3 2022年烟台市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

∵ＥＦ＝ＡＤ＝２，∴ＦＨ＝ １ ２ ｍ－２。 ∵ＧＨ∥ＣＤ∥ＢＥ，∴△ＧＨＦ∽△ＢＥＦ。 ∴ ＧＨ ＢＥ ＝ＨＦ ＥＦ ，即 １ ｍ ＝ １ ２ ｍ－２ ２ ， 解得ｍ＝２＋槡２２或ｍ＝２－槡２２（舍去）。 ∴ＢＥ的长为２＋槡２２。 ２４．解：（１）∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝３，ＡＢ＝４， ∴Ａ（１，０），Ｂ（５，０）。 将Ａ（１，０）代入ｙ＝ｋｘ－１，得ｋ－１＝０，解得ｋ＝１， ∴直线ＡＤ的解析式为ｙ＝ｘ－１。 将Ａ（１，０），Ｂ（５，０）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋５， 得 ａ＋ｂ＋５＝０， ２５ａ＋５ｂ＋５＝０，{ 解得 ａ＝１，ｂ＝－６，{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５。 （２）存在。∵直线ＡＤ的解析式为 ｙ＝ｘ－１，抛物线 的对称轴与ｘ轴交于点Ｅ， ∴当ｘ＝３时，ｙ＝ｘ－１＝２。∴Ｄ（３，２）。 ①当∠ＤＡＭ＝９０°时， 设直线ＡＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋ｃ， 将点Ａ的坐标代入，得－１＋ｃ＝０，解得ｃ＝１， ∴直线ＡＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋１。 解方程组 ｙ＝－ｘ＋１， ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５，{ 得 ｘ＝１， ｙ＝０{ （舍去）或 ｘ＝４，ｙ＝－３，{ ∴点Ｍ的坐标为（４，－３）； ②当∠ＡＤＭ＝９０°时， 设直线ＤＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋ｄ， 将Ｄ（３，２）代入，得－３＋ｄ＝２，解得ｄ＝５， ∴直线ＤＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋５。 解方程组 ｙ＝－ｘ＋５， ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５，{ 得 ｘ＝０，ｙ＝５{ 或 ｘ＝５，ｙ＝０，{ ∴点Ｍ的坐标为（０，５）或（５，０）。 综上，点Ｍ的坐标为（４，－３）或（０，５）或（５，０）。 （３）如图，在ＡＢ上取点Ｆ，使ＢＦ＝１，连接ＣＦ，ＰＦ，ＢＰ。 ∵ＰＢ＝２，∴ ＢＦ ＰＢ ＝１ ２ 。 ∵ ＰＢ ＡＢ ＝２ ４ ＝１ ２ ，∴ ＢＦ ＰＢ ＝ＰＢ ＡＢ 。 ∵∠ＰＢＦ＝∠ＡＢＰ，∴△ＰＢＦ∽△ＡＢＰ。 ∴ ＰＦ ＡＰ ＝ＢＦ ＢＰ ＝１ ２ ，即ＰＦ＝ １ ２ ＡＰ。 ∴ＰＣ＋ １ ２ ＡＰ＝ＰＣ＋ＰＦ≥ＣＦ。 ∴当点Ｃ，Ｐ，Ｆ三点共线时，ＰＣ＋ １ ２ ＰＡ的值最小， 即为线段ＣＦ的长。 ∵ＯＣ＝５，ＯＦ＝ＯＢ－１＝５－１＝４， ∴ＣＦ＝ ＯＣ２＋ＯＦ槡 ２＝ ５２＋４槡 ２＝槡４１。 ∴ＰＣ＋ １ ２ ＰＡ的最小值为槡４１。 ３２０２２年烟台市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】∵－８是负数，－８的相反数是８，∴－８的 绝对值是８。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故本选项符合题意；Ｂ不是轴对称图形，也不是中 心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ不是轴对称 图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； Ｄ不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不 符合题意。故选Ａ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ．２ａ＋ａ＝３ａ，故本选项不符合题意； Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ５，故本选项不符合题意；Ｃ．ａ５与 ａ３不能 合并，故本选项不符合题意；Ｄ．ａ３÷ａ２＝ａ，故本选项 符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】从左边看，可得如下图形。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】∵一个正多边形每个内角与它相邻外角 的度数比为３∶１，∴设这个外角是 ｘ，则内角是 ３ｘ。 