第03章 三视图与表面展开图 章节整合练习（13个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03章 三视图与表面展开图 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 知识点4．简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 知识点5．作图-三视图 （1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （4）具体画法及步骤： ①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 知识点6．由三视图判断几何体 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 知识点7．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点8．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点9．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点10．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 知识点11．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 知识点12．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点13．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 章节题型整合练习 一、单选题 1．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误； 选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误； 选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确； 选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 2．下列属于中心投影的有（    ） ①中午用来乘凉的树影；②灯光下小明读书的影子；③上午10点时，走在路上的人的影子；④升国旗时，地上旗杆的影子；⑤在空中低飞的燕子在地上的影子. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【详解】解：根据中心投影的定义，找到光源是解题的关键.②的光源为灯光，①③④⑤的光源均为太阳，所以②属于中心投影， 故选A. 【点睛】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 3．如图所示的立体图形的主视图是（ ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】找出此几何体从正面看所得到的视图即可解答． 【详解】解：此立体图形从正面看所得到的图形为长方形，里面有一条竖的实线， 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知主视图是从物体的正面所看到的图形是解题的关键． 4．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（  ） A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解． 【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π， 侧面面积=×6π×8=24πcm2． 故选D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长． 5．圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为(     ) A．108° B．120° C．135° D．216° 【答案】A 【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果． 【详解】解：由题意得底面圆周长=π×30=30πcm ，解得：n=108 故选A． 【点睛】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想是初中数学学习中非常重要的思想方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意． 6．已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据弧长等于底面圆的周长列方程解答． 【详解】解：设底面圆的半径是r， ， 解得， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用扇形求底面圆的半径，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 7．如图是一个由4个相同的小正方体组成的立体图形，从三个方向看，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得三视图再对选项进行判断即可. 【详解】根据图形的形状，它的三视图为， 故选A. 【点睛】本题考查三视图，根据图形的三视图对选项进行判断是解题关键. 8．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 9．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体的边长为3cm，挖去的小立方体边长为1cm，所以小正方形的边长应该是大正方形，故D错误，所以C正确． 故此题选C． 10．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A．4π B．6π C．12π D．16π 【答案】C 【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π， 故选C． 11．“站得高，看得远”指的是一种什么现象（　　） A．盲区减小，视野范围增大 B．盲区增大，视野范围减小 C．盲区增大，视野范围增大 D．盲区减小，视野范围减小 【答案】A 【详解】视角增大，看到的范围扩大．站得高，视角增大，盲区减小． 解：站得高，看得远说明了视角增大，盲区减小即盲区减小，视野范围增大． 故选A． 12．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥 【答案】C 【详解】试题分析：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，故该几何体是圆锥，故选（C）． 考点：由三视图判断几何体． 13．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 14．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆， 故选A． 点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 15．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大 【答案】C 【分析】画出几何体的三视图，然后比较面积即可． 【详解】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C． 【点睛】此题考查了几何体的三视图，解题的关键是正确画出几何体的三视图． 16．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(    )    A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可. 【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层， 由俯视图可知第一层正方体的个数为4， 由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块， 第三层只有一块， 故：最多为3+4+1=8个 最少为2+4+1=7个 故选C 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键. 二、填空题 17．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大小和方向不同，依此进行分析． 【详解】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长， ∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 18．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．(结果保留) 【答案】 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为圆柱体，其底面直径为8，高为6，从而求出圆柱体体积． 【详解】解：由三视图可得，该几何体是一个底面直径为8，高为6的圆柱体， ∴该几何体的体积为： 故答案为： 【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目． 19．某一时刻，小强测得直立于地面上的1m的木杆的影长为0.6m，此刻学校20m高的教学楼的影长是 【答案】12m/12米 【分析】根据题意列出比例关系，即可得出结果． 【详解】解：设教学楼的影长为xm， 由题意：， 解得：， ∴设教学楼的影长为12m． 故答案为：12m． 【点睛】本题考查投影，根据题意列出比例关系式解题的关键． 20．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得． 【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 21．一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 cm2． 【答案】6 【详解】解：根据长方体的主视图和左视图得：这个长方体的高是4，底面长是3，底面宽是2； ∴长方体的俯视图就是其底面的图形是长是3，宽是2的长方形， ∴它的面积= =6． 故答案为：6 【点睛】本题考查俯视图，解答本题需要掌握三视图的概念，会观察几何体的俯视图，此类题比较简单 22．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x= ，y= ． 【答案】 1或2 3 【分析】由俯视图可知，该组合体有两行两列，左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列叠有2个正方体,从而求解 【详解】解:由俯视图可知，该组合体有两行两列，左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列叠有2个正方体，故x=1或2；由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y=3. 