4 2024年芝罘区初四数学阶段检测练习题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

２１．解：设每个Ａ型扫地机器人的进价为ｘ元，则每个 Ｂ型扫地机器人的进价为（２ｘ－４００）元。 依题意，得 ９６０００ ｘ ＝１６８０００ ２ｘ－４００ ，解得ｘ＝１６００。 经检验，ｘ＝１６００是原方程的解，且符合题意。 所以２ｘ－４００＝２×１６００－４００＝２８００。 答：每个Ａ型扫地机器人的进价为１６００元，每个 Ｂ型扫地机器人的进价为２８００元。 ２２．解：（１）如图，切线 ＡＤ即为 所求作。 （２）如（１）图，连接 ＯＢ，ＯＣ， 过点Ｏ作ＯＨ⊥ＢＣ于点Ｈ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＡ⊥ＡＤ。∴∠ＯＡＤ＝９０°。 ∵∠ＤＡＢ＝７５°， ∴∠ＯＡＢ＝１５°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝１５°。 ∴∠ＢＯＡ＝１５０°。∴∠ＢＣＡ＝ １ ２∠ ＡＯＢ＝７５°。 ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＢＡＣ＝１８０°－４５°－７５°＝６０°。 ∴∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°。 ∵ＯＢ＝ＯＣ＝２，∴∠ＢＣＯ＝∠ＣＢＯ＝３０°。 ∵ＯＨ⊥ＢＣ，∴ＣＨ＝ＢＨ＝ＯＣ·ｃｏｓ３０°＝槡３。 ∴ＢＣ＝槡２３。 ２３．（１）证明：∵△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等边三角形， ∴ＡＤ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝６０°。 ∴∠ＤＡＥ－∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＥ。 ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＢＤ＝ＣＥ。 （２）解：∵△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形， ∴ ＡＤ ＡＥ ＝ＡＢ ＡＣ ＝１ 槡２ ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝４５°。 ∴∠ＤＡＥ－∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＥ。 ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。∴△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ。 ∴ ＢＤ ＣＥ ＝ＡＢ ＡＣ ＝１ 槡２ ＝槡２ ２ 。 （３）解：①∵ ＡＢ ＢＣ ＝ＡＤ ＤＥ ＝３ ４ ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°， ∴△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ。∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ＡＢ ＡＣ ＝ＡＤ ＡＥ ＝３ ５ 。 ∴∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ。∴△ＣＡＥ∽△ＢＡＤ。∴ ＢＤ ＣＥ ＝ＡＤ ＡＥ ＝３ ５ 。 ②由①，得△ＣＡＥ∽△ＢＡＤ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ。 ∵∠ＡＧＣ＝∠ＢＧＦ，∴∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴ｓｉｎ∠ＢＦＣ＝ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＢＣ ＡＣ ＝４ ５ 。 ２４．解：（１）在ｙ＝ ４ ３ ｘ＋４中，当ｘ＝０时，ｙ＝４， ∴Ｃ（０，４）。 当ｙ＝０时， ４ ３ ｘ＋４＝０，∴ｘ＝－３。∴Ａ（－３，０）。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，∴Ｂ（１，０）。 ∴设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ＋３）。 将Ｃ（０，４）代入，得４＝－３ａ，∴ａ＝－ ４ ３ 。 ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－ ４ ３ （ｘ－１）（ｘ＋３）＝ －４ ３ ｘ２－ ８ ３ ｘ＋４。 （２）如图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，交ＡＣ于点Ｅ， ∴Ｄ(ｍ，－４３ｍ２－８３ｍ＋４)，Ｅ(ｍ，４３ｍ＋４)。 ∴ＤＥ＝－ ４ ３ ｍ２－ ８ ３ ｍ＋４－( ４３ｍ＋４) ＝－４３ｍ２－４ｍ。 ∴Ｓ△ＡＤＣ＝ １ ２ ＯＡ·ＤＥ＝ ３ ２ · ( －４３ｍ２－４ｍ) ＝ －２ｍ２－６ｍ。∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２ ×４×４＝８， ∴Ｓ＝－２ｍ２－６ｍ＋８＝－２(ｍ＋３２) ２ ＋２５ ２ 。 ∴当ｍ＝－ ３ ２ 时，Ｓ最大＝ ２５ ２ 。 当ｍ＝－ ３ ２ 时，ｙ＝－ ４ ３ ×(－３２－１)×(－３２＋３) ＝５， ∴Ｄ(－３２，５)。 （３）设Ｐ（－１，ｎ）。 ∵以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶点的四边形是以ＡＣ为对角线 的菱形，∴ＰＡ＝ＰＣ，即ＰＡ２＝ＰＣ２。 ∴（－１＋３）２＋ｎ２＝１＋（ｎ－４）２。 ∴ｎ＝ １３ ８ 。∴Ｐ(－１，１３８)。 ∵ｘＰ＋ｘＱ＝ｘＡ＋ｘＣ，ｙＰ＋ｙＱ＝ｙＡ＋ｙＣ， ∴ｘＱ＝－３－（－１）＝－２，ｙＱ＝４－ １３ ８ ＝１９ ８ 。∴Ｑ(－２，１９８)。 ４２０２４年芝罘区初四数学阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ １．Ｂ　【解析】９的平方根是 槡±９＝±３。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上 有一条横向的实线，中间有一条横向的虚线。 故选Ａ。 ３．Ａ　【解析】Ａ．ｘ３·ｘ２＝ｘ５，故选项符合题意；Ｂ．ｘ３÷ （－ｘ２）＝－ｘ３－２＝－ｘ，故选项不符合题意；Ｃ．ｘ３，ｘ２不是                                                                —１１— 同类项，不能合并，故选项不符合题意；Ｄ．２ｘ＋ｘ＝３ｘ， 故选项不符合题意。故选Ａ。 ４．Ｄ　【解析】１０．６万亿＝１０６０００００００００００＝１．０６× １０１３。故选Ｄ。 ５．Ｄ　【解析】平均数是 ５＋７＋１１＋３＋９ ５ ＝７；不存在众数； 中位数是７；方差是 １ ５ ［（３－７）２＋（５－７）２＋（７－７）２＋ （９－７）２＋（１１－７）２］＝８。故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】∵∠Ａ＝３８°，∴∠Ｄ＝３８°。 ∵∠ＡＰＤ＝８０°，∴∠Ｂ＝∠ＡＰＤ－∠Ｄ＝４２°。故选Ｂ。 ７．Ｃ　【解析】∵２＞－２，∴ｙ＝２２－５＝－１。∴输出ｙ的值 为－１。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】∵沿ＡＤ将纸片折叠，使点Ｂ落在边ＢＣ 上的点Ｐ处， ∴ＡＰ＝ＡＢ＝２，∠Ｂ＝∠ＡＰＢ。 ∵沿ＥＦ将纸片折叠，使点Ｃ与点Ｐ重合， ∴ＣＥ＝ＰＥ，∠Ｃ＝∠ＣＰＥ。 ∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０°。 ∴∠ＡＰＢ＋∠ＣＰＥ＝９０°。∴∠ＡＰＥ＝９０°。 ∴ＡＰ２＋ＰＥ２＝ＡＥ２。 设ＡＥ＝ｘ，则ＣＥ＝ＰＥ＝３－ｘ。 ∴２２＋（３－ｘ）２＝ｘ２。 解得ｘ＝ １３ ６ ，即ＡＥ＝ １３ ６ 。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】如图，过点 Ａ１作 Ａ１Ｅ⊥ｘ轴，过点 Ａ２作 Ａ２Ｆ⊥ｘ轴，过点 Ａ３作 Ａ３Ｇ⊥ｘ轴，垂足分别为 Ｅ， Ｆ，Ｇ。 ∵直线ｙ＝ １ ３ ｘ＋ｂ经过点Ａ１（１，１）， ∴１＝ １ ３ ×１＋ｂ。解得ｂ＝ ２ ３ 。 ∴直线的表达式为ｙ＝ １ ３ ｘ＋ ２ ３ 。 ∵点Ａ１（１，１），∴纵坐标为１＝２ ０。 ∵△ＯＡ１Ｂ１，△Ｂ１Ａ２Ｂ２，△Ｂ２Ａ３Ｂ３，…，△ＢｎＡｎ＋１Ｂｎ＋１都 是等腰直角三角形，∴设Ａ２Ｆ＝ｍ，则点Ａ２（２＋ｍ，ｍ）。 将点Ａ２（２＋ｍ，ｍ）代入表达式， 得ｍ＝ １ ３ （２＋ｍ）＋ ２ ３ ，解得ｍ＝２。 ∴点Ａ２的纵坐标为２＝２ １。 设Ａ３Ｇ＝ｎ，则点Ａ３（６＋ｎ，ｎ）， 将点Ａ３（６＋ｎ，ｎ）代入表达式， 得ｎ＝ １ ３ （６＋ｎ）＋ ２ ３ ，解得ｎ＝４。 ∴点Ａ３的纵坐标为４＝２ ２。 …… ∴点Ａｎ的纵坐标为２ ｎ－１。 ∴Ａ２０２４的纵坐标为２ ２０２３。故选Ｃ。 １０．Ｂ　【解析】∵二次函数图象开口向下，与ｙ轴交于 正半轴，∴ａ＜０，ｃ＞０。 