根据题意，得ｘ＋３ｘ＝１８０°，解得ｘ＝４５°。３６０°÷４５°＝ ８。故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】把Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，画树状图 如下图。共有６种等可能的结果，其中同时闭合两 个开关能形成闭合电路的结果有４种，即 ＡＢ，ＡＣ， ＢＡ，ＣＡ，所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的 概率为 ４ ６ ＝２ ３ 。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】如图，由题意，得 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝４０°＋ ３５°＝７５°，ＡＤ∥ＢＥ，ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝７５°。 ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝３０°。 ∵ＡＤ∥ＢＥ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＥ＝４０°。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ＝７０°。                                                                —９— ∴小岛Ｃ相对于小岛Ａ的方向是北偏东７０°。 故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】第 １个正方形的边长ＡＢ为１，根据勾股 定理，得第２个正方形的边长ＡＣ为槡２，第３个正方 形的边长ＣＦ为（槡２） ２ ，第４个正方形的边长 ＧＦ为 （槡２） ３ ，第５个正方形的边长 ＧＮ为（槡２） ４ ，第 ６个 正方形的边长为（槡２） ５ 。故选Ｃ。 ９．Ｄ　【解析】由题图可知 ａ＞０，ｃ＜０，－ ｂ ２ａ ＜０，∴ｂ＞０。 ∴ａｂｃ＜０。故①不符合题意；由题意可知－ ｂ ２ａ ＝－１ ２ ， ∴ｂ＝ａ。故②符合题意；将（－２，０）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ，得４ａ－２ｂ＋ｃ＝０。∵ａ＝ｂ，∴２ａ＋ｃ＝０。故③符合题 意；由图象，可知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的最小值小 于０，将ｙ＝１代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝１有两 个不相等的实数根。故④不符合题意。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】由题图，可知父子速度分别为 ２００×２÷ １２０＝ １０ ３ 米／秒和２００÷１００＝２米／秒， ∴２０分钟父子所走路程和为 ２０×６０×( １０３＋２) ＝ ６４００米。父子二人第一次迎面相遇时，两人所走 路程之和为２００米；第二次迎面相遇时，两人所走 路程之和为２００×２＋２００＝６００米；第三次迎面相遇 时，两人所走路程之和为４００×２＋２００＝１０００米；第 四次迎面相遇时，两人所走路程之和为 ６００×２＋ ２００＝１４００米……∴父子二人第 ｎ次迎面相遇 时，两人所走路程之和为２００（ｎ－１）×２＋２００＝ （４００ｎ－２００）米。令４００ｎ－２００＝６４００，解得ｎ＝１６．５。 ∴父子二人迎面相遇的次数为１６。故选Ｂ。 １１．（ｘ＋２）（ｘ－２）　【解析】ｘ２－４＝（ｘ＋２）（ｘ－２）。 １２．（４，１）　【解析】由题意，建立平面直角坐标系如图 所示，所以“帅”所在的位置为（４，１）。 １３．１３　【解析】当ｘ＝－５，ｙ＝３时， １ ２ （ｘ２＋ｙ０）＝ １ ２ ×［（－５）２＋３０］＝ １ ２ ×２６＝１３。 １４．（５－３＋２）×６（答案不唯一）　【解析】由题意，得 （５－３＋２）×６＝２４。 １５．６　【解析】∵Ｄ为ＡＣ的中点，△ＡＯＤ的面积为３， ∴△ＡＯＣ的面积为６。∴ｋ＝１２＝２ｍ，解得ｍ＝６。 １６．槡２３　【解析】∵抛物线的顶点为（２，３），且抛物线 过点（０，０），∴当ｘ＝４时，ｙ＝０。∴ＢＣ＝４。∴当 ｙ 最大时，Ｄ为ＢＣ的中点。如图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＢＣ 于点Ｈ，当ＢＤ＝２时，ＢＤＥＦ的面积为３。 ∵３＝２ＦＨ，∴ＦＨ＝ ３ ２ 。 ∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴ＢＦ＝ ３ ２ ｓｉｎ６０° ＝槡３。 ∵ＤＥ∥ＡＢ，∴ＡＢ＝２ＢＦ＝槡２３。 １７．解：２ｘ≤３ｘ －１，① １＋３（ｘ－１）＜２（ｘ＋１），②{ 解不等式①，得ｘ≥１，解不等式②，得ｘ＜４。 所以不等式组的解集为１≤ｘ＜４。 将不等式组的解集表示在数轴上如下。 １８．解：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠Ａ＋∠ＡＤＣ＝１８０°。 ∵∠Ａ＝４０°，∴∠ＡＤＣ＝１４０°。 ∵ＤＦ平分∠ＡＤＣ，∴∠ＣＤＦ＝ １ ２∠ ＡＤＣ＝７０°。 ∴∠ＡＦＤ＝∠ＣＤＦ＝７０°。 ∵ＤＦ∥ＢＥ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＦＤ＝７０°。 １９．解：（１）由于需表示各组人数占所调查人数的百分 比，因此可以采用扇形统计图。 （２） ５５＋６５＋６３＋５７＋７０＋７５＋６３ ７ ＝６４（分钟）。 答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为 ６４分钟。 （３）１４００× ６０＋１０ １００ ＝９８０（名）。 答：该校１４００名学生中，每天校外体育活动时间 不少于１小时的大约有９８０名。 ２０．解：如图，由题意，得ＤＦ＝ １ ５ ＡＢ＝０．１５ｍ。 ∵斜坡ＡＣ的坡比为１∶２，∴ ＡＢ ＢＣ ＝１ ２ ， ＤＦ ＣＤ ＝１ ２ 。 ∴ＢＣ＝２ＡＢ＝１．５ｍ，ＣＤ＝２ＤＦ＝０．３ｍ。 ∵ＥＤ＝２．５５ｍ， ∴ＥＢ＝ＥＤ＋ＢＣ－ＣＤ＝２．５５＋１．５－０．３＝３．７５ｍ。 在Ｒｔ△ＡＥＢ中，ｔａｎ∠ＡＥＢ＝ ＡＢ ＥＢ ＝０．７５ ３．７５ ＝１ ５ ， 查表可得∠ＡＥＢ≈１１．３１０°。 ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得 小于１２度。                                                                —０１— ２１．解：设每个Ａ型扫地机器人的进价为ｘ元，则每个 Ｂ型扫地机器人的进价为（２ｘ－４００）元。 依题意，得 ９６０００ ｘ ＝１６８０００ ２ｘ－４００ ，解得ｘ＝１６００。 经检验，ｘ＝１６００是原方程的解，且符合题意。 所以２ｘ－４００＝２×１６００－４００＝２８００。 答：每个Ａ型扫地机器人的进价为１６００元，每个 Ｂ型扫地机器人的进价为２８００元。 ２２．解：（１）如图，切线 ＡＤ即为 所求作。 （２）如（１）图，连接 ＯＢ，ＯＣ， 过点Ｏ作ＯＨ⊥ＢＣ于点Ｈ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＡ⊥ＡＤ。∴∠ＯＡＤ＝９０°。 ∵∠ＤＡＢ＝７５°， ∴∠ＯＡＢ＝１５°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝１５°。 ∴∠ＢＯＡ＝１５０°。∴∠ＢＣＡ＝ １ ２∠ ＡＯＢ＝７５°。 ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＢＡＣ＝１８０°－４５°－７５°＝６０°。 ∴∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°。 ∵ＯＢ＝ＯＣ＝２，∴∠ＢＣＯ＝∠ＣＢＯ＝３０°。 ∵ＯＨ⊥ＢＣ，∴ＣＨ＝ＢＨ＝ＯＣ·ｃｏｓ３０°＝槡３。 ∴ＢＣ＝槡２３。 ２３．（１）证明：∵△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等边三角形， ∴ＡＤ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝６０°。 ∴∠ＤＡＥ－∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＥ。 ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＢＤ＝ＣＥ。 （２）解：∵△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形， ∴ ＡＤ ＡＥ ＝ＡＢ ＡＣ ＝１ 槡２ ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝４５°。 ∴∠ＤＡＥ－∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＥ。 ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。