11 2024年招远市初中学业水平适应性考试数学试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

∴３２＋（５－ｂ）２＝（３＋ｂ）２。 ∴ｂ＝ ２５ １６ 。 综上所述，ＣＭ的长为 ２５ １２ 或 ２５ １６ 。 ２４．解：（１）令ｙ＝０，得 １ ３ ｘ＋１＝０， 解得ｘ＝－３。 ∴点Ａ的坐标为（－３，０）。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１， ∴点Ｃ的坐标为（１，０）。 ∴ｙ＝－（ｘ＋３）（ｘ－１）＝－ｘ２－２ｘ＋３。 （２）∵抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３的对称轴为直线ｘ＝－１， ∴点Ｄ的坐标为（－１，０）。 ①当△ＡＤＥ∽△ＡＯＢ时，∠ＡＤＥ＝∠ＡＯＢ＝９０°， 此时点Ｐ在对称轴上，即Ｐ是抛物线的顶点， 当ｘ＝－１时，ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝４， ∴点Ｐ的坐标为（－１，４）； ②当△ＡＥＤ∽△ＡＯＢ时，∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＢ＝９０°， 如图，过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＣ于点Ｇ， 则△ＡＥＤ∽△ＰＧＤ。 ∴ ＤＥ ＡＥ ＝ＤＧ ＰＧ 。 ∵△ＡＥＤ∽△ＡＯＢ。 ∴ ＤＥ ＡＥ ＝ＯＢ ＯＡ 。 ∵直线ｙ＝ １ ３ ｘ＋１与ｙ轴的交点为Ｂ， ∴点Ｂ的坐标为（０，１）。∴ＯＢ＝１。 ∵点Ａ的坐标为（－３，０），∴ＯＡ＝３。 ∴ ＤＧ ＰＧ ＝ＯＢ ＯＡ ＝１ ３ 。∴ＰＧ＝３ＤＧ。 设Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３）（－３＜ｔ＜０）， 则－ｔ２－２ｔ＋３＝３（－１－ｔ）。 ∴ｔ２－ｔ－６＝０。 解得 ｔ１＝－２，ｔ２＝３（不合题意，舍去）。 当ｔ＝－２时，ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝３， ∴点Ｐ的坐标为（－２，３）。 综上所述，点Ｐ的坐标为（－１，４）或（－２，３）。 （３）存在。设Ｎ（ｎ，－ｎ２－２ｎ＋３），Ｍ（－１，ｍ）。 ∵Ａ（－３，０），Ｂ（０，１）， ∴当以线段ＡＢ为边时，四边形ＡＢＮＭ对角线交点 横坐标可以表示为 ０－１ ２ ＝ｎ －３ ２ ，解得ｎ＝２。 ∴Ｎ１（２，－５）； 当以线段ＡＢ为边时，四边形ＡＢＭＮ对角线交点横 坐标可以表示为 －１－３ ２ ＝０ ＋ｎ ２ ，解得ｎ＝－４。 ∴Ｎ２（－４，－５）； 当以线段ＡＢ为对角线时，四边形ＭＡＮＢ对角线交 点横坐标可以表示为 ０－３ ２ ＝ｎ －１ ２ ，解得ｎ＝－２。 ∴Ｎ３（－２，３）。 综上，点Ｎ的坐标为（２，－５），（－４，－５），（－２，３）。 １１２０２４年招远市初中学业水平适应性考试数学试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ １．Ｃ　【解析】 槡∵ １６＝４，４的算术平方根是２， 槡∴ １６的算术平方根是２。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】根据三视图的概念，可知选项 Ａ中的图 形为主视图，选项Ｂ中的图形为俯视图，选项 Ｄ中 的图形为左视图。故选Ａ。 ３．Ｄ　【解析】３ａ４·５ａ４＝１５ａ８。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】∵ｔａｎＡ＝０．１８９０， ∴利用科学计算器求∠Ａ的度数，按键顺序为 ２ｎｄＦ—ｔａｎ—０．１８９０—＝。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】∵当ｘ＝０时，ｙ＝ａｘ２－４ｘ＝０，即抛物线ｙ＝ ａｘ２－４ｘ经过原点，故Ａ错误； ∵反比例函数ｙ＝ ｂ ｘ 的图象在第一、三象限，∴ｂ＞０。 当ａ＜０时，抛物线ｙ＝ａｘ２－４ｘ的对称轴为直线ｘ＝ ２ ａ ＜０，对称轴在ｙ轴左边，故Ｄ错误； 当ａ＞０时，直线ｙ＝ｂｘ＋ａ经过第一、二、三象限，故Ｂ 错误，Ｃ正确。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】Ａ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题；Ｂ．顺 次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，则原 四边形对角线相等，但不一定是矩形，原命题是假 命题；Ｃ．