5 2024年开发区九年级模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ２５— — ２６— — ２７— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列各数的相反数中，最大的是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ． ２ ３ Ｂ．－ ２ ３ Ｃ．１ Ｄ．－１ ２．已知ａ＝３．１×１０－４，ｂ＝５．２×１０－５，则关于ａ－ｂ的值叙述正确的是 （　　） Ａ．比１大 Ｂ．介于０与１之间 Ｃ．介于－１与０之间 Ｄ．比－１小 ３．如果（ａｍ·ｂ·ｂｎ）３＝ａ６ｂ１５，那么ｍ，ｎ的值分别为 （　　） Ａ．２，４ Ｂ．２，５ Ｃ．３，５ Ｄ．３，－５ ４．如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ．主视图 Ｂ．左视图 Ｃ．俯视图 Ｄ．不存在 第４题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 ５．如图，已知ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝５５°，分别以点 Ｂ，Ｃ为圆心，以大于 １ ２ ＢＣ的长为半径画弧，分别交于点 Ｍ，Ｎ。作直线ＭＮ交ＣＤ于点Ｅ，连接ＢＥ，则∠ＡＢＥ的度数为 （　　） Ａ．５５° Ｂ．６０° Ｃ．６５° Ｄ．７０° ６．如图，五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形，且ｌ１∥ｌ２。若∠１＝５７°，则∠２＝ （　　） Ａ．１０８° Ｂ．３６° Ｃ．７２° Ｄ．１２９° ７．２０１０年因干旱影响，凉山州政府鼓励居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了２０ 户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） ４ ５ ６ ８ ９ 户数 ４ ５ ７ ３ １ 则关于这２０户家庭的月用水量，下列说法错误的是 （　　） Ａ．中位数是６吨 Ｂ．平均数是５．８吨 Ｃ．众数是６吨 Ｄ．极差是４吨 ８．一般地，在数学中我们规定将实数ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ中的最大数记为ｍａｘ｜ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｜，例如 ｍａｘ｜－１，２， ２．５｜＝２．５，那么函数ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜的图象大致为 （　　） 　　Ａ 　　Ｂ 　　Ｃ 　　Ｄ ９．如图，直线ｙ＝ｘ－４与ｙ轴，ｘ轴分别交于点Ａ，Ｂ，Ｃ是双曲线ｙ＝ ｋ ｘ 上一点，ＯＣ∥ＡＢ，连接ＢＣ交双曲线 于点Ｄ，Ｄ恰好是ＢＣ的中点，则ｋ的值为 （　　） Ａ． １６ ９ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ． ４ ３ 第９题图 　　　 第１０题图 １０．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点（ｘ１，０），（２，０），其中０＜ｘ１＜１，下列四个结论：①ａｂｃ＜０；②ａ＋ｂ＋ｃ ＞０；③２ｂ＋３ｃ＜０；④不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜－ ｃ ２ ｘ＋ｃ的解集为０＜ｘ＜２。其中正确的结论是 （　　） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③④ Ｄ．①④ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．因式分解：９ｘ２－ｙ２－４ｙ－４＝　　　　　　　。 １２．若ｘ为实数，在“（槡３－２）□ｘ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择），其运算结 果是有理数，则□ｘ可能是　　　　　　　。 １３．某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司２０２２年全年投入的 研发资金为 １００万元，２０２４年全年投入的研发资金为 １４４万元，则平均每年增长的百分率 为 。 １４．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，∠ＡＤＣ＝３０°，则∠ＢＯＣ＝ 。 第１４题图 　　　 第１５题图 １５．