12 2024年栖霞市九年级数学试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ６７— — ６８— — ６９— 一、选择题（本大题共１０个小题，满分３０分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） １．４的算术平方根的平方根为 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 槡 槡Ａ．２ Ｂ．±２ Ｃ．２ Ｄ．－２ ２．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） 　 Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ３－ａ２＝ａ Ｂ．（ａｂ）３＝ａｂ３ Ｃ．ａ８÷ａ２＝ａ６ Ｄ．（ａ２）３＝ａ５ ４．已知点Ｍ（１－２ｍ，ｍ－１）关于原点的对称点在第一象限内，则ｍ的取值范围在数轴上表示正确的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．如图是一根空心方管，在研究物体的三种视图时，小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是 （　　） （１） 　　　 （２） 　　　 （３） 　　　 （４） Ａ．（１）（３） Ｂ．（１）（４） Ｃ．（２）（３） Ｄ．（２）（４） ６．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相 同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 （　　） Ａ． ３ ８ Ｂ． ５ １６ Ｃ． ５ ８ Ｄ． １ ２ 第６题图 　　　 第７题图 ７．某市国庆假期每日平均最高气温情况如图所示，下列说法错误的是 （　　） Ａ．这组数据的极差为１３℃ Ｂ．这组数据的众数和中位数都为２８℃ Ｃ．这组数据的标准差为２６．１２５℃ Ｄ．这组数据的平均数为２５．１２５℃ ８．如图，弹性小球从点Ｐ（０，１）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形ＯＡＢＣ的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，小球第１次碰到正方形的边时的点为Ｐ１（２，０），第２次碰到正方形的边时的点为 Ｐ２，……，第ｎ次碰到正方形的边时的点为Ｐｎ，则点Ｐ２０２４的坐标为 （　　） Ａ．（２，０） Ｂ．（４，３） Ｃ．（２，４） Ｄ．（４，１） 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴交于点Ａ（－１，０），与ｙ轴的交点Ｂ在点（０，２）与点（０，３）之间 （不包括这两点），对称轴为直线ｘ＝２。有下列结论：①ａｂｃ＜０；②９ａ＋３ｂ＋ｃ＞０；③－ ３ ５ ＜ａ＜－ ２ ５ ；④若点Ｍ ( １３，ｙ１)，Ｎ( ８ ３ ，ｙ２)在抛物线上，则ｙ１＜ｙ２。其中正确结论的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １０．如图，一个边长为２的菱形ＡＢＣＤ，∠ＤＡＢ＝６０°，过点Ａ作直线ｌ⊥ＡＢ，将直线ｌ沿线段ＡＢ向右平移， 直至ｌ经过点Ｃ时停止，在平移的过程中，若菱形在直线 ｌ左边的部分面积为 ｙ，则 ｙ与直线 ｌ平移 的距离ｘ之间的函数图象大致为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题（本大题共６个小题，满分１８分。只要求填写最后结果） １１．随着科技的不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有０．００００００００５米的 晶体管，该数用科学计数法表示为 米。 １２．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则计算结果为 。 １３．如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射。由于 折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的。若∠１＝４６°，∠２＝１７２°，则∠３的大小 为 度。 １４．在平面直角坐标系中，以原点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＣ放大为原来的２倍得到△ＤＥＦ，若点 Ａ的坐 标为（－１，２），则点Ｄ的坐标为 。 １５．若数ａ使关于ｘ的不等式组 ｘ－ａ＜２， ｘ－３ａ＞－２{ 无解，且使关于ｘ的分式方程 ａｘｘ－５－５５－ｘ＝－３有正整数解，则满 足条件的整数ａ的值为 。 １６．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长ＡＤ是⊙Ｏ的直径，Ｅ是ＡＢ上一点，将正方形的一个角沿ＣＥ折叠，使得 点Ｂ恰好与圆上的点Ｆ重合，则ｔａｎ∠ＡＥＦ＝ 。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：ａ２－(ａ－２ａａ＋１)÷ ａ２－２ａ＋１ ａ２－１ ，其中ａ是方程２ｘ２－２ｘ－１１＝０的解。 １８．（８分）某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学 生都需从“Ａ：乘坐电动车，Ｂ：乘坐普通公交车，Ｃ：乘坐校车，Ｄ：乘坐家庭汽车，Ｅ：步行或其他”这五 种方式中选择一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计 图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： 　　 （１）本次调查中，一共抽取了多少名学生进行调查？ （２）Ｅ选项对应的扇形圆心角为多少度？请补全条形统计图； （３）若该校共有学生１２６０人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是多少？ （４）若甲、乙两名学生放学时从Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五种方式中随机选择一种，请用列表法求出甲、乙两名 学生恰好选择同一种方式回家的概率。 １２２０２４年栖霞市九年级数学试题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ７０— — ７１— — ７２— １９．（８分）为建设山清水秀的幸福新栖霞，栖霞市在城区实施了“三河治理”工程。其中，民生桥是栖霞 市民生路白洋河段的一座关键大桥，为此，工程师们在桥上架设了一个漂亮大气的“Ａ”字形地标。 该地标采用斜拉索固定，如图。小帅站在桥边上点 Ａ处测得拉索 ＡＢ与桥边 ＡＣ的夹角为 ３６°，到 “Ａ”字形地标的一边ＣＤ上的距离 ＡＣ为５０．２３米，测得“Ａ”字形地标的一边 ＣＤ与桥面的夹角为 ６６°，若“Ａ”字形地标的边ＣＤ上的点Ｂ到地标顶尖Ｄ的距离为４米，请你帮小帅求出“Ａ”字形地标 高度ＤＥ。（结果精确至 ０．１米，参考数据：ｓｉｎ３６°≈０．５８７８，ｃｏｓ３６°≈０．８０９０，ｔａｎ３６°≈０．７２６５， ｓｉｎ６６°≈０．９１３５，ｃｏｓ６６°≈０．４０６７，ｔａｎ６６°≈２．２４６０） 　　 　　 ２０．（８分）如图，已知反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象经过点Ａ（４，２），过点Ａ作ＡＣ⊥ｙ轴于点Ｃ。点Ｂ是 该反比例函数图象上的一点，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ｘ轴于点 Ｄ，连接 ＡＤ。直线 ＢＣ与 ｘ轴的负半轴交于 点Ｅ。 （１）求反比例函数表达式； （２）若ＢＤ＝２ＯＣ，判断四边形ＡＣＥＤ的形状，并说明理由。 ２１．