1 2024年烟台市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

书 — １— — ２— — ３— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．下列实数中的无理数是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ． ２ ３ 槡 Ｂ．３．１４ Ｃ．１５ Ｄ．３槡６４ ２．下列计算结果为ａ６的是 （　　） Ａ．ａ２·ａ３ Ｂ．ａ１２÷ａ２ Ｃ．ａ３＋ａ３ Ｄ．（ａ２）３ ３．如图是由８个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使 新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 第３题图 　　 第４题图 　　 　 第６题图 ４．实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｂ＋ｃ＞３ Ｂ．ａ－ｃ＜０ Ｃ．｜ａ｜＞｜ｃ｜ Ｄ．－２ａ＜－２ｂ ５．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有０．０１５毫米，约是Ａ４纸厚度的六分之一。已知１毫米＝１ 百万纳米，０．０１５毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为 （　　） Ａ．０．１５×１０３纳米 Ｂ．１．５×１０４纳米 Ｃ．１５×１０－５纳米 Ｄ．１．５×１０－６纳米 ６．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为ｓ２甲和ｓ ２ 乙，则ｓ ２ 甲和 ｓ２乙 的大小关系是 （　　） Ａ．ｓ２甲＞ｓ ２ 乙 Ｂ．ｓ ２ 甲＜ｓ ２ 乙 Ｃ．ｓ ２ 甲 ＝ｓ２乙 Ｄ．无法确定 ７．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 ＯＰ为∠ＡＯＢ 的平分线的有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 　　 　　 　　 第７题图 　　　 第８题图 ８．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点，连接ＡＥ并延长交ＣＤ于点Ｇ，连接 ＥＦ，ＦＧ。若∠ＡＧＦ＝α，则∠ＦＡＧ用含α的代数式表示为 （　　） Ａ． ４５°－α ２ Ｂ． ９０°－α ２ Ｃ． ４５°＋α ２ Ｄ．α ２ ９．《周髀算经》是中国现存最早的数学和天文学著作。书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减 功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”意思是现有一个不擅长织布的女子，织 布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，３０天完 工，问一共织了多少布？ （　　） Ａ．４５尺 Ｂ．８８尺 Ｃ．９０尺 Ｄ．９８尺 １０．如图，水平放置的矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，菱形ＥＦＧＨ的顶 点Ｅ，Ｇ在同一水平线上，点 Ｇ与 ＡＢ的中点重合，ＥＦ＝ 槡２３ｃｍ，∠Ｅ＝ ６０°，现将菱形ＥＦＧＨ以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＣ方向匀速运动，当点 Ｅ运 动到ＣＤ上时停止。在这个运动过程中，菱形ＥＦＧＨ与矩形ＡＢＣＤ重叠 部分的面积Ｓ（ｃｍ２）与运动时间ｔ（ｓ）之间的函数关系图象大致是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．若代数式 ３ ｘ－槡 １ 在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围是　　　　　。 １２．关于ｘ的不等式ｍ－ ｘ ２≤ １－ｘ有正数解，ｍ的值可以为　　　　　（写出一个即可）。 １３．若一元二次方程２ｘ２－４ｘ－１＝０的两根为ｍ，ｎ，则３ｍ２－４ｍ＋ｎ２的值为　　　　。 １４．如图，在边长为６的正六边形ＡＢＣＤＥＦ中，以点Ｆ为圆心，以ＦＢ的长为半径作ＢＤ ) ，剪如图中阴影部 分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　　　　　。 第１４题图 　　 第１５题图 　　 ｘ －４ －３ －１ １ ５ ｙ ０ ５ ９ ５ －２７ 第１６题图 １５．