∴△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ。 ∴ ＢＤ ＣＥ ＝ＡＢ ＡＣ ＝１ 槡２ ＝槡２ ２ 。 （３）解：①∵ ＡＢ ＢＣ ＝ＡＤ ＤＥ ＝３ ４ ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°， ∴△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ。∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ＡＢ ＡＣ ＝ＡＤ ＡＥ ＝３ ５ 。 ∴∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ。∴△ＣＡＥ∽△ＢＡＤ。∴ ＢＤ ＣＥ ＝ＡＤ ＡＥ ＝３ ５ 。 ②由①，得△ＣＡＥ∽△ＢＡＤ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ。 ∵∠ＡＧＣ＝∠ＢＧＦ，∴∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴ｓｉｎ∠ＢＦＣ＝ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＢＣ ＡＣ ＝４ ５ 。 ２４．解：（１）在ｙ＝ ４ ３ ｘ＋４中，当ｘ＝０时，ｙ＝４， ∴Ｃ（０，４）。 当ｙ＝０时， ４ ３ ｘ＋４＝０，∴ｘ＝－３。∴Ａ（－３，０）。 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，∴Ｂ（１，０）。 ∴设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ＋３）。 将Ｃ（０，４）代入，得４＝－３ａ，∴ａ＝－ ４ ３ 。 ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－ ４ ３ （ｘ－１）（ｘ＋３）＝ －４ ３ ｘ２－ ８ ３ ｘ＋４。 （２）如图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，交ＡＣ于点Ｅ， ∴Ｄ(ｍ，－４３ｍ２－８３ｍ＋４)，Ｅ(ｍ，４３ｍ＋４)。 ∴ＤＥ＝－ ４ ３ ｍ２－ ８ ３ ｍ＋４－( ４３ｍ＋４) ＝－４３ｍ２－４ｍ。 ∴Ｓ△ＡＤＣ＝ １ ２ ＯＡ·ＤＥ＝ ３ ２ · ( －４３ｍ２－４ｍ) ＝ －２ｍ２－６ｍ。∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２ ×４×４＝８， ∴Ｓ＝－２ｍ２－６ｍ＋８＝－２(ｍ＋３２) ２ ＋２５ ２ 。 ∴当ｍ＝－ ３ ２ 时，Ｓ最大＝ ２５ ２ 。 当ｍ＝－ ３ ２ 时，ｙ＝－ ４ ３ ×(－３２－１)×(－３２＋３) ＝５， ∴Ｄ(－３２，５)。 （３）设Ｐ（－１，ｎ）。 ∵以Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶点的四边形是以ＡＣ为对角线 的菱形，∴ＰＡ＝ＰＣ，即ＰＡ２＝ＰＣ２。 ∴（－１＋３）２＋ｎ２＝１＋（ｎ－４）２。 ∴ｎ＝ １３ ８ 。∴Ｐ(－１，１３８)。 ∵ｘＰ＋ｘＱ＝ｘＡ＋ｘＣ，ｙＰ＋ｙＱ＝ｙＡ＋ｙＣ， ∴ｘＱ＝－３－（－１）＝－２，ｙＱ＝４－ １３ ８ ＝１９ ８ 。∴Ｑ(－２，１９８)。 ４２０２４年芝罘区初四数学阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ １．Ｂ　【解析】９的平方根是 槡±９＝±３。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上 有一条横向的实线，中间有一条横向的虚线。 故选Ａ。 ３．Ａ　【解析】Ａ．ｘ３·ｘ２＝ｘ５，故选项符合题意；Ｂ．ｘ３÷ （－ｘ２）＝－ｘ３－２＝－ｘ，故选项不符合题意；Ｃ．ｘ３，ｘ２不是                                                                —１１— — １３— — １４— — １５— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 １．－８的绝对值是 （　　） Ａ． １ ８ Ｂ．８ Ｃ．－８ Ｄ．±８ ２．下面几种中式窗户图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．下列计算正确的是 （　　） Ａ．２ａ＋ａ＝３ａ２ Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ６ Ｃ．