ８．Ｂ　【解析】∵闭合开关 Ｃ或者同时闭合开关 Ａ，Ｂ， 都可使小灯泡发光， ∴任意闭合其中一个开关共有３种等可能的结果， 而只有选择闭合开关Ｃ小灯泡才会发光。 ∴小灯泡发光的概率为 １ ３ 。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】Ａ．计算的按键顺序正确，本选项不符合 题意；Ｂ．要打开计算器并启动其统计计算功能应按 的键正确，本选项不符合题意；Ｃ．启动计算器的统 计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 ２ｎｄＦ ＣＡ ，本选项不符合题意；Ｄ．用计算器计算时，依次 按如下各键 ｓｉｎ （ ７ ５ － １ ５ ） ＝ ，最后显示的结果是 ０．８６６０２５４０３，不是０．５，本选项符合题意。故选Ｄ。 １０．Ｃ　【解析】∵该函数的图象经过（０，－１．５），（２，－１．５）， ∴该函数图象的对称轴为直线ｘ＝ ２＋０ ２ ＝１。 ∴该函数图象的顶点坐标为（１，－２），有最小值，开 口向上。 ∴二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ可改写为 ｙ＝ａ（ｘ－１）２－２ 的形式。故选项①正确，选项②错误； ∵该函数的图象经过（０，－１．５），（２，－１．５）， ∴关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－１．５， 即ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋１．５＝０的两个根为０或２。 故选项③正确； ∵该函数的图象经过（－１，０），关于对称轴ｘ＝１的 对称点为（３，０），且开口向上， ∴若ｙ＞０，则ｘ＞３或ｘ＜－１。故选项④错误。 综上，正确的结论为①③。故选Ｃ。 １１．４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）　【解析】４ｍ２ｎ－４ｎ３＝４ｎ（ｍ２－ｎ２） ＝４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）。 １２．ｍ＞１　【解析】∵反比例函数 ｙ＝ ｍ－１ ｘ 的图象的一 个分支位于第三象限，∴ｍ－１＞０。解得ｍ＞１。 １３．ｋ＞－ １ ４ 　【解析】∵ａ※ｂ＝ａｂ２－ｂ， ∴１※ｘ＝ｘ２－ｘ＝ｋ。 整理，得ｘ２－ｘ－ｋ＝０， ∴Δ＝（－１）２－４×１×（－ｋ）＝１＋４ｋ＞０， 解得ｋ＞－ １ ４ 。 １４．槡 ３ １３ １３ 　【解析】如图，连接ＡＣ，ＢＣ。 ∵ＡＣ) ＝ＡＣ) ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。                                                                —１５— — ７９— — ８０— — ８１— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．在实数－ ２ ３ ，０，槡６，π，槡４中，无理数的个数为 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．如图所示的几何体为圆台，其主视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　 ３．没有稳固的国防，就没有人民的安宁。２０２３年中国国防预算约为１５５３７亿元，将１５５３７亿用科学记 数法表示为 （　　） Ａ．１．５５３７×１０１２ Ｂ．１５．５３７×１０１１ Ｃ．１．５５３７×１０１３ Ｄ．０．１５５３７×１０１３ ４．如图，点Ｂ在点Ａ的北偏西５０°方向，点Ｃ在点Ｂ的正东方向，且点Ｃ到点Ｂ与点Ａ到点Ｂ的距离相 等，则点Ａ相对于点Ｃ的方向是 （　　） Ａ．北偏东２５° Ｂ．北偏东２０° Ｃ．南偏西２５° Ｄ．南偏西２０° 第４题图 　　 　 第６题图 　　 　 第７题图 　　 　 第８题图 ５．某校积极鼓励学生参加志愿活动，下表列出了随机抽取的１００名学生一周参加志愿活动的时间情 况，根据表中数据，下列说法不正确的是 （　　） 参加志愿活动的时间（ｈ） １ １．５ ２ ２．５ ３ 参加志愿活动的人数 ２０ ｘ ３８ ８ ２ Ａ．表中ｘ的值为３２ Ｂ．这组数据的众数是２ｈ Ｃ．这组数据的中位数是２ｈ Ｄ．这组数据的平均数是１．７ｈ ６．如图，圆锥的母线长为５ｃｍ，高为４ｃｍ，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 （　　） Ａ．１８０° Ｂ．２１６° Ｃ．２４０° Ｄ．２７０° ７．如图，弓形ＡＤＢ的跨度ＡＢ＝８，高ＣＤ＝３，则弓形所在圆的直径长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ． ２５ ３ Ｄ． ２５ ６ ８．