如图，在ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝１２０°，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，Ｅ为边ＣＤ的中点，Ｆ为边ＡＤ上的一动点，将△ＤＥＦ 沿ＥＦ翻折得△Ｄ′ＥＦ，连接ＡＤ′，ＢＤ′，则△ＡＢＤ′面积的最小值为　　　　　　　。 １６．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的ｙ与ｘ的部分对应值如表。下列结论： ①ａｂｃ＞０；②关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝９有两个相等的实数根；③当－４＜ｘ＜１时，ｙ的取值范 围是０＜ｙ＜５；④若点（ｍ，ｙ１），（－ｍ－２，ｙ２）均在二次函数图象上，则ｙ１＝ｙ２；⑤满足ａｘ ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜２ 的ｘ的取值范围是ｘ＜－２或ｘ＞３。其中正确结论的序号为　　　　　。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：３ ｘ２ － ５ ＝，若 ｍ是其显示结果的平方 根，先化简：（ ｍ ｍ－３ ＋７ｍ －４ ９－ｍ２ ）÷ ４－２ｍ ｍ＋３ ，再求值。 １８．（７分）“山海同行，舰回烟台”。２０２４年４月２３日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立７５周年。值 此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动。为了解学生参与情况，随机 抽取部分学生对研学活动时长（用ｔ表示，单位：ｈ）进行调查。经过整理，将数据分成四组（Ａ组：０≤ｔ＜ ２；Ｂ组：２≤ｔ＜４；Ｃ组：４≤ｔ＜６；Ｄ组：６≤ｔ＜８），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图。 （１）请补全条形统计图； （２）扇形统计图中，ａ的值为　　　　，Ｄ组对应的扇形圆心角的度数为　　　　； （３）Ｄ组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽 取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率。 　　 １９．（８分）根据手机的素材，探索完成任务。 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发 明。某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在 每天都可以有太阳光照射到的地方如图 １，才能 保证使用效果，否则不予安装。 图１ 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为 α， 冬至日时，１４°≤α≤２９°；夏至日时，４３°≤α≤７６°。 ｓｉｎ１４°≈０．２４，ｃｏｓ１４°≈０．９７，ｔａｎ１４°≈０．２５ ｓｉｎ２９°≈０．４８，ｃｏｓ２９°≈０．８７，ｔａｎ２９°≈０．５５ ｓｉｎ４３°≈０．６８，ｃｏｓ４３°≈０．７３，ｔａｎ４３°＝０．９３ ｓｉｎ７６°≈０．９７，ｃｏｓ７６°≈０．２４，ｔａｎ７６°≈４．０１ 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼的正南方向，两楼东西两 侧都无法获得太阳光照射。现准备在乙楼南面墙 上安装该品牌太阳能板。已知两楼间距为５４米， 甲楼ＡＢ共１１层，乙楼 ＣＤ共１５层，一层从地面 起，每层楼高皆为 ３．３米。ＡＥ为某时刻的太阳 光线。 图２ 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应 选择　　　　日（填冬至或夏至）时，α为　　　　 　（填１４°，２９°，４３°，７６°中的一个）进行计算。 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪 些楼层不能安装该品牌太阳能热水器？ １ ２０２４年烟台市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ４— — ５— — ６— ２０．（８分）每年５月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”。某公司 新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售。根据市场调查，每辆轮椅盈利２００元时，每天可售出６０ 辆，单价每降低１０元，每天可多售出４辆。公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的 利润不低于１８０元。设每辆轮椅降价ｘ元，每天的销售利润为ｙ元。 （１）求ｙ与ｘ的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （２）全国助残日当天，公司共获得销售利润１２１６０元，请问这天售出了多少辆轮椅？ ２１．（９分）如图，正比例函数ｙ＝ｘ与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象交于点Ａ（槡６，ａ）。将正比例函数图象向下 平移ｎ（ｎ＞０）个单位长度后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点 Ｂ，Ｃ，与 ｘ轴，ｙ轴交于点 Ｄ， Ｅ，且满足ＢＥ∶ＣＥ＝３∶２，过点Ｂ作ＢＦ⊥ｘ轴，垂足为Ｆ，Ｇ为ｘ轴上一点，直线ＢＣ与ＢＧ关于直线 ＢＦ成轴对称，连接ＣＧ。 （１）求反比例函数的表达式； （２）求ｎ的值及△ＢＣＧ的面积。 ２２．（１０分）在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，Ｄ为直线ＢＣ上任意一点，连接ＡＤ。将线 段ＡＤ绕点Ｄ按顺时针方向旋转９０°得线段ＥＤ，连接ＢＥ。 【尝试发现】 （１）如图１，当点Ｄ在线段ＢＣ上时，线段ＢＥ与ＣＤ的数量关系为　　　　　　　　　　　； 【类比探究】 （２）当点 Ｄ在线段 ＢＣ的延长线上时，先在图２中补全图形，再探究线段 ＢＥ与 ＣＤ的数量关系并 证明； 【联系拓广】 （３）若ＡＣ＝ＢＣ＝１，ＣＤ＝２，请直接写出ｓｉｎ∠ＥＣＤ的值。 图１ 　　　 图２ ２３．（１１分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，点Ｉ为△ＡＢＣ的内心，连接 ＣＩ并延长交⊙Ｏ于 点Ｄ，Ｅ是ＢＣ ) 上任意一点，连接ＡＤ，ＢＤ，ＢＥ，ＣＥ。 （１）若∠ＡＢＣ＝２５°，求∠ＣＥＢ的度数； （２）找出图中所有与ＤＩ相等的线段，并证明； （３）若ＣＩ＝槡２２，ＤＩ＝ １３ ２槡 ２，求△ＡＢＣ的周长。 ２４．（１３分）如图，抛物线ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点，与 ｙ轴交于点 Ｃ，ＯＣ＝ＯＡ，ＡＢ＝４，对称轴 为直线ｌ１：ｘ＝－１。将抛物线ｙ１绕点Ｏ旋转１８０°后得到新抛物线ｙ２，抛物线ｙ２与ｙ轴交于点Ｄ，顶点 为Ｅ，对称轴为直线ｌ２。 （１）分别求抛物线ｙ１和ｙ２的表达式； （２）如图１，点Ｆ的坐标为（－６，０），动点Ｍ在直线ｌ１上，过点Ｍ作ＭＮ∥ｘ轴与直线ｌ２交于点Ｎ，连接 ＦＭ，ＤＮ，求ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值； （３）如图 ２，点 Ｈ的坐标为（０，－２），动点 Ｐ在抛物线 ｙ２上，试探究是否存在点 Ｐ，使∠ＰＥＨ＝ ２∠ＤＨＥ？若存在，请直接写出所有符合条件的点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。 图１ 　　　 图２ 参考答案及解析 （部分答案不唯一） １２０２４年烟台市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ １．Ｃ　【解析】 ２ ３ 是分数，３．１４是有限小数，３槡６４＝４ 是整数，它们不是无理数；槡１５是无限不循环小数， 它是无理数。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，故选项不符合题意； Ｂ．ａ１２÷ａ２＝ａ１２－２＝ａ１０，故选项不符合题意；Ｃ．ａ３＋ａ３＝ ２ａ３，故选项不符合题意；Ｄ．（ａ２）３＝ａ２×３＝ａ６，故选项 符合题意。故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】若取走标有①的小正方体，则左视图是 由四个小正方形组成的大正方形，既是轴对称图形 又是中心对称图形，故选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ４．Ｂ　【解析】由题图，知－３＜ａ＜－２＜ｂ＜－１＜３＜ｃ＜４，｜ｃ｜ ＞｜ａ｜＞｜ｂ｜，故Ｃ不符合题意；∴ｂ＋ｃ＜３，故 Ａ不符合 题意；ａ－ｃ＜０，故Ｂ符合题意；－２ａ＞－２ｂ，故Ｄ不符合 题意。故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】由题意可得１毫米＝１百万纳米＝１０６纳 米，则０．０１５毫米＝１．５×１０－２×１０６纳米＝１．５×１０４纳 米。故选Ｂ。 ６．Ｂ　【解析】根据题图数据，可知甲的平均数为 ５＋１０＋９＋５＋８＋７＋６＋６ ８ ＝７， ∴ｓ２甲＝ １ ８ ×［２×（５－７）２＋（１０－７）２＋（９－７）２＋（８－７）２ ＋（７－７）２＋２×（６－７）２］＝３。 乙的平均数为 ６＋４＋８＋４＋４＋６＋６＋１０ ８ ＝６， ∴ｓ２乙＝ １ ８ ×［３×（６－６）２＋３×（４－６）２＋（８－６）２＋（１０－ ６）２］＝４。 ∴ｓ２甲＜ｓ ２ 乙。故选Ｂ。 ７．