（９分）为保护环境，某公交公司计划购买Ａ型和Ｂ型两种环保节能公交车共１０辆，若购买Ａ型公交 车１辆，Ｂ型公交车２辆，则共需４００万元；若购买Ａ型公交车３辆，Ｂ型公交车２辆，则共需６００万元。 （１）购买Ａ型和Ｂ型公交车每辆各需多少万元？ （２）预计在某条线路上Ａ型和Ｂ型公交车每辆年均载客量分别为６０万人次和１００万人次，若该公 司购买Ａ型和Ｂ型公交车的总费用不超过１２００万元，且确保这１０辆公交车在该线路的年均载客 总量不少于６８０万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （３）在（２）的条件下，每种购车方案的费用分别为多少万元？哪种购车方案的总费用最少？最少总 费用为多少万元？ ２２．（１０分）如图，在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ。Ｅ是ＢＣ的中点，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交ＡＥ于点Ｄ。点Ｏ 是ＡＢ上一点，以点Ｏ为圆心，经过Ｂ，Ｄ两点作⊙Ｏ交ＢＣ于点Ｇ，交ＡＢ于点Ｆ。 （１）尺规作图：请据题意完成图形；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） （２）求证：ＡＥ与⊙Ｏ相切； （３）当ＡＣ＝１０，ｃｏｓＣ＝ ３ ５ 时，求⊙Ｏ的半径。 ２３．（１１分）类比探究是数学学习过程中常用的思想方法。小聪同学在一次数学兴趣小组活动中对如 下题目进行了探究，请你结合所学知识充分发挥聪明才智，一起参与进来吧！ 如图，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的一个动点，点Ｅ在射线ＢＣ上，且ＰＢ＝ＰＥ，连接 ＰＤ，Ｏ是 ＡＣ的中点。 （１）大胆猜想：如图１，当点Ｐ在线段ＯＡ上时，线段ＰＥ与ＰＤ有什么关系？ （２）类比探究：如图２，当点Ｐ在线段 ＯＣ上时，（１）中的猜想还成立吗？如果成立，请说明理由；如 果不成立，请写出新的结论； （３）拓展延伸：当点Ｐ在线段ＡＣ的延长线上，点Ｅ在直线ＢＣ上时，若∠ＢＰＤ＝３０°，ＢＰ＝５，请求出线 段ＢＥ的长。 图１ 　　　 图２ 　　　 备用图 ２４．（１２分）如图，已知二次函数ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），与ｙ轴交于点Ｃ。 （１）求抛物线的表达式； （２）Ｄ是抛物线的顶点，求△ＢＣＤ的面积； （３）抛物线上是否存在点Ｐ，使△ＢＣＰ是以ＢＣ为底的等腰三角形，若存在，求出点Ｐ的坐标，若不存 在，说明理由。 如图２， 图２ ∵ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，Ｍ是线段ＰＣ的中点， ∴ＭＥ＝ ＰＣ ２ ＝ＭＣ。∴∠ＭＣＥ＝∠ＭＥＣ。 ∴∠ＰＭＥ＝∠ＭＥＣ＋∠ＭＣＥ＝２∠ＭＣＥ。 同理可得∠ＰＭＦ＝２∠ＭＣＦ。 ∴∠ＥＭＦ＝∠ＰＭＥ＋∠ＰＭＦ＝２∠ＭＣＥ＋２∠ＭＣＦ＝ ２（∠ＭＣＥ＋∠ＭＣＦ）＝２∠ＥＣＦ。 ∵∠ＢＯＣ＝９０°，ＯＢ＝ＯＣ＝４， ∴∠ＥＣＦ＝∠ＥＢＯ＝４５°。 ∴∠ＥＭＦ＝２∠ＥＣＦ＝２×４５°＝９０°，即在旋转的过 程中，∠ＥＭＦ的大小不变，其度数为９０°。 ②由①知，△ＥＭＦ是等腰直角三角形， ∴ＥＦ＝槡２ＭＥ＝ 槡２ ２ ＰＣ。 ∴ＡＢ⊥ＰＣ时，ＰＣ最短。 ∵ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２＝槡２５，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ· ＰＣ＝Ｓ△ＡＯＢ＋Ｓ△ＢＯＣ＝ １ ２ ＯＡ·ＯＢ＋ １ ２ ＯＢ·ＯＣ， ∴ １ ２ ×槡２５·ＰＣ＝ １ ２ ×２×４＋ １ ２ ×４×４。 解得ＰＣ＝ 槡 １２５ ５ 。 ∴ＥＦ＝槡 ２ ２ ＰＣ＝槡 ２ ２ × 槡１２５ ５ ＝ 槡６ １０ ５ ，即线段 ＥＦ的最 小值为 槡 ６ １０ ５ 。 １２２０２４年栖霞市九年级数学试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ １．Ｂ　【解析】∵４的算数平方根为２，∴２的平方根为 槡±２，即４的算数平方根的平方根为 槡±２。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 该选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故该选项不符合题意；Ｃ是中心对称图形， 不是轴对称图形，故该选项不符合题意；Ｄ既是轴 对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意。 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．ａ３－ａ２无法再继续化简，故该选项不 符合题意；Ｂ．（ａｂ）３＝ａ３ｂ３，故该选项不符合题意；Ｃ． ａ８÷ａ２＝ａ６，故该选项符合题意；Ｄ．（ａ２）３＝ａ６，故该选 项不符合题意。故选Ｃ。 ４．Ａ　【解析】∵点Ｍ（１－２ｍ，ｍ－１）关于原点的对称点 （２ｍ－１，１－ｍ）在第一象限内，∴ ２ｍ －１＞０， １－ｍ＞０。{ 解得 ｍ＞ １ ２ ， ｍ＜１。{ 在数轴上表示为 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】小明画出的该空心方管的主视图与俯 视图分别是（２）（４）。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】由题图可知， ∴黑色区域在整个地板中所占的比值＝ ６ １６ ＝３ ８ 。 ∴该小球停留在黑色区域的概率是 ３ ８ 。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】Ａ．这组数据的最大值为 ２９，最小值为 １６，所以极差为２９－１６＝１３（℃），故该选项不符合题 意；Ｂ．这组数据中，２８出现４次，是出现次数最多的 数据，所以众数为 ２８℃，将数据由小到大排列为 １６，１８，２６，２８，２８，２８，２８，２９，所以中位数为 ２８＋２８ ２ ＝ ２８（℃）。故该选项不符合题意；Ｄ．该组数据的平均 数为 １ ８ （２６＋２８＋２８＋２９＋２８＋２８＋１８＋１６）＝２５．１２５（℃）， 故该选项不符合题意；Ｃ．该组数据的标准差为 １ ８ ［（２６－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２槡 ＋ （２９－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（１８－ ２５．１２５）２＋（１６－２５．１２５）２］≈４．７８（℃），故该选项符合题 意。故选Ｃ。 ８．Ｄ　【解析】根据反射角等于入射角，画图如下： 由图可知Ｐ２（４，１），Ｐ３（０，３），Ｐ４（２，４），Ｐ５（４，３），最 后再反射到 Ｐ（０，１）。由此可知每 ６次循环一次。 ∵２０２４÷６＝３３７……２，∴点Ｐ２０２４的坐标与Ｐ２相同。 ∴Ｐ２０２４（４，１）。故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】∵抛物线开口向下，与 ｙ轴交点在 ｘ轴 上方，∴ａ＜０，ｃ＞０。 ∵对称轴在ｙ轴右侧，∴ｂ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，点Ａ（－１，０）， ∴抛物线与ｘ轴另一交点的坐标为（５，０）。 ∴当ｘ＝３时，ｙ＞０。∴９ａ＋３ｂ＋ｃ＞０。故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝２，∴ｂ＝－４ａ。 当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＝ａ＋４ａ＋ｃ＝５ａ＋ｃ＝０， ∴ｃ＝－５ａ。由图象可得２＜ｃ＜３，∴２＜－５ａ＜３。 ∴－ ３ ５ ＜ａ＜－ ２ ５ 。