2024-2025学年九年级下学期浙教测试卷（1） 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

2024-2025学年九年级下学期浙教测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 解直角三角形、 直线与圆的位置关系、 三视图与表面展开图； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．的值等于（ ） A． B． C． D． 2．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 3．⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，则过P点的⊙O的两条切线的夹角是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 4．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，冉将其打开、展平，得折痕DE，连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G，则下列结论：①BG= DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG= ；④S△DFG=．其中正确的有（   ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（    ） A．6 B． C．8 D． 7．给出以下四个命题： ①以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现在价格的基础上先提价40%，后降价50%进行销售，商家还能有利润； ②数据x1，x2，x3，x4的方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3； ③若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线AB与高AO的夹角为30°； ④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，则实数x的取值范围为--<x<0或0<x<-+． 其中正确命题的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（ ） A．30m B．20m C．30m D．15m 9．我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论． 题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？ 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（   ）    A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整 10．如图，已知点，点B在y轴上，点且，于C，连接，若与y轴正半轴所夹的角为ɑ，当取最大值时，对应的值为（      ） A． B． C．3 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为 ．    12．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 ． 13如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为100米，则建筑物A、B之间的距离为 （结果精确到1米）．[参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57] 14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则 ．    15．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为 ． 16．在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．计算： 18．计算：． 19．先化简，再求代数式的值，其中． 20．计算：． 21．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的中点，于点F，点G是上一点，连接、，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若°，求矩形的面积． 22．计算：． 23．如图，已知的半径为1，P是平面内一点． (1)如图①，若，过点P作的两条切线、，切点分别为E、F，连接．则 ， ． (2)若点M、N是上两点，且存在，则规定点P为的“直角点”． ①如图②，已知平面内有一点D，，试说明点D是的“直角点”． ②如图③，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标． 24．一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期浙教测试卷（1） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考试范围： 解直角三角形、 直线与圆的位置关系、 三视图与表面展开图； 第I卷（选择题） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值即可得=，故答案选B． 考点：特殊角的三角函数值． 2．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】A 【详解】试题分析：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个，故选A． 考点：由三视图判断几何体． 3．⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，则过P点的⊙O的两条切线的夹角是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】连接OE，由切线的性质知：OE⊥PE，在Rt△PEO中，求出sin∠1的值，进而可知∠1的度数，根据∠EPF＝2∠1，即可求出两条切线的夹角． 【详解】连接OE， ∵PE是圆的切线， ∴OE⊥PE， ∵⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm， ∴sin∠1＝， ∴∠EPF＝2∠1＝60°， 即这两条切线的夹角为60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质定理和锐角三角函数的定义，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键． 4．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为：    故选C． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键． 5．如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，冉将其打开、展平，得折痕DE，连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G，则下列结论：①BG= DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG= ；④S△DFG=．其中正确的有（   ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明BG∥ED可得平行四边形BEDG即可； ②根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半来求解； ③证明∠DFG＝∠FCB即可； ④求出sin∠GFD,用S△DFG＝sin∠GFD即可求解. 【详解】①由折叠可得CF⊥DE，EF＝CE ∵E是边BC的中点 ∴EF＝CE＝ ∴CF⊥BG ∴BG∥ED ∴四边形BEDG是平行四边形 ∴BG＝ DE ②由折叠可得EF＝CE ∵E是边BC的中点 ∴EF＝CE＝ ∴CF⊥BG ③由折叠可得DE垂直平分CF，∠EFD＝90°, ∠EFC ＝∠FCB 由勾股定理可得DE＝ ,FC＝ BF＝ ∵CF⊥BG，∠EFD＝90° ∴∠CFD＋∠GFD＝90°, ∠EFC＋∠CFD＝＝90° ∴∠EFC＝∠GFD＝∠FCB sin∠DFG＝ sin∠FCB＝ ∴③错误 ④由折叠可得FD＝CD ∵BF＝，BG＝DE＝ ∴FG＝ ∴S△DFG＝sin∠GFD＝ 【点睛】本题考查的是正方形的综合运用，熟练掌握三角函数和折叠的性质是解题的关键. 