Ｄ　【解析】第１张图中，由作图痕迹，知射线ＯＰ为 ∠ＡＯＢ的平分线； 第２张图中，由作图痕迹，知ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ， 又∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ， ∴△ＡＤＯ≌△ＢＣＯ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＤＡＯ＝∠ＣＢＯ。 ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＢ，∴ＡＣ＝ＢＤ。 ∴△ＡＣＰ≌△ＢＤＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＰ＝ＢＰ。∴△ＡＰＯ≌△ＢＰＯ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第３张图中，由作图痕迹，知∠ＡＣＰ＝∠ＡＯＢ， ∴ＣＰ∥ＯＢ。 ∴∠ＣＰＯ＝∠ＰＯＢ。又由图，知ＣＰ＝ＯＰ， ∴∠ＣＯＰ＝∠ＣＰＯ。∴∠ＰＯＢ＝∠ＣＯＰ。 ∴射线ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线； 第４张图中，由作图痕迹，知 ＣＯ＝ＯＤ，射线 ＯＰ是 ＣＤ的垂直平分线。 ∴ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】如图，设 ＡＣ与 ＢＤ 的交点为Ｏ。 ∵在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分 别为对角线 ＢＤ，ＡＣ的三等 分点， ∴ＯＤ＝ＯＣ，∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝ ４５°，ＤＥ＝ＣＦ。∴ＯＥ＝ＯＦ。 ∵∠ＥＯＦ＝∠ＤＯＣ， ＯＥ ＯＤ ＝ＯＦ ＯＣ ， ∴△ＥＯＦ∽△ＤＯＣ。∴∠ＯＦＥ＝∠ＯＣＤ＝４５°。 ∵Ｅ，Ｆ分别为对角线ＢＤ，ＡＣ的三等分点，∴ ＤＥ ＢＥ ＝１ ２ 。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ。∴△ＡＢＥ∽△ＧＤＥ。 ∴ ＤＧ ＢＡ ＝ＤＥ ＢＥ ＝１ ２ 。∴ＤＧ＝ １ ２ ＡＢ＝ １ ２ ＣＤ＝ＣＧ。 ∴△ＤＥＧ≌△ＣＦＧ（ＳＡＳ）。∴ＧＥ＝ＧＦ。 ∴∠ＧＥＦ＝ １ ２ （１８０°－∠ＡＧＦ）＝９０°－ １ ２α 。 ∴∠ＦＡＧ＝∠ＧＥＦ－∠ＡＦＥ＝９０°－ １ ２α －４５°＝４５°－ １ ２α ＝９０° －α ２ 。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】设每天减少ｘ尺布。 ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，３０ 天完工，∴５－２９ｘ＝１，解得ｘ＝ ４ ２９ 。 ∴５＋５－ ４ ２９ ＋５－ ８ ２９ ＋……＋１＝５×２９＋１－ ４ ２９ × （１＋２８）×２８ ２ ＝９０（尺）。故选Ｃ。 １０．Ｄ　【解析】如图１，连接ＥＧ，ＨＦ交于点Ｏ。 图１ ∵四边形ＥＦＧＨ是菱形，∠ＨＥＦ＝６０°， ∴ＨＧ＝ＧＦ，∠ＨＧＦ＝∠ＨＥＦ＝６０°。 ∴△ＨＦＧ是等边三角形。 ∵ＥＦ＝槡２３ｃｍ，∠ＨＥＦ＝６０°，∴∠ＯＥＦ＝３０°。 ∴ＥＧ＝２ＥＯ＝２ＥＦ·ｃｏｓ３０°＝槡３ＥＦ＝６ｃｍ。 ∴Ｓ菱形ＥＦＧＨ＝ １ ２ ＥＧ·ＦＨ＝ １ ２ ×６×槡２３＝槡６３（ｃｍ ２）。 如图２，当０≤ｔ≤３时，重合部分为△ＭＮＧ， 依题意，△ＭＮＧ为等边三角形，运动时间为 ｔ，则 ＮＧ＝ ｔ ｃｏｓ３０° ＝槡２３ ３ ｔ（ｃｍ），∴Ｓ＝ １ ２ ＮＧ·ＮＧ·ｓｉｎ６０°                                                            —１— ＝槡３ ４ ×（槡 ２３ ３ ｔ）２＝槡 ３ ３ ｔ２（ｃｍ２）； 图２ 　 图３ 如图３，当３＜ｔ≤６时，△ＥＫＪ为等边三角形。 依题意，得ＥＭ＝ＥＧ－ｔ＝（６－ｔ）ｃｍ， 则ＥＫ＝ ＥＭ ｓｉｎ６０° ＝６ －ｔ 槡３ ２ ＝槡２３ ３ （６－ｔ）ｃｍ， ∴Ｓ△ＥＫＪ＝ １ ２ ＥＫ·ＥＭ ＝１ ２ ×槡２３ ３ （６－ｔ）２＝槡 ３ ３ （６－ｔ）２ｃｍ２。 ∴Ｓ＝Ｓ菱形ＥＦＧＨ－Ｓ△ＥＫＪ＝槡６３－ 槡３ ３ （６－ｔ）２＝ （－槡 ３ ３ ｔ２＋槡４３ｔ－槡６３）ｃｍ ２。 ∵ＥＧ＝６ｃｍ＜ＢＣ，∴当６＜ｔ≤８时，Ｓ＝槡６３ｃｍ ２； 如图４，当８＜ｔ≤１１时， 同理可得Ｓ＝槡６３－ 槡３ ３ （ｔ－８）２ｃｍ２； 图４ 　 图５ 如图５，当１１＜ｔ≤１４时， 同理可得Ｓ＝槡 ３ ３ ［６－（ｔ－８）］２＝槡 ３ ３ （１４－ｔ）２ｃｍ２。 