6 2024年福山区初四数学诊断性测试(与蓬莱区联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ３１— — ３２— — ３３— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列说法中，不正确的是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．３与－３互为相反数 Ｂ．－３与 １ ３ 互为倒数 Ｃ．－１的立方根是－１ Ｄ．－１的绝对值是１ ２．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有 （　　） Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 　　 　　 　　 第２题图 　　　 第３题图 ３．如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．下列运算结果正确的是 （　　） Ａ．ｍ６÷ｍ３＝ｍ２ Ｂ．－ｍ（ｎ－ｍ）＝－ｍｎ－ｍ２ Ｃ．－（３ｍ）２＝－９ｍ２ Ｄ．（ｍ－１）２＝ｍ２－２ｍ－１ ５．党的二十大报告指出，十年来，我国建成了世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体 系，教育普及水平实现了历史性跨越，基本养老保险覆盖了十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定 在百分之九十五。数据“十亿四千万”用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１０４×１０７ Ｂ．１０．４×１０８ Ｃ．１．０４×１０９ Ｄ．０．１０４×１０１０ ６．已知数轴上的点Ａ，Ｂ分别表示数ａ，ｂ，其中－１＜ａ＜０，０＜ｂ＜１。若ａ×ｂ＝ｃ，数ｃ在数轴上用点Ｃ表示，则 点Ａ，Ｂ，Ｃ在数轴上的位置可能是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ７．某中学开展读书节活动，该中学某语文老师随机抽样调查了本班１０名学生平均每周的课外阅读时 间，统计如表： 每周课外阅读时间（小时） ２ ４ ６ ８ 学生数 ２ ３ ４ １ 下列说法错误的是 （　　） Ａ．众数为１ Ｂ．平均数为４．８ Ｃ．样本容量为１０ Ｄ．中位数为５ ８．如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＢＣ∥ＡＤ，ＡＣ⊥ＢＤ。若∠ＡＯＤ＝１２０°，ＡＤ＝槡３，则∠ＣＡＯ的度数与ＢＣ 的长分别为 （　　） Ａ．１５°，１ Ｂ．１５°，槡２ Ｃ．１０°，１ Ｄ．１０°，槡２ 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．如图，将矩形ＡＢＣＤ折叠，使点Ｄ落在ＡＢ上点Ｄ′处，折痕为ＡＥ；再次折叠，使点Ｃ落在Ｄ′Ｅ上点Ｃ′ 处，延长ＦＣ′交ＡＥ于点Ｇ。若ＡＢ＝８，ＡＤ＝５，则ＦＧ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．５２ Ｂ．２９ Ｃ． ２０ ３ Ｄ．４ １０．如图是二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，其对称轴为直线ｘ＝－１，且该图象与ｘ轴的一个交点在点（－３，０） 和（－４，０）之间，并经过点（－２．３，ｙ１）与点（１．５，ｙ２），则下列结论：①ａｂｃ＞０；②３ａ＋ｃ＞０；③ｙ１＞ｙ２；④对 于任意实数ｍ，都有ａｍ２＋ｂｍ＜ａ＋ｂ。其中正确结论有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．在函数ｙ＝ ２ ｘ＋槡 ４ 中，自变量ｘ的取值范围是　　　　　。 １２．如图，五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形，若ｌ１∥ｌ２，则∠１－∠２＝ 。 第１２题图 　　 第１３题图 　　 第１４题图 　　 第１５题图 １３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝８。以点Ｃ为圆心，以ＡＣ的长为半径画弧，分别交 ＡＢ，ＢＣ于点Ｄ，Ｅ，则图中阴影部分的面积为 。 １４．如图，平行四边形ＯＡＢＣ的顶点Ａ，Ｂ在函数ｙ＝ ６ ｘ （ｘ＞０）的图象上，边ＢＣ与ｙ轴交于点Ｄ，ＡＥ⊥ｘ轴 于点Ｅ。若△ＡＯＢ的面积为８，则 ＡＥ ＯＤ 的值为 。 １５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，∠ＤＡＢ＝１４０°，Ｍ，Ｎ分别是边ＣＤ，ＢＣ上的动点，当△ＡＭＮ 的周长最小时，∠ＭＡＮ＝ 。 １６．如图，礼盒的上下底面是全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长 如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，那么所需胶带长度至少为 　　　　ｃｍ。 实物图 　　　 　　主视图 　　　 　　左视图 三、解答题（本大题共９个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（９分）（１）先化简，再求值：（１－ ２ ｍ＋１ ）÷ ｍ２－２ｍ＋１ ｍ２－ｍ ，其中ｍ＝ｔａｎ６０°－１。 （２）解不等式组 ５ｘ－１＜３（ｘ＋１）， ２ｘ－１ ３ －５ｘ ＋１ ２ ≤ １，{ 并将解集在数轴上表示出来。 １８．（６分）如图，ＡＭ∥ＢＣ，且ＡＣ平分∠ＢＡＭ。 （１）用尺规作∠ＡＢＣ的平分线ＢＤ交ＡＭ于点Ｄ，连接ＣＤ；（只保留作图痕迹，不写作法） （２）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形。 １９．（６分）某中学对１０００名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只 能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列 问题： 类别 频数 频率 不了解 １０ ｍ 了解很少 １６ ０．３２ 基本了解 ｂ 很了解 ４ ｎ 合计 ａ １ 　　 （１）根据以上信息可知：ａ＝ ，ｂ＝ ，ｍ＝　　　　　，ｎ＝　　　　　； （２）请补全条形统计图； （３）请估计该校１０００名学生中“基本了解”的人数为　　　　　； （４）若“很了解”的四名学生是三男一女，现从这四人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识 竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同。 ６ ２０２４年福山区初四数学诊断性测试 （与蓬莱区联考） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ３４— — ３５— — ３６— ２０．（７分）如图，正比例函数ｙ＝ｋｘ与反比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的图象交于Ａ，Ｂ两点，点Ａ的横坐标为－４，点Ｂ 的纵坐标为－６。 （１）求反比例函数的表达式； （２）观察图象，直接写出不等式ｋｘ＜ ｍ ｘ 的解集； （３）将直线ＡＢ向上平移ｎ个单位长度，交双曲线于Ｃ，Ｄ两点，交坐标轴于Ｅ，Ｆ两点，连接ＯＤ，ＢＤ， 若△ＯＢＤ的面积为２０，求直线ＣＤ的表达式。 ２１．（７分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳 篷，便于社区居民休憩。如图，在侧面示意图中，遮阳篷ＡＢ长为５米，与水平面的夹角为１６°，且靠 墙端离地高ＢＣ为４米，当太阳光线ＡＤ与地面ＣＥ的夹角为４５°时，求阴影ＣＤ的长。（结果精确到 ０．１米，参考数据：ｓｉｎ１６°≈０．２８，ｃｏｓ１６°≈０．９６，ｔａｎ１６°≈０．２９） 　　 ２２．（８分）音乐节期间某商铺打算购进Ａ，Ｂ两种文创饰品对游客销售。已知用１４００元采购Ａ种的件 数是用６３０元采购Ｂ种件数的２倍，Ａ种的进价比Ｂ种的进价每件多１元，两种饰品的售价均为每 件１５元。计划采购这两种饰品共６００件，采购Ｂ种的件数不低于３９０，不超过Ａ种件数的４倍。 （１）求Ａ，Ｂ两种饰品每件的进价分别为多少元？ （２）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购Ａ种超过１５０件时，Ａ种超过的部分按 进价打６折。设购进Ａ种饰品ｘ件， ①求ｘ的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润。 ２３．（８分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是⊙Ｏ上一点，过点 Ｃ作 ＡＢ的垂线与 ＡＢ的延长线交于点 Ｄ，连接 ＢＯ并延长，与⊙Ｏ交于点Ｅ，连接ＣＥ，∠ＡＢＥ＝２∠Ｅ。 （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若ｔａｎＥ＝ １ ３ ，ＢＤ＝１，求ＡＢ的长。 ２４．（１０分）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｎ，Ｍ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，连接ＡＭ，ＡＮ，ＭＮ。∠ＭＡＮ＝４５°，将 △ＡＭＤ绕点Ａ顺时针旋转９０°，点Ｄ与点 Ｂ重合，得到△ＡＢＥ。易证：△ＡＮＭ≌△ＡＮＥ，从而得ＤＭ＋ ＢＮ＝ＭＮ。 【实践探究】 （１）在图１条件下，若ＣＮ＝６，ＣＭ＝８，则正方形ＡＢＣＤ的边长为 ； （２）如图２，点Ｍ，Ｎ分别在边ＣＤ，ＡＢ上，且ＢＮ＝ＤＭ。点Ｅ，Ｆ分别在ＢＭ，ＤＮ上，∠ＥＡＦ＝４５°，连接 ＥＦ，猜想三条线段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （３）如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｍ，Ｎ分别在边ＣＤ，ＢＣ上，连接ＡＭ，ＡＮ，已知∠ＭＡＮ＝ ４５°，ＢＮ＝２，求ＤＭ的长。 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ ２５．（１１分）如图１，抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ与ｘ轴交于点Ａ，与直线ｙ＝－ｘ交于点Ｂ（４，－４），点Ｃ（０，－４）在ｙ 轴上。点Ｐ从点Ｂ出发，沿线段ＢＯ方向匀速运动，运动到点Ｏ时停止。 （１）求抛物线的表达式； （２）当ＢＰ＝槡２２时，请在图１中过点Ｐ作ＰＤ⊥ＯＡ交抛物线于点Ｄ，连接ＰＣ，ＯＤ，判断四边形ＯＣＰＤ 的形状，并说明理由； （３）如图２，点Ｐ从点Ｂ开始运动时，点Ｑ从点Ｏ同时出发，以与点Ｐ相同的速度沿ｘ轴正方向匀速 运动，点Ｐ停止运动时点Ｑ也停止运动。连接ＢＱ，ＰＣ，求ＣＰ＋ＢＱ的最小值。 图１ 　　　 图２ 图４ ∴ＢＦ＝－ｍ，ＯＦ＝ａｍ２，ＤＥ＝ｎ，ＯＥ＝ａｎ２。 同理可得△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。∴ＡＥ＝ＯＦ＋ＡＦ－ＯＥ。 ∴－ｍ＝ａｍ２＋ｎ－ａｎ２。∴ｍ＋ｎ＝ａ（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）。 ∴ｍ＋ｎ＝０或ｎ－ｍ＝ １ ａ ； ③当点Ｂ，Ｄ在ｙ轴右侧时，如图５， 图５ ∴ＢＦ＝ｍ，ＯＦ＝ａｍ２，ＤＥ＝ｎ，ＯＥ＝ａｎ２。 同理可得△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。∴ＡＥ＝ＯＥ－ＡＦ－ＯＦ。 ∴ｍ＝ａｎ２－ｎ－ａｍ２。∴ｍ＋ｎ＝ａ（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）。 ∵ｍ＋ｎ≠０，∴ｎ－ｍ＝ １ ａ 。 综上所述，ｍ，ｎ满足的等量关系式为 ｍ＋ｎ＝０或 ｎ－ｍ＝ １ ａ 。 ６２０２４年福山区初四数学诊断性测试 （与蓬莱区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ １．Ｂ　【解析】Ａ．３与－３互为相反数，正确，不符合题 意；Ｂ．－３与－ １ ３ 互为倒数，原说法错误，符合题意； Ｃ．－１的立方根是－１，正确，不符合题意；Ｄ．－１的绝 对值是１，正确，不符合题意。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】第１个图形是中心对称图形，但不是轴 对称图形；第 ２个图形既不是轴对称图形，也不是 中心对称图形；第 ３个图形既是轴对称图形，也是 中心对称图形；第 ４个图形是轴对称图形，但不是 中心对称图形。所以是轴对称图形但不是中心对 称图形的有１个。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ是主视图，Ｃ是左视图，Ｄ是俯视图。 故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】ｍ６÷ｍ３＝ｍ３，故 Ａ错误，不符合题意； －ｍ（ｎ－ｍ）＝－ｍｎ＋ｍ２，故 Ｂ错误，不符合题意； －（３ｍ）２＝－９ｍ２，故 Ｃ正确，符合题意；（ｍ－１）２＝ ｍ２－２ｍ＋１，故Ｄ错误，不符合题意。故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】十亿四千万＝１０４０００００００＝１．０４×１０９。 