第02章 直线与圆的位置关系 章节测试练习卷 -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 直线与圆的位置关系 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．圆的半径是，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（    ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 3．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 5．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 6．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 7．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（　　） A． B． C． D． 8．如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求； 乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）    A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 9．如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ） A． B． C．π 或 D．或 10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11． 直线与圆的位置关系 __________ __________ __________ 图形          公共点的个数 __________ __________ 0 公共点的名称 交点 __________ 无 直线名称 割线 __________ 无 与的关系 __________ __________ __________ 填空1： ；填空2： ；填空3： ；填空4： ；填空5： ；填空6： ；填空7： ；填空8： ；填空9： ；填空10： ． 12．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    13．如图，在中，，，点是的内心，则的度数为 ．    14．如图所示，PB与相切于点B，OP交于点A，于点C，，，则AC的长为 . 15．如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2. (1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB ; (2)当OC等于 时，⊙O与直线AB相切. 三、解答题 17．圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是： （1）；（2）；（3）． 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 18．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 19．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求BE的长 20．如图，为的直径，C为上一点，直线是的切线，于点D，交于点F，连接． (1)求证：平分． (2)若，求． 21．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积． 22．如图所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长． 23．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若OC=3，OA=6，求tan∠DEB的值． 24．如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F．证明：DF ⊥ AI． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 直线与圆的位置关系 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．圆的半径是，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】先确定圆的半径为6.5，而圆心到直线的距离为4.5，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为， ∵圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离＜圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交⇔；直线和相切⇔；当直线相离⇔． 2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（    ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断直线和圆的位置关系 【分析】由已知点(2,3)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵点(2,3)到x轴的距离是3，等于半径， 到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 3．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明某直线是圆的切线 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】直线与圆有两个交点时直线与圆相交，由此即可解答. 【详解】∵直线l经过⊙O上的A，B两点， ∴直线l与⊙O相交. 故选B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟知直线与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键. 5．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【详解】因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3. 故选B． 6．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，    根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点， ，，，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形的性质、三角形内心有关应用 【详解】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1， 则∠OAF=30°，∠AB1O=45°， 故B1F=OF=OA， 设B1F=x，则AF=﹣x， 故（﹣x）2+x2=（2x）2， 解得 或（舍去）， ∴四边形AB1ED的内切圆半径为：． 故选B． 8．如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求； 乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）    A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【知识点】证明某直线是圆的切线、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线； 对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线． 【详解】解：甲正确． 理由：如图1中，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 乙正确． 理由：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ） A． B． C．π 或 D．或 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、应用切线长定理求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值． 【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F， 连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形， ∴OW=CF，WF=1， ∵∠ACB＝60○， ∴∠WCF=∠ACB=30°， 所以点O移动的距离为OW=CF===． 如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E， 连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形， ∴OO′=CE， ∵∠ACB＝60○， ∴∠ACE＝120○， ∴∠O′CE=60°， ∴点O移动的距离为OO′=CE===，· 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用． 10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长CB到G，使BG=DE，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．证得△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质即可得到EF=DE+BF；故①正确；在AG上截取AH=AM．根据全等三角形的性质得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，证得∠HBN=90°．根据勾股定理得到BH2+BN2=HN2．根据全等三角形的性质得到MN=HN．等量代换得到BN2+DM2=MN2；故②正确；根据平行线的性质得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正确；过A作AP⊥EF于P，根据角平分线的性质得到AP=AD，于是得到与EF相切；故④正确；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤错误． 【详解】解：延长CB到G，使BG=DE，连接AG． 在△ABG和△ADE中， ∴△ABG≌△ADE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAE=∠BAG， 又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°， ∴∠DAE+∠BAF=45° ∴∠GAF=∠EAF=45°． 在△AFG和△AFE中， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF=EF=BG+BF， 又∵DE=BG， ∴EF=DE+BF；故①正确； 在AG上截取AH=AM，连接BH、HN， 在△AHB和△AMD中， ∴△AHB≌△AMD， ∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°， 又∵∠ABD=45°， ∴∠HBN=90°． ∴BH2+BN2=HN2． 