位似图形一定是相似图形，原命题是真命 题；Ｄ．已知Ｃ是线段 ＡＢ的黄金分割点，且 ＡＣ＞ＢＣ， 若ＡＢ＝２，则ＡＣ＝槡５－１，原命题是假命题。故选Ｃ。 ７．Ｃ　【解析】由图形可知对应点的连线 ＣＣ′，ＡＡ′的垂 直平分线的交点为（１，－１）。 根据旋转变换的性质，点（１，－１）即为旋转中心。 ∴点Ｐ的坐标为（１，－１）。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】由题中正六边形变为扇形过程可知ＥＡＣ) 的长度＝４ａ，∴Ｓ２＝ １ ２ ×４ａ×ａ＝２ａ２。 在正六边形中，ＯＭ⊥ＤＥ，如图所示， 由正六边形性质可知△ＯＥＤ是等边三角形，                                                                —７３— 在Ｒｔ△ＯＥＤ中，∠ＯＭＤ＝９０°。 ∵ＯＤ＝ａ，ＭＤ＝ １ ２ ａ， ∴ＯＭ＝ ＯＤ２－ＭＤ槡 ２＝槡３ ２ ａ。 ∵Ｓ１＝６× １ ２ ×ａ×槡 ３ ２ ａ＝槡 ３３ ２ ａ２， ∴ Ｓ１ Ｓ２ ＝槡３３ ４ 。故选Ａ。 ９．Ｄ　【解析】∵两个函数 ｙ１，ｙ２的图象关于 ｙ轴对 称，则称这两个函数互为“Ｙ函数”，∴“Ｙ函数”上 的点关于ｙ轴对称。 设所求“Ｙ函数”上任意一点为（ｘ，ｙ）， 则其关于ｙ轴对称的点（－ｘ，ｙ）必在函数 ｙ＝ｋｘ２＋ ２（ｋ－２）ｘ＋ｋ－８上。 ∴ｙ＝ｋｘ２－２（ｋ－２）ｘ＋ｋ－８是“Ｙ函数”的解析式。 又∵“Ｙ函数”图象与ｘ轴只有一个交点， ∴Δ＝４（ｋ－２）２－４ｋ（ｋ－８）＝０。∴ｋ＝－１。 ∴“Ｙ函数”的解析式为ｙ＝－ｘ２＋６ｘ－９。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】如图，过点 Ｂ，Ｄ分别作 ｙ＝２ｘ＋４的平 行线，交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ。 由图象和题意可得ＡＥ＝１１－１０＝１，ＣＦ＝１６－１５＝１， ＢＥ＝ＤＦ＝槡１０，ＢＦ＝ＤＥ＝１５－１１＝４，则 ＡＢ＝ ＢＥ２－ＡＥ槡 ２＝ （槡１０） ２－１槡 ２＝３，ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ＝４＋ １＝５。∴矩形ＡＢＣＤ的面积为ＡＢ·ＢＣ＝３×５＝１５。 故选Ｂ。 １１．ｎ（２ｍ－１）２　【解析】原式 ＝ｎ（４ｍ２－４ｍ＋１）＝ ｎ（２ｍ－１）２。　 １２．２９°　【解析】∵ＡＢ＝ＡＤ，∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ。 ∵∠ＢＡＤ＝６４°，∴∠ＡＤＢ＝ １８０°－６４° ２ ＝５８°。 ∵ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＤＡＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＣ＝ １ ２∠ ＡＤＢ＝２９°。 １３．－３≤ｘ＜６　【解析】∵ｘ＋ａ＝１，∴ｘ＝－ａ＋１。 ∵－５＜ａ≤４，∴－４≤－ａ＜５。 ∴－３≤－ａ＋１＜６。∴－３≤ｘ＜６。 １４． 槡 １１３ ２ 　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，四边形 Ａ′ＢＣＤ′是平行四边形， ∴Ａ′Ｄ′∥ＢＣ，ＢＣ∥ＡＤ。∴Ａ′Ｄ′∥ＡＤ。 ∵ＣＤ⊥ＡＤ，∴ＣＤ⊥Ａ′Ｄ′。∴∠ＣＥＤ′＝９０°。 ∵ＣＤ′＝Ａ′Ｂ＝ＡＢ＝槡２３，ＣＥ＝ １ ２ ＣＤ＝槡３， ∴Ｄ′Ｅ＝ （槡２３） ２－（槡３）槡 ２＝３。 ∵Ａ′Ｄ′＝ＢＣ＝７， ∴Ａ′Ｅ＝Ａ′Ｄ′－Ｄ′Ｅ＝７－３＝４。 ∴Ｓ重叠部分＝Ｓ梯形Ａ′ＢＣＥ＝ １ ２ （４＋７）×槡３＝ 槡１１３ ２ 。 １５．槡２＋２　【解析】如图，过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，过 点Ｐ作ＰＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，交ＡＢ于点Ｄ，连接ＰＡ。 ∵ＡＢ＝槡２３，∴ＡＥ＝槡３。∵ＰＡ＝２，∴ＰＥ＝１。 ∵点Ｄ在直线ｙ＝ｘ上，∴∠ＡＯＣ＝４５°。 ∵∠ＤＣＯ＝９０°，∴∠ＯＤＣ＝４５°。 ∴∠ＰＤＥ＝∠ＯＤＣ＝４５°。∴∠ＤＰＥ＝∠ＰＤＥ＝４５°。 ∴ＤＥ＝ＰＥ＝１。∴ＰＤ＝槡２。 ∵⊙Ｐ的圆心为（２，ａ）， ∴点Ｄ的横坐标为２。∴ＯＣ＝２。 ∴ＣＤ＝ＯＣ＝２。 ∴ａ＝ＰＤ＋ＣＤ＝槡２＋２。 图１ １６．３０°或６０°或１５０°　【解析】如图１， 当ＢＤ′＝ＢＣ时， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＤ。 