故答案为1或2；3. 23．如图，在扇形中，圆心角为，点与点的距离为．若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径为 ．    【答案】 【分析】连接，过O作于M，先求出扇形的半径，然后利用弧长=圆锥的底面周长这一等量关系可求解． 【详解】解：连接，过O作于M，    ∵扇形中，圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题运用了弧长公式，垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 24．如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是 m． 【答案】12 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【详解】解：由题意得 ∴1.6：1.2=旗杆的高度：9． ∴旗杆的高度为12m． 故答案为：12． 25．如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示). 【答案】300π 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可． 【详解】解：由图知，底面直径=30cm，母线长=20cm，则底面周长=30πcm，侧面面积=×30π×20=300πcm2． 故答案为：300π． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面积．本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 26．如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 【答案】 228 264 912 【分析】如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3×3=9cm，宽4cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：长3×3=9cm，宽4cm，高6cm， （9×4+9×6+4×6）×2 =（36+54+24）×2 =114×2 =228（cm2）． 答：如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是228cm2． 长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm， （8×6+8×6+6×6）×2 =（48+48+36）×2 =132×2 =264（cm2）． 答：如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是264cm2． 长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm， （12×8+18×8+12×18）×2 =（96+144+216）×2 =456×2 =912（cm2）． 答：如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是912cm2． 故答案为：228；264；912． 【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长宽高． 三、解答题 27．一个人在路灯下走动时影子的长度与他到灯杆的距离有什么关系？ 【答案】见解析 【分析】根据中心投影的特点即可得出答案； 【详解】他到灯杆的距离越近，其影子的长度越短；如果他到灯杆的距离越远，那么他的影子的长度也就越长 【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 28．如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】见解析 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 29．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，过D作即可完成作图； （2）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 30．如图，晚上小红和小颖在广场的一盏路灯下玩耍，AB表示小红的身高，BC表示她的影子，DE表示小颖的身高，表示她的影子，请在图中画出灯泡的位置，并且画出形成影子的小木杆．（用线段表示） 【答案】见解析. 【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，该点即为光源的位置；同理可确定小木杆的线段QN． 【详解】解：如图，连接CA、FD并延长，交点即为路灯P的位置； 连接PM，过点N作NQ⊥MN交PM于Q，则形成影子MN的小木杆为QN. 【点睛】本题考查了中心投影，理解影子与物体的端点的连线所在的直线一定经过光源点是解题的关键． 31．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】图形见解析 【详解】试题分析：由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． 试题解析：解：如图所示： 点睛：本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 32．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 【答案】作图见解析． 【分析】主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1；俯视图有4列，每行小正方形数目分别为1，3，1，1．依此作图即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 【点睛】本题考查的是画小正方体堆砌物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 33．某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．请你按照三视图确定每顶帐篷的表面积（图中尺寸单位：） 【答案】每顶帐篷的表面积为96000πcm2． 【分析】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为240cm，底面圆的半径为150cm，圆锥的高为200cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积． 【详解】解：根据三视图得圆锥的母线长为240cm，底面圆的半径为150cm，圆锥的高为200cm． 所以圆锥的侧面积=•2π•150•240=36000π， 圆柱的侧面积=2π•150•200=60000π， 所以每顶帐篷的表面积=36000π+60000π=96000π（cm2）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 34．如图所示是从上面看一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，其中小正方形内的数字表示该位置上小立方块的个数，请你画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图. 【答案】见解析 【分析】由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为1，2，3，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可画出图形． 【详解】如图所示： 【点睛】考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 35．画出如图所示的几何体的三种视图. 【答案】详见解析 【分析】根据三视图的画法进行作图,即可解题. 【详解】解:如图.          【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键. 36．如图，等腰梯形ABCD的上底AD = 4 cm，下底BC = 6 cm，腰长为3 cm，将等腰梯形绕其对称轴旋转180°得一几何体，求这个几何体的侧面积（精确到0.1 cm2）. 【答案】47.1 cm2. 【分析】延长BA,CD交于点S,求出SA的长度，这个几何体的侧面积=半径为SB的扇形面积半径为SA的扇形面积. 【详解】延长BA,CD交于点S,如图所示： 则 则： 即： 解得： 这个几何体的侧面积= 答：这个几何体的侧面积为47.1 cm2. 【点睛】考查圆锥的侧面积的计算，掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键. 37．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为． （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示．你能画出此时乙木杆的影子吗？ （2）在图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （3）在（2）的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为和，那么你能求出甲木杆的高度吗？ 【答案】（1）见解析；（2）乙木杆影子的顶端E抵达墙根；（3）能，甲木杆的高度为． 【分析】（1）利用太阳光线是平行光线进而得出乙木杆的影子； （2）利用平移即可得出答案； （3）利用平行线的性质得出相似三角形即可． 【详解】解：（1）如图，连接，过点E作的平行线，交所在的直线于点．就是乙木杆的影子． （2）如图，平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形（即），直到乙木杆影子的顶端E抵达墙根为止． （3）能， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∴甲木杆的高度． 【点睛】此题主要考查了平行投影以及相似三角形的判定，利用太阳光线是平行光线得出相似三角形是解题关键． 38．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，�求圆锥全面积． 【答案】48cm2 【分析】根据题意得圆锥的轴截面是等边三角形，于是得到这个圆锥的母线长是8cm，底面直径是8cm，根据圆锥的全面积=底面积+侧面积即可解答． 【详解】解：∵圆锥的轴截面的顶角为60°，母线长为8cm， ∴圆锥的轴截面是等边三角形 ∴这个圆锥的底面直径是8cm，底面半径是4cm， ∴这个圆锥的全面积为=底面积+侧面积= =48πcm2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积的计算，熟记相关计算公式是解答本题的关键． 