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝４，点Ｅ在ＡＢ上，点Ｆ在ＣＤ上，点Ｇ，Ｈ在ＡＣ上，若四边形ＥＧＦＨ 是菱形，则ＡＥ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．２５ Ｃ．６ Ｄ．３５ ９．如图，在矩形ＡＯＢＣ中，Ｏ为坐标原点，ＯＡ，ＯＢ分别在ｘ轴，ｙ轴上，点Ｂ的坐标为（０，槡３３），∠ＡＢＯ＝ ３０°，将△ＡＢＣ沿ＡＢ所在直线对折后，点Ｃ落在点Ｄ处，则点Ｄ的坐标为 （　　） Ａ．(２，槡３３２ ) Ｂ．( 槡３３ ２ ， ３ ２) Ｃ．( ３ ２ ，３－槡 ３３ ２ ) Ｄ．( ３ ２ ，槡 ３３ ２ ) 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　第９题图　　　　　 第１０题图 １０．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的对称轴为直线 ｘ＝１，其部分图象如图所示，下列说法：①ａｂｃ＞０； ②４ａ－２ｂ＋ｃ＜０；③若Ａ(－１２，ｙ１)，Ｃ（－２，ｙ２）是抛物线上的两点，则有 ｙ２＜ｙ１；④若 ｍ，ｎ（ｍ＜ｎ）为方程 ａ（ｘ－３）（ｘ＋１）＝２的两个根，则ｍ＞－１且ｎ＜３。以上说法正确的是 （　　） Ａ．①②③④ Ｂ．②③④ Ｃ．②④ Ｄ．②③ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．有理数－ １ ２ 的绝对值是 。 １２．如图，函数ｙ＝－３ｘ和 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象相交于点 Ａ（ｍ，４），则关于 ｘ的不等式 ｋｘ＋ｂ＋３ｘ＜０的解集 为 。 第１２题图 　　　　　 第１３题图 　　　　　 第１４题图 １３．如图是一个正方形及其内切圆，随机地向正方形内投一粒米，这粒米落在圆内的概率为 。 （线粗忽略不计） １４．如图，反比例函数ｙ＝ ２ ｘ （ｘ＞０）的图象经过矩形 ＯＡＢＣ对角线 ＯＢ的中点 Ｐ，与 ＡＢ，ＢＣ交于 Ｅ，Ｆ两 点，则四边形ＯＥＢＦ的面积为 。 １５．如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的Ａ处去往河流南岸的Ｂ处，因河流较宽，需在河面搭建一 个与河两岸垂直的平板桥，已知Ａ处距离河北岸４．５米，Ｂ处距离河南岸１．５米，河宽３米，且Ｂ处相对 于Ａ处的东西距离为８米。根据以上条件，从Ａ处经过平板桥到达Ｂ处的最短路程为 米。 第１５题图 　　　 　　 第１６题图 １６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＡＢ的中点，动点Ｐ从点Ａ出发沿ＡＣ→ＣＢ运动到点Ｂ，设点Ｐ 的运动路程为ｘ，线段ＰＤ扫过的面积为ｙ，ｙ与ｘ的函数图象如图所示，则ＡＢ的长为 。 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（５分）先化简，再求值：(１－２ｘ)÷ ｘ２－４ｘ＋４ ｘ２－４ －ｘ ＋４ ｘ＋２ ，其中ｘ２＋２ｘ－１３＝０。 １８．（６分）如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，△ＢＣＥ是等边三角形，连接ＡＥ，ＤＥ。求证：ＡＥ＝ＤＥ。 １９．（７分）为了丰富校园生活、提高学生综合素质，某校开设了无人机、交响乐、诗词会、乒乓球四个社 团，分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ。为了解学生对这四个社团的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调 查结果整理后绘制成如下两幅均不完整的统计图表。 社团 频数 频率 Ａ：无人机 ３６ ０．４５ Ｂ：交响乐 ０．２５ Ｃ：诗词会 １６ ｂ Ｄ：乒乓球 ８ 合计 ａ １ 　　 请根据图表中提供的信息解答下列问题： （１）统计表中的ａ＝ ，ｂ＝ ； （２）求Ｄ对应扇形的圆心角度数； （３）甲、乙两位同学参加社团活动，若每人从Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四种社团中随机选取一种，请用画树状图或 列表格的方法求两人恰好选中同一社团的概率。 １４２０２３年芝罘区阶段检测练习题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ８２— — ８３— — ８４— ２０．（８分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某 校“综合与实践”活动小组的同学要测量ＡＢ，ＣＤ两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测 量方案：无人机在ＡＢ，ＣＤ两楼之间上方的点Ｏ处，点Ｏ距地面ＡＣ的高度为６０ｍ，此时观测到楼ＡＢ 底部点Ａ处的俯角为７０°，楼ＣＤ上点Ｅ处的俯角为３０°，沿水平方向由点Ｏ飞行２４ｍ到达点Ｆ，测得 点Ｅ处俯角为６０°，其中点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｏ均在同一竖直平面内。