由旋转的性质，得 ＡＤ′＝ＡＤ＝ＡＢ＝ ＢＣ＝ＢＤ′，∠ＤＡＢ＝９０°， ∴△ＡＢＤ′是等边三角形。 ∴∠ＢＡＤ′＝６０°。 ∴∠ＤＡＤ′＝１５０°，即α＝１５０°； 图２ 如图２，当ＢＤ′＝ＢＣ时， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＤ。 由旋转的性质，得 ＡＤ′＝ＡＤ＝ＡＢ＝ ＢＣ＝ＢＤ′，∠ＤＡＢ＝９０°， ∴△ＡＢＤ′是等边三角形。 ∴∠ＢＡＤ′＝６０°。∴∠ＤＡＤ′＝３０°，即α＝３０°； 图３ 如图３，当ＢＤ′＝ＣＤ′时，连接ＤＤ′， ∴点Ｄ′在线段ＢＣ的垂直平分线上。 ∴ＤＤ′＝ＡＤ′。 由旋转的性质，得ＡＤ′＝ＡＤ＝ＤＤ′， ∴△ＡＤＤ′是等边三角形。 ∴∠ＤＡＤ′＝６０°，即α＝６０°； 当ＣＤ′＝ＢＣ＝ＡＤ时，此种情况不存在。 综上所述，α＝３０°或６０°或１５０°。 １７．解： ｘ－３ ｘ２－４ｘ＋４ ÷ｘ ｘ－２ ＋ １ ｘ２－２ｘ ＝ ｘ －３ （ｘ－２）２ ×ｘ －２ ｘ ＋ １ ｘ２－２ｘ ＝ ｘ －３ ｘ（ｘ－２） ＋ １ ｘ（ｘ－２） ＝１ ｘ 。 当ｘ＝－ １ ３ 时，原式＝ １ －１ ３ ＝－３。 １８．解：（１）本次被调查的学生有７０÷３５％＝２００（人）， 扇形统计图中Ａ（旅游管理）专业所对应的圆心角 的度数为 ４０ ２００ ×３６０°＝７２°。故答案为２００；７２°。                                                                —８３— （２）选择“信息技术”的人数有 ２００－４０－７０－３０＝ ６０，所以补全条形统计图如下： ６０ ２００ ×３００＝９０（人）。故答案为９０。 （３）画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两 名同学的结果有２种， 所以Ｐ（恰好抽到甲、丙两名同学）＝ ２ １２ ＝１ ６ 。 １９．解：（１）如图１，点Ｄ即为所求。 图１ （２）如图２，取格点 Ｆ，连接 ＰＦ交 ＡＣ于点 Ｅ，点 Ｅ 即为所求。 图２ 由图可知四边形ＡＭＣＦ是正方形， ∴直线ＡＣ是线段ＭＦ的垂直平分线。 ∴ＥＭ＝ＥＦ。 ∴ＰＥ＋ＥＭ＝ＰＥ＋ＥＦ。 ∵点Ｐ，Ｅ，Ｆ共线，ＰＥ＋ＥＦ＝ＰＦ， ∴此时ＰＥ＋ＥＭ最小。 以Ｍ为原点，ＣＭ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐 标系，则Ａ（０，４），Ｃ（４，０），Ｐ（－１，２），Ｆ（４，４）， ∴直线ＡＣ的表达式为 ｙ＝－ｘ＋４，直线 ＰＦ的表达 式为ｙ＝ ２ ５ ｘ＋ １２ ５ 。 联立 ｙ＝－ｘ＋４， ｙ＝ ２ ５ ｘ＋ １２ ５ ，{ 解得 ｘ＝ ８ ７ ， ｙ＝ ２０ ７ ，{ ∴Ｅ( ８７，２０７)。 ∴ＡＥ＝ (０－８７) ２ ＋(４－２０７)槡 ２ ＝槡８２ ７ 。 ∵ＡＣ＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２， ∴ ＡＥ ＡＣ ＝ 槡８２ ７ 槡４２ ＝２ ７ 。 ２０．解：（１）设乙种空调每台进价为 ｘ元，则甲种空调 每台进价为（ｘ＋５００）元。 由题意，得 １５０００ ｘ ＝２００００ ｘ＋５００ 。解得ｘ＝１５００。 经检验，ｘ＝１５００是原方程的解，且符合题意。 ∴ｘ＋５００＝１５００＋５００＝２０００。 答：甲种空调每台进价为２０００元，乙种空调每台 进价为１５００元。 （２）由题意，得ｙ＝（２６００－２０００）ｘ＋（１９００－１５００） （２０－ｘ）＝２００ｘ＋８０００， ∴所获利润ｙ（元）与甲种空调 ｘ（台）之间的函数 关系式为ｙ＝２００ｘ＋８０００。 （３）由题意，得２０００ｘ＋１５００（２０－ｘ）≤３７５００。 解得ｘ≤１５。 又∵ｘ≥１０，∴１０≤ｘ≤１５。 ∵２００＞０，∴所获利润ｙ（元）随甲种空调ｘ（台）的 增大而增大。 ∴当 ｘ＝１５时，ｙ取最大值，最大值为 ２００×１５＋ ８０００＝１１０００。此时２０－ｘ＝２０－１５＝５。 答：甲种空调购进１５台，乙种空调购进５台时，所 获得的利润最大，最大利润为１１０００元。 ２１．（１）证明：∵ＤＥ＝ＤＧ，ＥＦ＝ＤＥ，∴ＤＧ＝ＥＦ。 ∵ＤＧ∥ＥＦ，∴四边形ＤＥＦＧ是平行四边形。 ∵ＤＧ＝ＤＥ，∴平行四边形ＤＥＦＧ是菱形。 （２）解：如图，当四边形ＤＥＦＧ是正方形时，设正方 形的边长为ｘ。 ∴ＤＧ∥ＡＢ。∴∠ＣＧＤ＝∠ＣＢＡ。 ∴ｓｉｎ∠ＣＧＤ＝ｓｉｎ∠ＣＢＡ。∴ ＣＤ ＤＧ ＝ＣＡ ＡＢ 。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４， ∴ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２＝５。 ∴ ＣＤ ｘ ＝３ ５ 。∴ＣＤ＝ ３ ５ ｘ。 同理可求得ＡＤ＝ ５ ４ ｘ。 ∵ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＣ，∴ ３ ５ ｘ＋ ５ ４ ｘ＝３。∴ｘ＝ ６０ ３７ 。 ∴ＣＤ＝ ３ ５ ｘ＝ ３６ ３７ 。 ∴线段ＣＤ的长为 ３６ ３７ 。                                                                —９３— 图１ ２２．解：（１）如图１，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ ＡＭ于点Ｇ。 ∵ＡＢ⊥ＡＭ，ＤＥ⊥ＡＭ， ∴ＡＢ∥ＣＧ∥ＤＥ。 ∴∠ＤＣＧ＋∠Ｄ＝１８０°。 ∴∠ＤＣＧ＝１８０°－∠Ｄ＝１８０°－ ８０°＝１００°。 ∴∠ＢＣＧ＝∠ＢＣＤ－∠ＧＣＤ＝１３０°－１００°＝３０°。 ∵ＡＢ∥ＣＧ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＧ＝１８０°。 ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＢＣＧ＝１８０°－３０°＝１５０°。 ∴挖掘机在初始位置时动臂 ＢＣ与 ＡＢ的夹角 ∠ＡＢＣ的度数为１５０°。 （２）如图２，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＡＭ于点 Ｈ，过点 Ｃ作 图２ ＣＫ⊥ＤＨ于点Ｋ。 由题意可知 ＨＫ＝ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ ＝１＋１．２＝２．２（米）， ∠ＡＣＫ＝９０°。 ∵∠ＢＣＤ＝１３０°， ∴∠ＤＣＫ＝４０° 在Ｒｔ△ＣＫＤ中， ｓｉｎ∠ＤＣＫ＝ ＤＫ ＣＤ ， ∴ＤＫ＝ＣＤ·ｓｉｎ４０°≈１．６×０．６４＝１．０２４（米）， ∴ＤＨ＝ＤＫ＋ＫＨ≈１．０２４＋２．２≈３．２（米）。 ∴斗杆顶点Ｄ最高点的位置距地面约３．２米。 ２３．（１）证明：设线段 ＣＥ的长为 ｘ，根据切线长定理， 得ＡＥ＝ＡＤ＝ｍ，ＢＦ＝ＢＤ＝ｎ，ＣＦ＝ＣＥ＝ｘ。 ∵∠Ｃ＝９０°， ∴在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理， 得（ｘ＋ｍ）２＋（ｘ＋ｎ）２＝（ｍ＋ｎ）２。 整理，得ｘ２＋ｘ（ｍ＋ｎ）＝ｍｎ。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ×（ｘ＋ｍ）（ｘ＋ｎ）＝ １ ２ ｘ２＋ｘ（ｍ＋ｎ）＋ｍｎ[ ] ＝ １ ２ （ｍｎ＋ｍｎ）＝ｍｎ。 ∴△ＡＢＣ的面积等于ｍｎ。 （２）证明：由（１）可知ＡＥ＝ＡＤ＝ｍ，ＢＦ＝ＢＤ＝ｎ，ＣＦ＝ ＣＥ＝ｘ，∴ＡＣ＝ｍ＋ｘ，ＢＣ＝ｎ＋ｘ。 ∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝（ｍ＋ｘ）２＋（ｎ＋ｘ）２＝ｍ２＋２ｍｘ＋ｘ２＋ｎ２＋ ２ｎｘ＋ｘ２＝２ｘ２＋２ｘ（ｍ＋ｎ）＋ｍ２＋ｎ２。 ∵ＡＣ·ＢＣ＝２ｍｎ，∴（ｍ＋ｘ）（ｎ＋ｘ）＝２ｍｎ。 ∴ｘ２＋ｘ（ｍ＋ｎ）＋ｍｎ＝２ｍｎ，即ｘ２＋ｘ（ｍ＋ｎ）＝ｍｎ。 ∴２ｘ２＋２ｘ（ｍ＋ｎ）＝２ｍｎ。 ∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝２ｍｎ＋ｍ２＋ｎ２＝（ｍ＋ｎ）２。 又∵ＡＢ２＝（ｍ＋ｎ）２，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２。 ∴△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°。 （３）解：如图，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ。 在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＡＧ＝ＡＣ·ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ （ｘ＋４）， ＣＧ＝ＡＣ·ｃｏｓ６０°＝ １ ２ （ｘ＋４）， ∴ＢＧ＝ＢＣ－ＣＧ＝（ｘ＋５）－ １ ２ （ｘ＋４）。 在Ｒｔ△ＡＢＧ中，根据勾股定理，得 [槡３２（ｘ＋４）] ２ ＋[（ｘ＋５）－１２（ｘ＋４）] ２ ＝（４＋５）２。 整理，得ｘ２＋（４＋５）ｘ＝３×４×５。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＧ ＝１ ２ ×（ｘ＋５）·槡 ３ ２ （ｘ＋４） ＝槡３ ４ ［ｘ２＋（４＋５）ｘ＋４×５］ ＝槡３ ４ ×（３×４×５＋４×５） ＝ 槡２０３。 ２４．解：（１）∵当ｘ１＋ｘ２＝２时，总有ｙ１＝ｙ２， ∴此抛物线的对称轴为直线ｘ＝１。 ∴－ ｂ ２×(－１２) ＝１。 ∴ｂ＝１。 （２）如图１，连接ＯＤ。 图１ 由（１），得ｂ＝１， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｘ＋４ ＝－１ ２ （ｘ－１）２＋ ９ ２ 。 ∴点Ｄ的坐标为（１， ９ ２ ）。 令ｙ＝０，得－ １ ２ ｘ２＋ｘ＋４＝０，解得ｘ１＝－２，ｘ２＝４。 ∴点Ａ的坐标为（－２，０），点Ｃ的坐标为（４，０）。 令ｘ＝０，得ｙ＝４， ∴点Ｂ的坐标为（０，４）。 ∴ＯＡ＝２，ＯＢ＝４，ＯＣ＝４。 ∴Ｓ四边形ＡＢＤＣ＝Ｓ△ＡＯＢ＋Ｓ△ＢＯＤ＋Ｓ△ＣＯＤ＝ １ ２ ×２×４＋ １ ２ ×４× １＋ １ ２ ×４× ９ ２ ＝１５。 ∴四边形ＡＢＤＣ的面积为１５。 （３）①不变化。理由如下：                                                                —０４— 如图２， 图２ ∵ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，Ｍ是线段ＰＣ的中点， ∴ＭＥ＝ ＰＣ ２ ＝ＭＣ。∴∠ＭＣＥ＝∠ＭＥＣ。 ∴∠ＰＭＥ＝∠ＭＥＣ＋∠ＭＣＥ＝２∠ＭＣＥ。 同理可得∠ＰＭＦ＝２∠ＭＣＦ。 ∴∠ＥＭＦ＝∠ＰＭＥ＋∠ＰＭＦ＝２∠ＭＣＥ＋２∠ＭＣＦ＝ ２（∠ＭＣＥ＋∠ＭＣＦ）＝２∠ＥＣＦ。 ∵∠ＢＯＣ＝９０°，ＯＢ＝ＯＣ＝４， ∴∠ＥＣＦ＝∠ＥＢＯ＝４５°。 ∴∠ＥＭＦ＝２∠ＥＣＦ＝２×４５°＝９０°，即在旋转的过 程中，∠ＥＭＦ的大小不变，其度数为９０°。 ②由①知，△ＥＭＦ是等腰直角三角形， ∴ＥＦ＝槡２ＭＥ＝ 槡２ ２ ＰＣ。 ∴ＡＢ⊥ＰＣ时，ＰＣ最短。 ∵ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２＝槡２５，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ· ＰＣ＝Ｓ△ＡＯＢ＋Ｓ△ＢＯＣ＝ １ ２ ＯＡ·ＯＢ＋ １ ２ ＯＢ·ＯＣ， ∴ １ ２ ×槡２５·ＰＣ＝ １ ２ ×２×４＋ １ ２ ×４×４。 解得ＰＣ＝ 槡 １２５ ５ 。 ∴ＥＦ＝槡 ２ ２ ＰＣ＝槡 ２ ２ × 槡１２５ ５ ＝ 槡６ １０ ５ ，即线段 ＥＦ的最 小值为 槡 ６ １０ ５ 。 １２２０２４年栖霞市九年级数学试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ １．Ｂ　【解析】∵４的算数平方根为２，∴２的平方根为 槡±２，即４的算数平方根的平方根为 槡±２。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 该选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故该选项不符合题意；Ｃ是中心对称图形， 不是轴对称图形，故该选项不符合题意；Ｄ既是轴 对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意。 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．ａ３－ａ２无法再继续化简，故该选项不 符合题意；Ｂ．（ａｂ）３＝ａ３ｂ３，故该选项不符合题意；Ｃ． ａ８÷ａ２＝ａ６，故该选项符合题意；Ｄ．（ａ２）３＝ａ６，故该选 项不符合题意。故选Ｃ。 ４．Ａ　【解析】∵点Ｍ（１－２ｍ，ｍ－１）关于原点的对称点 （２ｍ－１，１－ｍ）在第一象限内，∴ ２ｍ －１＞０， １－ｍ＞０。{ 解得 ｍ＞ １ ２ ， ｍ＜１。{ 在数轴上表示为 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】小明画出的该空心方管的主视图与俯 视图分别是（２）（４）。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】由题图可知， ∴黑色区域在整个地板中所占的比值＝ ６ １６ ＝３ ８ 。 ∴该小球停留在黑色区域的概率是 ３ ８ 。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】Ａ．这组数据的最大值为 ２９，最小值为 １６，所以极差为２９－１６＝１３（℃），故该选项不符合题 意；Ｂ．这组数据中，２８出现４次，是出现次数最多的 数据，所以众数为 ２８℃，将数据由小到大排列为 １６，１８，２６，２８，２８，２８，２８，２９，所以中位数为 ２８＋２８ ２ ＝ ２８（℃）。故该选项不符合题意；Ｄ．