10 2024年莱州市适应性检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ５５— — ５６— — ５７— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．－ ４ ３ 的相反数是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ． ３ ４ Ｂ．－ ４ ３ Ｃ． ４ ３ Ｄ．－ ３ ４ ２．下列计算正确的有 （　　） ①ｘ２·ｘ３＝ｘ６；②（－３ａｂ２）２＝９ａ２ｂ４；③３ａ２－ａ２＝３；④ ２ １ ４槡 ＝１ １ ２ 。 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３．如图所示的几何体，它的俯视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．用一根小木棒与两根长分别为３ｃｍ，６ｃｍ的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．２ｃｍ Ｄ．１ｃｍ ５．下列说法正确的是 （　　） Ａ．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式 Ｂ．某彩票设置“中奖概率为 １ ２００ ”，购买２００张彩票就一定会中奖一次 Ｃ．某地会发生地震是必然事件 Ｄ．若甲组数据的方差ｓ２甲＝０．１，乙组数据的方差ｓ ２ 乙 ＝０．２，则甲组数据比乙组数据稳定 ６．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： ２ ｘ２ － ｓｉｎ ３０ － ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ÷ ８ ） ＝ 按键的结果为ａ； 槡　 １６ － ２ ｙ ｘ ３ ＋ ３ ａｂ／ｃ ２ ＝ 按键的结果为ｂ，则ａ＋ｂ的值为 （　　） Ａ．－ １１ ２ Ｂ． ３ ２ Ｃ．－ １ ２ Ｄ． １ ２ ７．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相 同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，∠１＝１２２°，∠２的度数为 （　　） Ａ．３２° Ｂ．５８° Ｃ．６８° Ｄ．７８° ８．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美。如图，正方形ＡＢＣＤ的 面积为４，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，若ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝１∶２，则四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的外接圆的半径为 （　　） 槡 槡Ａ．２２ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．４ 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，对称轴为直线 ｘ＝１。下列结论：①ａｂｃ＜０；②３ａ＋ｃ＞０； ③（ａ＋ｃ）２－ｂ２＜０；④ａ＋ｂ≤ｍ（ａｍ＋ｂ）（ｍ为实数）。其中结论正确的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １０．如图，已知等腰直角三角形 ＡＣＢ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝１，过点 Ｃ作 ＣＭ１⊥ＡＢ，垂足为 Ｍ１， △ＣＢＭ１的面积为Ｓ１；过点Ｍ１作Ｍ１Ｍ２⊥ＢＣ，垂足为Ｍ２，△ＣＭ１Ｍ２的面积为Ｓ２；过点Ｍ２作Ｍ２Ｍ３⊥ ＣＭ１，垂足为Ｍ３，△Ｍ１Ｍ２Ｍ３的面积为Ｓ３；过点 Ｍ３作 Ｍ３Ｍ４⊥Ｍ１Ｍ２垂足为 Ｍ４，△Ｍ２Ｍ３Ｍ４的面积为 Ｓ４，如此作下去，……，△Ｍｎ－２Ｍｎ－１Ｍｎ的面积为Ｓｎ，则Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋…＋Ｓｎ＝ （　　） Ａ． １ ２ ＋( １２) ｎ 　　　　 Ｂ． １ ２ ＋( １２) ｎ＋１ Ｃ． １ ２ －( １２) ｎ Ｄ． １ ２ －( １２) ｎ＋１ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．