9 2024年莱阳市第二学期期中学业水平检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ４９— — ５０— — ５１— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．（－３）槡 ２的算术平方根是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 槡 槡Ａ．３ Ｂ．９ Ｃ．３ Ｄ．±３ ２．下列各曲线是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的直径与长方体的宽相等，则该几何体的左视图是 （　　） Ａ 　　　　　　 Ｂ 　　　　　　 Ｃ 　　　　　　 Ｄ ４．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠１的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．７５° Ｃ．８０° Ｄ．８５° 第４题图 　　　 第５题图 ５．如图，用一个半径为６ｃｍ的定滑轮拉动重物上升，绳索粗细不计且足够长，拉动绳索，使滑轮与绳索 之间没有滑动的转动，当滑轮转动了１２０°时，重物上升的高度为 （　　） Ａ．４πｃｍ Ｂ．１２πｃｍ Ｃ．２ｃｍ Ｄ．６ｃｍ ６．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分碳氢化合物的结构 式，第１个结构式中有１个Ｃ和４个Ｈ，第２个结构式中有２个Ｃ和６个Ｈ，第３个结构式中有３个Ｃ 和８个Ｈ，……，按照此规律，则第４９个结构式中含有Ｈ的个数为 （　　） 第１个 　　　 第２个 　　　 第３个 　　　 第４个 　　… Ａ．９７ Ｂ．９８ Ｃ．９９ Ｄ．１００ ７．小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天的锻炼时间，并制作了如图所示的统计图。根据 统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是 （　　） Ａ．平均数为７０ Ｂ．众数为６７ Ｃ．中位数为６７ Ｄ．方差为２０６ 第７题图 　　　 第８题图 ８．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，以ＡＢ的中点Ｏ为坐标原点，ＡＢ所在直线为 ｘ轴建立平 面直角坐标系，将△ＡＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转，使点Ａ旋转至ｙ轴的正半轴上的点Ａ′处，若 ＯＡ＝ＯＢ＝ ２，则阴影部分的面积为 （　　） Ａ．π Ｂ． １１ ６π Ｃ． １３ ６π Ｄ． ４ ３π ９．如图，将一张矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，折痕为ＥＦ，折叠后，ＣＥ的对应边Ｃ′Ｅ经过点Ａ，ＣＤ的对应边Ｃ′Ｄ′ 交ＢＡ的延长线于点Ｇ，若ＡＧ＝Ｄ′Ｇ，ＡＣ′＝ＢＥ，ＣＤ＝３，则ＢＣ的长为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２３ Ｂ．４３ Ｃ．６ Ｄ．６３ 第９题图 　　　 第１０题图 １０．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的部分图象如图所示，图象过点（－１，０），对称轴为直线ｘ＝２，则以下结论：①４ａ＋ ｂ＝０；②９ａ＋ｃ＞－３ｂ；③若方程ａ（ｘ＋１）（ｘ－５）＝１的两根为ｘ１和ｘ２，则｜ｘ１－ｘ２｜＞６；④３ａ－３ｂ＋２ｃ＞０。其中 正确结论的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．杭州亚运会开幕式上由约１０５００００００个数字火炬手化身的数字人以“数实融合”的方式点燃主火 炬，画面感让人震撼。数据１０５００００００用科学记数法表示为 。 １２．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰 小个位三，个位平方与寿同。诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位 数比个位数小３，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时的年龄为 。 １３．小明正在玩飞镖游戏，如果小明将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么投中阴影部分的概率 为 。 １４．如图，已知矩形ＡＢＣＯ与矩形ＯＤＥＦ是位似图形，点Ｐ是位似中心，若点Ｂ的坐标为（２，４），点Ｅ的 坐标为（－１，２），则点Ｐ的坐标为 。 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １５．