该组数据的平均 数为 １ ８ （２６＋２８＋２８＋２９＋２８＋２８＋１８＋１６）＝２５．１２５（℃）， 故该选项不符合题意；Ｃ．该组数据的标准差为 １ ８ ［（２６－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２槡 ＋ （２９－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（２８－２５．１２５）２＋（１８－ ２５．１２５）２＋（１６－２５．１２５）２］≈４．７８（℃），故该选项符合题 意。故选Ｃ。 ８．Ｄ　【解析】根据反射角等于入射角，画图如下： 由图可知Ｐ２（４，１），Ｐ３（０，３），Ｐ４（２，４），Ｐ５（４，３），最 后再反射到 Ｐ（０，１）。由此可知每 ６次循环一次。 ∵２０２４÷６＝３３７……２，∴点Ｐ２０２４的坐标与Ｐ２相同。 ∴Ｐ２０２４（４，１）。故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】∵抛物线开口向下，与 ｙ轴交点在 ｘ轴 上方，∴ａ＜０，ｃ＞０。 ∵对称轴在ｙ轴右侧，∴ｂ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，点Ａ（－１，０）， ∴抛物线与ｘ轴另一交点的坐标为（５，０）。 ∴当ｘ＝３时，ｙ＞０。∴９ａ＋３ｂ＋ｃ＞０。故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝２，∴ｂ＝－４ａ。 当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＝ａ＋４ａ＋ｃ＝５ａ＋ｃ＝０， ∴ｃ＝－５ａ。由图象可得２＜ｃ＜３，∴２＜－５ａ＜３。 ∴－ ３ ５ ＜ａ＜－ ２ ５ 。故③正确； ∵２－ １ ３ ＞ ８ ３ －２，抛物线开口向下，                                                                —１４— — ６１— — ６２— — ６３— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．槡１６的算术平方根是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．４ Ｂ．±４ Ｃ．２ Ｄ．±２ ２．榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同 构件组合在一起，如图１所示就是一组榫卯构件。若将②号构件按图２所示方式摆放，则该构件的 主视图是 （　　） 图１ 　　　 图２ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．计算３ａ４·５ａ４的结果为 （　　） Ａ．８ａ１６ Ｂ．８ａ８ Ｃ．１５ａ１６ Ｄ．１５ａ８ ４．若ｔａｎＡ＝０．１８９０，利用科学计算器计算∠Ａ的度数，下列按键顺序正确的是 （　　） Ａ．２ｎｄＦ ｔａｎ ０ ． １ ８ ９ ０ ＝ Ｂ．２ｎｄＦ ０ ． １ ８ ９ ０ ｔａｎ ＝ Ｃ． ０ ． １ ８ ９ ０ ｔａｎ ２ｎｄＦ ＝ Ｄ．ｔａｎ ０ ． １ ８ ９ ０ ２ｎｄＦ ＝ ５．已知反比例函数ｙ＝ ｂ ｘ 的图象如图所示，则二次函数ｙ＝ａｘ２－４ｘ和一次函数ｙ＝ｂｘ＋ａ在同一平面直角 坐标系中的图象可能是 （　　） Ａ 　　　　 Ｂ 　　　　 Ｃ 　　　　 Ｄ ６．下列命题正确的是 （　　） Ａ．在圆中，平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧 Ｂ．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，则该四边形是矩形 Ｃ．位似图形一定是相似图形 Ｄ．Ｃ是线段ＡＢ的黄金分割点，若ＡＢ＝２，则ＡＣ＝槡５－１ ７．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，△Ａ′Ｂ′Ｃ′由△ＡＢＣ绕点Ｐ旋转得到，则点Ｐ的坐标为 （　　） Ａ．（０，１） Ｂ．（０，－１） Ｃ．（１，－１） Ｄ．（１，０） 第７题图 　 → 第８题图 　 图１ 图２ 第１０题图 ８．如图，将边长为ａ的正六边形铁丝框ＡＢＣＤＥＦ（其面积记为Ｓ１），变形为以点Ｄ为圆心，ＣＤ为半径的 扇形（其面积记为Ｓ２），则 Ｓ１ Ｓ２ 的值为 （　　） Ａ．槡 ３３ ４ Ｂ．槡 ３ ８ 槡 Ｃ．１ Ｄ．３ ９．规定：两个函数ｙ１，ｙ２的图象关于ｙ轴对称，则称这两个函数互为“Ｙ函数”。例如，函数ｙ１＝２ｘ＋２与 ｙ２＝－２ｘ＋２的图象关于ｙ轴对称，则这两个函数互为“Ｙ函数”。