在△AHN和△AMN中， ∴△AHN≌△AMN， ∴MN=HN． ∴BN2+DM2=MN2；故②正确； ∵AB∥CD， ∴∠DEA=∠BAM． ∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND， ∴∠AEF=∠ANM， 又∠MAN=∠FAE， ∴△AMN∽△AFE，故③正确； 过A作AP⊥EF于P， ∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE， ∴AP=AD， 与EF相切；故④正确； ∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN， ∴∠AMN不一定等于∠AEF， ∴MN不一定平行于EF，故⑤错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 11． 直线与圆的位置关系 __________ __________ __________ 图形          公共点的个数 __________ __________ 0 公共点的名称 交点 __________ 无 直线名称 割线 __________ 无 与的关系 __________ __________ __________ 填空1： ；填空2： ；填空3： ；填空4： ；填空5： ；填空6： ；填空7： ；填空8： ；填空9： ；填空10： ． 【答案】 相交 相切 相离 2 1 切点 切线 < = > 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】结合图形和直线和圆的位置关系填表即可． 【详解】解： 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形          公共点的个数 2 1 0 公共点的名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 与的关系 故答案为：相交，相切，相离，2，1，切点，切线，，，． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的三种位置关系，利用数形结合的思想进行解题． 12．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    【答案】或 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，    ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 13．如图，在中，，，点是的内心，则的度数为 ．    【答案】/117.5度 【知识点】三角形内心有关应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由点是的内心，可得分别为，的角平分线，由，，可得，，由三角形的内角和可求出答案． 【详解】解：点是的内心， ，分别为，的角平分线， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．如图所示，PB与相切于点B，OP交于点A，于点C，，，则AC的长为 . 【答案】cm 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】连接OB，根据切线性质可得OB⊥BP，利用勾股定理求得BP的长，再利用三角形的面积公式求得BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理求得OC的长，进而得到AC的长. 【详解】解：连接OB， ∵PB与相切于点B， ∴OB⊥BP， ∴cm， 又∵， ∴S△OBP=， ∴cm， ∴cm， 则AC=OA﹣OC=3﹣cm. 故答案为cm. 【点睛】本题主要考查切线的性质，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，也可利用相似三角形的性质进行解答. 15．如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、切线的性质定理 【分析】连接OA，作OE⊥CD于E，利用垂径定理得出CE，通过CD∥AB，AB⊥OB，证明E、O、A三点共线，再利用勾股定理解Rt△OEC求出OE，最后利用勾股定理解Rt△AEC求出AC． 【详解】解：连接OA，作OE⊥CD于E，则， ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB． ∵CD∥AB，OE⊥CD， ∴E、O、A三点共线． 连接OC， 在Rt△OEC中，OC=，CE=2， 由勾股定理得， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线的定义、垂径定理和勾股定理，本题中通过垂径定理得出CE，证明E、O、A三点共线是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2. (1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB ; (2)当OC等于 时，⊙O与直线AB相切. 【答案】 相离 【分析】（1）当圆心O与点C重合时，根据勾股定理求AB的长，利用“面积法”求点C到AB的距离，再与半径比较即可判断位置关系； （2）作ON⊥AB，使ON＝2，利用相似三角形的性质可求此时OC的长． 【详解】 (1)作CM⊥AB，垂足为M 在Rt△ABC中,AB＝＝5 ∵AC⋅BC＝AB⋅CM ∴CM＝∵＞2 ∴O与直线AB相离. (2)如图，设O与AB相切，切点为N，连接ON 则ON⊥AB∴ON∥CM ∴△AON∽△ACM∴＝ 设OC＝x，则AO＝3−x ∴＝∴x＝ ∴当CO＝时，O与直线AB相切. 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系, 勾股定理, 相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握直线与圆的位置关系, 勾股定理, 相似三角形的判定与性质. 三、解答题 17．圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是： （1）；（2）；（3）． 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 【答案】（1）相交，两个；（2）相切，一个；（3）相离，无 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】直线和圆的位置关系： ① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 【详解】解：圆的半径为＝6.5（cm）． （1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点． （2）∵6.5cm ＝6.5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点． （3）∵8cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点． 【点睛】考核知识点：直线与圆的位置关系．理解直线与圆的位置关系的条件是关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【知识点】确定圆心(尺规作图)、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 19．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求BE的长 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定和性质即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，由（1）知，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵与相切，是半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：∵与相切， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，为的直径，C为上一点，直线是的切线，于点D，交于点F，连接． (1)求证：平分． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）连接，根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案； （2）首先由勾股定理和圆周角的性质得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵， ∴在中， ∵ ∴ ∵圆内接四边形 ∴ ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 21．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】画出图形，先求内切圆半径，三角形内切圆半径是内接正方形的对角线的一半，可求得内接正方形的边长的平方，进而得出答案． 【详解】连接AO，EO，GO． ∵点O是△ABC的内心， ∴，，∠EAO=30°， ∴，则EG=a， 由勾股定理知，， 即， ∴S正方形=． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，圆的内接正方形，求出内切圆的半径是解题的关键． 22．如图所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长． 【答案】(cm) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：在中，由是直径，可得与是直角三角形，然后由弦 弦 求得的长；然后由的平分线交于点D，可得是等腰直角三角形，继而求得答案. 试题解析：连接． ∵是的直径， 在中， ∵CD平分， ∴∠1＝∠2， ∴=, 在中， 点睛：直径所对的圆周角是直角. 23．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若OC=3，OA=6，求tan∠DEB的值． 【答案】（1）∠DEB=26°；（2）tan∠DEB=． 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆内知识综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：（1）连接OB，根据垂径定理得出，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，再由圆周角定理即可得出结论； （2）根据OD⊥AB，OC=3，OA=6可得出∠OAC=30°，故∠AOC=60°，由此得出∠DEB的度数，进而可得出结论． 试题解析：（1）连接OB， ∵OD⊥AB，∴ ，∴∠BOD=∠AOD=52°， ∴∠DEB=∠BOD=26°； （2）∵OD⊥AB，OC=3，OA=6，∴OC=OA，即∠OAC=30°，∴∠AOC=60°， ∴∠DEB=∠AOC=30°，∴tan∠DEB=． 24．如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F．证明：DF ⊥ AI． 【答案】见解析． 【知识点】三角形内心有关应用、等腰三角形的性质和判定、已知圆内接四边形求角度 【分析】利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求得∠AID=45°，证明E、C、D、I四点共圆，得到∠DIF=45°，再证明△ADI≌△AFI (ASA)，得到△ADF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 而， ∴E、C、D、I四点共圆， ∴， ∴， 又 ，AI=AI， ∴△ADI≌△AFI (ASA)， ∴，即是等腰三角形 ，且AI是顶角的角平分线， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$