２０２３年，烟台市生产总值约为１０１６２亿元，经济总量历史性迈上万亿元台阶，成为山东省第３个万 亿级城市，全国第２６个ＧＤＰ过万亿的城市。把数字１０１６２亿用科学记数法表示为 。 １２．小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等 腰直角三角板上，使量角器的９０°刻度线与三角板的底边平行。将用细线和铅锤做成的重锤线顶端 固定在量角器中心点Ｏ处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上 对应的刻度为２７°，那么被测物体表面的倾斜角α为 。 第１２题图 　　　 第１４题图 　　　 第１５题图 １３．若关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－４ｘ＋１＝０有实数根，则ｋ的取值范围是 。 １４．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的顶点坐标分别为 Ａ（１，２），Ｂ（－２，２），Ｃ（－１，０）。将△ＡＢＣ绕 某点顺时针旋转９０°得到△ＤＥＦ，则旋转中心的坐标为 。 １５．如图，直线ｙ＝槡 ３ ３ ｘ－槡 ４３ ３ 与ｘ轴，ｙ轴分别交于点Ｂ和点Ｅ，若四边形ＯＡＢＣ是矩形，且点Ｃ在反比例 函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上，点Ａ在直线ＢＥ上，连接ＡＣ交ＯＢ于点Ｆ，则ｋ的值为 。 １６．如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＣＤ的中点，Ｐ是线段ＢＥ上的一个动点。设ＢＰ＝ｘ，ＡＰ＝ｙ，图２是 点Ｐ运动时ｙ随ｘ变化的关系图象，则正方形的周长为 。 图１ 　　　 图２ 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（７分）化简求值：( ５ｘ－２－ｘ－２)÷ ｘ－３ ｘ－２ ，其中ｘ为满足不等式组 ｘ－３（ｘ－２）≥２， ４ｘ－２＜５ｘ－１{ 的一个整数。 １８．（７分）某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样 调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统 计图（图１），请根据图表提供的信息，解答下列问题。 类别 频数 频率 力学 ｍ ０．５ 热学 ８ 光学 ２０ ０．２５ 电学 １２ （１）求ｍ的值； （２）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数； （３）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图２，电路图上有四个开关 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ和一个小灯泡，闭合开关Ｄ或同时闭合开关Ａ，Ｂ，Ｃ都可使小灯泡发光，若随机闭合其中 的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率。 图１ 　　　 图２ １０２０２４年莱州市适应性检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ５８— — ５９— — ６０— １９．（８分）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝ＡＤ，∠ＡＤＢ的平分线与ＡＢ相交于点Ｆ，与ＣＢ的延长线相 交于点Ｅ，连接ＡＥ。 （１）求证：四边形ＡＥＢＤ是菱形； （２）若四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＣＤ＝１０，则菱形ＡＥＢＤ的面积为　　　　。（直接填空，不必证明） ２０．（１０分）如图，某工程队从Ａ处沿正北方向铺设了１８４米轨道到达Ｂ处。某同学在博物馆Ｃ测得Ａ处 在博物馆Ｃ的南偏东２７°方向，Ｂ处在博物馆Ｃ的东南方向。（参考数据：ｓｉｎ２６．６°≈０．４５，ｃｏｓ２６．６°≈ ０．８９，ｔａｎ２６．６°≈０．５０，槡６≈２．４５。） （１）请计算博物馆Ｃ到Ｂ处的距离；（结果保留根号） （２）博物馆Ｃ周围若干米内因有绿地不能铺设轨道。某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到 Ｂ 处时，只需沿北偏东１５°的ＢＥ方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地。