39．如图所示，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，求： (1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比； (2)母线AB与AC的夹角； (3)圆锥的全面积． 【答案】(1) .(2) .(3) 【分析】（1）利用底面周长=展开图的半圆周长计算； （2）利用特殊角的三角函数圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60度； （3）利用特殊角的三角函数求出半径，再求侧面积． 【详解】(1)设圆锥的母线长为，底面圆的半径为. ∵圆锥的侧面展开图是半圆， ∴， ∴， ∴. 即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为. (2)∵，即， ∴， ∴， 即母线AB与AC的夹角为. (3)在中，，又，， ∴， ∴. 【点睛】一题的关键是利用底面周长=展开图的半圆周长可求．二三题主要是利用特殊角的三角函数求值． 40．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体． （1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示） （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？ 【答案】（1）见解析 （2） 4 【分析】（1）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形． （2）可在最底层第二列第三行加一个，第三列第二行加2个，第三列第三行加1个，共4个． 【详解】（1）画图如下：                （2）最多可再添加4个小正方体． 在第2层的第2行第2列和第3行第2列各添加1个小立方块，第3层的第3行第2列和第3行第3列各添加1个小立方块，这个几何体的俯视图和左视图不变，，故最多可再添加4个小立方块． 【点睛】本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，属于中等难度题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 三视图与表面展开图 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 知识点4．简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 知识点5．作图-三视图 （1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （4）具体画法及步骤： ①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 知识点6．由三视图判断几何体 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 知识点7．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点8．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点9．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点10．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 知识点11．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 知识点12．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点13．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 章节题型整合练习 一、单选题 1．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（   ） A． B． C． D． 2．下列属于中心投影的有（    ） ①中午用来乘凉的树影；②灯光下小明读书的影子；③上午10点时，走在路上的人的影子；④升国旗时，地上旗杆的影子；⑤在空中低飞的燕子在地上的影子. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的立体图形的主视图是（ ）    A．   B．   C．   D．   4．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（  ） A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2 5．圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为(     ) A．108° B．120° C．135° D．216° 6．已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（　　） A．1 B． C．2 D． 7．如图是一个由4个相同的小正方体组成的立体图形，从三个方向看，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 9．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A．4π B．6π C．12π D．16π 11．“站得高，看得远”指的是一种什么现象（　　） A．盲区减小，视野范围增大 B．盲区增大，视野范围减小 C．盲区增大，视野范围增大 D．盲区减小，视野范围减小 12．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥 13．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 14．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 15．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大 16．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(    )    A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 二、填空题 17．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 18．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．(结果保留) 19．某一时刻，小强测得直立于地面上的1m的木杆的影长为0.6m，此刻学校20m高的教学楼的影长是 20．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 21．一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 cm2． 22．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x= ，y= ． 23．如图，在扇形中，圆心角为，点与点的距离为．若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径为 ．    24．如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是 m． 25．如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示). 26．如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 三、解答题 27．一个人在路灯下走动时影子的长度与他到灯杆的距离有什么关系？ 28．如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 29．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 30．如图，晚上小红和小颖在广场的一盏路灯下玩耍，AB表示小红的身高，BC表示她的影子，DE表示小颖的身高，表示她的影子，请在图中画出灯泡的位置，并且画出形成影子的小木杆．（用线段表示） 31．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 32．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 33．某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．请你按照三视图确定每顶帐篷的表面积（图中尺寸单位：） 34．如图所示是从上面看一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，其中小正方形内的数字表示该位置上小立方块的个数，请你画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图. 35．画出如图所示的几何体的三种视图. 36．如图，等腰梯形ABCD的上底AD = 4 cm，下底BC = 6 cm，腰长为3 cm，将等腰梯形绕其对称轴旋转180°得一几何体，求这个几何体的侧面积（精确到0.1 cm2）. 37．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为． （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示．你能画出此时乙木杆的影子吗？ （2）在图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （3）在（2）的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为和，那么你能求出甲木杆的高度吗？ 38．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，�求圆锥全面积． 39．如图所示，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，求： (1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比； (2)母线AB与AC的夹角； (3)圆锥的全面积． 40．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体． （1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示） （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？ 学科网（北京）股份有限公司 $$