故③正确； ∵２－ １ ３ ＞ ８ ３ －２，抛物线开口向下，                                                                —１４— ∴ｙ１＜ｙ２。故④正确。故选Ｄ。 １０．Ａ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＤＡＢ＝６０°， ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＣ＝２，∠Ｃ＝６０°。 ①当０≤ｘ≤１时，ｙ＝ １ ２ ｘ（ｘ·ｔａｎ６０°）＝槡 ３ ２ ｘ２，图象 是开口向上的抛物线的一部分； ②当１＜ｘ≤２时，ｙ＝ １ ２ ×１×槡３＋槡３（ｘ－１）＝槡３ｘ－ 槡３ ２ ，图象是线段； ③当２≤ｘ＜３时，ｙ＝２×槡３－ 槡３ ２ （３－ｘ）２＝－槡 ３ ２ ｘ２＋ 槡３３ｘ－ 槡５３ ２ ，图象是开口向下的抛物线的一部分。 综上所述，ｙ与ｘ之间的函数图象大致如选项Ａ所 示。故选Ａ。 １１．５×１０－９　【解析】０．００００００００５＝５×１０－９。 １２．槡２３＋ ７ ２ 　【解析】根据按键规则得出算式为 ４ｓｉｎ６０°＋３槡１２５－３×（－ ５ ６ ）－２２＝槡２３＋ ７ ２ 。 １３．５４　【解析】如图所示，标注字母。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＡＣ＋∠３＝１８０°。 ∵ＡＥ∥ＢＦ，∴∠１＝∠ＦＢＧ。 ∴∠ＤＢＧ＝∠２－∠ＦＢＧ＝∠２－∠１＝１２６°。 ∵ＡＣ∥ＢＤ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＢＧ＝１２６°。 ∴∠３＝１８０°－１２６°＝５４°。 １４．（－２，４）或（２，－４）　【解析】以原点 Ｏ为位似中心 放大到原来的２倍，即对应点的坐标乘以２或－２。 ∵点Ａ的坐标为（－１，２）， ∴点Ｄ的坐标为（－２，４）或（２，－４）。 １５．２或 ７　【解析】将不等式组 ｘ －ａ＜２， ｘ－３ａ＞－２{ 整理，得 ｘ＜ａ＋２， ｘ＞３ａ－２。{ 　 ∵关于ｘ的不等式组 ｘ －ａ＜２， ｘ－３ａ＞－２{ 无解， ∴３ａ－２≥ａ＋２，即ａ≥２。 分式方程去分母，得ａｘ＋５＝－３ｘ＋１５， 即（ａ＋３）ｘ＝１０。 ∵分式方程 ａｘ ｘ－５ －５ ５－ｘ ＝－３有正整数解， ∴ｘ＝ １０ ａ＋３ 。∴ａ＋３＝１或５或１０。 解得ａ＝－２或２或７。 ∵ａ≥２，∴ａ＝２或７。 综上，满足条件的整数ａ的值为２或７。 １６． ３ ４ 　【解析】如图，连接ＯＦ，ＯＣ。 在△ＯＣＦ和△ＯＣＤ中， ＯＦ＝ＯＤ， ＯＣ＝ＯＣ， ＣＦ＝ＣＤ，{ ∴△ＯＣＦ≌△ＯＣＤ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＯＦＣ＝∠ＯＤＣ＝９０°。 ∴ＣＦ是⊙Ｏ的切线。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴可设ＡＤ＝ＢＣ＝ＡＢ＝ＣＤ＝２。 ∵∠ＣＦＥ＝∠Ｂ＝９０°， ∴Ｅ，Ｆ，Ｏ三点共线。 ∵ＥＦ＝ＢＥ， ∴在△ＡＥＯ中，ＯＡ＝１，ＡＥ＝２－ＢＥ，ＯＥ＝１＋ＢＥ。 ∴（１＋ＢＥ）２＝１＋（２－ＢＥ）２。 ∴ＢＥ＝ ２ ３ 。∴ＡＥ＝ ４ ３ 。 ∴ｔａｎ∠ＡＥＦ＝ ３ ４ 。 １７．解：ａ２－(ａ－２ａａ＋１)÷ａ ２－２ａ＋１ ａ２－１ ＝ａ２－(ａ ２＋ａ ａ＋１ －２ａ ａ＋１)÷ （ａ －１）２ （ａ＋１）（ａ－１） ＝ａ２－ ａ（ａ－１） ａ＋１ · ａ＋１ ａ－１ ＝ａ２－ａ。 ∵ａ是方程２ｘ２－２ｘ－１１＝０的解， ∴２ａ２－２ａ－１１＝０。∴ａ２－ａ＝ １１ ２ 。 当ａ２－ａ＝ １１ ２ 时，原式＝ １１ ２ 。 １８．解：（１）６０÷３０％＝２００（人）， ∴本次调查中，一共抽取了２００名学生进行调查。 （２）４０÷２００×３６０°＝７２°， ∴Ｅ选项对应的扇形圆心角为７２度。 ２００－２０－６０－３０－４０＝５０（人）， 补全条形统计图如下： （３） ５０ ２００ ×１２６０＝３１５（人）， 估计该校学生放学选择乘坐校车的人数为３１５。                                                                —２４— （４）列表如下： 　甲 乙　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ａ （Ａ，Ａ）（Ａ，Ｂ）（Ａ，Ｃ）（Ａ，Ｄ）（Ａ，Ｅ） Ｂ （Ｂ，Ａ）（Ｂ，Ｂ）（Ｂ，Ｃ）（Ｂ，Ｄ）（Ｂ，Ｅ） Ｃ （Ｃ，Ａ）（Ｃ，Ｂ）（Ｃ，Ｃ）（Ｃ，Ｄ）（Ｃ，Ｅ） Ｄ （Ｄ，Ａ）（Ｄ，Ｂ）（Ｄ，Ｃ）（Ｄ，Ｄ）（Ｄ，Ｅ） Ｅ （Ｅ，Ａ）（Ｅ，Ｂ）（Ｅ，Ｃ）（Ｅ，Ｄ）（Ｅ，Ｅ） 表中共有２５个等可能的结果，甲、乙两名学生恰 好选择同一种方式回家的结果有５个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种方式回家的概 率为 ５ ２５ ＝１ ５ 。 １９．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ３６°＝ ＢＣ ＡＣ ， ∴ＢＣ＝ＡＣ·ｔａｎ３６°≈５０．２３×０．７２６５≈３６．４９（米）。 ∴ＣＤ＝ＢＣ＋ＢＤ＝３６．４９＋４＝４０．４９（米）。 在Ｒｔ△ＤＣＥ中，ｓｉｎ６６°＝ ＤＥ ＣＤ ， ∴ＤＥ＝ＣＤ·ｓｉｎ６６°≈４０．４９×０．９１３５≈３７．０（米）。 答：“Ａ”字形地标高度ＤＥ约为３７．０米。 ２０．解：（１）把Ａ（４，２）代入反比例函数表达式， 得２＝ ｋ ４ ，解得ｋ＝８。 ∴反比例函数表达式为ｙ＝ ８ ｘ 。 （２）四边形ＡＣＥＤ是平行四边形。理由如下： 由（１）知，反比例函数表达式为ｙ＝ ８ ｘ 。 ∵ＡＣ⊥ｙ轴，ＢＤ⊥ｘ轴，Ａ（４，２），∴ＡＣ＝４，ＯＣ＝２。 ∵ＢＤ＝２ＯＣ，∴ＢＤ＝２×２＝４。 ∵ＢＤ⊥ｘ轴，∴点Ｂ的纵坐标为４，代入ｙ＝ ８ ｘ 中， 得４＝ ８ ｘ ，解得ｘ＝２。 设直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 ∵Ｂ（２，４），Ｃ（０，２），∴ ２ｋ ＋ｂ＝４， ｂ＝２，{ 解得 ｋ＝１，ｂ＝２。{ ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｘ＋２。 令ｙ＝０，得０＝ｘ＋２，解得ｘ＝－２。 ∴Ｅ（－２，０）。 ∴ＤＥ＝２－（－２）＝４。 ∵ＡＣ＝４，ＤＥ＝４，ＡＣ∥ＤＥ， ∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形。 ２１．解：（１）设购买 Ａ型公交车每辆需 ｘ万元，Ｂ型公 交车每辆需ｙ万元， 由题意，得 ｘ＋２ｙ＝４００， ３ｘ＋２ｙ＝６００。{ 解得 ｘ＝１００，ｙ＝１５０。{ 答：购买Ａ型公交车每辆需１００万元，Ｂ型公交车 每辆需１５０万元。 （２）设购买 Ａ型公交车 ａ辆，则购买 Ｂ型公交车 （１０－ａ）辆。 由题意，得 １００ａ＋１５０（１０－ａ）≤１２００， ６０ａ＋１００（１０－ａ）≥６８０。{ 解得６≤ａ≤８。 故该公司有下面三种购车方案： ①购买Ａ型公交车６辆，Ｂ型公交车４辆； ②购买Ａ型公交车７辆，Ｂ型公交车３辆； ③购买Ａ型公交车８辆，Ｂ型公交车２辆。 （３）①购买Ａ型公交车６辆，Ｂ型公交车４辆的费 用：１００×６＋１５０×４＝１２００（万元）； ②购买Ａ型公交车７辆，Ｂ型公交车３辆的费用： １００×７＋１５０×３＝１１５０（万元）； ③购买Ａ型公交车８辆，Ｂ型公交车２辆的费用： １００×８＋１５０×２＝１１００（万元）。 因为１１００＜１１５０＜１２００，所以购买 Ａ型公交车 ８ 辆，Ｂ型公交车２辆的总费用最少，最少总费用为 １１００万元。 ２２．解：（１）根据题意完成图形如图１。 图１ （２）证明：如图２，连接ＯＤ，则ＯＤ＝ＯＢ， 图２ ∴∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＯＢＤ＝∠ＥＢＤ。 ∴∠ＯＤＢ＝∠ＥＢＤ。 ∴ＯＤ∥ＢＥ。∴∠ＡＤＯ＝∠ＡＥＢ。 