如图，在平面直角坐标系中，Ａ是函数ｙ＝ｘ图象上的动点，以１为半径作⊙Ａ，已知点 Ｂ（３，０），连接 ＡＢ，当⊙Ａ与两坐标轴同时相切时，ｔａｎ∠ＡＢＯ的值为 。 １６．在同一平面直角坐标系中有Ａ，Ｂ，Ｃ三点，已知点Ａ（２，０），Ｂ（５，０），Ｃ是第一象限内的一个动点，且 ∠ＡＣＢ＝６０°。当ＢＣ最长时，点Ｃ的坐标为 。 三、解答题（本大题共８个题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）阅读下列解方程的解法，然后解决问题。 解方程组 １９ｘ＋１８ｙ＝１７，① １７ｘ＋１６ｙ＝１５②{ 时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻 烦，若用下面的方法，则轻而易举。 解：①－②，得２ｘ＋２ｙ＝２，即ｘ＋ｙ＝１。③　 ③×１６，得１６ｘ＋１６ｙ＝１６。④ ②－④，得ｘ＝－１。 把ｘ＝－１代入③，得－１＋ｙ＝１，即ｙ＝２。 所以原方程组的解为 ｘ＝－１， ｙ＝２。{ 以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方 程组 ７ｘ＋１１ｙ＝９， １３ｘ＋１７ｙ＝２１。{ １８．（７分）综合与实践 主题：制作无盖正方体纸盒。 素材：一张正方形纸板。 步骤１：如图１，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正 方形； 步骤２：如图２，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒。 猜想与证明：（１）直接写出纸板上∠ＡＢＣ与纸盒上∠Ａ１Ｂ１Ｃ１的大小关系； （２）证明（１）中你发现的结论。 　 图１ 　　　 图２ １９．（８分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核。学校抽取了部分学 生的劳动积分（积分用ｘ表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图。 等级 劳动积分 人数 Ａ ｘ≥９０ ４ Ｂ ８０≤ｘ＜９０ ｍ Ｃ ７０≤ｘ＜８０ ２０ Ｄ ６０≤ｘ＜７０ ８ Ｅ ｘ＜６０ ３ 　　　 请根据图表信息，解答下列问题： （１）统计表中ｍ＝ ，Ａ等级对应扇形的圆心角的度数为 ； ５ ２０２４年开发区九年级模拟试题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ２８— — ２９— — ３０— （２）学校规定劳动积分大于等于８０的学生为“劳动之星”。若该学校共有学生３０００人，请估计该 学校“劳动之星”大约有多少人？ （３）Ａ等级中有两名男同学和两名女同学，学校从Ａ等级中随机选取２人进行经验分享，请用列表 法或画树状图的方法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率。 ２０．（８分）在综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝ ３０ｃｍ，顶点Ａ处挂了一个铅锤Ｍ。如图是测量树高的示意图，测高仪上的点Ｄ，Ａ与树顶Ｅ在一条 直线上，铅垂线 ＡＭ交 ＢＣ于点 Ｈ。经测量，点 Ａ距地面 １．８ｍ，到树 ＥＧ的距离 ＡＦ＝１２ｍ，ＢＨ＝ ２０ｃｍ。求树ＥＧ的高度。 ２１．（１０分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买Ａ，Ｂ两种型号的充电桩。已知Ａ型 充电桩比Ｂ型充电桩的单价少０．３万元，且用１５万元购买 Ａ型充电桩与用２０万元购买 Ｂ型充电 桩的数量相等。 （１）Ａ，Ｂ两种型号充电桩的单价各为多少？ （２）该停车场计划共购买２５个Ａ，Ｂ型充电桩，购买总费用不超过２６万元，且Ｂ型充电桩的购买数 量不少于Ａ型充电桩购买数量的 １ ２ 。问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ ２２．（１０分）如图，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ。 （１）求证：ＢＤ是圆的直径； （２）过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＤ交ＡＢ的延长线于点Ｆ，若ＡＣ＝ＡＤ，ＢＦ＝２，求此圆半径的长。 ２３．（１１分）如图１，Ｐ是线段 ＡＢ上与点 Ａ，Ｂ不重合的任意一点，分别以 Ａ，Ｐ，Ｂ为顶点作∠１＝∠２＝ ∠３，其中∠１与∠３的一边分别是射线ＡＢ和射线ＢＡ，∠２的两边不在直线ＡＢ上，我们规定这三个 角互为等联角，Ｐ为等联点，线段ＡＢ为等联线。 （１）请直接写出图１中△ＡＰＣ与△ＰＢＤ的形状关系： ； （２）如图２，在边长均为１的方格纸上，小正方形的顶点为格点，点Ａ，Ｂ在格点上。