请计算博物馆 Ｃ周 围至少多少米内不能铺设轨道。（结果精确到个位） ２１．（８分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴。”为引导学生在 体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级（５）班拟组织学生参加跳绳活动，需 购买Ａ，Ｂ两种跳绳若干，已知购买３根Ａ种跳绳和１根Ｂ种跳绳共需１０５元，购买５根Ａ种跳绳和 ３根Ｂ种跳绳共需２１５元。 （１）求Ａ，Ｂ两种跳绳的单价； （２）如果班级计划购买Ａ，Ｂ两种跳绳共４８根，Ｂ种跳绳数量不少于Ａ种跳绳数量的２倍，那么购买 跳绳所需最少费用为多少元？ ２２．（８分）已知：△ＡＢＣ。 （１）求作：⊙Ｏ，使圆心Ｏ到点Ｂ和点Ｃ的距离相等，且与边ＡＣ和ＢＣ所在直线分别相切于点Ｅ和 点Ｄ；（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） （２）在（１）的基础上，连接ＯＡ，若ＯＡ⊥ＯＣ，ＯＣ＝２，ＣＤ＝槡３，求ＡＥ的长度。 ２３．（１１分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝５，Ｐ是边ＢＣ上一动点，将△ＡＰＢ沿ＡＰ折叠得到△ＡＰＥ。 （１）连接ＤＥ，若ＢＰ＝槡３，求此时△ＡＤＥ的面积； （２）①若点Ｐ，Ｅ，Ｄ在同一直线上，求此时ＢＰ的长度； ②若射线ＡＥ与矩形的边交于点Ｍ，当ＥＭ＝ＣＭ时，求ＣＭ的长。 　　　 备用图 ２４．（１３分）如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝ １ ３ ｘ＋１与ｘ轴，ｙ轴的交点分别为Ａ，Ｂ，以直线ｘ＝－１为 对称轴的抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴分别交于点Ａ，Ｃ。 （１）求抛物线的解析式； （２）若Ｐ是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为ｔ。设抛物线的对称轴ｌ与ｘ轴交于一点Ｄ，连 接ＰＤ，交ＡＢ于点Ｅ，求出当以Ａ，Ｄ，Ｅ为顶点的三角形与△ＡＯＢ相似时点Ｐ的坐标； （３）Ｍ是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点Ｎ，使以点Ａ，Ｂ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出点Ｎ的坐标；若不存在，说明理由。 　　　 备用图 当ｘ＝－４时，ｙ＝６－槡 ４３ ３ ，∴Ｇ（－４，６－槡 ４３ ３ ）。 综上，点Ｇ的坐标为（－４，６－槡４３）或 (－４，６－槡４３３ )。 １０２０２４年莱州市适应性检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ １．Ｃ　【解析】－ ４ ３ 的相反数是 ４ ３ 。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】∵ｘ２·ｘ３＝ｘ５，∴算式①不符合题意； ∵（－３ａｂ２）２＝９ａ２ｂ４，∴算式②符合题意； ∵３ａ２－ａ２＝２ａ２，∴算式③不符合题意； ∵ ２ １ ４槡 ＝ ９ ４槡 ＝３ ２ ＝１ １ ２ ，∴算式④符合题意。 ∴计算正确的有２个。故选Ｂ。 ３．Ｂ　【解析】该几何体的俯视图是 。 故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】设第三根木棒长为ｘｃｍ，由三角形三边 关系定理，得６－３＜ｘ＜６＋３，所以ｘ的取值范围是３＜ ｘ＜９。观察选项，只有选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．因为数量太大，不宜采用全面调查， 应采用抽样调查，故选项错误；Ｂ．某彩票设置“中奖 概率为 １ ２００ ”，购买 ２００张彩票中奖是随机事件，故 选项错误；Ｃ．显然是随机事件，故选项错误；Ｄ．方差 越小越稳定，故选项正确。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】∵ ２ ｘ２ － ｓｉｎ ３０ － ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ÷ ８ ） ＝ 的计算结果为ａ。 ∴２２－ １ ２ － ３ １ ８槡 ＝ａ。