故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】∵－１＜ａ＜０，０＜ｂ＜１， ∴－１＜ａ×ｂ＜０，即－１＜ｃ＜０。 ∴点Ｃ应在－１和０之间。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】Ａ．这组数据的众数为 ６，故选项符合题 意；Ｂ．这组数据的平均数为 １ １０ （２×２＋４×３＋６×４＋８×１） ＝４．８，故选项不符合题意；Ｃ．样本容量为１０，故选项 不符合题意；Ｄ．这组数据的中位数为５，故选项不符 合题意。故选Ａ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＯＢ，ＯＣ， 设ＢＤ与ＡＣ交于点Ｅ。 ∵ＢＣ∥ＡＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ。 ∴ＡＢ) ＝ＣＤ) 。 ∴∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＢ。 ∵ＢＤ⊥ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＢ＝４５°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＣＯＤ＝２∠ＣＡＤ＝９０°。 ∵∠ＡＯＤ＝１２０°， ∴∠ＢＯＣ＝３６０°－９０°－９０°－１２０°＝６０°。 ∵ＯＢ＝ＯＣ，∴△ＯＢＣ是等边三角形。∴ＢＣ＝ＯＢ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∠ＡＯＤ＝１２０°， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝３０°。∴ＡＤ＝槡３ＯＡ＝槡３。 ∴ＯＡ＝１。∴ＢＣ＝１。 ∴∠ＣＡＯ＝∠ＣＡＤ－∠ＯＡＤ＝４５°－３０°＝１５°。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】如图，过点 Ｇ作 ＧＮ⊥ＡＢ，ＧＨ⊥Ｄ′Ｅ，垂 足分别为Ｎ，Ｈ。 由折叠，得四边形ＡＤ′ＥＤ是正方形， ＡＤ＝ＤＥ＝Ｄ′Ｅ＝ＡＤ′＝５， ＢＣ＝ＢＣ′＝５，∠Ｃ＝∠ＢＣ′Ｆ＝９０°，ＣＦ＝Ｃ′Ｆ， ∴ＢＤ′＝ＣＥ＝８－５＝３。 在Ｒｔ△Ｃ′ＢＤ′中，Ｃ′Ｄ′＝ （ＢＣ′）２－（ＢＤ′）槡 ２＝４， ∴Ｃ′Ｅ＝５－４＝１。 在Ｒｔ△ＥＦＣ′中，设Ｃ′Ｆ＝ｘ，则ＥＦ＝３－ｘ。 由勾股定理，得１２＋（３－ｘ）２＝ｘ２，解得ｘ＝ ５ ３ 。 ∵∠ＢＣ′Ｄ′＋∠ＧＣ′Ｈ＝９０°，∠ＧＣ′Ｈ＋∠Ｃ′ＧＨ＝９０°， ∴∠ＢＣ′Ｄ′＝∠Ｃ′ＧＨ。 又∵∠ＧＨＣ′＝∠Ｃ′Ｄ′Ｂ＝９０°， ∴△ＢＣ′Ｄ′∽△Ｃ′ＧＨ。 ∴Ｃ′Ｈ∶ＧＨ∶Ｃ′Ｇ＝ＢＤ′∶Ｃ′Ｄ′∶ＢＣ′＝３∶４∶５。 设Ｃ′Ｈ＝３ｍ，则ＧＨ＝４ｍ，Ｃ′Ｇ＝５ｍ。 ∴Ｄ′Ｈ＝ＧＮ＝ＡＮ＝４－３ｍ，Ｄ′Ｎ＝５－（４－３ｍ）＝１＋３ｍ＝ ＧＨ＝４ｍ，解得ｍ＝１。 ∴Ｃ′Ｇ＝５ｍ＝５。∴ＦＧ＝Ｃ′Ｆ＋Ｃ′Ｇ＝ ２０ ３ 。故选Ｃ。                                                                —９１— １０．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向下，∴ａ＜０。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１， ∴ｂ＝２ａ＜０。 ∵抛物线与ｙ轴的交点在ｘ轴上方，∴ｃ＞０。 ∴ａｂｃ＞０。故①正确； ∵图象与 ｘ轴的一个交点在点（－３，０）和（－４，０） 之间，对称轴为直线ｘ＝－１， ∴图象与ｘ轴的另一个交点在点（１，０）和（２，０） 之间。 ∴当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝３ａ＋ｃ＞０。故②正确； ∵１．５－（－１）＞－１－（－２．３）， ∴点（－２．３，ｙ１）到对称轴的距离小于点（１．５，ｙ２）到 对称轴的距离。 ∴ｙ１＞ｙ２。故③正确； 当ｍ＝１时，ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ， 即ａｍ２＋ｂｍ＝ａ＋ｂ。故④错误。 故选Ｃ。 １１．ｘ＞－４　【解析】由题意，得ｘ＋４＞０。解得ｘ＞－４。 １２．７２°　【解析】如图，过点Ｂ 作ＢＦ∥ｌ１。 ∵五边形 ＡＢＣＤＥ是正五 边形， ∴∠ＡＢＣ＝１０８°。 ∵ＢＦ∥ｌ１，ｌ１∥ｌ２， ∴ＢＦ∥ｌ２。 ∴∠３＝１８０°－∠１，∠４＝∠２。 ∴１８０°－∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＝１０８°。∴∠１－∠２＝７２°。 １３．槡４３－ ４π ３ 　【解析】如图， 过点 Ｄ作 ＤＧ⊥ＡＣ于点 Ｇ，连接ＣＤ。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝８， ∴∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＣ＝ＡＢ·ｓｉｎＢ＝４， ＢＣ＝ＡＢ·ｃｏｓＢ＝槡４３。 ∵以ＡＣ的长为半径画弧，分别交ＡＢ，ＢＣ于点Ｄ，Ｅ， ∴ＡＣ＝ＣＤ＝ＣＥ＝４。 ∴△ＡＣＤ是等边三角形。 ∴∠ＡＣＤ＝６０°。∴∠ＤＣＥ＝３０°。 在Ｒｔ△ＣＤＧ中，ＤＧ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＤＣＧ＝槡２３， ∴Ｓ阴影＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＤ－Ｓ扇形ＣＤＥ ＝１ ２ ×４×槡４３－ １ ２ ×４×槡２３－ ３０π×４２ ３６０ ＝槡８３－槡４３－ ４ ３π ＝槡４３－ ４π ３ 。 １４． ３ ８ 　【解析】∵四边形ＯＡＢＣ是平行四边形， △ＡＯＢ的面积为８， ∴Ｓ△ＢＯＣ＝Ｓ△ＡＯＢ＝８，ｘＡ－ｘＯ＝ｘＢ－ｘＣ。 ∴Ｓ△ＯＤＣ＋Ｓ△ＯＤＢ＝８。∴ １ ２ ＯＤ·（ｘＢ－ｘＣ）＝８。 ∴ＯＤ·（ｘＢ－ｘＣ）＝１６，即ｘＢ－ｘＣ＝ １６ ＯＤ 。 ∵点Ａ在函数ｙ＝ ６ ｘ （ｘ＞０）的图象上， ∴ＡＥ·（ｘＡ－ｘＯ）＝６。∴ｘＡ－ｘＯ＝ ６ ＡＥ 。 ∴ １６ ＯＤ ＝６ ＡＥ 。∴ ＡＥ ＯＤ ＝６ １６ ＝３ ８ 。 １５．１００°　【解析】如图，过点Ａ分别作关于ＣＤ，ＢＣ的 对称点Ｅ，Ｆ，连接ＥＦ分别交ＣＤ，ＢＣ于点Ｈ，Ｇ，连 接ＡＨ，ＡＧ，ＥＭ，ＦＮ。 由对称性，得ＥＭ＝ＡＭ，ＥＨ＝ＡＨ，ＦＮ＝ＡＮ，ＦＧ＝ＡＧ， ∴ＡＭ＋ＭＮ＋ＡＮ＝ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ≥ＥＦ。 ∴当点Ｍ与点Ｈ重合，点Ｎ与点Ｇ重合时， △ＡＭＮ的周长最小。 ∵ＡＧ＝ＦＧ，ＥＨ＝ＡＨ， ∴∠ＧＡＦ＝∠ＧＦＡ，∠ＨＥＡ＝∠ＨＡＥ。 ∴∠ＡＧＨ＝２∠ＧＦＡ，∠ＡＨＧ＝２∠ＨＥＡ。 ∵∠ＤＡＢ＝１４０°， ∴∠ＧＦＡ＋∠ＨＥＡ＝１８０°－∠ＤＡＢ＝４０°。 ∵∠ＡＧＨ＋∠ＡＨＧ＝２∠ＧＡＦ＋２∠ＨＥＡ＝２×４０° ＝８０°， ∴∠ＧＡＨ＝１８０°－（∠ＡＧＨ＋∠ＡＨＧ）＝１８０°－８０°＝ １００°，即∠ＭＡＮ＝１００°。 １６．（ 槡１８０３＋１２０）　【解析】如 图，ＡＣ，ＣＤ是上底面的两 边，作ＢＣ⊥ＡＤ于点Ｂ， 则ＡＣ＝６０÷２＝３０（ｃｍ）， ∠ＡＣＤ＝１２０°。∴ＡＢ＝ＡＣ× ｓｉｎ６０°＝ 槡１５３（ｃｍ）。∴ＡＤ ＝２ＡＢ＝ 槡３０３ｃｍ。 ∴所需胶带长度至少为 槡３０３×６＋２０×６＝ （ 槡１８０３＋１２０）ｃｍ。 １７．解：（１）原式＝ ｍ＋１－２ ｍ＋１ ÷（ｍ －１）２ ｍ（ｍ－１） ＝ｍ －１ ｍ＋１ · ｍ（ｍ－１） （ｍ－１）２ ＝ｍ ｍ＋１ 。 当ｍ＝ｔａｎ６０°－１＝槡３－１时， 原式＝槡 ３－１ 槡３－１＋１ ＝槡３ －１ 槡３ ＝３ －槡３ ３ 。 （２） ５ｘ－１＜３（ｘ＋１），① ２ｘ－１ ３ －５ｘ ＋１ ２ ≤ １，②{ 解不等式①，得ｘ＜２， 解不等式②，得ｘ≥－１，                                                                —０２— 所以原不等式组的解集为－１≤ｘ＜２。 在数轴上表示不等式组的解集如图。 １８．（１）解：如图，ＢＤ，ＣＤ即为所求作。 （２）证明：∵ＡＣ平分∠ＢＡＭ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ。 ∵ＡＭ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ。 ∴∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ。∴ＡＢ＝ＢＣ。 同理可得ＡＢ＝ＡＤ。∴ＡＤ＝ＢＣ。 又∵ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴平行四边形ＡＢＣＤ是菱形。 １９．解：（１）ａ＝１６÷０．３２＝５０， ｂ＝５０－（１０＋１６＋４）＝２０， ｍ＝１０÷５０＝０．２，ｎ＝４÷５０＝０．０８。 故答案为５０，２０，０．