8 2024年龙口市初中学业水平模拟考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ４３— — ４４— — ４５— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．实数ａ与ｂ在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＝ｂ Ｃ．ａ＜ｂ Ｄ．无法确定 ２．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是中 心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．２ａ２＋ａ２＝３ａ４ Ｂ．ａ６÷ａ４＝ａ２ Ｃ．（４ａｂ）２＝８ａ２ｂ２ Ｄ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２ ４．如图所示的几何体，其左视图是 （　　） Ａ 　 Ｂ Ｃ Ｄ ５．为评估一种小麦的种植效果，选了１０块地作试验田。这１０块地的亩产量（单位：ｋｇ）分别为 ｘ１，ｘ２， …，ｘ１０。下面给出这组数据的统计量中可以用来评估这种小麦亩产量稳定程度的是 （　　） Ａ．平均数 Ｂ．方差 Ｃ．众数 Ｄ．中位数 ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝７０°，根据图中尺规作图痕迹，∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１４０° Ｂ．１３５° Ｃ．１２５° Ｄ．１２０° 第６题图 　　　 图１ 　　 图２ 第７题图 　　　 第８题图 ７．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图１），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆 原理的取水机械。桔槔示意图如图２所示，ＯＭ是垂直于水平地面的支撑杆，ＯＭ＝３米，ＡＢ是杠杆， ＡＢ＝６米，ＯＡ∶ＯＢ＝２∶１。当点Ａ位于最高点时，∠ＡＯＭ＝１２０°。此时，点Ａ到地面的距离为（　　） Ａ．５米 Ｂ．６米 Ｃ．（槡２３＋３）米 Ｄ．７米 ８．如图，在正方形方格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｐ均在格点处，则点Ｐ是下列哪个三角形的外心 （　　） Ａ．△ＡＣＥ Ｂ．△ＡＢＤ　 Ｃ．△ＡＣＤ Ｄ．△ＢＣＥ ９．如图，ＡＢＣＤ是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法 如下，小明：连接ＡＣ，作ＡＣ的中垂线交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ，则四边形ＡＦＣＥ是菱形。 小亮：分别作∠Ａ与∠Ｂ的平分线ＡＥ，ＢＦ，分别交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｆ，则四边形ＡＢＥＦ是菱形。 关于两人的作法，下列判断正确的是 （　　） Ａ．仅小明正确 Ｂ．仅小亮正确 Ｃ．小明和小亮均错误 Ｄ．小明和小亮均正确 １０．如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象关于直线ｘ＝１对称，与ｘ轴交于Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０）两点，若－２＜ｘ１＜－１， 则下列四个结论：①ａｂｃ＜０；②３＜ｘ２＜４；③３ａ＋２ｂ＞０；④ｂ ２＞ａ＋ｃ＋４ａｃ。正确结论的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．若代数式 ３－槡 ｘ ｘ 在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围是 。 １２．