综上所述， 当０≤ｔ≤３时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 当３＜ｔ≤６时，函数图象为开口向下的一段抛物线； 当６＜ｔ≤８时，函数图象为一条线段； 当８＜ｔ≤１１时，函数图象为开口向下的一段抛物线； 当１１＜ｔ≤１４时，函数图象为开口向上的一段抛物 线。故选Ｄ。 １１．ｘ＞１　【解析】∵代数式 ３ ｘ－槡 １ 在实数范围内有意 义，∴ｘ－１＞０，解得ｘ＞１。 １２．０（答案不唯一）　【解析】整理原不等式， 得 ｘ ２≤ １－ｍ，解得ｘ≤２－２ｍ。 ∵原不等式有正数解， ∴２－２ｍ＞０，解得ｍ＜１。则ｍ的值可以是０。 １３．６　【解析】∵一元二次方程２ｘ２－４ｘ－１＝０的两根 为ｍ，ｎ，∴２ｍ２－４ｍ＝１，ｍ＋ｎ＝－ －４ ２ ＝２，ｍｎ＝－ １ ２ 。 ∴３ｍ２－４ｍ＋ｎ２＝２ｍ２－４ｍ＋ｍ２＋ｎ２＝１＋（ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ ＝１＋２２－２×（－ １ ２ ）＝６。 １４．槡３　【解析】如图，过点Ａ作ＡＭ ⊥ＢＦ，垂足为Ｍ，则ＢＭ＝ＦＭ。 ∵六边形ＡＢＣＤＥＦ是正六边形， ∴∠ＢＡＦ＝∠Ｅ＝ （６－２）×１８０° ６ ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＦ＝ＥＦ＝ＤＥ＝６。 ∴∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝∠ＤＦＥ＝ １８０°－１２０° ２ ＝３０°。 ∴∠ＢＦＤ＝１２０°－３０°－３０°＝６０°。 在Ｒｔ△ＡＢＭ中，ＡＢ＝６，∠ＡＢＭ＝３０°， ∴ＢＭ＝ＡＢ·ｃｏｓ３０°＝槡 ３ ２ ×６＝槡３３。∴ＢＦ＝２ＢＭ＝槡６３。 设这个圆锥的底面半径为ｒ， 由题意，得２πｒ＝ ６０π×槡６３ １８０ ，解得ｒ＝槡３。 １５． 槡２０３－１６　【解析】∵在ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝１２０°， ＡＢ＝８，∴∠ＡＢＣ＝６０°，ＣＤ＝８。 ∵Ｅ为边 ＣＤ的中点，Ｆ为边 ＡＤ上的一动点，将 △ＤＥＦ沿ＥＦ翻折得△Ｄ′ＥＦ， ∴Ｄ′Ｅ＝ＤＥ＝ＣＥ＝ １ ２ ＣＤ＝４。 如图，点Ｄ′是以点 Ｅ为圆心，ＣＤ为直径的圆周上 的一点。过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ交直线 ＢＡ于点 Ｈ，交 ⊙Ｅ于点Ｇ，过点Ｄ′作Ｄ′Ｍ⊥ＡＢ于点Ｍ，连接ＥＭ， 过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＢ于点Ｎ，则ＥＨ＝ＣＮ。 ∵△ＡＢＤ′的面积＝ １ ２ ＡＢ·Ｄ′Ｍ，ＡＢ＝８， ∴△ＡＢＤ′的面积＝４Ｄ′Ｍ。 要求△ＡＢＤ′面积的最小值，只要求Ｄ′Ｍ的最小值即可， ∵Ｄ′Ｍ＝Ｄ′Ｍ＋Ｄ′Ｅ－４≥ＥＭ－４≥ＥＨ－４， ∴Ｄ′Ｍ的最小值为ＥＨ－４。 在Ｒｔ△ＢＣＮ中， ∵ＢＣ＝１０，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴ＣＮ＝ＢＣ·ｓｉｎ６０°＝１０×槡 ３ ２ ＝槡５３。 ∴ＥＨ＝槡５３。∴Ｄ′Ｍ的最小值为 槡５３－４。 ∴△ＡＢＤ′面积的最小值＝４×（槡５３－４）＝ 槡２０３－１６。 １６．①②④　【解析】把（－４，０），（－１，９），（１，５）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 １６ａ－４ｂ＋ｃ＝０， ａ－ｂ＋ｃ＝９， ａ＋ｂ＋ｃ＝５，{ 解得 ａ＝－１， ｂ＝－２， ｃ＝８。{ ∴ａｂｃ＞０。故①正确； ∵ａ＝－１，ｂ＝－２，ｃ＝８，∴ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８。 当ｙ＝９时，－ｘ２－２ｘ＋８＝９，∴ｘ２＋２ｘ＋１＝０。                                                                —２— ∵Δ＝２２－４×１×１＝０， ∴关于ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝９有两个相 等的实数根。故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝ －３＋１ ２ ＝－１， ∴抛物线的顶点坐标为（－１，９）。 又∵ａ＜０， ∴当ｘ＜－１时，ｙ随ｘ的增大而增大；当 ｘ＞－１时，ｙ 随ｘ的增大而减小；当ｘ＝－１时，函数取最大值９。 ∵ｘ＝－３与ｘ＝１时的函数值相等，等于５， ∴当－４＜ｘ＜１时，ｙ的取值范围为０＜ｙ≤９。故③错误； ∵ ｍ＋（－ｍ－２） ２ ＝－１， ∴点（ｍ，ｙ１），（－ｍ－２，ｙ２）关于对称轴ｘ＝－１对称。 ∴ｙ１＝ｙ２。故④正确； 由ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜２，得ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜－ｘ＋２，即－ｘ２－２ｘ＋８ ＜－ｘ＋２，画函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８和ｙ＝－ｘ＋２的图象如图。 