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得，再根据等腰三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∴ ∴ ∵CD＝4 ∴ ∴ 经检验，是的解 ∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 经检验，是的解 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 7．给出以下四个命题： ①以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现在价格的基础上先提价40%，后降价50%进行销售，商家还能有利润； ②数据x1，x2，x3，x4的方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3； ③若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线AB与高AO的夹角为30°； ④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，则实数x的取值范围为--<x<0或0<x<-+． 其中正确命题的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据题意设该商品的成本为x元，可得售价为1.82x(1-50%)=0.91x(元)，小于成本x元；②已知数据x1，x2，x3，x4的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1，方差还是3；③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，利用正弦值为=，可得夹角为30°；④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)a的系数2x2>0，因此该一次函数值y随自变量a的增大而增大，可得当a=1时y最大，只需保证当a=1时y<0，求出x的范围即可； 【详解】①设该商品的成本为x元，以现价销售这件商品的利润率为30%，则这件商品的现价为1.3x元，在现在价格的基础上提价40%，售价为1.3x(1+40%)=1.82x(元)，再降价50%,售价为1.82x(1-50%)=0.91x(元)，小于成本x元， ∴①错误； ②已知数据x1，x2，x3，x4的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的每个数都比原数据大1，新数据的波动性不变， ∴新数据与原数据方差相同，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3， ∴②正确; ③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl=2πr， ∴l=2r， ∴母线AB与高AO的夹角的正弦值为=， ∴母线AB与高AO的夹角为30°, ∴③正确; ④已知关于a的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，由于a的系数2x2>0，因此该一次函数值y随自变量a的增大而增大， ∴只需保证当a=1时y<0即可保证函数在-1≤a≤1上函数值恒小于0，即2x2+2x-3<0，解得实数x的取值范围为--<x<0或0<x<-+， ∴④正确. 故选C． 【点睛】本题主要考查了命题，应用的知识点主要有：商品销售问题，方差，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长;注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数，以及一次函数的增减性等知识点，解决本题的关键是对概念要理解透彻做题要细心． 8．如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（ ） A．30m B．20m C．30m D．15m 【答案】D 【详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H， 由题意可知∠DAC=75°−30°=45°， ∵△BCD是等边三角形， ∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m， ∴DH=×30=15， ∴AD=DH=15m. 答：从A地到D地的距离是15m. 故选D. 9．我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论． 题目：在中，已知，，将沿翻折至，连接．当长为多少时，是直角三角形？ 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列结论正确的是（   ）    A．甲、丙答案合在一起才完整 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质、折叠的性质，利用证明，得到，设相交于点E，根据平行线的判定证明，分“当，时”，“当时”，“当时”，“当，时”，四种情况画出图形，解直角三角形，讨论求解即可 【详解】解：如图，设、相交于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，当，时，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将沿翻折至， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图，当，时，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点， 在中，， ∴； ∴当的长为或或或时，是直角三角形， 又∵甲答：；乙答：；丙答：， ∴三人答案合在一起也不完整， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，灵活运用知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 10．如图，已知点，点B在y轴上，点且，于C，连接，若与y轴正半轴所夹的角为ɑ，当取最大值时，对应的值为（      ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】过点A作轴于点D，作轴于点E，设，则，证明，得到，利用正弦三角函数的定义，二次函数的最值，解答即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，作轴于点E， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点， ∴，， ∵点且， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值，此时取得最小值， 根据勾股定理，得， 故当取得最小值时，也取得最小值， ∵， ∴取得最小值时，取最大值， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标的分解化线段长，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正弦函数的应用，二次函数的最值，熟练掌握三角形相似的判定，正弦函数的定义，二次函数的最值是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为 ．    【答案】/216度 【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4， 则母线长为， 所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长公式． 12．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 ． 【答案】/ 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 13．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为100米，则建筑物A、B之间的距离为 （结果精确到1米）．[参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57] 【答案】275米 【分析】根据平行线性质得出∠CAB=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°，根据CD⊥AB，CD=100米，利用三角函数tanA=，等腰直角三角形性质得出BD=CD=100米，然后利用线段和差求即即可． 【详解】解：∵EF∥AB， ∴∠CAB=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°， ∵CD⊥AB，CD=100米， ∴tanA=，BD=CD=100米， ∴， ∴AB=AD+BD≈175+100=275米． 