据央视６月初报道，电信５Ｇ技术赋能千行百业，打造数字经济底座。５Ｇ牌照发放三年来，三大电 信运营商共投资４７７２亿元，把数字４７７２亿用科学记数法表示为　　　　　　　　。 １３．如图，将４５°的∠ＡＯＢ按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点Ｏ与尺下沿的端点重合，ＯＢ与尺上 沿的交点Ｂ在尺上的读数恰为２ｃｍ，若按相同的方式将２２．５°的∠ＡＯＣ放置在该刻度尺上，ＯＣ与尺 上沿交于点Ｃ，则线段ＢＣ的长度为 ｃｍ。 第１３题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １４．围棋起源于中国，棋子分黑白两色。一个不透明的盒子中装有３个黑色棋子和若干个白色棋子，每 个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 １ ４ ，则盒中有棋子 个。 １５．如图，直线ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋３分别与ｘ轴，ｙ轴交于点Ａ，Ｂ，将△ＯＡＢ绕着点Ａ顺时针旋转９０°得到△ＣＡＤ， 则点Ｂ的对应点Ｄ的坐标为 。 １６．如图，在ｘ轴的正半轴上依次截取ＯＡ１＝Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝…＝Ａｎ－１Ａｎ，过点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ分别作ｘ轴的 垂线与反比例函数ｙ＝ ２ ｘ （ｘ＞０）的图象相交于点 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，Ｐｎ，得△ＯＰ１Ａ１，△Ａ１Ｐ２Ａ２，△Ａ２Ｐ３Ａ３， …，△Ａｎ－１ＰｎＡｎ，并设其面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓｎ。以此类推，则Ｓ２０２４的值为 。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值：(ｘ ２－２ ｘ－２ －ｘ)÷ ｘ－１ｘ２－４ｘ＋４，其中ｘ＝－ １ ２ 。 １８．（６分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°。求作：线段ＣＤ，使得点Ｄ在线段ＡＢ上，且ＣＤ＝ １ ２ ＡＢ。 作法：①分别以点Ａ，Ｂ为圆心，大于 １ ２ ＡＢ长为半径作弧，两弧相交于点Ｍ， Ｎ；②作直线ＭＮ，交ＡＢ于点Ｄ；③连接ＣＤ。所以线段ＣＤ即为所求作。 （１）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （２）完成下面的证明。 证明：∵ＡＭ＝ＢＭ，ＡＮ＝ＢＮ， ∴ＭＮ是ＡＢ的垂直平分线（ 　）。（填推理的依据） ∴Ｄ是ＡＢ的中点。∵∠Ｃ＝９０°，∴ＣＤ＝ １ ２ ＡＢ（ 　）。（填推理的依据） １９．（８分）某学校积极落实国家“双减”政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等校本 课程以提升课后服务质量。学校从参与课后服务的学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查（要 求每名学生只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图。 　　 请结合上述信息，解答下列问题： （１）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为 度； （２）补全调查结果条形统计图； （３）小明和小亮分别从“礼仪”“陶艺”“园艺”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法 求出两人恰好选到同一门课程的概率。 ８ ２０２４年龙口市初中学业水平模拟考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ４６— — ４７— — ４８— ２０．（８分）如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图。现测得支撑板 ＡＣ＝１２ｃｍ，ＣＥ＝４ｃｍ， ∠ＡＣＥ＝５０°，∠Ａ＝７０°，求手机底端Ｅ到底座ＡＢ的距离。（精确到０．１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０．９４， ｃｏｓ７０°≈０．３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡３≈１．７３） 　　 ２１．（９分）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某学校欲购买篮球、 足球共６０个用于学生课外活动，要求采购总费用不超过３２００元。已知篮球单价为８０元，足球单 价为４０元。 （１）最多能购买篮球多少个？ （２）若篮球单价降低ａ元，足球单价降低１０元，篮球的购买量在第（１）问最大购买量的基础上增加 ２ａ个，但篮球、足球的购买总数保持不变。若采购的总费用为３１５０元，则ａ的值为多少？ ２２．（１１分）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｄ是⊙Ｏ上一点，ＤＥ∥ＡＣ交ＡＢ的延长线 于点Ｅ，ＣＤ与ＡＢ交于点Ｆ，连接ＢＤ，若∠ＢＣＤ＝ １ ２∠ ＡＢＣ。 （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＥ＝３，ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ ３ ５ ，求⊙Ｏ的半径。 ２３．（１１分）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动。 （１）操作判断：如图１，先用对折的方式确定矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ的中点 Ｅ，再沿 ＤＥ折叠，点 Ａ落在 点Ｆ处，把纸片展平，延长ＤＦ，与ＢＣ交于点Ｇ。请写出线段ＦＧ与线段ＢＧ的数量关系 ； （２）迁移思考：如图２，把ＡＢＣＤ按照（１）中的操作进行折叠和作图，请判断 ＦＧ，ＢＧ这两条线段之 间的数量关系，并仅就图２证明你的判断； （３）拓展探索：如图１，若ＡＢ＝６，ＣＧ＝２，按照（１）中的操作进行折叠和作图，求ＡＤ的长。 图１ 　　　 图２ ２４．（１３分）如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ，其中点Ｂ的坐标为（３，０），点 Ｃ的坐标为（０，３），直线ｌ经过Ｂ，Ｃ两点。 （１）求抛物线的解析式； （２）过点Ｃ作ＣＤ∥ｘ轴交抛物线于点 Ｄ，过线段 ＣＤ上方的抛物线上一动点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＣＤ交线段 ＢＣ于点Ｆ，求四边形ＥＣＦＤ的面积的最大值及此时点Ｅ的坐标； （３）Ｐ是在直线ｌ上方的抛物线上一动点，Ｍ是坐标平面内一动点，是否存在动点 Ｐ，Ｍ，使得以 Ｃ， Ｂ，Ｐ，Ｍ为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Ｐ的横坐标；若不存在，请说明理由。 　　 备用图 综上所述，ＡＣ的长为槡 ３＋ 槡３ １５ ２ 或 槡 ３ １５－槡３ ２ 。 ２４．解：（１）∵ＯＢ＝ＯＣ＝４，ＯＡ＝１， ∴Ｃ（０，４），Ｂ（４，０），Ａ（－１，０）。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） ＝－ｘ２＋３ｘ＋４。 （２）∵ＯＢ＝ＯＣ＝４，∴△ＯＢＣ是等腰直角三角形。 由点Ｅ的运动可知ＢＥ＝槡２ｔ， 如图１，过点Ｅ作ＥＦ⊥ｘ轴，垂足为Ｆ。 ∴ＥＦ＝ＢＦ＝槡 ２ｔ 槡２ ＝ｔ。 ∵Ａ（－１，０），∴ＡＢ＝５。 ∴Ｓ四边形ＡＤＥＣ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＢＤＥ＝ １ ２ ×４×５－ １ ２ ×（５－ｔ）ｔ＝ １ ２(ｔ－５２) ２ ＋５５ ８ 。 ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ＢＣ＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２，ＡＢ＝５， ∴０≤ｔ≤４。 ∴当ｔ＝ ５ ２ 时，四边形 ＡＤＥＣ的面积最小，最小值 为 ５５ ８ 。 图１ 　　 图２ （３）当点Ｍ在 ＣＮ的右侧时，如图 ２，过点 Ｍ作 ｙ 轴的平行线，交ｘ轴于点 Ｑ，过点 Ｃ作 ＣＰ⊥ＰＱ于 点Ｐ。 ∵△ＣＭＮ是以Ｍ为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ＣＭ＝ＭＮ，∠ＣＭＮ＝９０°。 ∴∠ＰＣＭ＝９０°－∠ＰＭＣ＝∠ＮＭＱ。 ∵∠ＣＰＭ＝∠ＭＱＮ＝９０°， ∴△ＣＰＭ≌△ＭＱＮ（ＡＡＳ）。∴ＣＰ＝ＭＱ。 设Ｍ（ｍ，－ｍ２＋３ｍ＋４），∴－ｍ２＋３ｍ＋４＝ｍ。 解得ｍ＝１＋槡５或１－槡５（舍去）。 ∴Ｍ（１＋槡５，１＋槡５）； 当点Ｍ在ＣＮ的左侧时，同理可得－ｍ２＋３ｍ＋４＝－ｍ。 解得ｍ＝２－槡２２或２＋槡２２（舍去）。 ∴Ｍ（２－槡２２，槡２２－２）。 综上所述，Ｍ（１＋槡５，１＋槡５）或（２－槡２２，槡２２－２）。 ８２０２４年龙口市初中学业水平模拟考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ １．Ｃ　【解析】由题意，得ａ＜０＜ｂ，∴ａ＜ｂ。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既是轴对称图形，也是中心对称图形； Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形；Ｃ是轴对称图 形，不是中心对称图形；Ｄ既不是轴对称图形，也不 是中心对称图形。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ．２ａ２＋ａ２＝３ａ２，故选项不符合题意；Ｂ．ａ６ ÷ａ４＝ａ２，故选项符合题意；Ｃ．（４ａｂ）２＝１６ａ２ｂ２，故选 项不符合题意；Ｄ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，故选项不符 合题意。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】该几何体的左视图是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】方差是反映一组数据的波动大小的一个 量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性越 差；反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好，故 可以用来评估这种小麦亩产量稳定程度的是方差。 故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】∵∠ＢＡＣ＝７０°， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－７０°＝１１０°。 ∵ＯＢ，ＯＣ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ∴∠ＯＢＣ＋∠ＯＣＢ＝ １ ２ （∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝５５°。 ∴∠ＢＯＣ＝１８０°－５５°＝１２５°。故选Ｃ。 ７．Ａ　【解析】如图，过点 Ｏ作 ＥＦ⊥ＯＭ，过点 Ａ作 ＡＧ ⊥ＥＦ于点Ｇ。 ∵ＡＢ＝６米，ＯＡ∶ＯＢ＝２∶１，∴ＯＡ＝４米。 ∵∠ＡＯＭ＝１２０°，∠ＥＯＭ＝９０°， ∴∠ＡＯＥ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＯＧ中，ＡＧ＝ＯＡ·ｓｉｎ３０°＝２（米），点Ａ位于 最高点时到地面的距离为２＋３＝５（米）。故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】由勾股定理，得 ＰＣ＝ＰＥ＝ＰＢ＝ ３２＋１槡 ２ ＝槡１０，∴点Ｐ到Ｂ，Ｃ，Ｅ三点的距离相等。 ∴点Ｐ是△ＢＣＥ的外心。故选Ｄ。 ９．Ｄ　【解析】小明的作法正确。小明的作法如图１。 图１ 理由：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ。 ∵ＥＦ垂直平分线段ＡＣ，∴ＯＡ＝ＯＣ。 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ， ＯＡ＝ＯＣ，{ ∴△ＡＥＯ≌△ＣＦＯ（ＡＡＳ）。∴ＡＥ＝ＣＦ。 ∵ＡＥ∥ＣＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形。 ∵ＡＣ⊥ＥＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是菱形； 小亮的作法正确。小亮的作法如图２。                                                                —７２— 图２ 理由：∵ＡＥ平分∠ＢＡＤ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＦ。 ∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ。∴ＡＢ＝ＢＥ。 同法可证ＡＢ＝ＡＦ，∴ＡＦ＝ＢＥ。 ∵ＡＦ∥ＢＥ，∴四边形ＡＢＥＦ是平行四边形。 ∵ＡＢ＝ＢＥ，∴四边形ＡＢＥＦ是菱形。 故小明和小亮的作法均正确。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】由图象，得ａ＞０，ｂ＜０，ｃ＜０， ∴ａｂｃ＞０。故①错误； ∵－２关于直线ｘ＝１的对称点为４，－１关于直线 ｘ ＝１的对称点为３，∴３＜ｘ２＜４。故②正确； ∵对称轴为直线ｘ＝１，∴－ ｂ ２ａ ＝１。∴ｂ＝－２ａ。 ∴３ａ＋２ｂ＝－ａ＜０。故③错误； ∵当ｘ＝－１时，ｙ＜０，∴ａ－ｂ＋ｃ＜０。 ∵ｂ＜０，∴ａ＋ｃ＜０。 ∵ｂ２－４ａｃ＞０，∴ｂ２－４ａｃ＞ａ＋ｃ。∴ｂ２＞ａ＋ｃ＋４ａｃ。 故④正确。故选Ｂ。 １１．ｘ≤３且ｘ≠０　【解析】由题意，得 ３－ｘ≥０， ｘ≠０，{ 解得ｘ≤３且ｘ≠０。 １２．４．７７２×１０１１　【解析】４７７２亿＝４７７２００００００００＝ ４．７７２×１０１１。 １３．槡２２　【解析】如图，设刻度尺上沿 ０刻度处为 点Ｄ。 ∵∠ＡＯＢ＝４５°，∠ＡＯＣ＝２２．５°， ∴∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ。 ∵ＢＣ∥ＯＡ，∴∠ＢＣＯ＝∠ＡＯＣ。 ∴∠ＢＣＯ＝∠ＢＯＣ。∴ＢＣ＝ＯＢ。 ∵△ＯＤＢ是等腰直角三角形， ∴ＯＢ＝槡２ＢＤ＝槡２２ｃｍ。∴ＢＣ＝ＯＢ＝槡２２ｃｍ。 １４．１２　【解析】由题意，得３÷ １ ４ ＝１２（个）。 １５．（５，２）　【解析】当ｘ＝０时，ｙ＝－ ３ ２ ×０＋３＝３， ∴点Ｂ的坐标为（０，３）。∴ＯＢ＝３。 当ｙ＝０时，－ ３ ２ ｘ＋３＝０，解得ｘ＝２。 ∴点Ａ的坐标为（２，０）。∴ＯＡ＝２。 ∵将△ＯＡＢ绕着点Ａ顺时针旋转９０°得到△ＣＡＤ， ∴ＡＣ＝ＯＡ＝２，ＣＤ＝ＯＢ＝３。 ∴点Ｄ的坐标为（２＋３，２），即（５，２）。 １６． １ ２０２４ 　【解析】如图，连接ＯＰ２，ＯＰ３，ＯＰ４，…，ＯＰｎ。 根据反比例函数ｋ值的几何意义，可知 Ｓ△ＯＰ１Ａ１＝Ｓ△ＯＰ２Ａ２＝Ｓ△ＯＰ３Ａ３＝…＝Ｓ△ＯＰｎＡｎ＝１。 ∵ＯＡ１＝Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝…＝Ａｎ－１Ａｎ， ∴Ｓ△Ａ１Ｐ２Ａ２＝ １ ２ ×１，Ｓ△Ａ２Ｐ３Ａ３＝ １ ３ ×１， Ｓ△Ａ３Ｐ４Ａ４＝ １ ４ ×１，…，Ｓ△Ａ２０２３Ｐ２０２４Ａ２０２４＝ １ ２０２４ 。 ∴Ｓ２０２４＝ １ ２０２４ 。 １７．解：（ ｘ２－２ ｘ－２ －ｘ）÷ ｘ－１ ｘ２－４ｘ＋４ ＝ｘ ２－２－ｘ（ｘ－２） ｘ－２ · （ｘ－２）２ ｘ－１ ＝ｘ ２－２－ｘ２＋２ｘ ｘ－２ · （ｘ－２）２ ｘ－１ ＝２（ｘ －１） ｘ－２ · （ｘ－２）２ ｘ－１ ＝２（ｘ－２） ＝２ｘ－４。 当ｘ＝－ １ ２ 时，原式＝２×（－ １ ２ ）－４＝－５。 １８．解：（１）如图１，线段ＣＤ即为所求作。 图１ 　 图２ （２）证明：如图２，连接ＡＭ，ＢＭ，ＡＮ，ＢＮ。 ∵ＡＭ＝ＢＭ，ＡＮ＝ＢＮ， ∴ＭＮ是 ＡＢ的垂直平分线（到线段两个端点距离 相等的点在这条线段的垂直平分线上）。 ∴Ｄ是ＡＢ的中点。 ∵∠Ｃ＝９０°， ∴ＣＤ＝ １ ２ ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半）。 １９．解：（１）共有 ３０÷２５％＝１２０名学生参与了本次问 卷调查； “陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为３６０°× ３３ １２０ ＝９９（度）。故答案为１２０；９９。                                                                —８２— （２）选修“厨艺”的学生人数为１２０× ５４ ３６０ ＝１８， 选修“园艺”的学生人数为１２０－３０－３３－１８－１５＝２４。 补全条形统计图如下： （３）把“礼仪”“陶艺”“园艺”等三门校本课程分别 记为Ａ，Ｂ，Ｃ，画树状图如下： 共有９种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰 好选到同一门课程的结果有 ３种，所以小明和小 亮两人恰好选到同一门课程的概率为 ３ ９ ＝１ ３ 。 ２０．解：如图，分别过点 Ｃ，Ｅ作 ＣＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，ＥＧ⊥ ＣＦ于点Ｇ，ＥＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 ∵ｓｉｎＡ＝ ＣＦ ＡＣ ， ∴ＣＦ＝ＡＣ·ｓｉｎＡ＝１２×ｓｉｎ７０°≈ １２×０．９４＝１１．２８（ｃｍ）。 ∵∠ＡＣＦ＝９０°－７０°＝２０°， ∴∠ＧＣＥ＝５０°－２０°＝３０°。 ∵ｃｏｓ∠ＧＣＥ＝ ＣＧ ＣＥ ， ∴ＣＧ＝ＣＥ·ｃｏｓ∠ＧＣＥ＝４×ｃｏｓ３０°＝４×槡 ３ ２≈ ３．４６（ｃｍ）。　 根据已知条件可得四边形ＧＦＨＥ是矩形， ∴ＥＨ＝ＦＧ＝ＣＦ－ＣＧ≈１１．２８－３．４６≈７．８（ｃｍ）。 答：手机底端Ｅ到底座ＡＢ的距离大约为７．８ｃｍ。 ２１．解：（１）设购买 ｘ个篮球，则购买（６０－ｘ）个足球。 依题意，得８０ｘ＋４０（６０－ｘ）≤３２００。 解得ｘ≤２０。 答：最多能购买篮球２０个。 （２）依题意，得（８０－ａ）（２０＋２ａ）＋（４０－１０）［６０－（２０＋ ２ａ）］＝３１５０。 整理，得ａ２－４０ａ＋１７５＝０。解得ａ１＝５，ａ２＝３５。 当ａ＝５时，２０＋２ａ＝２０＋２×５＝３０＜６０，符合题意；当 ａ＝３５时，２０＋２ａ＝２０＋２×３５＝９０＞６０，不符合题意， 舍去。 ∴ａ的值为５。 ２２．（１）证明：如图，连接ＯＤ， 则∠ＢＣＤ＝ １ ２∠ ＢＯＤ。 ∵∠ＢＣＤ＝ １ ２∠ ＡＢＣ，∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＢＣ。 ∵ＤＥ∥ＡＣ，∴∠Ｅ＝∠Ａ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴∠ＢＯＤ＋∠Ｅ＝∠ＡＢＣ＋∠Ａ＝９０°。 ∴∠ＯＤＥ＝１８０°－（∠ＢＯＤ＋∠Ｅ）＝９０°。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：设⊙Ｏ的半径为 ｒ，则 ＯＤ＝ＯＢ＝ｒ，ＡＢ＝２ｒ。 ∵∠Ｅ＝∠Ａ＝∠ＢＤＣ，∠ＯＤＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＥ＝ ３，ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ ３ ５ ， ∴ ＯＤ ＯＥ ＝ｓｉｎＥ＝ｓｉｎＡ＝ ＢＣ ＡＢ ＝ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ ３ ５ 。 ∴ＯＤ·ＡＢ＝ＢＣ·ＯＥ，且ＢＣ＝ ３ ５ ＡＢ＝ ３ ５ ×２ｒ＝ ６ ５ ｒ。 ∴ｒ×２ｒ＝ ６ ５ ｒ（ｒ＋３）。 解得ｒ１＝ ９ ２ ，ｒ２＝０（不符合题意，舍去）。 ∴⊙Ｏ的半径长为 ９ ２ 。 ２３．解：（１）如图１，连接ＥＧ。 图１ 由折叠，得∴ＡＥ＝ＥＦ，∠Ａ＝∠ＤＦＥ＝９０°。 ∵Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ。∴ＢＥ＝ＥＦ。 又∵ＥＧ＝ＥＧ， ∴Ｒｔ△ＥＢＧ≌Ｒｔ△ＥＦＧ（ＨＬ）。∴ＦＧ＝ＢＧ。 故答案为ＦＧ＝ＢＧ。 （２）ＦＧ＝ＢＧ。证明如下： 如图２，连接ＢＦ。 图２ ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１８０°。 ∵Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ。 由折叠，得ＡＥ＝ＥＦ，∠Ａ＝∠ＤＦＥ， ∠ＤＦＥ＋∠ＥＦＧ＝１８０°， ∴ＥＦ＝ＢＥ，∠ＥＢＧ＝∠ＥＦＧ。 ∴∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＦ。 ∵∠ＥＦＢ＋∠ＢＦＧ＝∠ＥＢＦ＋∠ＦＢＧ， ∴∠ＢＦＧ＝∠ＦＢＧ。∴ＦＧ＝ＢＧ。 （３）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝６，                                                                —９２— ∴ＣＤ＝ＡＢ＝６。∴ＤＧ＝ ＣＤ２＋ＣＧ槡 ２＝ ６２＋２槡 ２＝槡２１０。 令ＡＤ＝ｘ，则ＤＦ＝ｘ。 由（１）知，ＦＧ＝ＢＧ＝ｘ－２，∴ｘ＋ｘ－２＝ 槡２ １０， 解得ｘ＝槡１０＋１，即ＡＤ的长为槡１０＋１。 ２４．解：（１）将Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）代入ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中， 得 －９＋３ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝３，{ ∴ ｂ＝２，ｃ＝３。{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，∴对称轴为直线ｘ＝１。 ∵ＣＤ∥ｘ轴，∴Ｄ（２，３）。∴ＣＤ＝２。 ∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）。 ∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３。 设Ｅ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）。 ∵ＥＦ⊥ＣＤ交线段ＢＣ于点Ｆ，∴Ｆ（ｍ，－ｍ＋３）。 ∴Ｓ四边形ＥＣＦＤ＝Ｓ△ＣＤＥ＋Ｓ△ＣＤＦ＝ １ ２ ×２×（－ｍ２＋２ｍ）＋ １ ２ × ２×ｍ＝－ｍ２＋３ｍ。 当ｍ＝ ３ ２ 时，四边形 ＥＣＦＤ的面积最大，最大值为 ９ ４ ，此时Ｅ（ ３ ２ ， １５ ４ ）。 （３）设Ｐ（ｎ，－ｎ２＋２ｎ＋３）。 ①当ＰＣ⊥ＰＢ时， 设ＢＣ的中点为Ｊ（ ３ ２ ， ３ ２ ），则ＰＪ＝ １ ２ ＢＣ＝槡 ３２ ２ 。 ∴（ｎ－ ３ ２ ）２＋（－ｎ２＋２ｎ＋３－ ３ ２ ）２＝（槡 ３２ ２ ）２。 