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，分别以点Ａ，Ｃ为圆心，大于 １ ２ ＡＣ的长为半径作弧，两弧交 于点Ｄ，Ｅ，以点Ｃ为圆心，ＡＣ长为半径作弧，与直线ＤＥ交于点Ｆ，ＣＦ与ＡＢ交于点Ｇ，若ＡＢ＝４，则 ＣＧ的长为 。 １６．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｅ是正方形 ＡＢＣＤ内部一动点，且∠ＡＥＤ＝９０°，Ｆ是边 ＣＤ上一动 点，连接ＢＦ，ＥＦ，则ＢＦ＋ＥＦ的最小值为 。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：(ｘ＋１－３ｘ－１)÷ ｘ２＋４ｘ＋４ ｘ－１ ，其中ｘ＝４ｃｏｓ６０°＋２×(－１２)＋槡１２÷槡３。 １８．（７分）如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝ｘ＋ｍ与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象交于Ａ，Ｂ两点，与ｘ轴相 交于点Ｃ，已知点Ａ，Ｂ的坐标分别为（３，１）和（－１，ｎ）。 （１）求一次函数和反比例函数的表达式； （２）请直接写出不等式ｘ＋ｍ＞ ｋ ｘ 的解集； （３）Ｐ是反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 图象上的任意一点，若Ｓ△ＰＯＣ＝３Ｓ△ＡＯＣ，求点Ｐ的坐标。 ９ ２０２４年莱阳市第二学期期中学业水平检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ５２— — ５３— — ５４— １９．（８分）学校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：Ａ．为家人做 早饭；Ｂ．洗碗；Ｃ．打扫；Ｄ．洗衣服。要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整 个暑假。为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果， 绘制了如下两幅不完整的统计图。 　　 请根据所给信息，解答下列问题： （１）求本次接受抽样调查的总人数； （２）请将条形统计图补充完整； （３）求扇形统计图中Ａ的百分比和扇形Ｂ的圆心角度数； （４）小明在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随 机奖励他两本。请用列表法或画树状图法求随机抽取的两本书恰好是《论语》和《大学》的概率。 ２０．（８分）除夕夜小明和小亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度。如图，小明从点 Ｂ出发，沿着坡 度比为５∶１２的山坡走了２６０米到达坡顶点Ａ，小亮则沿点Ｂ向正东方向出发，到达离点Ａ水平距 离８０米的点Ｃ观看，此时烟花在与点Ｂ，Ｃ同一水平线上的Ｄ点燃，一朵朵灿烂的烟花在点Ｄ的正 上方点Ｅ绽放，小明在坡顶点Ａ看烟花绽放处点 Ｅ的仰角为４５°，小亮在点 Ｃ测得点 Ｅ的仰角为 ６０°，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ在同一平面内。 （１）求小明从点Ｂ走到点Ａ处高度上升了多少米？ （２）烟花燃放结束后，小明和小亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放 的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为４３０±５米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃 放高度（图中ＤＥ）是否属实？（参考数据：槡２≈１．４１４，槡３≈１．７３２） ２１．（９分）如图，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是⊙Ｏ的弦，∠ＡＯＣ＝２∠ＢＡＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，垂足为Ｂ。 （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ｃｏｓ∠ＡＣＤ＝ ３ ７ ，且⊙Ｏ的半径为７，求ＢＣ的长。 ２２．（１０分）某电视专卖店的一张进货单上有如下信息：Ａ款电视进货单价比 Ｂ款电视多 ５００元，花 ３２０００元购进Ａ款电视的数量与花２８０００元购进Ｂ款电视的数量相同。 （１）求Ａ，Ｂ两款电视的进货单价分别为多少元？ （２）某周末两天销售单上的数据，如表所示。 日期 Ａ款电视（台） Ｂ款电视（台） 销售总额（元） 星期六 ３ ５ ３７５００ 星期日 ５ ４ ４３０００ 求Ａ，Ｂ两款电视的销售单价分别为多少元？ （３）“国庆节”前后不少市民要乔迁新居或结婚装修新房，近期有很多客户进店了解这两款电视的 价格及其各种性能、参数，表现出对这两款电视的兴趣，专卖店老板根据市场预估需求及目前这两 款电视的库存情况，结合（１），（２）所给的信息，准备花费８００００元购进Ａ，Ｂ两款电视若干台（两种 款型的电视都需要进货），问有哪几种进货方案？并根据计算说明哪种进货方案，可使这批新购电 视全部售出获得的总利润最高。 ２３．（１２分）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为４，点 Ｅ在边 ＡＢ上（点 Ｅ与点 Ａ，Ｂ不重合），过点 Ａ作 ＡＦ⊥ ＤＥ，垂足为Ｇ，ＡＦ与边ＢＣ相交于点Ｆ。 （１）求证：△ＤＡＥ≌△ＡＢＦ； （２）若△ＤＥＦ的面积为 １３ ２ ，求ＡＦ的长； （３）在（２）的条件下，取ＤＥ，ＡＦ的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，求ＭＮ的长。 　　　 备用图 ２４．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋６交ｘ轴于Ａ，Ｂ两点，交ｙ轴于点Ｃ，对称轴 为直线ｘ＝－２，点Ｂ的坐标为（２，０），连接ＡＣ。 （１）求抛物线的表达式； （２）动点Ｐ和动点Ｑ同时出发，点Ｐ从点Ａ以每秒２个单位长度的速度沿ＡＣ运动到点Ｃ，点Ｑ从 点Ｃ以每秒１个单位长度的速度沿ＣＯ运动到点 Ｏ，连接 ＰＱ，当点 Ｐ到达点 Ｃ时，点 Ｑ停止运动， 求△ＣＰＱ面积的最大值及此时点Ｐ的坐标； （３）将原抛物线向左平移２个单位长度，再向下平移２个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上 存在点Ｇ，使得∠ＡＣＧ＝１５°，请直接写出所有符合条件的点Ｇ的坐标。 　　　 备用图 ∴ＣＤ＝ＡＢ＝６。∴ＤＧ＝ ＣＤ２＋ＣＧ槡 ２＝ ６２＋２槡 ２＝槡２１０。 令ＡＤ＝ｘ，则ＤＦ＝ｘ。 由（１）知，ＦＧ＝ＢＧ＝ｘ－２，∴ｘ＋ｘ－２＝ 槡２ １０， 解得ｘ＝槡１０＋１，即ＡＤ的长为槡１０＋１。 ２４．解：（１）将Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）代入ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中， 得 －９＋３ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝３，{ ∴ ｂ＝２，ｃ＝３。{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，∴对称轴为直线ｘ＝１。 ∵ＣＤ∥ｘ轴，∴Ｄ（２，３）。∴ＣＤ＝２。 ∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）。 ∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３。 设Ｅ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）。 ∵ＥＦ⊥ＣＤ交线段ＢＣ于点Ｆ，∴Ｆ（ｍ，－ｍ＋３）。 ∴Ｓ四边形ＥＣＦＤ＝Ｓ△ＣＤＥ＋Ｓ△ＣＤＦ＝ １ ２ ×２×（－ｍ２＋２ｍ）＋ １ ２ × ２×ｍ＝－ｍ２＋３ｍ。 当ｍ＝ ３ ２ 时，四边形 ＥＣＦＤ的面积最大，最大值为 ９ ４ ，此时Ｅ（ ３ ２ ， １５ ４ ）。 （３）设Ｐ（ｎ，－ｎ２＋２ｎ＋３）。 ①当ＰＣ⊥ＰＢ时， 设ＢＣ的中点为Ｊ（ ３ ２ ， ３ ２ ），则ＰＪ＝ １ ２ ＢＣ＝槡 ３２ ２ 。 ∴（ｎ－ ３ ２ ）２＋（－ｎ２＋２ｎ＋３－ ３ ２ ）２＝（槡 ３２ ２ ）２。 整理，得ｎ（ｎ－３）（ｎ２－ｎ－１）＝０。 ∴ｎ＝０或３或 槡 １±５ ２ 。 ∵点Ｐ在第一象限，∴点Ｐ的横坐标为 １＋槡５ ２ ； ②当ＰＣ⊥ＢＣ时，则有ｎ＝－ｎ２＋２ｎ。 ∴ｎ＝１或ｎ＝０（舍）。 ∴点Ｐ的横坐标为１。 综上所述，点Ｐ的横坐标为 １＋槡５ ２ 或１。 ９２０２４年莱阳市第二学期期中学业水平检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ １．Ｃ　【解析】∵ （－３）槡 ２＝槡９＝３，∴３的算术平方根 是槡３。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是中心对称图形，故本选项不符合 题意；Ｂ不是中心对称图形，故本选项不符合题意； Ｃ是中心对称图形，故本选项符合题意；Ｄ不是中心 对称图形，故本选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ａ　【解析】该几何体的左视图是 。故选Ａ。 ４．Ｂ　【解析】如图所示，标注∠２，∠３，ａ，ｂ。 ∵∠２＝９０°－３０°＝６０°， ∴∠３＝１８０°－４５°－６０°＝７５°。 ∵ａ∥ｂ，∴∠１＝∠３＝７５°。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】 １２０π×６ １８０ ＝４π（ｃｍ），所以重物上升的高 度为４πｃｍ。