若函数ｙ＝ｋｘ ２＋２（ｋ－２）ｘ＋ｋ－８（ｋ≠０） 的“Ｙ函数”图象与ｘ轴只有一个交点，则其“Ｙ函数”的解析式为 （　　） Ａ．ｙ＝－ｘ２－６ｘ＋９ Ｂ．ｙ＝－ｘ２－６ｘ－９ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋６ｘ＋９ Ｄ．ｙ＝－ｘ２＋６ｘ－９ １０．如图１，在平面直角坐标系中，矩形ＡＢＣＤ在第一象限，且 ＢＣ∥ｘ轴，直线 ｙ＝２ｘ＋４沿 ｘ轴正方向平 移，在平移过程中，直线被矩形ＡＢＣＤ截得的线段长为ａ，直线在ｘ轴上平移的距离为ｂ，ａ，ｂ之间的 函数关系图象如图２所示，那么矩形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．１５ Ｃ．１８ Ｄ．２０ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．分解因式：４ｍ２ｎ－４ｍｎ＋ｎ＝　　　　。 １２．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是边ＢＣ上的一点。若ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝６４°，则∠Ｃ的度数为　　　　。 第１２题图 　　　 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １３．若－５＜ａ≤４，则关于ｘ的方程ｘ＋ａ＝１的解的取值范围是　　　　。 １４．如图，现将四根木条钉成的矩形框 ＡＢＣＤ变形为平行四边形木框 Ａ′ＢＣＤ′，且 Ａ′Ｄ′与 ＣＤ相交于边 ＣＤ的中点Ｅ，若ＡＢ＝槡２３，ＡＤ＝７，则原矩形ＡＢＣＤ和Ａ′ＢＣＤ′重叠部分的面积为　　　　。 １５．如图，在平面直角坐标系中，⊙Ｐ的圆心为（２，ａ）（ａ＞２），半径为２，函数ｙ＝ｘ的图象被⊙Ｐ截得的弦 ＡＢ的长为 槡２３，则ａ的值为　　　　。 １６．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，将线段 ＡＤ绕点 Ａ逆时针旋转 α（０°＜α＜１８０°）得到线段 ＡＤ′，连接 ＢＤ′， ＣＤ′。若△Ｄ′ＢＣ是等腰三角形，则α＝　　　　。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）化简并计算： ｘ－３ ｘ２－４ｘ＋４ ÷ｘ ｘ－２ ＋ １ ｘ２－２ｘ ，当ｘ＝－ １ ３ 时求出该代数式的值。 １８．（７分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业。某职业教育培训中心开设：Ａ（旅游管理）；Ｂ（信 息技术）；Ｃ（酒店管理）；Ｄ（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调 查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制 成如下两幅不完整的统计图。 学生选择专业条形统计图 　　　 学生选择专业扇形统计图 根据图中信息解答下列问题： （１）本次被调查的学生有　　　　人；扇形统计图中 Ａ（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 　　　　；　 （２）请补全条形统计图，若该中学有３００名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意 向的学生有 人； （３）从选择Ｄ（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习， 请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率。 １９．（８分）如图是由边长为１的小正方形构成的７×７网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ＡＢＣ的顶 点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图。（不写作法，保留痕迹） （１）图１中，在ＢＣ上画一点Ｄ，使∠ＢＡＤ＝４５°； （２）图２中，点Ｐ，Ｍ为格点，在ＡＣ上画一点Ｅ，使 得ＰＥ＋ＥＭ最小，并直接写出 ＡＥ ＡＣ 的值。 图１ 　　　 图２ ２０．（９分）夏季来临，金都百货准备购进甲、乙两种空调。已知甲种空调每台进价比乙种空调多 ５００ 元，用２００００元购进甲种空调的数量与用１５０００元购进乙种空调的数量相同。 