又∵对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１，∴ｂ＝－２ａ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①错误； ∵对称轴为直线ｘ＝１，且过点Ａ（－１，０）， ∴抛物线与ｘ轴的另一交点为（３，０）。 ∴９ａ＋３ｂ＋ｃ＝０。∴３ａ＋ｂ＝－ ｃ ３ 。故②正确； 由函数图象可知，当ｘ＝１时，函数取得最大值， 则对于任意的ｘ＝ｍ，总有ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ≤ａ＋ｂ＋ｃ， 即ａ＋ｂ≥ａｍ２＋ｂｍ（ｍ为实数）。 又∵ｂ＝－２ａ，３ａ＋ｂ＝－ ｃ ３ ， ∴ａ＝－ ｃ ３ ，ｂ＝ ２ ３ ｃ。∴ａ＋ｂ＝ １ ３ ｃ。 ∵３＜ｃ＜４，∴１＜ １ ３ ｃ＜ ４ ３ 。 ∴ａｍ２＋ｂｍ＜ ４ ３ 。故③错误； ∵１＜ １ ３ ｃ＜ ４ ３ ，∴２＜ ２ ３ ｃ＜ ８ ３ 。 ∵ｂ＝ ２ ３ ｃ，∴２＜ｂ＜ ８ ３ 。故④正确。 ∴正确的结论有②④。故选Ｂ。 １１．４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）　【解析】４ｍ２ｎ－４ｎ３＝４ｎ（ｍ２－ｎ２） ＝４ｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）。 １２．１６立方米　【解析】根据题意，得５ａ＝１１。 解得ａ＝２．２。所以ａ＋０．１＝２．２＋０．１＝２．３。 设李阿姨１２月份用水量为ｘ立方米， 根据题意，得１０×２．２＋２．３（ｘ－１０）＝３５．８。 解得ｘ＝１６。 １３．８４°　【解析】∵∠ＥＯＦ＝１０８°，∠ＢＯＣ＝１２０°， ∠ＯＥＢ＝７２°，∠ＯＢＥ＝６０°。 ∴∠ＢＯＥ＝１８０°－７２°－６０°＝４８°。 ∴∠ＣＯＦ＝３６０°－１０８°－４８°－１２０°＝８４°。 １４．槡５８　【解析】如图，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ＣＤ，使 ＣＥ＝ ＣＤ，连接ＢＥ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＤ，交 ＢＤ的延长线 于点Ｆ。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＤ＝ＢＥ。 ∵ＣＤ＝３，ＢＤ＝４，ＢＣ＝５， ∴ＣＤ２＋ＢＤ２＝ＢＣ２。∴∠ＢＤＣ＝９０°。 ∴∠ＣＤＦ＝９０°。∴四边形ＣＥＦＤ是矩形。 ∵ＣＥ＝ＣＤ，∴四边形ＣＥＦＤ是正方形。                                                                —２１— ∴ＥＦ＝ＤＦ＝３。∴ＢＦ＝７。 ∴ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２＝ ３２＋７槡 ２＝槡５８。 ∴ＡＤ＝槡５８。 １５．６　【解析】如图，作 ＡＭ⊥ｙ轴，ＢＮ⊥ｙ轴，垂足分 别为Ｍ，Ｎ。 ∵ＡＭ∥ＢＮ∥ＯＤ，∴△ＡＣＭ∽△ＢＣＮ∽△ＤＣＯ。 ∵ＡＢ＝２ＡＣ，∴ ＡＭ ＢＮ ＝ＡＣ ＢＣ ＝１ ３ 。 设ＣＭ＝ａ，则ＣＮ＝３ａ。 由一次函数ｙ＝－ １ ２ ｘ＋４，得Ｃ（０，４），Ｄ（８，０）， ∴ＯＤ＝８，ＯＣ＝４。∴ ＯＣ ＯＤ ＝４ ８ ＝１ ２ 。 ∴ＡＭ＝２ａ，ＢＮ＝６ａ。 ∴Ａ（２ａ，－ａ＋４），Ｂ（６ａ，－３ａ＋４）。 ∵点Ａ，Ｂ在反比例函数图象上， ∴２ａ（－ａ＋４）＝６ａ（－３ａ＋４）， 解得ａ１＝０（舍），ａ２＝１。∴Ａ（２，３）。 ∵点Ａ在反比例函数图象上，∴ｋ＝６。 １６． ２ ３ 或 １０ ３ 　【解析】如图，连接ＰＱ。 ∵当点Ｑ运动回点Ａ时，ｔ＝４， ∴点Ｑ运动一周的时间为４ｓ。 ∵Ｐ是ＯＡ的中点， ∴ＯＰ＝ １ ２ ＯＡ＝ １ ２ ＯＱ。 ∵ＰＱ⊥ＯＡ，∴ｓｉｎ∠ＯＱＰ＝ １ ２ 。 ∴∠ＯＱＰ＝３０°。∴∠ＰＯＱ＝６０°。 ∴点Ｑ运动到使ＰＱ⊥ＯＡ的时间为４× １ ６ ＝２ ３ （ｓ）。 ∵４－ ２ ３ ＝１０ ３ （ｓ），∴ｔ的值为 ２ ３ 或 １０ ３ 。 １７．解：原式＝ ２ ｘ（ｘ＋１） ÷ｘ ２－１－ｘ＋１ （ｘ－１）（ｘ＋１） ＝ ２ ｘ（ｘ＋１） · （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ（ｘ－１） ＝２ ｘ２ 。 ∵－１≤ｘ＜３，ｘ为整数，∴ｘ的值为－１，０，１，２。 ∵ｘ≠０，ｘ＋１≠０，（ｘ＋１）（ｘ－１）≠０，ｘ（ｘ－１）≠０， ∴ｘ≠－１，ｘ≠０，ｘ≠１。 ∴ｘ只能取２。 当ｘ＝２时，原式＝ ２ ｘ２ ＝２ ２２ ＝１ ２ 。 １８．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＡＢ＝ＣＤ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＦ。 ∵ＣＥ⊥ＡＢ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠Ｅ＝∠Ｆ＝９０°。 在△ＣＢＥ和△ＣＤＦ中， ∠Ｅ＝∠Ｆ， ∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＦ， ＢＣ＝ＤＣ，{ ∴△ＣＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）。∴ＢＥ＝ＤＦ。 １９．解：（１）本次随机调查的学生人数为１８÷３０％＝６０。 故答案为６０。 （２）选择编织课程的人数为６０－１５－１８－９－６＝１２， 补全条形统计图如下： （３）８００× １５ ６０ ＝２００。 答：估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的 人数为２００。 （４）列表如下： 　 　 第１项 第２项 　 　 园艺 电工 木工 编织 园艺 电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺 电工 园艺，电工 木工，电工 编织，电工 木工 园艺，木工 电工，木工 编织，木工 编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织 共有１２种等可能出现的结果，其中选中“园艺、编 织”这两类劳动课程的结果有２种， 所以恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概 率＝ ２ １２ ＝１ ６ 。 ２０．解：如图所示，点Ａ，Ｂ即为所求作。 ∵ＣＥ∥ＡＤ，∴∠Ａ＝∠ＡＣＥ＝３７°。 ∵∠ＡＤＢ＝５３°， ∴∠ＣＢＤ＝∠Ａ＋∠ＡＤＢ＝９０°。∴∠ＡＢＤ＝９０°。 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＢＤＣ＝９０°－５３°＝３７°， ＣＤ＝９０米，ｃｏｓ∠ＢＤＣ＝ ＢＤ ＣＤ ， ∴ＢＤ＝ＣＤ·ｃｏｓ３７°≈９０×０．８０＝７２（米）。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠Ａ＝３７°，ＢＤ＝７２米， ｔａｎＡ＝ ＢＤ ＡＢ ，∴ＡＢ＝ ＢＤ ｔａｎ３７°≈ ７２ ０．７５ ＝９６（米）。 答：Ａ，Ｂ两点间的距离约为９６米。                                                                —３１— ２１．解：（１）设 Ａ品种的草莓购进 ｘ盒，Ｂ品种的草莓 购进ｙ盒。 根据题意，得 ４５ｘ＋６０ｙ＝２８５０， （７０－４５）ｘ＋（９０－６０）ｙ＝１５００。{ 解得 ｘ＝３０， ｙ＝２５。{ 答：Ａ品种的草莓购进３０盒，Ｂ品种的草莓购进２５盒。 （２）设Ａ品种的草莓购进ａ盒，则Ｂ品种的草莓购 进（１００－ａ）盒，毛利润为ｗ元。 根据题意，得ｗ＝（７０－４５）ａ＋（９０－６０）×（１００－ａ）＝ －５ａ＋３０００。 ∵－５＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小。 ∵水果店计划购进Ｂ品种的盒数不低于Ａ品种盒 数的２倍，且Ａ品种不少于２０盒， ∴ ａ≥２０，１００－ａ≥２ａ，{ 解得２０≤ａ≤３３１３。 ∴当ａ＝２０时，ｗ取得最大值，最大值为－５×２０＋ ３０００＝２９００，此时１００－ａ＝１００－２０＝８０。 答：当Ａ品种的草莓购进 ２０盒，Ｂ品种的草莓购 进８０盒时，毛利润最大，最大毛利润为２９００元。 ２２．（１）证明：如图，连接ＢＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝９０°。 ∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∵ＡＢ∥ＣＦ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＦ。 ∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＦ。 在△ＢＣＤ和△ＢＣＦ中， ＢＣ＝ＢＣ， ∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＦ， ＣＤ＝ＣＦ，{ ∴△ＢＣＤ≌△ＢＣＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＢＦ，∠Ｆ＝∠ＣＤＢ＝９０°。 ∵∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＣＢＦ＋∠ＡＢＣ＝９０°，即ＯＢ⊥ＢＦ。 ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径，∴ＢＦ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵⊙Ｏ的半径为５，∴ＡＢ＝１０。 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＣ＝１０。 ∵∠ＣＢＤ＝∠ＣＢＦ，ｔａｎ∠ＣＢＦ＝ １ ２ ，∴ｔａｎ∠ＣＢＤ＝ １ ２ 。 设ＣＤ＝ｘ，则 ＢＤ＝２ｘ，ＡＤ＝１０－ｘ。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２＝ＡＢ２， 即（１０－ｘ）２＋（２ｘ）２＝１０２，解得ｘ１＝０（舍去），ｘ２＝４。 ∴ＣＤ＝４。∴ＣＦ＝４。 ２３．解：（１）根据题意，得ｙ＝ａ（ｘ＋２）（ｘ－６） ＝ａ（ｘ２－４ｘ－１２）＝ａｘ２＋ｂｘ＋槡２３， ∴－１２ａ＝槡２３。解得ａ＝－ 槡３ ６ 。 ∴抛物线的函数关系式为ｙ＝－槡 ３ ６ ｘ２＋槡 ２３ ３ ｘ＋槡２３。 （２）△ＡＢＣ是直角三角形。证明如下： 根据题意，得ＯＡ＝２，ＯＢ＝６，ＯＣ＝槡２３。 ∵ ＯＡ ＯＣ ＝ＯＣ ＯＢ ＝槡３ ３ ，∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＢ＝９０°， ∴△ＡＯＣ∽△ＣＯＢ。∴∠ＡＣＯ＝∠ＣＢＯ。 ∵∠ＣＢＯ＋∠ＯＣＢ＝９０°，∴∠ＡＣＯ＋∠ＯＣＢ＝９０°， 即∠ＡＣＢ＝９０°。∴△ＡＢＣ是直角三角形。 （３）如图，设ＡＥ交ｙ轴于点Ｈ，作ＨＮ⊥ＡＣ于点Ｎ。 根据题意，得ＡＤ＝ＢＤ＝ ＡＢ ２ ＝４， ∴ｔａｎ∠ＯＡＣ＝槡 ２３ ２ ＝槡３。∴∠ＣＡＢ＝６０°，∠ＡＣＯ＝３０°。 ∴∠ＡＢＣ＝３０°，∠ＯＣＢ＝６０°，ＡＣ＝２ＯＡ＝４。 ∵△ＡＣＦ与△ＢＯＣ相似，∴∠ＣＡＦ＝３０°或６０°。 当∠ＣＡＦ＝３０°时， 在△ＡＣＨ中，ＡＣ＝４，∠ＡＣＯ＝∠ＣＡＦ＝３０°， ∴ＣＨ＝ ＣＮ ｃｏｓ３０° ＝ １ ２ ＡＣ 槡３ ２ ＝槡４３ ３ 。∴点Ｈ（０，槡 ２３ ３ ）。 由点Ａ，Ｈ的坐标， 得直线ＡＦ的函数关系式为ｙ＝槡 ３ ３ ｘ＋槡 ２３ ３ 。 当ｘ＝２时，ｙ＝槡 ３ ３ ｘ＋槡 ２３ ３ ＝槡４３ ３ ， 即点Ｅ的坐标为 （２，槡 ４３ ３ ）； 当∠ＣＡＦ＝６０°时，ＡＦ和ｘ轴重合。 此时，点Ｅ和点Ｄ（２，０）重合。 综上，点Ｅ的坐标为 （２，槡 ４３ ３ ）或（２，０）。 ２４．解：【探究】ＢＥ＝ＤＥ。证明如下： ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ａ＝∠Ｃ。 ∵Ｅ是ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＣＥ。 ∵∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＤ，∴△ＡＥＦ≌△ＣＥＤ（ＡＳＡ）。 ∴ＥＦ＝ＤＥ。 ∵∠ＡＢＤ＝９０°，∴ＢＥ＝ １ ２ ＤＦ＝ＤＥ。 【延伸】（１）ＰＣ＝ＰＧ。证明如下： 如图１，延长ＧＰ交ＣＤ于点Ｍ。 图１ ∵四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ是正方形， ∴ＣＤ∥ＡＥ，ＦＧ∥ＡＥ，∠ＢＣＤ＝９０°。                                                                —４１— ∴ＣＤ∥ＦＧ。∴∠ＣＤＰ＝∠ＰＦＧ。 ∵Ｐ是ＤＦ的中点。∴ＤＰ＝ＦＰ。 ∵∠ＤＰＭ＝∠ＦＰＧ，∴△ＤＰＭ≌△ＦＰＧ（ＡＳＡ）。 ∴ＰＭ＝ＰＧ＝ １ ２ ＭＧ。 ∵∠ＢＣＤ＝９０°，∴ＰＣ＝ １ ２ ＭＧ＝ＰＧ。 （２）证明：如图２，延长ＧＰ到点Ｑ，使ＰＱ＝ＰＧ，连接 ＣＱ，ＤＱ，作ＦＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，设ＦＧ与ＢＣ交于点Ｏ， 图２ ∴ＣＤ∥ＦＨ。∴∠ＣＤＦ＝∠ＤＦＨ。 根据题意，得ＰＦ＝ＰＤ，∠ＦＰＧ＝∠ＤＰＱ，ＰＧ＝ＰＱ， ∴△ＦＰＧ≌△ＤＰＱ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＱ＝ＦＧ，∠ＰＤＱ＝∠ＰＦＧ。 ∴ＤＱ＝ＢＧ，∠ＣＤＱ＝∠ＧＦＨ。 ∵∠ＦＨＢ＝∠ＢＧＦ＝９０°，∠ＢＯＧ＝∠ＦＯＨ， ∴∠ＯＢＧ＝∠ＯＦＨ。∴∠ＣＤＱ＝∠ＯＢＧ。 在△ＣＢＧ和△ＣＤＱ中， ＣＢ＝ＣＤ，∠ＯＢＧ＝∠ＣＤＱ，ＢＧ＝ＤＱ， ∴△ＣＢＧ≌△ＣＤＱ（ＳＡＳ）。∴∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＱ。 ∵∠ＢＣＧ＋∠ＤＣＧ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＤＣＱ＋∠ＤＣＧ＝９０°，即∠ＧＣＱ＝９０°。 ∵ＰＧ＝ＰＱ，∴ＰＣ＝ １ ２ ＧＱ＝ＰＧ。 ５２０２４年开发区九年级模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｃ １．Ｄ　【解析】 ２ ３ ，－ ２ ３ ，１，－１的相反数分别是－ ２ ３ ， ２ ３ ，－１，１。∵－１＜－ ２ ３ ＜ ２ ３ ＜１，∴所给的各数的相反 数中，最大的是－１。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】∵ａ＝３．１×１０－４＝０．０００３１， ｂ＝５．２×１０－５＝０．００００５２， ∴ａ－ｂ＝０．０００３１－０．００００５２＝０．０００２５８， 即ａ－ｂ的值介于０与１之间。故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】∵（ａｍ·ｂ·ｂｎ）３＝ａ６ｂ１５， ∴３ｍ＝６，３（ｎ＋１）＝１５。解得ｍ＝２，ｎ＝４。故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】该几何体的三视图如下： 主视图 　 左视图 　 俯视图 主视图是轴对称图形，不是中心对称图形；左视图 是轴对称图形，不是中心对称图形；俯视图既是轴 对称图形，也是中心对称图形。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ａ＝５５°， ∴∠Ｃ＝∠Ａ＝５５°，∠ＡＢＣ＝１８０°－５５°＝１２５°。 由作图可知，ＭＮ是线段ＢＣ的垂直平分线， ∴ＢＥ＝ＣＥ。∴∠Ｃ＝∠ＥＢＣ＝５５°。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ＝１２５°－５５°＝７０°。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】如图，过点Ｂ作ＢＦ∥ｌ２交ＤＥ于点Ｆ。 ∵ｌ１∥ｌ２，∴ＢＦ∥ｌ１。 ∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＡＢＣ＝ （５－２）×１８０° ５ ＝１０８°。 ∵ＢＦ∥ｌ２，∠１＝５７°，∠２＋∠ＣＢＦ＝１８０°， ∴∠ＡＢＦ＝∠１＝５７°。 ∴∠ＣＢＦ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＦ＝１０８°－５７°＝５１°。 ∴∠２＝１８０°－５１°＝１２９°。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】Ａ．中位数＝（６＋６）÷２＝６（吨），故本选项 正确；Ｂ．平均数＝（４×４＋５×５＋６×７＋８×３＋９×１）÷２０＝ ５．８（吨），故本选项正确；Ｃ．数据６吨出现７次，次数 最多，所以众数是６吨，故本选项正确；Ｄ．极差是９－ ４＝５（吨），故本选项错误。故选Ｄ。 ８．Ａ　【解析】如图，画出一次函数 ｙ＝－ｘ－１，ｙ＝ｘ，ｙ＝ ３ｘ－４的图象。 一次函数ｙ＝－ｘ－１与ｙ＝ｘ的交点横坐标为ｘ＝－０．５， 一次函数ｙ＝ｘ与ｙ＝３ｘ－４的交点横坐标为ｘ＝２， 由图象可知， 当ｘ＜－０．５时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝－ｘ－１； 当－０．５＜ｘ＜２时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝ｘ； 当ｘ＞２时，ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜＝３ｘ－４。 综上，函数ｙ＝ｍａｘ｜－ｘ－１，ｘ，３ｘ－４｜的图象大致为 Ａ 选项图象。故选Ａ。 ９．Ａ　【解析】对于直线ｙ＝ｘ－４， 令ｙ＝０，得ｘ＝４，∴Ｂ（４，０）。 ∵ＯＣ∥ＡＢ，∴直线ＯＣ的表达式为ｙ＝ｘ。 ｙ＝ｘ与ｙ＝ ｋ ｘ 联立消去ｙ，得 ｋ ｘ ＝ｘ， 去分母，得ｘ２＝ｋ。 解得ｘ＝槡ｋ或ｘ＝－槡ｋ（舍去）。 ∴ｙ＝槡ｋ。∴Ｃ（槡ｋ，槡ｋ）。                                                                —５１— — １９— — ２０— — ２１— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．９的平方根是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 槡Ａ．３ Ｂ．±３ Ｃ．３ Ｄ．－槡３ ２．