整理，得ｎ（ｎ－３）（ｎ２－ｎ－１）＝０。 ∴ｎ＝０或３或 槡 １±５ ２ 。 ∵点Ｐ在第一象限，∴点Ｐ的横坐标为 １＋槡５ ２ ； ②当ＰＣ⊥ＢＣ时，则有ｎ＝－ｎ２＋２ｎ。 ∴ｎ＝１或ｎ＝０（舍）。 ∴点Ｐ的横坐标为１。 综上所述，点Ｐ的横坐标为 １＋槡５ ２ 或１。 ９２０２４年莱阳市第二学期期中学业水平检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ １．Ｃ　【解析】∵ （－３）槡 ２＝槡９＝３，∴３的算术平方根 是槡３。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ不是中心对称图形，故本选项不符合 题意；Ｂ不是中心对称图形，故本选项不符合题意； Ｃ是中心对称图形，故本选项符合题意；Ｄ不是中心 对称图形，故本选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ａ　【解析】该几何体的左视图是 。故选Ａ。 ４．Ｂ　【解析】如图所示，标注∠２，∠３，ａ，ｂ。 ∵∠２＝９０°－３０°＝６０°， ∴∠３＝１８０°－４５°－６０°＝７５°。 ∵ａ∥ｂ，∴∠１＝∠３＝７５°。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】 １２０π×６ １８０ ＝４π（ｃｍ），所以重物上升的高 度为４πｃｍ。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】第１个结构式中有１个 Ｃ和２×１＋２＝４ 个Ｈ，第２个结构式中有２个Ｃ和２×２＋２＝６个Ｈ， 第３个结构式中有３个Ｃ和２×３＋２＝８个Ｈ，……， 以此类推，第 ｎ个结构式中有 ｎ个 Ｃ和（２ｎ＋２）个 Ｈ，所以第 ４９个结构式中有 ４９个 Ｃ和 ２×４９＋２＝ １００个Ｈ。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】根据折线图可知小亮该周每天锻炼时间 为６５，６７，７０，６７，７５，７９，８８，平均数为 １ ７ ×（６５＋６７＋ ７０＋６７＋７５＋７９＋８８）＝７３，故 Ａ选项错误，不符合题 意；众数为６７，故Ｂ选项正确，符合题意；将这组数 由小到大排列为６５，６７，６７，７０，７５，７９，８８，中位数为 ７０，故 Ｃ选项错误，不符合题意；方差为 ｓ２＝ １ ７ × ［（６５－７３）２＋（６７－７３）２＋（７０－７３）２＋（６７－７３）２＋（７５－ ７３）２＋（７９－７３）２＋（８８－７３）２］≈５８．５７，故 Ｄ选项错 误，不符合题意。故选Ｂ。 ８．Ｄ　【解析】∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形。 ∴ＡＢ＝２ＯＡ＝２ＯＢ＝４，ＢＣ＝槡２２。 ∵△ＡＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转，点Ａ旋转至点Ａ′处， ∴Ａ′Ｂ＝ＡＢ。∴Ａ′Ｂ＝２ＯＢ。∴∠ＯＡ′Ｂ＝３０°。 ∴∠Ａ′ＢＡ＝６０°，即旋转角为６０°。 ∴Ｓ阴影部分＝Ｓ扇形ＡＢＡ′＋Ｓ△Ａ′ＢＣ′－Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＢＣ′ ＝Ｓ扇形ＡＢＡ′－Ｓ扇形ＣＢＣ′ ＝６０π ×４２ ３６０ －６０π ×（槡２２） ２ ３６０ ＝４π ３ 。故选Ｄ。 ９．Ｂ　【解析】如图，连接ＦＧ，设ＢＣ＝２ｘ，ＡＣ′＝ＢＥ＝ａ。 由矩形的性质和折叠的性质，知 Ｄ′Ｆ＝ＤＦ，∠Ｄ′＝ ∠ＦＡＧ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ。 ∵ＡＧ＝Ｄ′Ｇ，ＦＧ＝ＦＧ， ∴Ｒｔ△ＧＡＦ≌Ｒｔ△ＧＤ′Ｆ（ＨＬ）。 ∴ＡＦ＝ＤＦ＝Ｄ′Ｆ＝ １ ２ ＡＤ＝ １ ２ ＢＣ＝ｘ。                                                                —０３—