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】第１个结构式中有１个 Ｃ和２×１＋２＝４ 个Ｈ，第２个结构式中有２个Ｃ和２×２＋２＝６个Ｈ， 第３个结构式中有３个Ｃ和２×３＋２＝８个Ｈ，……， 以此类推，第 ｎ个结构式中有 ｎ个 Ｃ和（２ｎ＋２）个 Ｈ，所以第 ４９个结构式中有 ４９个 Ｃ和 ２×４９＋２＝ １００个Ｈ。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】根据折线图可知小亮该周每天锻炼时间 为６５，６７，７０，６７，７５，７９，８８，平均数为 １ ７ ×（６５＋６７＋ ７０＋６７＋７５＋７９＋８８）＝７３，故 Ａ选项错误，不符合题 意；众数为６７，故Ｂ选项正确，符合题意；将这组数 由小到大排列为６５，６７，６７，７０，７５，７９，８８，中位数为 ７０，故 Ｃ选项错误，不符合题意；方差为 ｓ２＝ １ ７ × ［（６５－７３）２＋（６７－７３）２＋（７０－７３）２＋（６７－７３）２＋（７５－ ７３）２＋（７９－７３）２＋（８８－７３）２］≈５８．５７，故 Ｄ选项错 误，不符合题意。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形。 ∴ＡＢ＝２ＯＡ＝２ＯＢ＝４，ＢＣ＝槡２２。 ∵△ＡＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转，点Ａ旋转至点Ａ′处， ∴Ａ′Ｂ＝ＡＢ。∴Ａ′Ｂ＝２ＯＢ。∴∠ＯＡ′Ｂ＝３０°。 ∴∠Ａ′ＢＡ＝６０°，即旋转角为６０°。 ∴Ｓ阴影部分＝Ｓ扇形ＡＢＡ′＋Ｓ△Ａ′ＢＣ′－Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＢＣ′ ＝Ｓ扇形ＡＢＡ′－Ｓ扇形ＣＢＣ′ ＝６０π ×４２ ３６０ －６０π ×（槡２２） ２ ３６０ ＝４π ３ 。故选Ｄ。 ９．Ｂ　【解析】如图，连接ＦＧ，设ＢＣ＝２ｘ，ＡＣ′＝ＢＥ＝ａ。 由矩形的性质和折叠的性质，知 Ｄ′Ｆ＝ＤＦ，∠Ｄ′＝ ∠ＦＡＧ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ。 ∵ＡＧ＝Ｄ′Ｇ，ＦＧ＝ＦＧ， ∴Ｒｔ△ＧＡＦ≌Ｒｔ△ＧＤ′Ｆ（ＨＬ）。 ∴ＡＦ＝ＤＦ＝Ｄ′Ｆ＝ １ ２ ＡＤ＝ １ ２ ＢＣ＝ｘ。                                                                —０３— 由矩形的性质，知ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＡＦＥ＝∠ＣＥＦ。 由折叠的性质，知∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＦ， ∴∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ。 ∴ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ。 由折叠的性质，知ＣＥ＝Ｃ′Ｅ＝ＡＥ＋ＡＣ′＝ｘ＋ａ， ∴ＢＣ＝ＢＥ＋ＣＥ＝ａ＋ｘ＋ａ＝２ｘ。 ∴ａ＝ １ ２ ｘ，即ＢＥ＝ １ ２ ｘ。 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ２＋ＢＥ２＝ＡＥ２， 即３２＋（ １ ２ ｘ）２＝ｘ２。 解得ｘ＝槡２３，∴ＢＣ＝２ｘ＝槡４３。故选Ｂ。 １０．Ｃ　【解析】∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝２， ∴ｂ＝－４ａ，即４ａ＋ｂ＝０。故①正确； ∵图象过点（－１，０），对称轴为直线ｘ＝２， ∴图象过点（５，０）。 ∵当ｘ＝３时，ｙ＜０，∴９ａ＋３ｂ＋ｃ＜０， 即９ａ＋ｃ＜－３ｂ。故②错误； ∵函数图象与ｘ轴的交点坐标为（－１，０），（５，０）， ∴当ｙ＝１时，ｘ１＜－１＜５＜ｘ２。 ∴｜ｘ１－ｘ２｜＞６。故③正确； ∵ｂ＝－４ａ，ａ－ｂ＋ｃ＝０，∴ａ＋４ａ＋ｃ＝０，即ｃ＝－５ａ。 ∴３ａ－３ｂ＋２ｃ＝３ａ＋１２ａ－１０ａ＝５ａ。 ∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∴３ａ－３ｂ＋２ｃ＞０。故④正确。故选Ｃ。 １１．１．０５×１０８　【解析】１０５００００００＝１．０５×１０８。 １２．３６　【解析】设他去世时年龄的个位数为ｘ，则他去 世时年龄的十位数为ｘ－３。 由题意，得１０（ｘ－３）＋ｘ＝ｘ２。解得ｘ１＝５，ｘ２＝６。 ∴他去世时年龄为２５或３６。 ∵他去世时的年龄大于３０， ∴他去世时的年龄为３６。 １３． ２ ９ 　【解析】设小正方形面积为 １，观察图形可得 图形中共３６个小正方形，则总面积为 ３６，其中阴 影部分面积为３＋３＋２＝８，则投中阴影部分的概率 为 ８ ３６ ＝２ ９ 。 １４．（－２，０）　【解析】∵四边形 ＡＢＣＯ是矩形，点 Ｂ的 坐标为（２，４）， ∴ＯＣ＝ＡＢ＝４，ＯＡ＝２。∴点Ｃ的坐标为（０，４）。 ∵矩形 ＡＢＣＯ与矩形 ＯＤＥＦ是位似图形，点 Ｐ是 位似中心，点Ｅ的坐标为（－１，２）， ∴位似比为１∶２。∴ＯＰ∶ＡＰ＝ＯＤ∶ＡＢ＝１∶２。 设ＯＰ＝ｘ，则 ｘ ｘ＋２ ＝１ ２ 。解得ｘ＝２， ∴ＯＰ＝２，即点Ｐ的坐标为（－２，０）。 １５．槡３　【解析】在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°， ＡＢ＝４，∴ＢＣ＝ １ ２ ＡＢ＝２，ＡＣ＝槡 ３ ２ ＡＢ＝槡２３。 如图，连接ＡＦ。 由作图知，ＤＥ垂直平分ＡＣ， ∴ＣＦ＝ＡＦ。 ∵ＣＦ＝ＡＣ，∴ＡＣ＝ＣＦ＝ＡＦ。 ∴∠ＡＣＦ＝６０°。∴∠ＢＣＧ＝３０°。 ∵∠Ｂ＝６０°，∴∠ＣＧＢ＝９０°。 ∴ＣＧ⊥ＡＢ。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＧ。 ∴ＣＧ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝槡２３ ×２ ４ ＝槡３。 １６．槡２ １３－２　【解析】如图，延长 ＢＣ到点 Ｇ，使得 ＢＣ ＝ＣＧ。取ＡＤ的中点Ｏ，以点Ｏ为圆心，ＯＤ长为半 径画半圆，连接ＯＧ交圆Ｏ于点Ｅ，交ＣＤ于点Ｆ。 ∵点Ｂ与点Ｇ关于ＣＤ对称， ∴ＢＦ＝ＦＧ。 ∵∠ＡＥＤ＝９０°， ∴点Ｅ在以点 Ｏ为圆心，ＯＤ长为 半径的半圆上运动。 ∴ＥＦ＋ＢＦ＝ＥＦ＋ＦＧ≥ＥＧ。 如图，过点Ｏ作ＯＭ⊥ＢＣ于点Ｍ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＧ＝４。 又∵ＯＤ＝２，∴ＣＭ＝ＯＤ＝２。 ∴ＧＭ＝ＣＧ＋ＣＭ＝４＋２＝６。 在Ｒｔ△ＯＭＧ中，由勾股定理，得 ＯＧ＝ ＯＭ２＋ＭＧ槡 ２＝ ４２＋６槡 ２＝ 槡２ １３， ∴ＥＧ＝ＯＧ－ＯＥ＝ 槡２ １３－２。 ∴ＢＦ＋ＥＦ的最小值为 槡２ １３－２。 １７．解：（ｘ＋１－ ３ ｘ－１ ）÷ ｘ２＋４ｘ＋４ ｘ－１ ＝（ｘ ＋１）（ｘ－１）－３ ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ＋２）２ ＝ｘ ２－４ ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ＋２）２ ＝（ｘ ＋２）（ｘ－２） ｘ－１ · ｘ－１ （ｘ＋２）２ ＝ｘ －２ ｘ＋２ 。 ∵ｘ＝４ｃｏｓ６０°＋２×(－１２)＋槡１２÷槡３ ＝４× １ ２ ＋２×(－１２)＋槡４＝３， ∴原式＝ ３－２ ３＋２ ＝１ ５ 。 １８．解：（１）∵直线ｙ＝ｘ＋ｍ过点Ａ（３，１），Ｂ（－１，ｎ）， ∴１＝３＋ｍ。∴ｍ＝－２。 ∴一次函数的表达式为ｙ＝ｘ－２。 ∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象过点Ａ（３，１）， ∴ｋ＝３×１＝３。∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ３ ｘ 。 （２）把点Ｂ（－１，ｎ）代入ｙ＝ｘ－２，                                                                —１３— 得ｎ＝－１－２＝－３，∴点Ｂ的坐标为（－１，－３）。 观察图象，不等式 ｘ＋ｍ＞ ｋ ｘ 的解集为－１＜ｘ＜０或 ｘ＞３。 （３）把ｙ＝０代入ｙ＝ｘ－２，得ｘ＝２， 即点Ｃ的坐标为（２，０），∴Ｓ△ＡＯＣ＝ １ ２ ×２×１＝１。 ∵Ｓ△ＰＯＣ＝３Ｓ△ＡＯＣ， ∴Ｓ△ＰＯＣ＝ １ ２ ＯＣ·｜ｙＰ｜＝ １ ２ ×２·｜ｙＰ｜＝３。 ∴｜ｙＰ｜＝３。 当点Ｐ的纵坐标为３时，３＝ ３ ｘ ，解得ｘ＝１； 当点Ｐ的纵坐标为－３时，－３＝ ３ ｘ ，解得ｘ＝－１， ∴点Ｐ的坐标为（１，３）或（－１，－３）。 １９．解：（１）本次接受抽样调查的总人数为２７÷２２．５％ ＝１２０。 （２）选择Ｃ项目的人数为１２０×２５％＝３０。 补全条形统计图如图所示。 （３）扇形统计图中 Ａ的百分比为１８÷１２０×１００％＝ １５％，扇形Ｂ的圆心角度数为４５÷１２０×３６０°＝１３５°。 （４）将《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书分 别记为Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，列表如下： Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ Ｍ （Ｍ，Ｎ） （Ｍ，Ｐ） （Ｍ，Ｑ） Ｎ （Ｎ，Ｍ） （Ｎ，Ｐ） （Ｎ，Ｑ） Ｐ （Ｐ，Ｍ） （Ｐ，Ｎ） （Ｐ，Ｑ） Ｑ （Ｑ，Ｍ） （Ｑ，Ｎ） （Ｑ，Ｐ） 共有１２种等可能的结果，其中随机抽取的两本书 恰好是《论语》和《大学》的结果有２种， 所以随机抽取的两本书恰好是《论语》和《大学》 的概率为 ２ １２ ＝１ ６ 。 ２０．解：（１）如图，过点 Ａ作 ＡＧ⊥ＢＤ于点 Ｇ，ＡＦ⊥ＤＥ 于点Ｆ， 则四边形ＡＧＤＦ是矩形。 ∴∠ＡＧＤ＝∠ＡＧＢ＝∠ＡＦＥ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＦ＝ＤＧ， ＡＧ＝ＤＦ。 在Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＢ＝２６０米， ＡＧ ＢＧ ＝５ １２ ， 设ＡＧ＝５ｋ米，ＢＧ＝１２ｋ米， ∴ＡＢ＝ ＡＧ２＋ＢＧ槡 ２＝１３ｋ＝２６０米。∴ｋ＝２０。 ∴ＡＧ＝１００米。 答：小明从点Ｂ走到点Ａ高度上升了１００米。 （２）由（１）知，ＢＧ＝１２ｋ＝２４０米，ＤＦ＝１００米， 由题意，知ＣＧ＝８０米，∴ＡＦ＝ＤＧ＝８０＋ＣＤ。 ∵∠ＥＡＦ＝４５°， ∴∠ＡＥＦ＝４５°。∴ＥＦ＝ＡＦ＝８０＋ＣＤ。 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠ＤＣＥ＝６０°，ＤＥ＝８０＋ＣＤ＋１００＝ １８０＋ＣＤ，ｔａｎ∠ＤＣＥ＝ ＤＥ ＣＤ ， ∴１８０＋ＣＤ＝槡３ＣＤ，∴ＣＤ＝（９０＋ 槡９０３）米。 ∴ＤＥ＝２７０＋ 槡９０３≈４２５．９（米）。 ∵说明书写着烟花的燃放高度为４３０±５米， ∴说明书写的烟花燃放高度属实。 ２１．（１）证明：如图，连接ＡＤ。 ∵∠ＡＯＣ＝２∠ＢＡＣ， ∠ＡＯＣ＝２∠Ｄ， ∴∠ＢＡＣ＝∠Ｄ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＤＡＯ＝∠Ｄ。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＯ。 ∵ＣＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＣＡＤ＝９０°。 ∴∠ＤＡＯ＋∠ＣＡＯ＝９０°。∴∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＯ＝９０°， 即∠ＢＡＯ＝９０°。∴ＯＡ⊥ＡＢ。 ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＢ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵⊙Ｏ的半径为７，∴ＣＤ＝１４。 ∵ｃｏｓ∠ＡＣＤ＝ ３ ７ ，∴ ＡＣ ＣＤ ＝３ ７ 。∴ＡＣ＝６。 ∵ＡＢ⊥ＢＣ，∴∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵∠ＢＡＣ＝∠Ｄ，∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ。 ∴ ＡＣ ＤＣ ＝ＢＣ ＡＣ 。∴ ６ １４ ＝ＢＣ ６ 。 解得ＢＣ＝ １８ ７ 。 ２２．解：（１）设 Ｂ款电视的进货单价为 ｘ元，则 Ａ款电 视的进货单价为（ｘ＋５００）元。 由题意，得 ３２０００ ｘ＋５００ ＝２８０００ ｘ 。解得ｘ＝３５００。 经检验，ｘ＝３５００是原方程的解，且符合题意。 ∴ｘ＋５００＝３５００＋５００＝４０００。 答：Ａ款电视的进货单价为 ４０００元，Ｂ款电视的 进货单价为３５００元。 （２）设Ａ款电视的销售单价为ａ元，Ｂ款电视的销 售单价为ｂ元， 由题意，得 ３ａ＋５ｂ＝３７５００， ５ａ＋４ｂ＝４３０００。{ 解得 ａ＝５０００，ｂ＝４５００。{ 答：Ａ款电视的销售单价为 ５０００元，Ｂ款电视的 销售单价为４５００元。                                                                —２３— （３）设购进Ａ款电视ｍ台，Ｂ款电视ｎ台， 由题意，得４０００ｍ＋３５００ｎ＝８００００。 整理，得８ｍ＋７ｎ＝１６０。∴ｍ＝２０－ ７ｎ ８ 。 ∵ｍ，ｎ均为正整数，且ｎ是８的整数倍， ∴ ｍ ＝１３， ｎ＝８，{ 或 ｍ＝６，ｎ＝１６。{ ∴有２种进货方案： ①购进Ａ款电视 １３台，Ｂ款电视 ８台，总利润＝ （５０００－４０００）×１３＋（４５００－３５００）×８＝２１０００（元）， ②购进Ａ款电视 ６台，Ｂ款电视 １６台，总利润＝ （５０００－４０００）×６＋（４５００－３５００）×１６＝２２０００（元）。 ∵２１０００＜２２０００， ∴购进Ａ款电视 ６台，Ｂ款电视 １６台时，总利润 最高。 ２３．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＤＡＢ＝∠Ｂ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ。 ∵ＡＦ⊥ＤＥ，即∠ＡＧＤ＝９０°， ∴∠ＧＡＥ＋∠ＧＡＤ＝９０°＝∠ＧＡＤ＋∠ＧＤＡ。 ∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＦ。 