请用两种不同连 接格点的方法，作出以线段 ＡＢ为等联线，某格点 Ｐ为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图 痕迹； （３）如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，Ｐ是射线 ＤＡ上的一个动点，将三角板的直角顶点重合 于点Ｐ，三角板两直角中的一边始终经过点Ｃ，另一直角边交射线ＢＡ于点Ｅ。 ①设ＰＤ＝ｘ，ＡＥ＝ｙ，求ｙ与ｘ的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②是否存在这样的点Ｐ，使△ＥＡＰ的周长等于△ＰＤＣ的周长的２倍？若存在，请求出ＰＤ的长度；若 不存在，请简要说明理由。 图１ 　　　 　 图２ 　　　 图３ 　　　 备用图 ２４．（１２分）（１）如果四个点（０，０），（０，３），（２，４），（－２，４）中恰有三个点在二次函数 ｙ＝ａｘ２（ａ为常数， 且ａ≠０）的图象上。 ①ａ＝ ； ②如图１，已知菱形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｃ，Ｄ在该二次函数的图象上，且ＡＤ⊥ｙ轴，求菱形的边长； ③如图２，已知正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｄ在该二次函数的图象上，点Ｂ，Ｄ在ｙ轴的同侧，且点Ｂ在 点Ｄ的左侧，设点Ｂ，Ｄ的横坐标分别为ｍ，ｎ，试探究ｎ－ｍ是否为定值。如果是，求出这个值；如果 不是，请说明理由； （２）已知正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｄ在二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ为常数，且ａ＞０）的图象上，点Ｂ在点Ｄ的 左侧，设点Ｂ，Ｄ的横坐标分别为ｍ，ｎ，直接写出ｍ，ｎ满足的等量关系式。 图１ 　　　 图２ ∴ＣＤ∥ＦＧ。∴∠ＣＤＰ＝∠ＰＦＧ。 ∵Ｐ是ＤＦ的中点。∴ＤＰ＝ＦＰ。 ∵∠ＤＰＭ＝∠ＦＰＧ，∴△ＤＰＭ≌△ＦＰＧ（ＡＳＡ）。 ∴ＰＭ＝ＰＧ＝ １ ２ ＭＧ。 ∵∠ＢＣＤ＝９０°，∴ＰＣ＝ １ ２ ＭＧ＝ＰＧ。 （２）证明：如图２，延长ＧＰ到点Ｑ，使ＰＱ＝ＰＧ，连接 ＣＱ，ＤＱ，作ＦＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，设ＦＧ与ＢＣ交于点Ｏ， 图２ ∴ＣＤ∥ＦＨ。∴∠ＣＤＦ＝∠ＤＦＨ。 根据题意，得ＰＦ＝ＰＤ，∠ＦＰＧ＝∠ＤＰＱ，ＰＧ＝ＰＱ， ∴△ＦＰＧ≌△ＤＰＱ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＱ＝ＦＧ，∠ＰＤＱ＝∠ＰＦＧ。 ∴ＤＱ＝ＢＧ，∠ＣＤＱ＝∠ＧＦＨ。 ∵∠ＦＨＢ＝∠ＢＧＦ＝９０°，∠ＢＯＧ＝∠ＦＯＨ， ∴∠ＯＢＧ＝∠ＯＦＨ。∴∠ＣＤＱ＝∠ＯＢＧ。 在△ＣＢＧ和△ＣＤＱ中， ＣＢ＝ＣＤ，∠ＯＢＧ＝∠ＣＤＱ，ＢＧ＝ＤＱ， ∴△ＣＢＧ≌△ＣＤＱ（ＳＡＳ）。∴∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＱ。 ∵∠ＢＣＧ＋∠ＤＣＧ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＤＣＱ＋∠ＤＣＧ＝９０°，即∠ＧＣＱ＝９０°。 ∵ＰＧ＝ＰＱ，∴ＰＣ＝ １ ２ ＧＱ＝ＰＧ。 ５２０２４年开发区九年级模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｃ １．Ｄ　【解析】 ２ ３ ，－ ２ ３ ，１，－１的相反数分别是－ ２ ３ ， ２ ３ ，－１，１。∵－１＜－ ２ ３ ＜ ２ ３ ＜１，∴所给的各数的相反 数中，最大的是－１。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】∵ａ＝３．１×１０－４＝０．０００３１， ｂ＝５．２×１０－５＝０．００００５２， ∴ａ－ｂ＝０．０００３１－０．００００５２＝０．０００２５８， 即ａ－ｂ的值介于０与１之间。故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】∵（ａｍ·ｂ·ｂｎ）３＝ａ６ｂ１５， ∴３ｍ＝６，３（ｎ＋１）＝１５。解得ｍ＝２，ｎ＝４。故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】该几何体的三视图如下： 主视图 　 左视图 　 俯视图 主视图是轴对称图形，不是中心对称图形；左视图 是轴对称图形，不是中心对称图形；俯视图既是轴 对称图形，也是中心对称图形。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ａ＝５５°， ∴∠Ｃ＝∠Ａ＝５５°，∠ＡＢＣ＝１８０°－５５°＝１２５°。 