ａ５－ａ３＝ａ２ Ｄ．ａ３÷ａ２＝ａ ４．如图是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　 ５．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为３∶１，则这个正多边形是 （　　） Ａ．正方形 Ｂ．正六边形 Ｃ．正八边形 Ｄ．正十边形 ６．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 （　　） Ａ． １ ３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ．１ 第６题图 　　 第７题图 　　 …… 第８题图　　 　　 第９题图 ７．如图，某海域中有Ａ，Ｂ，Ｃ三个小岛，其中Ａ在Ｂ的南偏西４０°方向，Ｃ在Ｂ的南偏东３５°方向，且Ｂ，Ｃ 到Ａ的距离相等，则小岛Ｃ相对于小岛Ａ的方向是 （　　） Ａ．北偏东７０° Ｂ．北偏东７５° Ｃ．南偏西７０° Ｄ．南偏西２０° ８．如图，正方形ＡＢＣＤ边长为１，以ＡＣ为边作第２个正方形ＡＣＥＦ，再以ＣＦ为边作第３个正方形ＦＣＧＨ……按 照这样的规律作下去，第６个正方形的边长为 （　　） Ａ．（槡２２） ５ Ｂ．（槡２２） ６ Ｃ．（槡２） ５ Ｄ．（槡２） ６ ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的部分图象如图所示，其对称轴为直线ｘ＝－ １ ２ ，且与ｘ轴的一个交点坐 标为（－２，０）。下列结论：①ａｂｃ＞０；②ａ＝ｂ；③２ａ＋ｃ＝０；④关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－１＝０有两 个相等的实数根。其中正确结论的序号是 （　　） Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③ １０．周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习。在同一直角坐 标系中，父子二人离同一端的距离ｓ（米）与时间ｔ（秒）的关系图象如图所示。若不计转向时间，按 照这一速度练习２０分钟，迎面相遇的次数为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．将ｘ２－４因式分解为 。 １２．观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（１，３）表示，“炮”所在的位置用（６，４）表示，那么 “帅”所在的位置可表示为 。 第１２题图 　　　 第１３题图 １３．如图，是一个“数值转换机”的示意图。若ｘ＝－５，ｙ＝３，则输出结果为 。 １４．小明和同学们玩扑克牌游戏。游戏规则是从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根 据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于２４。小明抽到的 牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于２４的算式 。 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　图２ 　　　　第１４题图　　　　　　　　第１５题图　　　　　　　　　　　第１６题图 １５．如图，Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）上的两点，连接ＯＡ，ＯＢ。过点Ａ作ＡＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，交ＯＢ于点Ｄ。 若Ｄ为ＡＣ的中点，△ＡＯＤ的面积为３，点Ｂ的坐标为（ｍ，２），则ｍ的值为 。 １６．如图１，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，Ｄ是 ＢＣ边上的一个动点（不与点 Ｂ，Ｃ重合），ＤＥ∥ＡＢ，交 ＡＣ于点 Ｅ，ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ。设ＢＤ的长为ｘ，四边形ＢＤＥＦ的面积为ｙ，ｙ与ｘ的函数图象是如图２所 示的一段抛物线，其顶点Ｐ的坐标为（２，３），则ＡＢ的长为 。 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）求不等式组 ２ｘ≤３ｘ－１， １＋３（ｘ－１）＜２（ｘ＋１）{ 的解集，并把它的解集表示在数轴上。 １８．（６分）如图，在ＡＢＣＤ中，ＤＦ平分∠ＡＤＣ，交ＡＢ于点Ｆ，ＢＥ∥ＤＦ，交ＡＤ的延长线于点Ｅ。