２，０．０８。 （２）补全条形统计图如下： （３）１０００× ２０ ５０ ＝４００。故答案为４００。 （４）记四名学生中三名男生分别为 Ａ１，Ａ２，Ａ３，一 名女生为Ｂ，列表如下： Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ｂ Ａ１ （Ａ１，Ａ２）（Ａ１，Ａ３）（Ａ１，Ｂ） Ａ２ （Ａ２，Ａ１） （Ａ２，Ａ３）（Ａ２，Ｂ） Ａ３ （Ａ３，Ａ１）（Ａ３，Ａ２） （Ａ３，Ｂ） Ｂ （Ｂ，Ａ１）（Ｂ，Ａ２）（Ｂ，Ａ３） 共有１２种等可能的结果，抽到两名学生均为男生 的结果有 Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ３，Ａ２Ａ１，Ａ２Ａ３，Ａ３Ａ１，Ａ３Ａ２，共 ６种， 所以Ｐ（抽到两名学生均为男生）＝ ６ １２ ＝１ ２ ； 抽到一男一女的结果有 Ａ１Ｂ，Ａ２Ｂ，Ａ３Ｂ，ＢＡ１，ＢＡ２， ＢＡ３，共６种， 所以Ｐ（抽到一男一女）＝ ６ １２ ＝１ ２ 。 故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率 相同。 ２０．解：（１）∵正比例函数ｙ＝ｋｘ与反比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的 图象交于Ａ，Ｂ两点， ∴点Ａ，Ｂ关于原点对称。 ∵点Ａ的横坐标为－４，点Ｂ的纵坐标为－６， ∴Ａ（－４，６），Ｂ（４，－６）。 ∵点Ａ（－４，６）在反比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的图象上， ∴６＝ ｍ －４ 。∴ｍ＝－２４。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ２４ ｘ 。 （２）观察图象可知，当－４＜ｘ＜０或ｘ＞４时，正比例函 数ｙ＝ｋｘ的图象在反比例函数ｙ＝ ｍ ｘ 的图象下方， ∴不等式ｋｘ＜ ｍ ｘ 的解集为－４＜ｘ＜０或ｘ＞４。 （３）如图，连接ＢＥ，作ＢＧ⊥ｙ轴于点Ｇ。 ∵点Ａ（－４，６）在直线ｙ＝ｋｘ上， ∴６＝－４ｋ。∴ｋ＝－ ３ ２ 。 ∴直线ＡＢ的表达式为ｙ＝－ ３ ２ ｘ。 ∵ＣＤ∥ＡＢ， ∴Ｓ△ＯＢＤ＝Ｓ△ＯＢＥ＝２０。 ∵Ｂ（４，－６）， ∴ＢＧ＝４。 ∴Ｓ△ＯＢＥ＝ １ ２ ＯＥ·ＢＧ＝２０。 ∴ＯＥ＝１０，Ｅ（０，１０）。 ∴直线ＣＤ的表达式为ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋１０。 ２１．解：如图，过点Ａ作ＡＴ⊥ＢＣ于点Ｔ，ＡＫ⊥ＣＥ于点Ｋ。 在Ｒｔ△ＡＢＴ中，∵ＡＢ＝５米，∠ＢＡＴ＝１６°， ＢＴ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＴ＝５×ｓｉｎ１６°≈１．４（米）， ＡＴ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＢＡＴ＝５×ｃｏｓ１６°≈４．８（米）。 ∵∠ＡＴＣ＝∠Ｃ＝∠ＣＫＡ＝９０°， ∴四边形ＡＴＣＫ是矩形。 ∴ＣＫ＝ＡＴ＝４．８米，ＡＫ＝ＣＴ＝ＢＣ－ＢＴ＝４－１．４＝２．６（米）。 在Ｒｔ△ＡＫＤ中，∵∠ＡＤＫ＝４５°， ∴ＤＫ＝ＡＫ＝２．６米。 ∴ＣＤ＝ＣＫ－ＤＫ＝４．８－２．６＝２．２（米）。                                                                —１２— ∴阴影ＣＤ的长约为２．２米。 ２２．解：（１）设Ａ种饰品每件的进价为 ａ元，则 Ｂ种饰 品每件的进价为（ａ－１）元。 由题意，得 １４００ ａ ＝６３０ ａ－１ ×２。解得ａ＝１０。 经检验，ａ＝１０是所列方程的解，且符合题意。 ∴ａ－１＝１０－１＝９。 答：Ａ种饰品每件的进价为１０元，Ｂ种饰品每件的 进价为９元。 （２）①由题意，得 ６００－ｘ≥３９０， ６００－ｘ≤４ｘ。{ 解得１２０≤ｘ≤２１０。 ∴购进Ａ种饰品件数 ｘ的取值范围是 １２０≤ｘ≤ ２１０，且ｘ为整数。 ②设采购Ａ种饰品ｘ件时的总利润为ｗ元。 当１２０≤ｘ≤１５０时，ｗ＝１５×６００－１０ｘ－９（６００－ｘ）＝ －ｘ＋３６００。 ∵－１＜０， ∴ｗ随ｘ的增大而减小。 ∴当ｘ＝１２０时，ｗ有最大值， 最大值为－１２０＋３６００＝３４８０； 当１５０＜ｘ≤２１０时，ｗ＝１５×６００－［１０×１５０＋１０×６０％ （ｘ－１５０）］－９（６００－ｘ）＝３ｘ＋３０００。 ∵３＞０， ∴ｗ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝２１０时，ｗ有最大值， 最大值为３×２１０＋３０００＝３６３０。 ∵３６３０＞３４８０， ∴ｗ的最大值为 ３６３０，此时 ６００－ｘ＝６００－２１０＝ ３９０，即当采购 Ａ种饰品 ２１０件，Ｂ种饰品 ３９０件 时，商铺获利最大，最大利润为３６３０元。 ２３．（１）证明：如图，连接ＯＣ。 ∵ＯＥ＝ＯＣ，∴∠Ｅ＝∠ＯＣＥ。 ∵∠ＢＯＣ＝∠Ｅ＋∠ＯＣＥ，∴∠ＢＯＣ＝２∠Ｅ。 ∵∠ＡＢＥ＝２∠Ｅ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＯＣ。∴ＡＢ∥ＯＣ。 ∵ＡＢ⊥ＣＤ，∴ＯＣ⊥ＣＤ。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径，∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：如图，连接ＡＣ，ＢＣ。 ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＣＥ＝９０°。 ∴∠ＯＣＥ＋∠ＯＣＢ＝９０°。 ∵∠ＯＣＢ＋∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＢＣＤ＝∠ＯＣＥ。∴∠ＢＣＤ＝∠Ｅ。 ∵∠Ａ＝∠Ｅ，ｔａｎＥ＝ １ ３ ，ＢＤ＝１， ∴ ＣＤ ＡＤ ＝ＢＤ ＣＤ ＝１ ３ 。∴ＡＤ＝９。∴ＡＢ＝ＡＤ－ＢＤ＝８。 ２４．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°。 由旋转，得△ＡＢＥ≌△ＡＤＭ， ∴ＢＥ＝ＤＭ，∠ＡＢＥ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＥ＝ＡＭ， ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＭ。 ∴∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＭ＝∠ＤＡＭ＋∠ＢＡＭ＝∠ＢＡＤ＝９０°。 即∠ＥＡＭ＝９０°。 ∵∠ＭＡＮ＝４５°，∴∠ＥＡＮ＝９０°－４５°＝４５°。 ∴∠ＭＡＮ＝∠ＥＡＮ。 在△ＡＮＭ和△ＡＮＥ中， ＡＭ＝ＡＥ， ∠ＭＡＮ＝∠ＥＡＮ， ＡＮ＝ＡＮ，{ ∴△ＡＮＭ≌△ＡＮＥ（ＳＡＳ）。∴ＭＮ＝ＥＮ。 ∵ＥＮ＝ＢＥ＋ＢＮ＝ＤＭ＋ＢＮ，∴ＭＮ＝ＢＮ＋ＤＭ。 在Ｒｔ△ＣＭＮ中，由勾股定理，得 ＭＮ＝ ＣＮ２＋ＣＭ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０。 ∴ＢＮ＋ＤＭ＝１０。 设正方形ＡＢＣＤ的边长为ｘ，则ＢＮ＝ＢＣ－ＣＮ＝ｘ－６， ＤＭ＝ＣＤ－ＣＭ＝ｘ－８。 ∴ｘ－６＋ｘ－８＝１０。解得ｘ＝１２， 即正方形ＡＢＣＤ的边长为１２。 故答案为１２。 （２）ＥＦ２＝ＢＥ２＋ＤＦ２。理由如下： 如图１，将△ＡＦＤ绕点 Ａ顺时针旋转 ９０°，点 Ｄ与 点Ｂ重合，得到△ＡＨＢ，连接ＥＨ， 图１ 则∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＨ，ＤＦ＝ＢＨ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＨ， ＡＨ＝ＡＦ。 ∵∠ＥＡＦ＝４５°， ∴∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝４５°＝∠ＢＡＨ＋∠ＢＡＥ。 ∴∠ＥＡＨ＝４５°＝∠ＥＡＦ。 又∵ＡＨ＝ＡＦ，ＡＥ＝ＡＥ， ∴△ＥＡＨ≌△ＥＡＦ（ＳＡＳ）。∴ＥＨ＝ＥＦ。 ∵ＢＮ＝ＤＭ，ＢＮ∥ＤＭ， ∴四边形ＢＭＤＮ是平行四边形。 ∴ＤＮ∥ＢＭ。∴∠ＡＮＤ＝∠ＡＢＭ。 ∵∠ＡＤＮ＋∠ＡＮＤ＝９０°， ∴∠ＡＢＨ＋∠ＡＢＭ＝９０°＝∠ＨＢＭ。 ∴ＢＥ２＋ＢＨ２＝ＥＨ２。∴ＥＦ２＝ＢＥ２＋ＤＦ２。 （３）如图２，延长ＡＢ至点Ｐ，使ＢＰ＝ＢＮ＝２，过点 Ｐ 作ＢＣ的平行线交 ＤＣ的延长线于点 Ｑ，延长 ＡＮ 交ＰＱ于点Ｅ，连接ＥＭ， 图２                                                                —２２— 则四边形ＡＰＱＤ是正方形。 ∴ＰＱ＝ＤＱ＝ＡＰ＝ＡＢ＋ＢＰ＝８。 设ＤＭ＝ｘ，则ＭＱ＝８－ｘ。 ∵ＰＱ∥ＢＣ， ∴△ＡＢＮ∽△ＡＰＥ。 ∴ ＡＢ ＡＰ ＝ＢＮ ＰＥ ＝３ ４ 。 ∴ＰＥ＝ ４ ３ ＢＮ＝ ８ ３ 。 ∴ＥＱ＝ＰＱ－ＰＥ＝８－ ８ ３ ＝１６ ３ 。 由（１），得ＥＭ＝ＰＥ＋ＤＭ＝ ８ ３ ＋ｘ， 在Ｒｔ△ＱＥＭ中，由勾股定理， 得（ １６ ３ ）２＋（８－ｘ）２＝（ ８ ３ ＋ｘ）２， 解得ｘ＝４，即ＤＭ的长为４。 ２５．解：（１）∵抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ过点Ｂ（４，－４）， ∴－１６＋４ｂ＝－４。 ∴ｂ＝３。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋３ｘ。 （２）四边形ＯＣＰＤ是平行四边形。理由如下： 如图１，作 ＰＤ⊥ＯＡ交 ｘ轴于点 Ｈ，交抛物线于点 图１ Ｄ，连接ＰＣ，ＯＤ，ＢＣ。 ∵点Ｐ在ｙ＝－ｘ上， ∴ＯＨ＝ＰＨ，∠ＰＯＨ＝４５°。 ∵ＯＣ＝ＢＣ＝４，∴ＯＢ＝槡４２。 ∵ＢＰ＝槡２２， ∴ＯＰ＝ＯＢ－ＢＰ＝槡２２。 ∴ＯＨ＝ＰＨ＝槡 ２ ２ ＯＰ＝槡 ２ ２ ×槡２２＝２。 当ｘＤ＝２时，ＤＨ＝ｙＤ＝－４＋３×２＝２， ∴ＰＤ＝ＤＨ＋ＰＨ＝２＋２＝４。 ∵Ｃ（０，－４）， ∴ＯＣ＝４。 ∴ＰＤ＝ＯＣ。 ∵ＯＣ⊥ｘ轴，ＰＤ⊥ｘ轴，∴ＰＤ∥ＯＣ。 ∴四边形ＯＣＰＤ是平行四边形。 （３）如图 ２，连接 ＢＣ，在 ＯＡ上方作△ＯＭＱ，使得 ∠ＭＯＱ＝４５°，ＯＭ＝ＢＣ，连接ＢＭ。 图２ 由题意，得ＢＰ＝ＯＱ。 ∵ＯＣ＝ＢＣ＝４，ＢＣ⊥ＯＣ， ∴∠ＣＢＰ＝４５°。 ∴∠ＣＢＰ＝∠ＭＯＱ。 ∵ＢＰ＝ＯＱ，∠ＣＢＰ＝∠ＭＯＱ， ＢＣ＝ＯＭ， ∴△ＣＢＰ≌△ＭＯＱ（ＳＡＳ）。 ∴ＣＰ＝ＭＱ。 ∴ＣＰ＋ＢＱ＝ＭＱ＋ＢＱ≥ＢＭ。 ∴ＣＰ＋ＢＱ的最小值为ＢＭ。 ∵∠ＭＯＢ＝∠ＭＯＱ＋∠ＢＯＱ＝４５°＋４５°＝９０°， ∴ＢＭ＝ ＯＭ２＋ＯＢ槡 ２＝ ４２＋（槡４２）槡 ２＝槡４３， 即ＣＰ＋ＢＱ的最小值为 槡４３。 ７２０２４年莱山区第二学期第一阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ １．Ｂ　【解析】２０２４的相反数是－２０２４。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对 称图形，故选项不符合题意；Ｃ是轴对称图形，不是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｄ既是轴对称图形， 也是中心对称图形，故选项符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ．（－３ａ２）３＝－２７ａ６，故本选项错误； Ｂ．（－ａ）２·ａ３＝ａ５，故本选项正确；Ｃ．（２ｘ－ｙ）２＝４ｘ２＋ ｙ２－４ｘｙ，故本选项错误；Ｄ．ａ２＋４ａ２＝５ａ２，故本选项错 误。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在 这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形 是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】∵（２ｎ＋１）２－２５＝（２ｎ＋１）２－５２＝（２ｎ＋１－ ５）（２ｎ＋１＋５）＝（２ｎ－４）（２ｎ＋６）＝４（ｎ－２）（ｎ＋３）， ∴对任意整数ｎ，４都是４（ｎ－２）（ｎ＋３）的一个因数。 ∴对任意整数ｎ，（２ｎ＋１）２－２５都能被４整除。 故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】根据题目给出的数据可得中位数是 １０＋１０ ２ ＝１０，平均数是 １２×１＋１１×３＋１０×４＋９×２ １＋３＋４＋２ ＝１０．３。 ∵１０出现了４次，出现的次数最多，∴众数是１０。 方差是 １ １０ ×［（１２－１０．３）２＋３×（１１－１０．３）２＋４×（１０－ １０．３）２＋２×（９－１０．３）２］＝０．８１。这组数据的结论不 正确的是Ａ。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】如图１所示， 图１ ∵七巧板里面的各个三角形均是等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于４５°。 ∵正方形的边长为 槡２２， ∴根据勾股定理，得ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ＥＦ＝２，ＡＥ＝ＢＥ＝ ＢＦ＝ＣＦ＝ＨＩ＝槡２，ＡＧ＝ＥＧ＝ＥＩ＝ＯＧ＝ＯＩ＝ＯＨ＝ＣＨ＝１。 如图２所示，当七巧板拼成“衣服型”时， 图２                                                                —３２—