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ是中线， ∴ＡＥ⊥ＢＣ。 ∴∠ＡＤＯ＝∠ＡＥＢ＝９０°。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＡＥ与⊙Ｏ相切。 （２）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，Ｅ是ＢＣ的中点， ∴ＢＥ＝ １ ２ ＢＣ。 ∴在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｃｏｓ∠ＡＢＥ＝ｃｏｓＣ＝ ＢＥ ＡＢ ＝ＢＥ １０ ＝３ ５ 。 ∴ＢＥ＝６。 设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＡＯ＝１０－ｒ。 ∵ＯＤ∥ＢＣ，∴△ＡＯＤ∽△ＡＢＥ。 ∴ ＯＤ ＢＥ ＝ＡＯ ＡＢ ，即 ｒ ６ ＝１０ －ｒ １０ 。∴ｒ＝ １５ ４ 。                                                                —３４— ∴⊙Ｏ的半径为 １５ ４ 。 ２３．解：（１）ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＢＣ＝ＣＤ，∠ＢＣＰ＝∠ＤＣＰ＝４５°，∠ＢＣＤ＝９０°。 ∵ＰＣ＝ＰＣ，∴△ＢＣＰ≌△ＤＣＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＢ＝ＰＤ，∠ＰＢＥ＝∠ＰＤＣ。 ∵ＰＢ＝ＰＥ，∴ＰＤ＝ＰＥ，∠ＰＢＣ＝∠ＰＥＢ。 ∴∠ＰＤＣ＝∠ＰＥＢ。 ∵∠ＰＥＢ＋∠ＰＥＣ＝１８０°，∴∠ＰＤＣ＋∠ＰＥＣ＝１８０°。 ∵∠ＰＤＣ＋∠ＰＥＣ＋∠ＤＰＥ＋∠ＤＣＥ＝３６０°， ∴∠ＤＰＥ＝９０°。∴ＰＥ⊥ＰＤ。 ∴ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。 （２）成立。理由如下： 如图１，标注∠１，∠２。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＣ是对角线， 图１ ∴ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＰ＝４５°。 ∵ＰＡ＝ＰＡ， ∴△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＢ＝ＰＤ。 又∵ＰＢ＝ＰＥ，∴ＰＥ＝ＰＤ。 ∵△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ， ∴∠ＡＢＰ＝∠ＡＤＰ。∴∠ＣＢＰ＝∠ＣＤＰ。 ∵ＰＢ＝ＰＥ，∴∠ＣＢＰ＝∠ＰＥＣ。∴∠ＰＥＣ＝∠ＰＤＣ。 ∵∠１＝∠２，∴∠ＤＰＥ＝∠ＤＣＥ＝９０°。 ∴ＰＥ⊥ＰＤ。 ∴ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。 （３）如图２，点Ｐ在ＡＣ的延长线上时， 过点Ｐ作ＰＨ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于点Ｈ。 图２ ∵ＰＢ＝ＰＥ，ＰＨ⊥ＢＥ， ∴ＢＥ＝２ＢＨ。 同理可证△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＢＰＡ＝∠ＤＰＡ＝ １ ２∠ ＢＰＤ＝１５°。 ∵∠ＢＣＰ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝１３５°， ∴∠ＰＢＨ＝１８０°－∠ＢＰＣ－∠ＢＣＰ＝３０°。 ∴ＰＨ＝ １ ２ ＰＢ＝ ５ ２ 。 ∴ＢＨ＝ ＰＢ２－ＰＨ槡 ２＝槡５３ ２ 。 ∴ＢＥ＝槡５３。 ２４．解：（１）∵二次函数 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点 Ａ （－１，０），Ｂ（３，０）， ∴ －１－ｂ＋ｃ＝０， －９＋３ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ｂ＝２，ｃ＝３。