解得ａ＝３。 ∵ 槡　 １６ － ２ ｙ ｘ ３ ＋ ３ ａｂ／ｃ ２ ＝ 的计算结果为ｂ， 槡∴ １６－２ ３＋３ ２ ＝ｂ。解得ｂ＝－ ５ ２ 。 ∴ａ＋ｂ＝３－ ５ ２ ＝１ ２ 。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】如图，标注∠３。 ∵水面和杯底互相平行， ∴∠１＋∠３＝１８０°。 ∴∠３＝１８０°－∠１＝１８０°－１２２° ＝５８°。 ∵水中的两条光线平行， ∴∠２＝∠３＝５８°。故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接Ｂ′Ｄ′。 ∵四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形， ∴∠Ｂ′Ｃ′Ｄ′＝９０°。 ∴Ｂ′Ｄ′是圆Ｏ的直径。 ∵正方形ＡＢＣＤ的面积为４， ∴正方形ＡＢＣＤ的边长为２。 ∵正方形ＡＢＣＤ与正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是位似图形， ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝１∶２， ∴Ｂ′Ｃ′＝Ｃ′Ｄ′＝４。 ∴Ｂ′Ｄ′＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。 ∴四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的外接圆的半径为 槡２２。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∵抛物线的对称轴在ｙ轴右侧，∴ｂ＜０。 ∵抛物线与ｙ轴交于负半轴， ∴ｃ＜０。∴ａｂｃ＞０。故①错误； 当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。 ∵－ ｂ ２ａ ＝１，∴ｂ＝－２ａ。 ∴３ａ＋ｃ＞０。故②正确； 当ｘ＝１时，ｙ＜０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。∴ａ＋ｃ＜－ｂ。 当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。∴ａ＋ｃ＞ｂ。 ∴｜ａ＋ｃ｜＜｜ｂ｜。 ∴（ａ＋ｃ）２＜ｂ２，即（ａ＋ｃ）２－ｂ２＜０。故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１， ∴当ｘ＝１时，函数的最小值为ａ＋ｂ＋ｃ。 ∴ａ＋ｂ＋ｃ≤ａｍ２＋ｍｂ＋ｃ，即ａ＋ｂ≤ｍ（ａｍ＋ｂ）。 故④正确。故选Ｃ。 １０．Ｄ　【解析】∵在等腰直角三角形 ＡＣＢ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝１， ∴Ｓ１＝ １ ２ ×１× １ ２ ＝１ ４ 。 ∴Ｓ２＝ １ ２ ×１ ２ ×１ ２ ＝１ ８ 。 ∴Ｓ３＝ １ ２ ×１ ２ ×１ ２ ×１ ２ ＝１ １６ 。 ∴Ｓｎ＝ １ ２ ×( １２) ｎ ＝( １２) ｎ＋１ 。 ∴ Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋…＋Ｓｎ＝ １ ４ ＋１ ８ ＋１ １６ ＋…＋( １２) ｎ＋１ ＝１ ２ －( １２) ｎ＋１ 。故选Ｄ。 １１．１．０１６２×１０１２　【解析】１０１６２亿＝ １０１６２００００００００＝１．０１６２×１０１２。 １２．２７°　【解析】如图，作ＯＱ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｑ，交物 体底面于点Ｄ，作ＯＰ⊥ＡＤ，交ＡＢ于点Ｐ，交ＡＤ于 点Ｃ。 ∵ＭＮ∥ＡＢ， ＯＤ⊥ＭＮ， ∴ＯＤ⊥ＡＢ。 ∴∠ＰＱＯ＝９０°。 ∵ＯＣ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＣＰ＝９０°。                                                                —４３— ∵∠ＡＰＣ＝∠ＯＰＱ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＯＤ＝２７°。 ∴被测物体表面的倾斜角α为２７°。 １３．ｋ≤４且 ｋ≠０　【解析】∵关于 ｘ的一元二次方程 ｋｘ２－４ｘ＋１＝０有实数根，∴ｋ≠０且ｂ２－４ａｃ＝（－４）２－ ４ｋ＝１６－４ｋ≥０。解得ｋ≤４且ｋ≠０。 １４．