在△ＤＡＥ与△ＡＢＦ中， ∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＦ， ＤＡ＝ＡＢ， ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ，{ ∴△ＤＡＥ≌△ＡＢＦ（ＡＳＡ）。 （２）解：∵△ＤＡＥ≌△ＡＢＦ，∴可设ＡＥ＝ＢＦ＝ｘ。 ∴ＢＥ＝ＣＦ＝４－ｘ。 ∴Ｓ△ＤＥＦ＝Ｓ正方形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＥＢＦ－Ｓ△ＤＣＦ ＝４×４－ １ ２ ×４ｘ－ １ ２ ｘ（４－ｘ）－ １ ２ ×４（４－ｘ） ＝１６－２ｘ－２ｘ＋ １ ２ ｘ２－８＋２ｘ＝ １ ２ ｘ２－２ｘ＋８。 ∴ １ ２ ｘ２－２ｘ＋８＝ １３ ２ 。解得ｘ＝３或ｘ＝１。 ∴ＢＦ＝３或ＢＦ＝１。 ∵ＡＦ＝ ＡＢ２＋ＢＦ槡 ２，∴ＡＦ的长为５或槡１７。 （３）解：如图所示，连接 ＡＭ并延长交 ＣＤ于点 Ｐ， 连接ＰＦ。 ∵Ｍ是ＤＥ的中点， ∴ＤＭ＝ＥＭ。 ∵在正方形ＡＢＣＤ中， ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＰＤＭ＝∠ＡＥＭ， ∠ＤＰＭ＝∠ＥＡＭ。 ∴△ＤＰＭ≌△ＥＡＭ（ＡＡＳ）。 ∴ＰＭ＝ＡＭ，ＰＤ＝ＡＥ＝３或１。 当ＡＥ＝３时，ＢＦ＝ＰＤ＝３，∴ＣＦ＝ＰＣ＝１。 ∴ＰＦ＝ ＰＣ２＋ＣＦ槡 ２＝槡２。 ∵Ｎ是ＡＦ的中点， ∴ＭＮ是△ＡＰＦ的中位线。∴ＭＮ＝ １ ２ ＰＦ＝槡 ２ ２ ； 当ＡＥ＝１时，ＢＦ＝ＰＤ＝１，∴ＣＦ＝ＰＣ＝３。 ∴ＰＦ＝ ＰＣ２＋ＣＦ槡 ２＝槡３２。 同理可得ＭＮ＝ １ ２ ＰＦ＝槡 ３２ ２ 。 综上所述，ＭＮ的长为槡 ２ ２ 或 槡 ３２ ２ 。 ２４．解：（１）∵对称轴为直线 ｘ＝－２，点 Ｂ的坐标为 （２，０），∴Ａ（－６，０）。 ∴ ３６ａ －６ｂ＋６＝０， ４ａ＋２ｂ＋６＝０。{ 解得 ａ＝－ １ ２ ， ｂ＝－２。{ ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２－２ｘ＋６。 （２）当ｘ＝０时，ｙ＝６，∴Ｃ（０，６）。∴ＯＣ＝６。 ∵Ａ（－６，０），∴ＯＡ＝６。 ∴ＯＡ＝ＯＣ。∴∠ＣＡＯ＝４５°。 ∵点Ｐ从点 Ａ以每秒 ２个单位长度的速度沿 ＡＣ 运动到点Ｃ， 设ＡＰ＝２ｔ，∴Ｐ（槡２ｔ－６，槡２ｔ）。 ∵点Ｑ从点Ｃ以每秒 １个单位长度的速度沿 ＣＯ 运动到点Ｏ，∴ＣＱ＝ｔ。∴Ｑ（０，６－ｔ）。 ∴Ｓ△ＣＰＱ＝ １ ２ ×ｔ×（６－槡２ｔ）＝－ 槡２ ２ ｔ２＋３ｔ ＝－槡２ ２ （ｔ－槡 ３２ ２ ）２＋槡 ９２ ４ 。 当ｔ＝槡 ３２ ２ 时，Ｓ△ＣＰＱ的最大值为 槡９２ ４ ，此时Ｐ（－３，３）。 （３）∵抛物线向ｘ轴负半轴平移２个单位长度，向 ｙ轴负半轴平移２个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２ （ｘ＋４）２＋６。 ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－４。 当点Ｇ在直线ＡＣ下方时， 如图１，设ＣＧ与ｘ轴交于点Ｅ。 ∵∠ＡＣＥ＝１５°，∠ＡＣＯ＝４５°，∴∠ＯＣＥ＝３０°。 ∵ＯＣ＝６，∴ＯＥ＝槡２３。∴Ｅ（－槡２３，０）。 设直线ＣＥ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋６，∴－槡２３ｋ＋６＝０。 解得ｋ＝槡３。∴直线ＣＥ的表达式为ｙ＝槡３ｘ＋６。 当ｘ＝－４时，ｙ＝６－槡４３，∴Ｇ（－４，６－槡４３）； 图１ 　　 图２ 当点Ｇ在直线ＡＣ上方时， 如图２，设直线ＣＧ与ｘ轴交于点Ｆ。 ∵∠ＡＣＦ＝１５°，∠ＡＣＯ＝４５°，∴∠ＯＣＦ＝６０°。 ∵ＯＣ＝６，∴ＯＦ＝槡６３。∴Ｆ（－槡６３，０）。 同理可得直线ＣＦ的表达式为ｙ＝槡 ３ ３ ｘ＋６。                                                                —３３— 当ｘ＝－４时，ｙ＝６－槡 ４３ ３ ，∴Ｇ（－４，６－槡 ４３ ３ ）。 综上，点Ｇ的坐标为（－４，６－槡４３）或 (－４，６－槡４３３ )。 １０２０２４年莱州市适应性检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ １．Ｃ　【解析】－ ４ ３ 的相反数是 ４ ３ 。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】∵ｘ２·ｘ３＝ｘ５，∴算式①不符合题意； ∵（－３ａｂ２）２＝９ａ２ｂ４，∴算式②符合题意； ∵３ａ２－ａ２＝２ａ２，∴算式③不符合题意； ∵ ２ １ ４槡 ＝ ９ ４槡 ＝３ ２ ＝１ １ ２ ，∴算式④符合题意。 ∴计算正确的有２个。故选Ｂ。 ３．Ｂ　【解析】该几何体的俯视图是 。 故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】设第三根木棒长为ｘｃｍ，由三角形三边 关系定理，得６－３＜ｘ＜６＋３，所以ｘ的取值范围是３＜ ｘ＜９。