由 ｙ＝－ｘ＋２， ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋８，{ 解得 ｘ１＝２， ｙ１＝０，{ ｘ２＝－３， ｙ２＝５。{ ∴Ａ（２，０）， Ｂ（－３，５）。 由图象得当ｘ＜－３ 或 ｘ＞２时，－ｘ２－ ２ｘ＋８＜－ｘ＋２，即 ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋ｃ＜ ２，故⑤错误。 综上，正确的结论为①②④。 １７．解：（ ｍ ｍ－３ ＋７ｍ －４ ９－ｍ２ ）÷ ４－２ｍ ｍ＋３ ＝（ ｍ２＋３ｍ ｍ２－９ －７ｍ －４ ｍ２－９ ）· ｍ＋３ ４－２ｍ ＝ （ｍ －２）２ （ｍ＋３）（ｍ－３） · ｍ＋３ －２（ｍ－２） ＝ｍ －２ ６－２ｍ 。 根据计算器，得ｍ＝± ９－槡 ５＝槡±４＝±２， ∵４－２ｍ≠０，∴ｍ≠２。 当ｍ＝－２时，原式＝ －２－２ ６＋４ ＝－２ ５ 。 １８．解：（１）抽取的人数为１０÷２０％＝５０， Ｃ组的人数为５０－１０－１６－４＝２０， 补全统计图如下： （２）ａ％＝ １６ ５０ ×１００％＝３２％，即ａ＝３２。 Ｄ组对应的扇形圆心角的度数为３６０°× ４ ５０ ＝２８．８°。 故答案为３２，２８．８°。 （３）画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中所选的两人恰好是 一名男生和一名女生的结果有８种， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概 率＝ ８ １２ ＝２ ３ 。 １９．解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能 安装该品牌太阳能板，只需 α为冬至日时的最小 角度，即α＝１４°。故答案为冬至，１４°。 任务二：如图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，则∠ＡＦＥ ＝９０°，ＥＦ＝５４米，ＢＦ＝ＤＥ。 在Ｒｔ△ＡＦＥ中，ｔａｎα＝ ＡＦ ＥＦ ， ∴ＡＦ＝ＥＦ·ｔａｎ１４°≈５４×０．２５＝１３．５（米）。 ∵ＡＢ＝１１×３．３＝３６．３（米）， ∴ＤＥ＝ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝３６．３－１３．５＝２２．８（米）。 ∴２２．８÷３．３≈７（层）。 答：乙楼中７层（含 ７层）以下不能安装该品牌太 阳能热水器。 ２０．解：（１）ｙ＝（２００－ｘ）（６０＋４× ｘ １０ ） ＝－０．４ｘ２＋２０ｘ＋１２０００ ＝－０．４（ｘ２－５０ｘ＋６２５）＋１２２５０ ＝－０．４（ｘ－２５）２＋１２２５０。 ∵２００－ｘ≥１８０，∴ｘ≤２０。∴当 ｘ＝２０时，利润最大， 最大利润为－０．４（２０－２５）２＋１２２５０＝１２２４０（元）。 答：ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－０．４ｘ２＋２０ｘ＋１２０００； 每辆轮椅降价 ２０元时，每天的销售利润最大，最 大利润为１２２４０元。 （２）根据题意，得１２１６０＝－０．４（ｘ－２５）２＋１２２５０。 解得ｘ１＝４０（不合题意，舍去），ｘ２＝１０。 ∴售出轮椅的辆数为６０＋４× １０ １０ ＝６４。 答：售出６４辆轮椅。 ２１．解：（１）∵点Ａ（槡６，ａ）在直线ｙ＝ｘ的图象上， ∴Ａ（槡６，槡６）。 ∵点Ａ（槡６，槡６）在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上，                                                                —３— ∴ｋ＝６。∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ６ ｘ 。 （２）正比例函数向下平移 ｎ个单位长度后得到直 线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ－ｎ。 如图，过点Ｂ作ＢＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ｙ 轴于点Ｈ， ∴ＢＭ∥ＣＨ。∴△ＭＢＥ∽△ＨＣＥ。 ∵ＢＥ∶ＣＥ＝３∶２，∴ ＢＭ ＣＨ ＝３ ２ 。 设点Ｂ（３ａ， ６ ３ａ ），则Ｃ（－２ａ， ６ －２ａ ）。 ∵点Ｂ，Ｃ在直线ｙ＝ｘ－ｎ上， ３ａ－ｎ＝ ６ ３ａ ， －２ａ－ｎ＝－ ６ ２ａ ，{ 解得 ａ＝１，ｎ＝１。{ ∴直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｘ－１。 ∵直线ＢＣ与ＢＧ关于直线ＢＦ成轴对称， ∴Ｅ（０，－１），Ｄ（１，０），Ｂ（３，２），Ｇ（５，０），Ｃ（－２，－３）。 ∴ＧＤ＝４。 ∴Ｓ△ＢＣＧ＝Ｓ△ＢＤＧ＋Ｓ△ＣＤＧ＝ １ ２ ×４×２＋ １ ２ ×４×３＝１０。 ２２．解：（１）如图１，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＣＢ交ＣＢ的延长线 于点Ｍ。 由旋转，得ＡＤ＝ＤＥ，∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＭ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＤＭＥ，∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＭＤＥ。∴△ＡＣＤ≌△ＤＭＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＭＥ，ＡＣ＝ＤＭ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＢＭ＝ＤＭ－ＢＤ＝ＡＣ－ＢＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝ＣＤ。 ∴ＢＭ＝ＥＭ。 ∵ＥＭ⊥ＣＢ，∴ＢＥ＝槡２ＥＭ＝槡２ＣＤ。 故答案为ＢＥ＝槡２ＣＤ。 图１ 图２ （２）补全图形如图２，ＢＥ＝槡２ＣＤ。理由如下： 过点Ｅ作ＥＭ⊥ＣＢ交ＣＢ的延长线于点Ｍ， 由旋转，得ＡＤ＝ＤＥ，∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＭ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＤＭＥ，∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝９０°。 ∴∠ＣＡＤ＝∠ＭＤＥ。∴△ＡＣＤ≌△ＤＭＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＭＥ，ＡＣ＝ＤＭ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＢＭ＝ＢＣ－ＣＭ＝ＤＭ－ＣＭ＝ＣＤ。 ∴ＢＭ＝ＥＭ。 ∵ＥＭ⊥ＣＢ，∴ＢＥ＝槡２ＥＭ＝槡２ＣＤ。 （３）如图３，过点Ｅ作 ＥＭ⊥ＣＢ交 ＣＢ的延长线于 点Ｍ。 图３ 由（２），得ＤＭ＝ＡＣ＝１，ＥＭ＝ＣＤ＝２， ∴ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝３。 ∴ＣＥ＝ ＣＭ２＋ＥＭ槡 ２＝槡１３。 ∴ｓｉｎ∠ＥＣＤ＝ ＥＭ ＣＥ ＝ ２ 槡１３ ＝ 槡２ １３ １３ 。 ２３．解：（１）∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝２５°， ∴∠ＣＡＢ＝９０°－２５°＝６５°。 ∵四边形ＡＢＥＣ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＣＥＢ＋∠ＣＡＢ＝１８０°。 ∴∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＣＡＢ＝１１５°。 （２）ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ，如图１，连接ＡＩ。 ∵点Ｉ为△ＡＢＣ的内心， ∴∠ＣＡＩ＝∠ＢＡＩ，∠ＡＣＩ＝∠ＢＣＩ＝ １ ２∠ ＡＣＢ＝４５°。 ∴ＡＤ) ＝ＢＤ) 。∴∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝∠ＡＣＩ，ＡＤ＝ＢＤ。 ∵∠ＤＡＩ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＩ，∠ＤＩＡ＝∠ＡＣＩ＋∠ＣＡＩ， ∴∠ＤＡＩ＝∠ＤＩＡ。∴ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ。 图１ 　　　 图２ （３）如图 ２，过点 Ｉ分别作 ＩＱ⊥ＡＢ，ＩＦ⊥ＡＣ，ＩＰ⊥ ＢＣ，垂足分别为Ｑ，Ｆ，Ｐ。 ∵点Ｉ为△ＡＢＣ的内心，即为△ＡＢＣ的内切圆的 圆心， ∴Ｑ，Ｆ，Ｐ分别为该内切圆与△ＡＢＣ三边的切点。 ∴ＡＱ＝ＡＦ，ＣＦ＝ＣＰ，ＢＱ＝ＢＰ。 ∵ＣＩ＝槡２２，∠ＩＦＣ＝９０°，∠ＡＣＩ＝４５°， ∴ＣＦ＝ＣＩ·ｃｏｓ４５°＝２＝ＣＰ。 ∵ＤＩ＝ＡＤ＝ＢＤ，ＤＩ＝ 槡 １３２ ２ ，∠ＡＤＢ＝９０°，                                                                —４— ∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ( 槡１３２２ ) ２ ＋( 槡１３２２ )槡 ２ ＝１３。 ∴△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ ＝ＡＢ＋ＡＦ＋ＣＦ＋ＣＰ＋ＢＰ ＝ＡＢ＋ＡＱ＋ＢＱ＋２ＣＦ ＝２ＡＢ＋２ＣＦ ＝２×１３＋２×２＝３０。 ２４．解：（１）设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｔ，０），（ｔ＋４，０）， 则ｘ＝－１＝ １ ２ （ｔ＋ｔ＋４），解得 ｔ＝－３，即点 Ａ，Ｂ的坐 标分别为（－３，０），（１，０）。 ∵ＯＣ＝ＯＡ，∴点Ｃ（０，３）。 设抛物线ｙ１的表达式为 ｙ１＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ａ（ｘ ２＋２ｘ－３）。 将点Ｃ的坐标代入，得－３ａ＝３，解得ａ＝－１。 ∴ｙ１＝－ｘ ２－２ｘ＋３。 根据图形的对称性，得ｙ２＝ｘ ２－２ｘ－３。 （２）如图１，作点Ｄ关于ｌ２的对称点Ｄ′（２，－３），将 点Ｆ向右平移２个单位长度至点 Ｆ′，连接 Ｄ′Ｆ′交 直线ｌ２于点Ｎ，∴ＭＮ＝２。 图１ ∵Ｆ′Ｆ∥ＭＮ，ＦＦ′＝ＭＮ，则四边形ＦＦ′ＮＭ为平行四 边形，则ＦＭ＝Ｆ′Ｎ， ∴ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值为Ｆ′Ｎ＋ＮＤ′＋ＭＮ＝Ｆ′Ｄ′＋ ２＝ （２＋４）２＋３槡 ２＋２＝槡３５＋２。 （３）由抛物线 ｙ２的表达式，知点 Ｄ（０，－３），点 Ｅ （１，－４）。 由点Ｈ，Ｅ的坐标得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２。 如图２，当点Ｐ在ＢＥ的右侧时， ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，则 ＥＰ和 ＨＥ关于对称轴 ｌ２ 对称， ∴直线ＥＰ的表达式为ｙ＝２（ｘ－１）－４。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式，得 ２（ｘ－１）－４＝ｘ２－２ｘ－３， 解得ｘ＝１（舍去）或３，即点Ｐ（３，０）。 图２　　　　　　　图３ 当点Ｐ在ＢＥ的左侧时，如图３， 设直线ＰＥ交ｙ轴于点Ｎ，过点Ｅ（１，－４）作∠ＰＥＨ 的平分线 ＥＪ交 ＨＮ于点 Ｊ，作 ＨＥ的中垂线 ＪＬ交 ＨＮ于点Ｊ，交ＨＥ于点Ｌ，过点Ｅ作ＥＷ⊥ｙ轴交于 点Ｗ。 ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，∴∠ＪＨＬ＝∠ＪＥＨ＝∠ＰＥＪ。 由点Ｈ，Ｅ的坐标，得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２， 则点Ｌ（ １ ２ ，－３）。 ∴直线ＪＬ的表达式为ｙ＝ １ ２ （ｘ－ １ ２ ）－３＝ １ ２ ｘ－ １３ ４ ， 点Ｊ（０，－ １３ ４ ）。∴ＨＪ＝ＪＥ＝ ５ ４ 。 ∵∠ＪＥＮ＝∠ＥＨＮ，∠ＥＮＪ＝∠ＨＮＥ， ∴△ＥＮＪ∽△ＨＮＥ。∴ ＪＮ ＥＮ ＝ＥＮ ＨＮ ＝ＥＪ ＨＥ ＝ ５ ４ 槡５ ＝槡５ ４ 。 设ＪＮ＝槡５ｍ，则ＥＮ＝４ｍ。 ∴点Ｎ（０，－ １３ ４ －槡５ｍ）。 在Ｒｔ△ＮＥＷ中，ＮＷ２＋ＷＥ２＝ＮＥ２， 即（－ １３ ４ －槡５ｍ＋４） ２＋１＝１６ｍ２，解得ｍ＝槡 ５５ ４４ 。 ∴点Ｎ（０，－ １６８ ４４ ）。 由点Ｎ，Ｅ的坐标，得直线ＮＥ的表达式为ｙ＝－ ２ １１ ｘ －４２ １１ 。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式， 得ｘ２－２ｘ－３＝－ ２ １１ ｘ－ ４２ １１ ，解得ｘ＝ ９ １１ 或ｘ＝１。 ∵当ｘ＝１时，点Ｐ与点Ｅ重合，不符合题意， ∴ｘ＝１舍去，即点Ｐ（ ９ １１ ，－ ４８０ １２１ ）。 综上，点Ｐ的坐标为（３，０）或（ ９ １１ ，－ ４８０ １２１ ）。 ２２０２３年烟台市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】－ ２ ３ 的倒数是－ ３ ２ 。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】 槡Ａ．４＝２，和槡２不是同类二次根式，故此 选项不符合题意； 槡Ｂ．６和槡２不是同类二次根式，故 此选项不符合题意； 槡Ｃ．８＝槡２２，和槡２是同类二次根 式，故此选项符合题意； 槡Ｄ． １２＝ 槡２３，和槡２不是同 类二次根式，故此选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ不是中心对称图形，故此选项不符合 题意；Ｂ是中心对称图形，故此选项符合题意；Ｃ不 是中心对称图形，故此选项不符合题意；Ｄ不是中 心对称图形，故此选项不符合题意。故选Ｂ。                                                                —５—