请根据以上数据求楼ＡＢ与ＣＤ之 间的距离ＡＣ的长。（结果精确到１ｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０．９４，ｃｏｓ７０°≈０．３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡３≈１．７３） ２１．（１０分）某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有 甲、乙、丙三种类型。已知１个丙种奖品的价格是１个甲种奖品价格的２倍，１个乙种奖品的价格比 １个甲种奖品的价格多１０元。用１２０元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的 总数量是乙种奖品数量的２倍。 （１）求１个甲、乙、丙三种奖品的价格分别为多少元？ （２）该校计划购买甲、乙、丙三种奖品共３００个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品数量的３倍， 且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和。求该校完成购买计划最多要花费多少元。 ２２．（１０分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６。用直尺和圆规按下列步骤作图： ①以点Ｂ为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边ＢＣ，ＡＢ于点Ｄ，Ｅ； ②分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，大于 １ ２ ＤＥ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ； ③作射线ＢＰ，交边ＡＣ于点Ｏ； ④以点Ｏ为圆心，ＯＣ的长为半径画⊙Ｏ，交射线ＢＰ于点Ｆ，Ｇ（点Ｇ在线段ＯＢ上），连接ＣＦ，ＣＧ。 （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）求⊙Ｏ的半径长； （２）求 ＣＧ ＣＦ 的值。 ２３．（１２分）阅读下列材料： 如图１，点Ａ，Ｄ，Ｅ在直线 ｌ上，且∠ＢＤＡ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＥＣ，则∠ＣＡＥ＋∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＤ＝１８０°，又因为 ∠ＡＢＤ＋∠ＢＤＡ＋∠ＢＡＤ＝１８０°，所以∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＤ。像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们 把它称为“一线三等角”图形。 请根据以上阅读解决下列问题： （１）如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，直线ＤＥ经过点Ｃ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＤＥ于点Ｄ，过点 Ｂ作ＢＥ⊥ＤＥ于点Ｅ。求证：△ＢＥＣ≌△ＣＤＡ； （２）如图３，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ上，∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＣ＝ＡＤ，∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ，ＡＢ＝槡２３，求点Ｃ到边 ＡＢ的距离； （３）如图４，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＢＣ上一点，Ｆ是边ＡＢ上一点。若∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，ＡＢ＝１０， ＢＥ＝４，ＥＦ＝６，求ＤＥ的长。 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ ２４．（１４分）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｘ＋ｃ经过坐标轴上Ａ，Ｂ，Ｃ三点，直线ｙ＝－ｘ＋４过点Ｂ和点Ｃ。 （１）求抛物线的解析式； （２）Ｅ是直线ＢＣ上方抛物线上一动点，连接ＢＥ，ＣＥ，求△ＢＣＥ面积的最大值及此时点Ｅ的坐标； （３）Ｑ是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点Ｐ，使得以Ｐ，Ｑ，Ｂ，Ｃ为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。