（１，－１）　【解析】如图， 由题意，得点Ａ的对应点为点Ｄ，点Ｂ的对应点为 点Ｅ，∴作 ＡＤ和 ＢＥ的垂直平分线，交点为点 Ｐ （１，－１）。∴旋转中心的坐标为（１，－１）。 １５．槡３３　【解析】在ｙ＝ 槡３ ３ ｘ－槡 ４３ ３ 中，当ｙ＝０时，ｘ＝４， ∴Ｂ（４，０）。∴ＯＢ＝４。 ∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，ＡＣ交ＯＢ于点Ｆ， ∴ＯＦ＝ＡＦ＝ １ ２ ＯＢ＝２。 ∴Ｆ（２，０）。 设Ａ(ｍ，槡３３ｍ－槡４３３ )， 则（ｍ－２）２＋(槡３３ｍ－槡４３３ ) ２ ＝２２。 解得ｍ＝１或ｍ＝４（舍去）。 ∴Ａ（１，－槡３）。 ∵Ｆ是ＡＣ的中点， ∴Ｃ（２×２－１，０×２＋槡３），即Ｃ（３，槡３）。 ∴ｋ＝３×槡３＝槡３３。 １６．槡４５　【解析】由点 Ｐ的运动可知，当 ＡＰ⊥ＢＥ时， ＡＰ的值最小，如图。 ∵Ｅ是ＣＤ的中点， ∴ＣＥ∶ＣＤ＝１∶２。 ∴ＣＥ∶ＢＣ＝１∶２。 ∵∠Ｃ＝９０°， ∴ＣＥ∶ＢＣ∶ＢＥ＝ 槡１∶２∶５。 ∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝∠ＡＰＢ＝９０°， ∴∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＥ＋∠ＢＥＣ＝９０°。 ∴∠ＡＢＰ＝∠ＢＥＣ。 ∴△ＡＢＰ∽△ＢＥＣ。 ∴ＡＰ∶ＡＢ＝ＢＣ∶ＢＥ＝ 槡２∶５。 ∵ＡＰ＝２，∴ＡＢ＝槡５。 ∴正方形的周长为 槡４５。 １７．解：原式＝( ５ｘ－２－ｘ ２－４ ｘ－２)·ｘ －２ ｘ－３ ＝５ －ｘ２＋４ ｘ－２ · ｘ－２ ｘ－３ ＝ －ｘ２＋９ ｘ－２ · ｘ－２ ｘ－３ ＝ －（ｘ＋３）（ｘ－３） ｘ－２ · ｘ－２ ｘ－３ ＝－ｘ－３。 解不等式组 ｘ－３（ｘ－２）≥２， ４ｘ－２＜５ｘ－１，{ 得－１＜ｘ≤２。 ∵ｘ取整数，∴ｘ＝０，１，２。 ∵ｘ－２≠０，ｘ－３≠０， ∴ｘ≠２，ｘ≠３。∴ｘ＝１或０。 ∴当ｘ＝１时，原式＝－１－３＝－４； 当ｘ＝０时，原式＝－０－３＝－３。 １８．解：（１）∵２０÷２５％＝８０（人）， ∴ｍ＝８０×５０％＝４０。 （２）表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数为 ３６０°× ８ ８０ ＝３６°。 （３）列表如下： 　　二 一　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） 共有１２种等可能的结果，能使小灯泡发光的结果 有６种，所以使小灯泡发光的概率是 ６ １２ ＝１ ２ 。 １９．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＢ。 ∵ＤＥ平分∠ＡＤＢ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ。 ∴∠ＢＥＤ＝∠ＢＤＥ。∴ＢＥ＝ＢＤ。 ∵ＢＤ＝ＡＤ，∴ＡＤ＝ＢＥ。 ∵ ＡＤ∥ＢＥ，∴四边形ＡＥＢＤ是平行四边形。 又∵ＢＤ＝ＡＤ，∴四边形ＡＥＢＤ是菱形。 （２）解：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝１０，且ＡＤ＝ＢＤ。 ∴△ＡＢＤ是等边三角形。∴∠ＢＡＤ＝６０°。 ∵四边形ＡＥＢＤ是菱形， ∴ＡＦ＝ＢＦ，ＡＢ⊥ＤＥ，ＥＦ＝ＤＦ。∴∠ＡＤＦ＝３０°。 ∴ＡＦ＝５，ＤＦ＝槡５３。∴ＤＥ＝ 槡１０３。 ∴菱形ＡＥＢＤ的面积＝ １ ２ ×１０× 槡１０３＝ 槡５０３。 故答案为 槡５０３。 ２０．解：（１）如图，过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ。 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，∠ＣＢＧ＝４５°， ∴△ＢＣＧ是等腰直角三角形。 ∴ＣＧ＝ＢＧ。 设ＣＧ＝ＢＧ＝ｘ米，则ＢＣ＝槡２ｘ米。 在Ｒｔ△ＡＣＧ中，∠ＣＡＧ＝２７°，                                                               —５３— ｔａｎ∠ＣＡＧ＝ ＣＧ ＡＧ ＝ｔａｎ２７°≈０．５０。 ∴ＡＧ＝２ｘ米。 ∵ＡＧ＝ＡＢ＋ＢＧ＝（１８４＋ｘ）米，∴２ｘ＝１８４＋ｘ。 解得ｘ＝１８４。 ∴ＢＣ＝槡２ｘ＝ 槡１８４２米。 答：博物馆Ｃ到Ｂ处的距离约为 槡１８４２米。 （２）如图，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＢＥ于点Ｈ。 