由作图可知，ＭＮ是线段ＢＣ的垂直平分线， ∴ＢＥ＝ＣＥ。∴∠Ｃ＝∠ＥＢＣ＝５５°。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ＝１２５°－５５°＝７０°。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】如图，过点Ｂ作ＢＦ∥ｌ２交ＤＥ于点Ｆ。 ∵ｌ１∥ｌ２，∴ＢＦ∥ｌ１。 ∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＡＢＣ＝ （５－２）×１８０° ５ ＝１０８°。 ∵ＢＦ∥ｌ２，∠１＝５７°，∠２＋∠ＣＢＦ＝１８０°， ∴∠ＡＢＦ＝∠１＝５７°。 ∴∠ＣＢＦ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＦ＝１０８°－５７°＝５１°。 ∴∠２＝１８０°－５１°＝１２９°。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】Ａ．中位数＝（６＋６）÷２＝６（吨），故本选项 正确；Ｂ．平均数＝（４×４＋５×５＋６×７＋８×３＋９×１）÷２０＝ ５．８（吨），故本选项正确；Ｃ．数据６吨出现７次，次数 最多，所以众数是６吨，故本选项正确；Ｄ．极差是９－ ４＝５（吨），故本选项错误。故选Ｄ。 ８．Ａ　【解析】如图，画出一次函数 ｙ＝－ｘ－１，ｙ＝ｘ，ｙ＝ ３ｘ－４的图象。 一次函数ｙ＝－ｘ－１与ｙ＝ｘ的交点横坐标为ｘ＝－０．５， 一次函数ｙ＝ｘ与ｙ＝３ｘ－４的交点横坐标为ｘ＝２， 由图象可知， 当ｘ＜－０．５时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝－ｘ－１； 当－０．５＜ｘ＜２时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝ｘ； 当ｘ＞２时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝３ｘ－４。 综上，函数ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜的图象大致为 Ａ 选项图象。故选Ａ。 ９．Ａ　【解析】对于直线ｙ＝ｘ－４， 令ｙ＝０，得ｘ＝４，∴Ｂ（４，０）。 ∵ＯＣ∥ＡＢ，∴直线ＯＣ的表达式为ｙ＝ｘ。 ｙ＝ｘ与ｙ＝ ｋ ｘ 联立消去ｙ，得 ｋ ｘ ＝ｘ， 去分母，得ｘ２＝ｋ。 解得ｘ＝槡ｋ或ｘ＝－槡ｋ（舍去）。 ∴ｙ＝槡ｋ。∴Ｃ（槡ｋ，槡ｋ）。                                                                —５１— ∵Ｄ是ＢＣ的中点，∴Ｄ（ ４＋槡ｋ ２ ，槡 ｋ ２ ）。 将点Ｄ的坐标代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得 ４＋槡ｋ ２ ·槡 ｋ ２ ＝ｋ， 解得ｋ＝ １６ ９ 。故选Ａ。 １０．Ｃ　【解析】由题意，得ａ＞０，ｃ＞０，－ ｂ ２ａ ＞０， ∴ｂ＜０。∴ａｂｃ＜０。故①正确； ∵当ｘ＝１时，ｙ＜０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。故②不正确； ∵当ｘ＝２时，ｙ＝０，∴４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０。 ∴ａ＝－ １ ２ ｂ－ １ ４ ｃ。 ∵ａ＋ｂ＋ｃ＜０， ∴ １ ２ ｂ＋ ３ ４ ｃ＜０，即２ｂ＋３ｃ＜０。故③正确； 设ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ，ｙ２＝－ ｃ ２ ｘ＋ｃ， 则ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ与ｙ２＝－ ｃ ２ ｘ＋ｃ的图象都过点 （０，ｃ），（２，０），如图。 由图可知，当ｙ１＜ｙ２时，０＜ｘ＜２， ∴不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜－ ｃ ２ ｘ＋ｃ的解集为０＜ｘ＜２。 故④正确。 综上所述，正确结论的是①③④。故选Ｃ。 １１．（３ｘ＋ｙ＋２）（３ｘ－ｙ－２）　【解析】９ｘ２－ｙ２－４ｙ－４＝９ｘ２－ （ｙ２＋４ｙ＋４）＝９ｘ２－（ｙ＋２）２＝（３ｘ＋ｙ＋２）（３ｘ－ｙ－２）。 １２．＋（－槡３）或－槡３或×０　【解析】由题意，得（槡３－２）＋ （－槡３）＝－２，符合题意； （槡３－２）－槡３＝－２，符合题意； （槡３－２）×０＝０，符合题意。 １３．２０％　【解析】设平均每年增长的百分率为ｘ， 根据题意，得１００（１＋ｘ）２＝１４４。 