{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）在ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３中， 令ｘ＝０，得ｙ＝３，∴Ｃ（０，３）。 设直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 则 ３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝３，{ 解得 ｍ＝－１，ｎ＝３。{ ∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３。 ∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－（ｘ－１）２＋４， ∴Ｄ（１，４）。 如图，过点Ｄ作 ＤＥ⊥ｘ轴交直 线ＢＣ于点Ｅ， 则Ｅ（１，２）。∴ＤＥ＝４－２＝２。 ∴Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＢＤＥ＋Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ２ ×２×２＋ １ ２ ×２×１＝３。 （３）∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３），∴ＯＣ＝ＯＢ。 ∵△ＢＣＰ是以ＢＣ为底的等腰三角形，∴ＰＢ＝ＰＣ。 ∴点Ｐ在∠ＢＯＣ的角平分线上，即直线ｙ＝ｘ上。 联立，得 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３， ｙ＝ｘ，{ 解得 ｘ＝ １－槡１３ ２ ， ｙ＝ １－槡１３ ２ ，      或 ｘ＝ １＋槡１３ ２ ， ｙ＝ １＋槡１３ ２ 。      ∴Ｐ(１－槡１３２ ，１ －槡１３ ２ )或 (１ ＋槡１３ ２ ， １＋槡１３ ２ )。 １３２０２４年海阳市初四学业质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ １．Ｃ　【解析】∵π是无理数，又∵－２，－１，０的绝对值 分别为２，１，０，∴绝对值最大的有理数为－２。 故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】ａ６·ａ２＝ａ８，故 Ａ选项错误；ａ６÷ａ２＝ａ４， 故Ｂ选项错误；２ａ３＋３ａ２无法再继续化简，故Ｃ选项 错误；（－ａ３）２＝ａ６，故Ｄ选项正确。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】如图，标注三角形的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ。 ∠２＝∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ。 由折叠，得∠ＢＣＡ＝∠１＝２０°。 ∵纸条的长边平行，∴∠ＡＢＣ＝∠１＝２０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＡ。 ∴∠２＝∠ＢＡＣ＝１８０°－２∠ＡＢＣ＝１８０°－２∠１＝１８０°－ ２×２０°＝１４０°。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ．正三角形、正八边形内角分别为６０°， １３５°，显然不能构成３６０°的周角，故不能铺满；Ｂ．正 方形、正八边形内角分别为９０°，１３５°，由于１３５×２＋ ９０＝３６０°，故能铺满；Ｃ．，正五边形、正八边形内角分 别为１０８°，１３５°，显然不能构成３６０°的周角，故不能 铺满；Ｄ．正六边形、正八边形内角分别为 １２０°，                                                                —４４—