由题意，得∠ＣＢＧ＝４５°，∠ＤＢＥ＝１５°， ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＧ＋∠ＤＢＥ＝６０°。 由（１）知，ＢＣ＝ 槡１８４２米， 在Ｒｔ△ＣＢＨ中，ＣＨ＝ＢＣ·ｓｉｎ６０°＝ 槡１８４２× 槡３ ２ ＝ 槡９２６≈９２×２．４５≈２２６（米）。 答：博物馆Ｃ周围至少约２２６米内不能铺设轨道。 ２１．解：（１）设 Ａ种跳绳的单价为 ｘ元，Ｂ种跳绳的单 价为ｙ元， 由题意，得 ３ｘ＋ｙ＝１０５， ５ｘ＋３ｙ＝２１５。{ 解得 ｘ＝２５，ｙ＝３０。{ 答：Ａ种跳绳的单价为 ２５元，Ｂ种跳绳的单价为 ３０元。 （２）设购买 Ａ种跳绳 ａ根，则购买 Ｂ种跳绳（４８－ ａ）根，总费用为ｗ元。 ∵Ｂ种跳绳数量不少于Ａ种跳绳数量的２倍， ∴２ａ≤４８－ａ。解得ａ≤１６。 ∴ｗ＝２５ａ＋３０（４８－ａ）＝－５ａ＋１４４０， ∵－５＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小。 当ａ＝１６时，ｗ有最小值，最小值为１３６０。 答：购买跳绳所需最少费用为１３６０元。 ２２．解：（１）如图１，⊙Ｏ即为所求作。 图１ 　 图２ （２）如图２，连接ＯＥ。 ∵ＡＣ和ＢＣ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＤ⊥ＢＣ，ＯＥ⊥ＡＣ。 ∴∠ＯＤＣ＝∠ＯＥＣ＝９０°，ＣＥ＝ＣＤ＝槡３。 在Ｒｔ△ＣＤＯ中，由勾股定理，得 ＯＤ＝ ＯＣ２－ＣＤ槡 ２＝ ４－槡 ３＝１＝ＯＥ。 ∵ＯＡ⊥ＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°。 ∴∠ＡＯＥ＋∠ＣＯＥ＝９０°。 ∵∠ＯＣＥ＋∠ＣＯＥ＝９０°，∴∠ＡＯＥ＝∠ＯＣＥ。 ∵∠ＡＥＯ＝∠ＣＥＯ＝９０°， ∴△ＡＯＥ∽△ＯＣＥ。∴ ＡＥ ＯＥ ＝ＯＥ ＣＥ 。 ∴ ＡＥ １ ＝１ 槡３ 。∴ＡＥ＝槡 ３ ３ 。 ２３．解：（１）在Ｒｔ△ＡＢＰ中，ＡＢ＝３，ＢＰ＝槡３， ∴ｔａｎ∠ＢＡＰ＝槡 ３ ３ 。∴∠ＢＡＰ＝３０°。 由折叠，知∠ＥＡＰ＝∠ＢＡＰ＝３０°， ∴∠ＤＡＥ＝３０°。 如图１，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ。 图１ ∴ＥＦ＝ １ ２ ＡＥ＝ ３ ２ 。 ∴Ｓ△ＡＤＥ＝ １ ２ ＡＤ·ＥＦ＝ １ ２ ×５× ３ ２ ＝１５ ４ 。 （２）①如图２， 图２ 由折叠，知ＡＥ＝ＡＢ＝３，∠ＡＥＰ＝∠Ｂ＝９０°，ＢＰ＝ＥＰ， ∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∴ＤＥ＝ ＡＤ２－ＡＥ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ。 ∴∠ＡＤＰ＝∠ＤＰＣ，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ，ＡＥ＝ＣＤ。 ∴△ＡＥＤ≌△ＤＣＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＤ＝ＤＰ＝５。∴ＥＰ＝ＤＰ－ＤＥ＝５－４＝１。 ∴ＢＰ＝ＥＰ＝１。 ②如图３，当点Ｍ在边ＣＤ上时， 图３ 设ＣＭ＝ａ，则ＡＭ＝３＋ａ，ＤＭ＝３－ａ， ∴（３＋ａ）２＝（３－ａ）２＋５２。 ∴ａ＝ ２５ １２ ； 如图４，当点Ｍ在边ＢＣ上时， 图４ 设ＣＭ＝ｂ，则ＡＭ＝３＋ｂ，ＢＭ＝５－ｂ，                                                                —６３— ∴３２＋（５－ｂ）２＝（３＋ｂ）２。 ∴ｂ＝ ２５ １６ 。 综上所述，ＣＭ的长为 ２５ １２ 或 ２５ １６ 。 ２４．解：（１）令ｙ＝０，得 １ ３ ｘ＋１＝０， 解得ｘ＝－３。 ∴点Ａ的坐标为（－３，０）。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１， ∴点Ｃ的坐标为（１，０）。 ∴ｙ＝－（ｘ＋３）（ｘ－１）＝－ｘ２－２ｘ＋３。 （２）∵抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３的对称轴为直线ｘ＝－１， ∴点Ｄ的坐标为（－１，０）。 ①当△ＡＤＥ∽△ＡＯＢ时，∠ＡＤＥ＝∠ＡＯＢ＝９０°， 此时点Ｐ在对称轴上，即Ｐ是抛物线的顶点， 当ｘ＝－１时，ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝４， ∴点Ｐ的坐标为（－１，４）； ②当△ＡＥＤ∽△ＡＯＢ时，∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＢ＝９０°， 如图，过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＣ于点Ｇ， 则△ＡＥＤ∽△ＰＧＤ。 ∴ ＤＥ ＡＥ ＝ＤＧ ＰＧ 。 ∵△ＡＥＤ∽△ＡＯＢ。 ∴ ＤＥ ＡＥ ＝ＯＢ ＯＡ 。 ∵直线ｙ＝ １ ３ ｘ＋１与ｙ轴的交点为Ｂ， ∴点Ｂ的坐标为（０，１）。∴ＯＢ＝１。 ∵点Ａ的坐标为（－３，０），∴ＯＡ＝３。 ∴ ＤＧ ＰＧ ＝ＯＢ ＯＡ ＝１ ３ 。∴ＰＧ＝３ＤＧ。 设Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３）（－３＜ｔ＜０）， 则－ｔ２－２ｔ＋３＝３（－１－ｔ）。 ∴ｔ２－ｔ－６＝０。 解得 ｔ１＝－２，ｔ２＝３（不合题意，舍去）。 当ｔ＝－２时，ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝３， ∴点Ｐ的坐标为（－２，３）。 综上所述，点Ｐ的坐标为（－１，４）或（－２，３）。 （３）存在。设Ｎ（ｎ，－ｎ２－２ｎ＋３），Ｍ（－１，ｍ）。 ∵Ａ（－３，０），Ｂ（０，１）， ∴当以线段ＡＢ为边时，四边形ＡＢＮＭ对角线交点 横坐标可以表示为 ０－１ ２ ＝ｎ －３ ２ ，解得ｎ＝２。 ∴Ｎ１（２，－５）； 当以线段ＡＢ为边时，四边形ＡＢＭＮ对角线交点横 坐标可以表示为 －１－３ ２ ＝０ ＋ｎ ２ ，解得ｎ＝－４。 ∴Ｎ２（－４，－５）； 当以线段ＡＢ为对角线时，四边形ＭＡＮＢ对角线交 点横坐标可以表示为 ０－３ ２ ＝ｎ －１ ２ ，解得ｎ＝－２。 ∴Ｎ３（－２，３）。 综上，点Ｎ的坐标为（２，－５），（－４，－５），（－２，３）。 １１２０２４年招远市初中学业水平适应性考试数学试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ １．Ｃ　【解析】 槡∵ １６＝４，４的算术平方根是２， 槡∴ １６的算术平方根是２。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】根据三视图的概念，可知选项 Ａ中的图 形为主视图，选项Ｂ中的图形为俯视图，选项 Ｄ中 的图形为左视图。故选Ａ。 ３．Ｄ　【解析】３ａ４·５ａ４＝１５ａ８。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】∵ｔａｎＡ＝０．１８９０， ∴利用科学计算器求∠Ａ的度数，按键顺序为 ２ｎｄＦ—ｔａｎ—０．１８９０—＝。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】∵当ｘ＝０时，ｙ＝ａｘ２－４ｘ＝０，即抛物线ｙ＝ ａｘ２－４ｘ经过原点，故Ａ错误； ∵反比例函数ｙ＝ ｂ ｘ 的图象在第一、三象限，∴ｂ＞０。 当ａ＜０时，抛物线ｙ＝ａｘ２－４ｘ的对称轴为直线ｘ＝ ２ ａ ＜０，对称轴在ｙ轴左边，故Ｄ错误； 当ａ＞０时，直线ｙ＝ｂｘ＋ａ经过第一、二、三象限，故Ｂ 错误，Ｃ正确。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】Ａ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题；Ｂ．顺 次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，则原 四边形对角线相等，但不一定是矩形，原命题是假 命题；Ｃ．位似图形一定是相似图形，原命题是真命 题；Ｄ．已知Ｃ是线段 ＡＢ的黄金分割点，且 ＡＣ＞ＢＣ， 若ＡＢ＝２，则ＡＣ＝槡５－１，原命题是假命题。故选Ｃ。 ７．Ｃ　【解析】由图形可知对应点的连线 ＣＣ′，ＡＡ′的垂 直平分线的交点为（１，－１）。 根据旋转变换的性质，点（１，－１）即为旋转中心。 ∴点Ｐ的坐标为（１，－１）。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】由题中正六边形变为扇形过程可知ＥＡＣ) 的长度＝４ａ，∴Ｓ２＝ １ ２ ×４ａ×ａ＝２ａ２。 在正六边形中，ＯＭ⊥ＤＥ，如图所示， 由正六边形性质可知△ＯＥＤ是等边三角形，                                                                —７３—