解得ｘ１＝０．２＝２０％，ｘ２＝－２．２（不符合题意，舍去）。 所以平均每年增长的百分率为２０％。 １４．１２０°　【解析】∵∠ＡＤＣ是ＡＣ ) 所对的圆周角， ∴∠ＡＯＣ＝２∠ＡＤＣ＝２×３０°＝６０°。 ∴∠ＢＯＣ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝１８０°－６０°＝１２０°。 １５． １ ２ 或 １ ４ 　【解析】如图１，当点Ａ在第一象限时，设 ⊙Ａ与ｘ轴，ｙ轴同时相切的切点分别为点Ｆ，Ｅ，连 接ＡＦ，ＡＥ。 ∵⊙Ａ的半径长为１，∴ＡＦ＝ＡＥ＝１。 ∵ＡＦ⊥ｘ轴，ＡＥ⊥ｙ轴，∴Ｆ（１，０）。 ∵Ｂ（３，０），∴ＢＦ＝３－１＝２。 ∵∠ＡＦＢ＝９０°，∴ｔａｎ∠ＡＢＯ＝ ＡＦ ＢＦ ＝１ ２ ； 图１ 　　　 图２ 如图２，当点 Ａ在第三象限时，设⊙Ａ与 ｘ轴，ｙ轴 同时相切的切点分别为Ｈ，Ｇ，连接ＡＨ，ＡＧ。 ∵ＡＨ＝ＡＧ＝１，ＡＨ⊥ｘ轴，ＡＧ⊥ｙ轴， ∴Ｈ（－１，０）。∴ＢＨ＝３＋１＝４。 ∵∠ＡＨＢ＝９０°，∴ｔａｎ∠ＡＢＯ＝ ＡＨ ＢＨ ＝１ ４ 。 综上所述，ｔａｎ∠ＡＢＯ的值为 １ ２ 或 １ ４ 。 １６．（２，槡３）　【解析】如图， ∵Ａ（２，０），Ｂ（５，０），且∠ＡＣＢ＝６０°， ∴可构造出以∠ＡＣＢ为圆周角的圆。 当点Ｃ在ＢＰ的延长线与⊙Ｐ的交点处时， ＢＣ取得最大值，即为⊙Ｐ的直径。 ∵ＢＣ是⊙Ｐ的直径，∴∠ＣＡＢ＝９０°。 又∵ＡＢ＝５－２＝３，且∠ＡＣＢ＝６０°， ∴在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ ＡＢ ＡＣ ，即槡３＝ ３ ＡＣ 。 ∴ＡＣ＝槡３。∴点Ｃ的坐标为（２，槡３）。 １７．解：７ｘ ＋１１ｙ＝９，① １３ｘ＋１７ｙ＝２１，②{ ②－①，得６ｘ＋６ｙ＝１２，即ｘ＋ｙ＝２。③ ③×７，得７ｘ＋７ｙ＝１４。④ ①－④，得４ｙ＝－５，即ｙ＝－ ５ ４ 。 把ｙ＝－ ５ ４ 代入③，得ｘ－ ５ ４ ＝２，即ｘ＝ １３ ４ 。 所以原方程组的解为 ｘ＝ １３ ４ ， ｙ＝－ ５ ４ 。{ １８．解：（１）∠ＡＢＣ＝∠Ａ１Ｂ１Ｃ１。 （２）∵Ａ１Ｂ１是正方形对角线， ∴∠Ａ１Ｂ１Ｃ１＝４５°。 设每个方格的边长为１， 则ＡＢ＝ １２＋３槡 ２＝槡１０，ＡＣ＝ＢＣ＝ １ ２＋２槡 ２＝槡５。 ∵ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２， ∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形。 ∴∠ＡＢＣ＝４５°。∴∠ＡＢＣ＝∠Ａ１Ｂ１Ｃ１。                                                                —６１— １９．解：（１）抽取的学生人数为８÷１６％＝５０， 所以ｍ＝５０－４－２０－８－３＝１５。 Ａ等级对应扇形的圆心角的度数为 ３６０°× ４ ５０ ＝ ２８．８°。 故答案为１５，２８．８°。 （２）３０００× ４＋１５ ５０ ＝１１４０（人）。 答：该学校“劳动之星”大约有１１４０人。 （３）画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同 学和一名女同学的结果有８种， 所以恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为 ８ １２ ＝２ ３ 。 ２０．解：由题意，知∠ＢＡＥ＝∠ＭＡＦ＝∠ＢＡＤ＝９０°， ＦＧ＝１．８ｍ，则∠ＥＡＦ＋∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＦ＋∠ＢＡＨ＝９０°。 ∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＨ。 ∵ＡＢ＝３０ｃｍ，ＢＨ＝２０ｃｍ， ∴ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ ＢＨ ＡＢ ＝２ ３ 。 ∴ｔａｎ∠ＥＡＦ＝ ＥＦ ＡＦ ＝ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ ２ ３ 。 ∵ＡＦ＝１２ｍ，∴ ＥＦ １２ ＝２ ３ 。∴ＥＦ＝８ｍ。 ∴ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝８＋１．８＝９．８ｍ。 答：树ＥＧ的高度为９．８（ｍ）。 ２１．解：（１）设 Ａ型充电桩的单价为 ｘ万元，则 Ｂ型充 电桩的单价为（ｘ＋０．３）万元。 根据题意，得 １５ ｘ ＝ ２０ ｘ＋０．３ 。解得ｘ＝０．９。 经检验，ｘ＝０．９是原方程的解，且符合题意。 答：Ａ型充电桩的单价为 ０．９万元，Ｂ型充电桩的 单价为１．