观察选项，只有选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．因为数量太大，不宜采用全面调查， 应采用抽样调查，故选项错误；Ｂ．某彩票设置“中奖 概率为 １ ２００ ”，购买 ２００张彩票中奖是随机事件，故 选项错误；Ｃ．显然是随机事件，故选项错误；Ｄ．方差 越小越稳定，故选项正确。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】∵ ２ ｘ２ － ｓｉｎ ３０ － ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ÷ ８ ） ＝ 的计算结果为ａ。 ∴２２－ １ ２ － ３ １ ８槡 ＝ａ。解得ａ＝３。 ∵ 槡　 １６ － ２ ｙ ｘ ３ ＋ ３ ａｂ／ｃ ２ ＝ 的计算结果为ｂ， 槡∴ １６－２ ３＋３ ２ ＝ｂ。解得ｂ＝－ ５ ２ 。 ∴ａ＋ｂ＝３－ ５ ２ ＝１ ２ 。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】如图，标注∠３。 ∵水面和杯底互相平行， ∴∠１＋∠３＝１８０°。 ∴∠３＝１８０°－∠１＝１８０°－１２２° ＝５８°。 ∵水中的两条光线平行， ∴∠２＝∠３＝５８°。故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接Ｂ′Ｄ′。 ∵四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形， ∴∠Ｂ′Ｃ′Ｄ′＝９０°。 ∴Ｂ′Ｄ′是圆Ｏ的直径。 ∵正方形ＡＢＣＤ的面积为４， ∴正方形ＡＢＣＤ的边长为２。 ∵正方形ＡＢＣＤ与正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是位似图形， ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝１∶２， ∴Ｂ′Ｃ′＝Ｃ′Ｄ′＝４。 ∴Ｂ′Ｄ′＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。 ∴四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的外接圆的半径为 槡２２。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∵抛物线的对称轴在ｙ轴右侧，∴ｂ＜０。 ∵抛物线与ｙ轴交于负半轴， ∴ｃ＜０。∴ａｂｃ＞０。故①错误； 当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。 ∵－ ｂ ２ａ ＝１，∴ｂ＝－２ａ。 ∴３ａ＋ｃ＞０。故②正确； 当ｘ＝１时，ｙ＜０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。∴ａ＋ｃ＜－ｂ。 当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。∴ａ＋ｃ＞ｂ。 ∴｜ａ＋ｃ｜＜｜ｂ｜。 ∴（ａ＋ｃ）２＜ｂ２，即（ａ＋ｃ）２－ｂ２＜０。故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１， ∴当ｘ＝１时，函数的最小值为ａ＋ｂ＋ｃ。 ∴ａ＋ｂ＋ｃ≤ａｍ２＋ｍｂ＋ｃ，即ａ＋ｂ≤ｍ（ａｍ＋ｂ）。 故④正确。故选Ｃ。 １０．Ｄ　【解析】∵在等腰直角三角形 ＡＣＢ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝１， ∴Ｓ１＝ １ ２ ×１× １ ２ ＝１ ４ 。 ∴Ｓ２＝ １ ２ ×１ ２ ×１ ２ ＝１ ８ 。 ∴Ｓ３＝ １ ２ ×１ ２ ×１ ２ ×１ ２ ＝１ １６ 。 ∴Ｓｎ＝ １ ２ ×( １２) ｎ ＝( １２) ｎ＋１ 。 ∴ Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋…＋Ｓｎ＝ １ ４ ＋１ ８ ＋１ １６ ＋…＋( １２) ｎ＋１ ＝１ ２ －( １２) ｎ＋１ 。故选Ｄ。 １１．１．０１６２×１０１２　【解析】１０１６２亿＝ １０１６２００００００００＝１．０１６２×１０１２。 １２．２７°　【解析】如图，作ＯＱ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｑ，交物 体底面于点Ｄ，作ＯＰ⊥ＡＤ，交ＡＢ于点Ｐ，交ＡＤ于 点Ｃ。 ∵ＭＮ∥ＡＢ， ＯＤ⊥ＭＮ， ∴ＯＤ⊥ＡＢ。 ∴∠ＰＱＯ＝９０°。 ∵ＯＣ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＣＰ＝９０°。                                                                —４３—