如图所示，该几何体的左视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 第２题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 ３．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ｘ３·ｘ２＝ｘ５ Ｂ．ｘ３÷（－ｘ２）＝ｘ Ｃ．ｘ３－ｘ２＝ｘ Ｄ．２ｘ＋ｘ＝３ｘ２ ４．中国信息通信研究院测算，２０２０—２０２５年中国５Ｇ商用带动的信息消费规模将超过８万亿元，直接带 动经济总产出达１０．６万亿元。其中数据１０．６万亿用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１０．６×１０４ Ｂ．１．０６×１０８ Ｃ．１０．６×１０１３ Ｄ．１．０６×１０１３ ５．如图是根据惠民早餐店今年４月１日至５日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图。下列结 论正确的是 （　　） Ａ．平均数是６ Ｂ．众数是７ Ｃ．中位数是１１ Ｄ．方差是８ ６．如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｐ。若∠Ａ＝３８°，∠ＡＰＤ＝８０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．３２° Ｂ．４２° Ｃ．４８° Ｄ．５２° ７．按如图所示的程序进行计算，若输入ｘ的值为２，则输出ｙ的值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．３或－１ 第７题图 　　　 第８题图 ８．如图，在三角形纸片ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝２，ＡＣ＝３，沿ＡＤ和ＥＦ将纸片折叠，使点Ｂ和点Ｃ都落 在边ＢＣ上的点Ｐ处，则ＡＥ的长为 （　　） Ａ． １３ ６ Ｂ． ５ ６ Ｃ． ７ ６ Ｄ． ６ ５ ９．如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ和点 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…，Ｂｎ分别在直线 ｙ＝ １ ３ ｘ＋ｂ和 ｘ轴 上，直线ｙ＝ １ ３ ｘ＋ｂ与ｘ轴交于点Ｍ，△ＯＡ１Ｂ１，△Ｂ１Ａ２Ｂ２，△Ｂ２Ａ３Ｂ３，…，△ＢｎＡｎ＋１Ｂｎ＋１都是等腰直角三角 形，若点Ａ１（１，１），则点Ａ２０２４的纵坐标为 （　　） Ａ．２０２３ Ｂ．４０４６ Ｃ．２２０２３ Ｄ．２２０２４ 第９题图 　　　 第１０题图 １０．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）过点Ａ（－１，０），与ｙ轴的交点Ｃ在（０，３），（０，４）之间（不包含端点）， 抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，有以下结论：①ａｂｃ＞０；②３ａ＋ｂ＝－ ｃ ３ ；③对于任意实数ｍ，总有ａｍ２＋ｂｍ＜ ７ ３ ；④２＜ｂ＜ ８ ３ 。其中正确结论的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．因式分解：４ｍ２ｎ－４ｎ３＝　　　　　　　。 １２．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量／立方米 单价／元 ｘ≤１０ ａ 超出部分 ａ＋０．１ 李阿姨家１１月份用水５立方米，交水费１１元。若李阿姨１２月份交水费３５．８元，则李阿姨１２月份 用水量为 。 １３．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为 Ｏ，且正六边 形的边ＡＢ与正五边形的边ＤＥ在同一条直线上，则∠ＣＯＦ的度数为 。 第１３题图 　　　 第１４题图 　　　 第１５题图 １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝５，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ＝３，ＢＤ＝４，连接ＡＤ，则ＡＤ的长度为 。 １５．如图，一次函数ｙ＝－ １ ２ ｘ＋４与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象交于Ａ，Ｂ两点，与坐标轴交于 Ｃ，Ｄ两 点，若ＡＢ＝２ＡＣ，则ｋ的值为 。 １６．如图１，ＯＡ是⊙Ｏ的半径，Ｐ是ＯＡ的中点，点Ｑ在⊙Ｏ上从点Ａ开始沿逆时针方向运动一周停止， 运动时间为ｔ（ｓ），线段ＰＱ的长度为ｙ（ｃｍ），图２是ｙ随ｘ变化的关系图象，则当点Ｑ运动到使ＰＱ ⊥ＯＡ时，ｔ的值为 。 