２万元。 （２）设购买 Ａ型充电桩 ｍ个，则购买 Ｂ型充电桩 （２５－ｍ）个。 根据题意，得 ０．９ｍ＋１．２（２５－ｍ）≤２６， ２５－ｍ≥ １ ２ ｍ。{ 解得 ４０ ３≤ ｍ≤ ５０ ３ 。 ∵ｍ为整数， ∴ｍ＝１４，１５，１６。 ∴该停车场有３种购买方案。 方案一：购买１４个Ａ型充电桩，１１个Ｂ型充电桩； 方案二：购买１５个Ａ型充电桩，１０个Ｂ型充电桩； 方案三：购买１６个Ａ型充电桩，９个Ｂ型充电桩。 ∵Ａ型充电桩的单价低于Ｂ型充电桩的单价， ∴购买方案三总费用最少，最少费用为 １６×０．９＋ １．２×９＝２５．２（万元）。 ２２．（１）证明：∵∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ，∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ， ∴∠ＣＤＢ＝∠ＡＤＢ。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是圆内接四边形， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°。 ∴∠ＣＤＢ＋∠ＡＤＢ＋∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝１８０°。 ∴２（∠ＡＤＢ＋∠ＡＢＤ）＝１８０°， 即∠ＡＤＢ＋∠ＡＢＤ＝９０°。∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∴ＢＤ是圆的直径。 （２）解：∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ。∴ＡＤ ) ＝ＣＤ) 。∴ＡＤ＝ＣＤ。 ∵ＡＣ＝ＡＤ，∴ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ。 ∴△ＡＣＤ是等边三角形。∴∠ＡＤＣ＝６０°。 ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝１８０°－６０°＝１２０°。 ∴∠ＣＢＦ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∵ＣＦ∥ＡＤ，∴∠ＢＡＤ＋∠Ｆ＝１８０°。 ∵∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠Ｆ＝９０°。 ∴∠ＢＣＦ＝３０°。∴ＢＣ＝２ＢＦ。 ∵ＢＦ＝２，∴ＢＣ＝４。 ∵ＢＤ是圆的直径，∴∠ＢＣＤ＝９０°。 ∵∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ＝６０°， ∴∠ＣＤＢ＝３０°。∴ＢＤ＝２ＢＣ＝８。 ∴圆的半径长为４。 ２３．解：（１）∵∠ＣＰＢ＝∠Ｃ＋∠１＝∠２＋∠ＤＰＢ， ∠２＝∠１， ∴∠Ｃ＝∠ＤＰＢ。 又∵∠１＝∠３， ∴△ＡＰＣ∽△ＢＤＰ。 故答案为△ＡＰＣ∽△ＢＤＰ。 （２）如图１即为所求作。 　 图１ （３）①如图 ２，当点 Ｐ在线段 ＡＤ上，即 ０≤ｘ≤ ６时， 图２ ∵∠Ａ＝∠Ｄ＝∠ＣＰＥ＝９０°， ∴∠ＡＰＥ＝９０°－∠ＤＰＣ＝∠ＰＣＤ。 ∴△ＡＰＥ∽△ＤＣＰ。∴ ＡＥ ＤＰ ＝ＡＰ ＤＣ 。 ∵ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，ＰＤ＝ｘ，ＡＥ＝ｙ，ＡＢ＝ＣＤ＝４， ∴ ｙ ｘ ＝６ －ｘ ４ 。∴ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ；                                                                —７１— 如图３，当点Ｐ在ＤＡ的延长线上，即ｘ＞６时， 图３ ∵∠ＥＰＣ＝９０°＝∠ＥＡＰ＝∠Ｄ， ∴∠ＥＰＡ＝９０°－∠ＤＰＣ＝∠ＤＣＰ。 ∴△ＡＰＥ∽△ＤＣＰ。∴ ＡＰ ＤＣ ＝ＡＥ ＤＰ 。 ∵ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，ＰＤ＝ｘ，ＡＥ＝ｙ，ＡＢ＝ＣＤ＝４， ∴ ｘ－６ ４ ＝ｙ ｘ 。∴ｙ＝ １ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ。 ∴ｙ＝ －１ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ（０≤ｘ≤６）， １ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ（ｘ＞６）。{ ②∵△ＡＰＥ∽△ＤＣＰ， ∴当△ＥＡＰ的周长等于△ＰＤＣ的周长的２倍时， ＡＥ ＤＰ ＝２，即 ｙ ｘ ＝２。∴ｙ＝２ｘ。 