故答案为275米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段和差，掌握解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段和差是解题关键． 14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、求角的正弦值，由勾股定理以及勾股定理逆定理得出，证明，得出，从而求出的长，再根据正弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，取格点，   ， 由勾股定理得出：，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，可知△AEG是等边三角形，有， ，，有，，利用扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴△AEG是等边三角形 ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积．解题的关键在于表示出阴影部分的面积． 16．在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．图①中，先证四边形是平行四边形，再结，得四边形是菱形，则，得即可；图②中，设，先证四边形是平行四边形，得，再证得，最后在中，由勾股定理得，即，化简可得即可． 【详解】解：图①中，点重合 点在同一直线上 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ； 图②中，设, 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 由折叠的性质知， 在和中 是等腰的中线 在中，由勾股定理得 化简得 ． 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．计算： 【答案】 【分析】先化简绝对值，求解特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，化简绝对值，特殊角的锐角三角函数值，熟记运算法则是解本题的关键． 18．计算：． 【答案】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解本题的关键． 19．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， ． 【分析】先算括号里的，再算除法，化简后将代入即可得． 【详解】解：原式= = = = 当时，代入中，得 =． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记分式的运算法则和最简分式的定义． 20．计算：． 【答案】 【分析】先算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数，再算加减法，即可求解． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数，是解题的关键． 21．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的中点，于点F，点G是上一点，连接、，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若°，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由中位线定理，得，从而得证四边形是平行四边形，又，结论得证； （2）由平行四边形性质，可证，于是是等腰直角三角形，解直角三角形得，于是，过点作于点，则是等腰直角三角形， 中，，从而，，于是． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， 平行四边形是矩形； （2）四边形是平行四边形， ， ，   四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形， ， 在Rt中，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形求解线段长度是解题的关键． 22．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，特殊角三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，特殊角三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质，牢记特殊角三角函数值是解题的关键． 23．如图，已知的半径为1，P是平面内一点． (1)如图①，若，过点P作的两条切线、，切点分别为E、F，连接．则 ， ． (2)若点M、N是上两点，且存在，则规定点P为的“直角点”． ①如图②，已知平面内有一点D，，试说明点D是的“直角点”． ②如图③，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②最小半径为，圆心为的中点 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质得到，由勾股定理得，再利用角的正弦值，即可推出的度数，证明是等边三角形，即可求出的长； （2）①过点D作⊙O的两条切线、，利用角的正弦值得到，同理可得，得到，即可证明结论； ②先根据直线解析式，求出A、B两点坐标以及的长，再根据①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，设半径为r的圆的圆心为M，若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，和相交于点Q， 为的切线，且切点为E， ， 是直角三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， 是等边三角形， ， 故答案为：，； （2）解：①过点D作⊙O的两条切线、，切点分别为E、F， 在中，，， ， ， 同理可得， ， 点D是的“直角点”； ②直线分别与x轴、y轴相交于点A、B， 时，；时，， 、， ，， ， 由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点， 如图，设半径为r的圆的圆心为M， 线段上所有点都是的“直角点”， 在以为圆心，为半径的圆上及圆内， 若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，， ，最小半径． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，一次函数的性质，能够准确找出“直角点”的范围是解题关键． 24．一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 【答案】 或 【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最大面积； 点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度； 当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形， 圆洞的最大直径为， ，，，， 过点作于点，于点，延长交CA于点， 则有， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示，当时，点与点重合，过点作， ，点为的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：或(舍去)，            当时，，， ， ， 故答案为：；                            如下图所示，当时，  过点作，                                则有， ， ，， ， 过点作，则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， 解得：； 如下图所示，当时，，，， 点、、在一条线上，                                则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 综上所述当或时为直角三角形．                                                                                                                                                             【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形和全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$