图１ 　　　 图２ 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值： ２ ｘ２＋ｘ ÷（１－ ｘ－１ ｘ２－１ ），其中ｘ是满足－１≤ｘ＜３的整数。 １８．（６分）如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ。求证：ＢＥ＝ＤＦ。 １９．（８分）某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程。为了解七年级学生对每类课程 的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘 制成如图两幅不完整的统计图。 　　 （１）本次随机调查的学生人数为 ； （２）补全条形统计图； （３）若该校七年级共有８００名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （４）七年级（１）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活 动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率。 ４ ２０２４年芝罘区初四数学阶段检测练习题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ２２— — ２３— — ２４— ２０．（８分）如图，为了测量河对岸Ａ，Ｂ两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 Ｃ，测得点 Ａ，Ｂ均在点Ｃ的北偏东３７°方向上，沿正东方向行走９０米至观测点 Ｄ，测得点 Ａ在点 Ｄ的正北方 向，点Ｂ在点Ｄ的北偏西５３°方向上。请借助直尺和量角器，在图中画出点Ａ和点 Ｂ的位置，并求 Ａ，Ｂ两点间的距离。 　　　 　　　　　　　　　参考数据表 计算器按键顺序 结果（精确到０．０１） ２ｎｄＦ ｓｉｎ ０ ． ３ ７ ＝ ２１．７２ ｓｉｎ ３ ７ ＝ ０．６０ ｃｏｓ ３ ７ ＝ ０．８０ ｔａｎ ３ ７ ＝ ０．７５ ２１．（８分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季。某水果店以２８５０元购进两种 不同品种的盒装草莓。若按标价出售可获毛利润１５００元（毛利润＝售价－进价），这两种盒装草莓 的进价、标价如表所示。 价格／品种 Ａ品种 Ｂ品种 进价（元／盒） ４５ ６０ 标价（元／盒） ７０ ９０ （１）求这两个品种的草莓各购进多少盒？ （２）该店计划下周购进这两种品种的草莓共１００盒（每种品种至少进１盒），并在两天内将所进草莓 全部销售完毕（损耗忽略不计）。因Ｂ品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进Ｂ品种的盒数不 低于Ａ品种盒数的２倍，且Ａ品种不少于２０盒。如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润为 多少？ ２２．（１０分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，ＡＣ与⊙Ｏ交于点Ｄ，ＢＣ与⊙Ｏ交于点Ｅ，过 点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ，且ＣＦ＝ＣＤ，连接ＢＦ。 （１）求证：ＢＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为５，ｔａｎ∠ＣＢＦ＝ １ ２ ，求ＣＦ的长度。 ２３．（１２分）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋槡２３过Ａ（－２，０），Ｂ（６，０），其对称轴交ｘ轴于点Ｄ，Ｅ是对称轴上一 动点，ＣＦ⊥ＡＥ于点Ｆ。 （１）求抛物线的函数关系式； （２）判断△ＡＢＣ的形状，并证明； （３）是否存在点Ｅ的位置，使△ＡＣＦ与△ＢＯＣ相似？若存在，请求出所有满足条件的点 Ｅ的坐标； 若不存在，请说明理由。 　　 　　　 备用图 ２４．（１４分）【探究】 如图１，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＞ＣＤ，∠ＡＢＤ＝９０°，Ｅ是ＡＣ的中点，连接ＤＥ并延长交ＡＢ于点Ｆ，连接ＢＥ。判断 ＢＥ与ＤＥ之间的数量关系，并证明。 【延伸】 （１）如图２，在正方形ＡＢＣＤ和正方形ＢＥＦＧ中，点Ａ，Ｂ，Ｅ在同一条直线上，点Ｇ在ＢＣ上，Ｐ是线段 ＤＦ的中点，连接ＰＣ，ＰＧ。判断ＰＣ与ＰＧ之间的数量关系，并证明； （２）将图２中的正方形ＢＥＦＧ绕点Ｂ旋转一定的角度（如图３），求证上述ＰＣ和ＰＧ的数量关系仍然 成立。 图１ 　　　 图２ 　　　 图３