当０≤ｘ≤６时，－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＝２ｘ， 解得ｘ＝０（舍去）或ｘ＝－２（舍去）； 当ｘ＞６时， １ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ＝２ｘ， 解得ｘ＝０（舍去）或ｘ＝１４。 ∴存在这样的点 Ｐ，使△ＥＡＰ的周长等于△ＰＤＣ 的周长的２倍，此时ＰＤ的长度为１４。 ２４．解：（１）①在ｙ＝ａｘ２中，令ｘ＝０，得ｙ＝０， ∴（０，０）在二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ为常数，且ａ≠０）的 图象上，（０，３）不在二次函数 ｙ＝ａｘ２（ａ为常数，且 ａ≠０）的图象上。 ∵四个点（０，０），（０，３），（２，４），（－２，４）中恰有三 个点在二次函数 ｙ＝ａｘ２（ａ为常数，且 ａ≠０）的图 象上， ∴二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ为常数，且ａ≠０）的图象上的 三个点为（０，０），（２，４），（－２，４）。 把（２，４）代入ｙ＝ａｘ２，得４＝４ａ，解得ａ＝１。 故答案为１。 ②如图１，设ＢＣ交ｙ轴于点Ｅ。 图１ 设菱形的边长为２ｔ，则ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝２ｔ。 ∵点Ｂ，Ｃ关于ｙ轴对称，∴ＢＥ＝ＣＥ＝ｔ。 ∴Ｂ（－ｔ，ｔ２）。∴ＯＥ＝ｔ２。 ∵ＡＥ＝ ＡＢ２－ＢＥ槡 ２＝槡３ｔ， ∴ＯＡ＝ＯＥ＋ＡＥ＝ｔ２＋槡３ｔ。∴Ｄ（２ｔ，ｔ ２＋槡３ｔ）。 把点Ｄ（２ｔ，ｔ２＋槡３ｔ）代入ｙ＝ｘ ２，得ｔ２＋槡３ｔ＝４ｔ ２， 解得ｔ＝槡 ３ ３ 或ｔ＝０（舍去）。 ∴菱形的边长为 槡 ２３ ３ 。 ③ｎ－ｍ是定值。理由如下： 如图２，过点Ｂ作ＢＦ⊥ｙ轴于点Ｆ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ ｙ轴于点Ｅ。 图２ ∵点Ｂ，Ｄ的横坐标分别为ｍ，ｎ， ∴Ｂ（ｍ，ｍ２），Ｄ（ｎ，ｎ２）。 ∴ＢＦ＝ｍ，ＯＦ＝ｍ２，ＤＥ＝ｎ，ＯＥ＝ｎ２。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＤＡＢ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ。 ∴∠ＦＡＢ＝９０°－∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ。 ∵∠ＡＦＢ＝∠ＤＥＡ＝９０°， ∴△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。 ∴ＡＥ＝ＯＥ－ＡＦ－ＯＦ。 ∵ＡＥ＝ＢＦ＝ｍ，ＯＥ＝ｎ２，ＡＦ＝ｎ，ＯＦ＝ｍ２， ∴ｍ＝ｎ２－ｎ－ｍ２。 ∴ｍ＋ｎ＝（ｎ－ｍ）（ｎ＋ｍ）。 ∵点Ｂ，Ｄ在ｙ轴的同侧，∴ｍ＋ｎ≠０。 ∴ｎ－ｍ＝１。 （２）过点 Ｂ作 ＢＦ⊥ｙ轴于点 Ｆ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ｙ 轴于点Ｅ。 ∵点Ｂ，Ｄ的横坐标分别为ｍ，ｎ， ∴Ｂ（ｍ，ａｍ２），Ｄ（ｎ，ａｎ２）。 ①当点Ｂ，Ｄ在ｙ轴左侧时，如图３， 图３ ∴ＢＦ＝－ｍ，ＯＦ＝ａｍ２，ＤＥ＝－ｎ，ＯＥ＝ａｎ２。 同理可得△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。∴ＡＥ＝ＯＦ－ＡＦ－ＯＥ。 ∴－ｍ＝ａｍ２－（－ｎ）－ａｎ２。 ∴－ｍ＝ａｍ２＋ｎ－ａｎ２。∴ｍ＋ｎ＝ａ（ｎ－ｍ）（ｎ＋ｍ）。 ∵ｍ＋ｎ≠０，∴ｎ－ｍ＝ １ ａ ； ②当点Ｂ在ｙ轴左侧，点Ｄ在ｙ轴右侧时，如图４，                                                                —８１— 图４ ∴ＢＦ＝－ｍ，ＯＦ＝ａｍ２，ＤＥ＝ｎ，ＯＥ＝ａｎ２。 同理可得△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。∴ＡＥ＝ＯＦ＋ＡＦ－ＯＥ。 ∴－ｍ＝ａｍ２＋ｎ－ａｎ２。∴ｍ＋ｎ＝ａ（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）。 ∴ｍ＋ｎ＝０或ｎ－ｍ＝ １ ａ ； ③当点Ｂ，Ｄ在ｙ轴右侧时，如图５， 图５ ∴ＢＦ＝ｍ，ＯＦ＝ａｍ２，ＤＥ＝ｎ，ＯＥ＝ａｎ２。 同理可得△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＤＥ。∴ＡＥ＝ＯＥ－ＡＦ－ＯＦ。 ∴ｍ＝ａｎ２－ｎ－ａｍ２。∴ｍ＋ｎ＝ａ（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）。 ∵ｍ＋ｎ≠０，∴ｎ－ｍ＝ １ ａ 。 综上所述，ｍ，ｎ满足的等量关系式为 ｍ＋ｎ＝０或 ｎ－ｍ＝ １ ａ 。 ６２０２４年福山区初四数学诊断性测试 （与蓬莱区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ １．Ｂ　【解析】Ａ．３与－３互为相反数，正确，不符合题 意；Ｂ．－３与－ １ ３ 互为倒数，原说法错误，符合题意； Ｃ．－１的立方根是－１，正确，不符合题意；Ｄ．－１的绝 对值是１，正确，不符合题意。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】第１个图形是中心对称图形，但不是轴 对称图形；第 ２个图形既不是轴对称图形，也不是 中心对称图形；第 ３个图形既是轴对称图形，也是 中心对称图形；第 ４个图形是轴对称图形，但不是 中心对称图形。所以是轴对称图形但不是中心对 称图形的有１个。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ是主视图，Ｃ是左视图，Ｄ是俯视图。 故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】ｍ６÷ｍ３＝ｍ３，故 Ａ错误，不符合题意； －ｍ（ｎ－ｍ）＝－ｍｎ＋ｍ２，故 Ｂ错误，不符合题意； －（３ｍ）２＝－９ｍ２，故 Ｃ正确，符合题意；（ｍ－１）２＝ ｍ２－２ｍ＋１，故Ｄ错误，不符合题意。故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】十亿四千万＝１０４０００００００＝１．０４×１０９。 故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】∵－１＜ａ＜０，０＜ｂ＜１， ∴－１＜ａ×ｂ＜０，即－１＜ｃ＜０。 ∴点Ｃ应在－１和０之间。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】Ａ．这组数据的众数为 ６，故选项符合题 意；Ｂ．这组数据的平均数为 １ １０ （２×２＋４×３＋６×４＋８×１） ＝４．８，故选项不符合题意；Ｃ．样本容量为１０，故选项 不符合题意；Ｄ．这组数据的中位数为５，故选项不符 合题意。故选Ａ。 ８．Ａ　【解析】如图，连接ＯＢ，ＯＣ， 设ＢＤ与ＡＣ交于点Ｅ。 ∵ＢＣ∥ＡＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ。 ∴ＡＢ) ＝ＣＤ) 。 ∴∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＢ。 ∵ＢＤ⊥ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＢ＝４５°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＣＯＤ＝２∠ＣＡＤ＝９０°。 ∵∠ＡＯＤ＝１２０°， ∴∠ＢＯＣ＝３６０°－９０°－９０°－１２０°＝６０°。 ∵ＯＢ＝ＯＣ，∴△ＯＢＣ是等边三角形。∴ＢＣ＝ＯＢ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∠ＡＯＤ＝１２０°， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝３０°。∴ＡＤ＝槡３ＯＡ＝槡３。 ∴ＯＡ＝１。∴ＢＣ＝１。 ∴∠ＣＡＯ＝∠ＣＡＤ－∠ＯＡＤ＝４５°－３０°＝１５°。 故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】如图，过点 Ｇ作 ＧＮ⊥ＡＢ，ＧＨ⊥Ｄ′Ｅ，垂 足分别为Ｎ，Ｈ。 由折叠，得四边形ＡＤ′ＥＤ是正方形， ＡＤ＝ＤＥ＝Ｄ′Ｅ＝ＡＤ′＝５， ＢＣ＝ＢＣ′＝５，∠Ｃ＝∠ＢＣ′Ｆ＝９０°，ＣＦ＝Ｃ′Ｆ， ∴ＢＤ′＝ＣＥ＝８－５＝３。 在Ｒｔ△Ｃ′ＢＤ′中，Ｃ′Ｄ′＝ （ＢＣ′）２－（ＢＤ′）槡 ２＝４， ∴Ｃ′Ｅ＝５－４＝１。 在Ｒｔ△ＥＦＣ′中，设Ｃ′Ｆ＝ｘ，则ＥＦ＝３－ｘ。 由勾股定理，得１２＋（３－ｘ）２＝ｘ２，解得ｘ＝ ５ ３ 。 ∵∠ＢＣ′Ｄ′＋∠ＧＣ′Ｈ＝９０°，∠ＧＣ′Ｈ＋∠Ｃ′ＧＨ＝９０°， ∴∠ＢＣ′Ｄ′＝∠Ｃ′ＧＨ。 又∵∠ＧＨＣ′＝∠Ｃ′Ｄ′Ｂ＝９０°， ∴△ＢＣ′Ｄ′∽△Ｃ′ＧＨ。 ∴Ｃ′Ｈ∶ＧＨ∶Ｃ′Ｇ＝ＢＤ′∶Ｃ′Ｄ′∶ＢＣ′＝３∶４∶５。 设Ｃ′Ｈ＝３ｍ，则ＧＨ＝４ｍ，Ｃ′Ｇ＝５ｍ。 ∴Ｄ′Ｈ＝ＧＮ＝ＡＮ＝４－３ｍ，Ｄ′Ｎ＝５－（４－３ｍ）＝１＋３ｍ＝ ＧＨ＝４ｍ，解得ｍ＝１。 ∴Ｃ′Ｇ＝５ｍ＝５。∴ＦＧ＝Ｃ′Ｆ＋Ｃ′Ｇ＝ ２０ ３ 。故选Ｃ。                                                                —９１—