若∠Ａ＝ ４０°，求∠ＡＢＥ的度数。 １９．（８分）２０２１年４月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要 求保障学生每天校内、校外各１小时体育活动时间。某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对 本校１００名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四组整理 如下。 组别 体育活动时间／分钟 人数 Ａ ０≤ｘ＜３０ １０ Ｂ ３０≤ｘ＜６０ ２０ Ｃ ６０≤ｘ＜９０ ６０ Ｄ ｘ≥９０ １０ 根据以上信息解答下列问题： （１）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比； （２）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图。请计算小明本周内 平均每天的校外体育活动时间； （３）若该校共有１４００名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于１小时的学生人数。 ３ ２０２２年烟台市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １６— — １７— — １８— ２０．（８分）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道。已知楼梯共有五级均匀分布的台 阶，高ＡＢ＝０．７５ｍ，斜坡ＡＣ的坡比为１∶２，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的 最短距离ＥＤ＝２．５５ｍ。为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确 到１°） 参考数据表 计算器按键顺序 计算结果（已精确到０．００１） ２ｎｄＦｔａｎ（１÷５）＝ １１．３１０ ｔａｎ（１÷５）＝ ０．００３ ２ｎｄＦｔａｎ（５÷１９）＝ １４．７４４ ｔａｎ（５÷１９）＝ ０．００５ ２１．（８分）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱。某商 场根据市场需求，采购了Ａ，Ｂ两种型号的扫地机器人。已知Ｂ型每个进价比Ａ型的２倍少４００元。 采购相同数量的Ａ，Ｂ两种型号扫地机器人，分别用了９６０００元和１６８０００元。请问Ａ，Ｂ两种型号 扫地机器人每个进价分别为多少元？ ２２．（１０分）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，∠ＡＢＣ＝４５°。 （１）请用尺规作出⊙Ｏ的切线ＡＤ（保留作图痕迹，不写作法）； （２）在（１）的条件下，若ＡＢ与切线ＡＤ所夹的锐角为７５°，⊙Ｏ的半径为２，求ＢＣ的长。 ２３．（１２分）（１）【问题呈现】如图１，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等边三角形，连接ＢＤ，ＣＥ。求证：ＢＤ＝ＣＥ； （２）【类比探究】如图２，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°。连接ＢＤ，ＣＥ。 请直接写出 ＢＤ ＣＥ 的值； （３）【拓展提升】如图３，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是直角三角形，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°，且 ＡＢ ＢＣ ＝ＡＤ ＤＥ ＝３ ４ 。连 接ＢＤ，ＣＥ。 ①求 ＢＤ ＣＥ 的值； ②延长ＣＥ交ＢＤ于点Ｆ，交ＡＢ于点Ｇ。求ｓｉｎ∠ＢＦＣ的值。 图１　　　　　　　　　　图２　　　　　　　　　　图３　　　　 ２４．（１４分）如图，已知直线ｙ＝ ４ ３ ｘ＋４与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｃ，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过Ａ，Ｃ两 点，且与ｘ轴的另一个交点为点Ｂ，对称轴为直线ｘ＝－１。 （１）求抛物线的表达式； （２）Ｄ是第二象限内抛物线上的动点，设点 Ｄ的横坐标为 ｍ，求四边形 ＡＢＣＤ面积 Ｓ的最大值及此 时点Ｄ的坐标； （３）若点Ｐ在抛物线的对称轴上，是否存在点Ｐ，Ｑ，使以点Ａ，Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶点的四边形是以ＡＣ为对 角线的菱形？若存在，请求出Ｐ，Ｑ两点的坐标；若不存在，请说明理由。