请解答下列问题： （１）求甲、乙两种空调每台的进价； １１２０２４年招远市初中学业水平适应性考试数学试题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ６４— — ６５— — ６６— （２）若甲种空调每台售价为２６００元，乙种空调每台售价为１９００元，商场欲同时购进两种空调共２０ 台，且全部售出，请写出所获利润ｙ（元）与甲种空调ｘ（台）之间的函数关系式； （３）在（２）的条件下，若商场计划用不超过３７５００元购进空调，且甲种空调至少购进１０台，请问：甲 乙两种空调各购进多少台时，所获得的利润最大？最大利润为多少元？ ２１．（９分）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，求作菱形ＤＥＦＧ，使点Ｄ在边ＡＣ上，点Ｅ，Ｆ 在边ＡＢ上，点Ｇ在边ＢＣ上。 小明的作法如下： １．如图２，在边ＡＣ上取一点Ｄ，过点Ｄ作ＤＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ。 ２．以点Ｄ为圆心，ＤＧ的长为半径画弧，交ＡＢ于点Ｅ。 ３．在ＥＢ上截取ＥＦ＝ＥＤ，连接ＦＧ，则四边形ＤＥＦＧ为所求作的菱形。 请结合小明的作法，解决以下问题： （１）证明小明所作的四边形ＤＥＦＧ是菱形； （２）若小明所作的四边形ＤＥＦＧ恰好是正方形，你能求出线段ＣＤ的长吗？ 图１ 　　　 图２ ２２．（１０分）某挖掘机的底座高ＡＢ＝１米，动臂 ＢＣ＝１．２米，ＣＤ＝１．６米，ＢＣ与 ＣＤ的固定夹角∠ＢＣＤ＝ １３０°。初始位置如图１，其示意图为图２。斗杆顶点Ｄ与铲斗顶点Ｅ所在直线ＤＥ垂直地面ＡＭ于 点Ｅ，测得∠ＣＤＥ＝８０°；工作时如图３，其示意图为图４。动臂ＢＣ会绕点 Ｂ转动，当点 Ａ，Ｂ，Ｃ在同 一直线时，斗杆顶点Ｄ升至最高点。 （１）求挖掘机在初始位置时动臂ＢＣ与ＡＢ的夹角∠ＡＢＣ的度数； （２）斗杆顶点Ｄ最高点的位置距地面多少米？（精确到０．１米） （参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７，ｔａｎ４０°≈０．８４） 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 　　　 图４ ２３．（１０分）【初步发现】 如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆与斜边ＡＢ相切于点Ｄ，与ＡＣ，ＢＣ相切于点Ｅ，Ｆ，ＡＤ＝４，ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ 的面积。 解：设线段ＣＥ的长为ｘ，根据切线长定理，得ＡＥ＝ＡＤ＝４，ＢＦ＝ＢＤ＝５，ＣＦ＝ＣＥ＝ｘ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得（ｘ＋４）２＋（ｘ＋５）２＝（４＋５）２。 整理，得ｘ２＋９ｘ＝２０。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ×（ｘ＋４）（ｘ＋５）＝ １ ２ （ｘ２＋９ｘ＋２０）＝２０。 请同学们想一想，ＡＤ·ＢＤ＝４×５＝２０，△ＡＢＣ的面积等于ＡＤ与ＢＤ的积。这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 已知：如图２，△ＡＢＣ的内切圆与ＡＢ相切于点Ｄ，与ＡＣ，ＢＣ相切于点 Ｅ，Ｆ，ＡＤ＝ｍ，ＢＤ＝ｎ。 （１）若∠Ｃ＝９０°，求证：△ＡＢＣ的面积等于ｍｎ； （２）若ＡＣ·ＢＣ＝２ｍｎ，求证：∠Ｃ＝９０°； 【拓展延伸】 （３）已知：△ＡＢＣ的内切圆与 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ相切于点 Ｄ，Ｅ，Ｆ，∠Ｃ＝６０°，ＡＤ＝４，ＢＤ＝５。请直接写出 △ＡＢＣ的面积。 图１ 　　　 图２ ２４．（１３分）如图，已知二次函数ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｂｘ＋４的图象与ｘ轴交于点Ａ，Ｃ，与ｙ轴交于点Ｂ，并且经过不 同的两点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），当 ｘ１＋ｘ２＝２时，总有 ｙ１＝ｙ２。直线 ｌ经过点 Ｂ和点 Ｃ，Ｄ是抛物线的顶 点，连接ＡＢ，ＢＤ，ＣＤ。 （１）求ｂ的值； （２）请求出四边形ＡＢＤＣ的面积； （３）直线ｌ绕点Ｃ逆时针旋转，与直线ＡＣ重合时终止运动，在旋转过程中，直线ｌ与线段ＡＢ交于点 Ｐ，点Ｐ与点Ａ，Ｂ不重合，Ｍ是线段ＰＣ的中点。 ①过点Ｐ作ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，连接ＭＥ，ＭＦ，在旋转的过程中∠ＥＭＦ的大小是否发 生变化，若不变化，求出∠ＥＭＦ的度数；若发生变化，请说明理由； ②在①的条件下，连接ＥＦ，直接写出线段ＥＦ的最小值。 　 　　　 备用图