18 2025年学业水平考试预测模拟卷(二)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

则 １ ３ Ｔ＝ ２ ３２ ＋２ ３２ ＋２ ３４ ＋…＋ ２ ３ｎ＋１ ，② ①－②，得Ｔ－ １ ３ Ｔ＝ ２ ３ －２ ３ｎ＋１ ， 所以 ２ ３ Ｔ＝ ２ ３ －２ ３ｎ＋１ ，即Ｔ＝１－ １ ３ｎ 。 故答案为１－ １ ３ｎ 。 （２）设Ａ＝ ３ ４ ＋３ ４２ ＋３ ４３ ＋…＋ ３ ４ｎ ，① 则 １ ４ Ａ＝ ３ ４２ ＋３ ４３ ＋３ ４４ ＋…＋ ３ ４ｎ＋１ ，② ①－②，得Ａ－ １ ４ Ａ＝ ３ ４ －３ ４ｎ＋１ ， 所以 ３ ４ Ａ＝ ３ ４ －３ ４ｎ＋１ ，即Ａ＝１－ １ ４ｎ 。 故答案为１－ １ ４ｎ 。 任务二：方法 １：用面积为 １的正方形，依次取剩余 的 １ ３ 。 所以 １ ３ ＋２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ＝１－ ２ｎ ３ｎ 。 方法２：设Ｓ＝ １ ３ ＋２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ，① 则 ２ ３ Ｓ＝ ２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ＋２ ｎ ３ｎ＋１ ，② ①－②，得Ｓ－ ２ ３ Ｓ＝ １ ３ －２ ｎ ３ｎ＋１ ，即Ｓ＝１－ ２ｎ ３ｎ 。 【拓展延伸】 设这棵树的枝干共有Ｍ根， 则Ｍ＝１＋３＋３２＋３３＋３４＋…＋３ｎ，① 则３Ｍ＝３＋３２＋３３＋３４＋…＋３ｎ＋３ｎ＋１。② ①－②，得Ｍ－３Ｍ＝１－３ｎ＋１， 即Ｍ＝－ １－３ｎ＋１ ２ ＝３ ｎ＋１－１ ２ 。 所以这棵树的枝干共有 ３ｎ＋１－１ ２ 根。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ ＣＤ ＣＤ ＡＢＣ ＡＣ １．Ａ　【解析】－（－３）＝３，（－３）－２＝ １ ９ ，（－３）０＝１， －｜－３｜＝－３。 ∵３＞１＞ １ ９ ＞－３，∴最大的是－（－３）。 故选Ａ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称图 形，故选项符合题意；Ｂ既是轴对称图形，也是中心对 称图形，故选项不符合题意；Ｃ不是轴对称图形，是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｄ既是轴对称图形， 也是中心对称图形，故选项不符合题意。 故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】５９．１４亿＝５９１４００００００＝５．９１４×１０９≈５．９× １０９。故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】根据主视图和俯视图可得这个几何体有 ２层，２列，最底层有５个小正方体，第二层最少有１个 小正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少 为５＋１＝６。故选Ｄ。 ５．Ｄ　【解析】解二元一次方程组，得ｘ＝ ２ｍ ３ ＋１０ ３ ，ｙ＝ ｍ ３ ＋２ ３ 。 因此２ｘｙ－１＝２ ２ｍ ３ ＋１０ ３( ) ｍ３＋２３( ) －１ ＝４ ９ ｍ２＋ ２８ ９ ｍ＋ ３１ ９ ＝ ２ｍ ３ ＋７ ３( ) ２ －２≥－２。 故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＢＤ于点Ｆ， 则∠ＢＦＣ＝９０°。 ∵∠ＣＢＤ＝４５°，∴∠ＢＣＦ＝４５°。∴ＢＦ＝ＣＦ。 ∵ＢＣ＝槡３２，∴ＢＦ＝ＣＦ＝３。 ∵△ＡＢＣ是等腰三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＦ。 ∵ＭＮ垂直平分ＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ。∴∠Ａ＝∠ＡＢＤ。 ∵∠Ａ＋∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＦ＝１８０°－４５°－４５°， ∴∠ＡＣＦ＝３０°。∴ＤＦ＝槡３。 ∴ＢＤ＝ＢＦ＋ＤＦ＝３＋槡３。故选Ｃ。 ７．ＣＤ　【解析】由题图可知ａ＜０，ｂ＞０，｜ａ｜＜｜ｂ｜， 所以（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＜０，－ａｂ＞０， ａ ｂ ＜１，－ａ＋ｂ＞０。故选ＣＤ。 ８．ＣＤ　【解析】二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－５＝（ｘ＋１）２－６， 当ｘ＞－１时，ｙ随ｘ的增大而增大。故Ａ正确； 每一个正ｎ边形都是轴对称图形，都有ｎ条对称轴。 故Ｂ正确； 在一组数据中，每个数据都增加４，则方差不变。 故Ｃ错误； 若ｘ１，ｘ２分别是ｘ ２－３ｘ－５＝０的两根，则ｘ１＋ｘ２＝３。 故Ｄ错误。故选ＣＤ。 ９．ＡＢＣ　【解析】令ｙ２＝ｙ３，得ｘ－１＝ ２ ｘ ， 解得ｘ１＝－１，ｘ２＝２。所以点 Ｃ的坐标为（－１，－２），点 Ｄ的坐标为（２，１）。故Ａ正确； 同理可得点Ａ的坐标为（１，２），                                                                —９５— 点Ｂ的坐标为（－２，－１）。 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ３２＋３槡 ２＝槡３２， ＡＤ＝ １２＋１槡 ２＝槡２，ＢＤ＝ ４ ２＋２槡 ２＝槡２５。 ∵ＡＢ２＋ＡＤ２＝ＢＤ２，∴∠ＢＡＤ＝９０°。故Ｂ正确； 由题图可得当－２＜ｘ＜０或ｘ＞１时，ｙ１＞ｙ３。故Ｃ正确； 易得四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 又∵∠ＢＡＤ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是矩形。 ∴四边形ＡＢＣＤ的面积为ＡＢ·ＡＤ＝槡３２×槡２＝６。 故Ｄ错误。故选ＡＢＣ。 １０．ＡＣ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＤ＝ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＮ＝９０°。 ∴∠ＢＡＮ＋∠ＤＡＥ＝９０°。 ∵ＡＮ⊥ＤＭ，∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∴∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＝９０°。∴∠ＢＡＮ＝∠ＡＤＥ。 ∴△ＤＡＭ≌△ＡＢＮ（ＡＳＡ）。∴ＡＭ＝ＢＮ。 ∴ＢＭ＝ＣＮ。故Ａ正确； 如图，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，连接ＦＭ，连接ＡＣ交 ＤＭ于点Ｐ，连接ＰＦ。 ∵ＡＭ∶ＢＭ＝ 槡１∶２，∴设ＡＭ＝ＢＮ＝ａ， 则ＢＭ＝槡２ａ，ＡＤ＝ＡＢ＝（１＋槡２）ａ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＮ∶ＡＤ＝ａ∶（１＋槡２）ａ， ∴ＦＧ∶ＢＮ＝（１＋槡２）ａ∶（２＋槡２）ａ。 ∵ ＢＦ ＤＦ ＝ＢＮ ＡＤ ＝ １ １＋槡２ ，ＢＤ＝槡４２，∴ＢＦ＝ 槡４２ ２＋槡２ 。 ∴ ＢＦ ＢＤ ＝ＦＧ ＡＤ ，即 槡４２ ２＋槡２ 槡４２ ＝ ＦＧ （１＋槡２）ａ 。 ∴ＦＧ＝槡 ２ ２ ａ。 ∵ＢＤ是对角线，∴∠ＡＢＤ＝４５°。 ∴ＢＧ＝ＦＧ＝槡 ２ ２ ａ。∴ＧＭ＝槡 ２ ２ ａ。∴ＦＭ＝ａ＝ＡＭ。 ∵ＡＮ⊥ＤＭ，∴ＡＦ是ＤＭ的垂直平分线。 ∴ＰＦ＋ＰＣ的最小值为ＰＡ＋ＰＣ＝ＡＣ＝槡４２。 故Ｂ错误； ∵∠ＢＡＮ＝∠ＡＤＥ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＤ＝９０°， ∴△ＡＥＭ∽△ＤＡＭ。∴ ＥＭ ＡＭ ＝ＡＭ ＤＭ 。 ∵ＡＭ＝ＢＮ，∴ＢＮ２＝ＥＭ·ＤＭ。故Ｃ正确； ∵ＡＤ＝ＡＢ＝（１＋槡２）ａ＝４， ∴ａ＝槡４２－４。∴ＦＧ＝４－槡２２。 ∴Ｓ△ＡＤＦ＝ １ ２ ×４×４－ １ ２ ×４×（４－槡２２）＝ 槡４２。 故Ｄ错误。故选ＡＣ。 １１． ３ ５ 　【解析】列表如下： －槡２ －槡５ ０ ２ π －槡２ －槡２－槡５ －槡２ －槡２＋２ －槡２＋π －槡５－槡５－槡２ －槡５ －槡５＋２ －槡５＋π ０ －槡２ －槡５ ２ π ２ ２－槡２ ２－槡５ ２ ２＋π π π－槡２ π－槡５ π π＋２ 共有２０种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之 和为正数的结果有１２种，所以两张卡片上的数字之 和为正数的概率是 １２ ２０ ＝３ ５ 。 １２．ｍ＜４且ｍ≠１　【解析】整理，得ｘ－２＝ｍ＋２ｘ－６， 解得ｘ＝４－ｍ。 ∵ｘ－３≠０，∴ｘ≠３。 ∴４－ｍ≠３，即ｍ≠１。 又∵ｘ＞０，∴４－ｍ＞０，即ｍ＜４。 ∴ｍ的取值范围是ｍ＜４且ｍ≠１。 １３． １ ２ 　【解析】如图，连接ＡＤ。 ∵ＡＤ是正六边形的对角线，点Ｏ是正六边形的中心， ∴Ｏ是 ＡＤ的中点。 ∵ＡＢ∥ＭＮ，ＡＢ∥ＤＥ，∴ＭＮ∥ＤＥ。 ∴∠ＭＮＰ＝∠ＥＤＰ，∠ＮＭＰ＝∠ＤＥＰ。 ∵ＡＢ＝ＭＮ，ＡＢ＝ＤＥ，∴ＭＮ＝ＤＥ。 ∴△ＭＮＰ≌△ＥＤＰ（ＡＳＡ）。∴ＮＰ＝ＤＰ。 ∴ＯＰ是△ＡＮＤ的中位线。∴ＯＰ＝ １ ２ ＡＮ＝ １ ２ ＡＢ＝ １ ２ 。 １４．（２０２４ｍ，０）　【解析】由题图，得每４秒为一个周期， 又∵２０２４÷４＝５０６， ∴点Ｐ的坐标为（２０２４ｍ，０）。 １５．解： ｘ２－４ｘ＋４ ｘ－１ ÷ ５ ｘ－１ －ｘ－３( ) ＝（ｘ －２）２ ｘ－１ ÷５ －（ｘ＋３）（ｘ－１） ｘ－１ ＝（ｘ －２）２ ｘ－１ · ｘ－１ －ｘ２－２ｘ＋８ ＝ （ｘ －２）２ －（ｘ－２）（ｘ＋４） ＝－ｘ －２ ｘ＋４ 。                                                                —０６— 解不等式组 ５－２ｘ≥１，① ｘ＋１＞０，②{ 解不等式①，得ｘ≤２， 解不等式②，得ｘ＞－１， ∴不等式组的解集为－１＜ｘ≤２。 ∴不等式组的整数解为０，１，２。 ∵ｘ≠１且ｘ≠２且ｘ≠－４， ∴ｘ＝０。 ∴原式＝ １ ２ 。 １６．解：（１）如图，延长ＣＤ交ＢＥ于点 Ｍ，根据题意，得ＣＭ⊥ＢＥ， ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＡＢＥ＝９０°， ∠ＤＡＦ＝６０°，∠ＣＢＥ＝４５°， ∠ＤＢＥ＝３０°。 ∵∠ＢＡＦ＝９０°，∠ＤＡＦ＝６０°， ∴∠ＢＡＤ＝３０°。 ∵∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＋∠ＢＤＡ＝１８０°， ∴∠ＢＤＡ＝３０°。∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＤＡ。 ∴ＡＢ＝ＢＤ＝１０米。 ∵ＣＭ⊥ＢＥ，ＡＢ∥ＣＤ， ∴ＣＤ与ＡＢ之间的距离等于ＢＭ的长度。 在Ｒｔ△ＢＤＭ中，ｃｏｓ∠ＤＢＭ＝ ＢＭ ＢＤ ， ∴ＢＭ＝ＢＤ·ｃｏｓ∠ＤＢＭ＝１０×槡 ３ ２ ＝槡５３（米）。 答：ＣＤ与ＡＢ之间的距离为 槡５３米。 （２）在Ｒｔ△ＢＤＭ中，ｓｉｎ∠ＤＢＭ＝ ＤＭ ＢＤ ， ∴ＤＭ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＤＢＭ＝１０× １ ２ ＝５（米）。 在Ｒｔ△ＢＣＭ中，ｔａｎ∠ＣＢＭ＝ ＣＭ ＢＭ ， ∴ＣＭ＝ＢＭ·ｔａｎ∠ＣＢＭ＝槡５３×１＝槡５３（米）。 ∴ＣＤ＝ＣＭ－ＤＭ＝（槡５３－５）米。 答：Ｃ，Ｄ处两架固定机位的无人机的距离为（槡５３－ ５）米。 １７．解：（１）设每天的销售量ｙ（盒）与售价 ｘ（元）之间的 函数关系式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，把 ｘ＝１３０， ｙ＝４５，{ ｘ＝１４０，ｙ＝４０{ 分别代 入，得 ４５＝１３０ｋ＋ｂ， ４０＝１４０ｋ＋ｂ，{ 解得 ｋ＝－ １ ２ ， ｂ＝１１０。{ ∴ｙ＝－ １ ２ ｘ＋１１０。 ∵每天销售该种礼盒可获得利润１２００元， ∴（ｘ－１２０）－ １ ２ ｘ＋１１０( ) ＝１２００， 解得ｘ１＝１６０，ｘ２＝１８０。 答：当售价为１６０元或１８０元时，每天销售该种礼盒 可获得利润１２００元。 （２）设销售这种礼盒每天获得的利润为ｗ元，则 ｗ＝（ｘ－１２０）－ １ ２ ｘ＋１１０( ) ＝－１ ２ ｘ２＋１７０ｘ－１３２００ ＝－１ ２ （ｘ－１７０）２＋１２５０。 ∵ａ＝－ １ ２ ＜０， ∴二次函数图象开口向下，有最大值。 当ｘ＝１７０时，ｗ最大＝１２５０， ｙ＝－ １ ２ ｘ＋１１０＝－ １ ２ ×１７０＋１１０＝２５， ∴当售价定为１７０元时，每天获得的利润最大，此时 每天需准备２５盒蔬菜礼盒。 １８．解：（１）为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注 意样本的代表性和广泛性。故选Ｃ。 （２）∵调查抽取的总人数为３４÷１７％＝２００， ∴喜欢体育活动的人数为２００－４２－５６－３４＝６８。 ∴补全条形图如图所示。 （３）ｍ％＝ ４２ ２００ ×１００％＝２１％，ｎ％＝ ５６ ２００ ×１００％＝２８％， α°＝ ６８ ２００ ×３６０°＝１２２．４°。 故答案为２１；２８；１２２．４。 （４）１２００× ５６ ２００ ＝３３６（人）。 答：选择科技活动的大约有３３６人。 （５）分别用数字 １，２，３，４代表学科素养、科技活动、 体育活动、艺术活动，画出树状图如图。 两人选择活动时共有１６种等可能的结果，其中两人 选择相同类型延时活动的结果有４种，则                                                                —１６— Ｐ（小莹和小亮选择相同类型活动）＝ ４ １６ ＝１ ４ 。 （６）可以突破校园环境的限制，提供高质量的活动内 容，可利用地方博物馆、文化馆等公共服务机构，开展 丰富多样的课后服务活动。（答案不唯一，合理即可） １９．解：（１）由题意知，Ｆ（０，０），Ｅ（０，１），Ｃ（槡４３，７）， Ｄ（－槡４３，７）。 ∵抛物线的顶点为Ｅ（０，１）， ∴可设抛物线的表达式为ｙ＝ａｘ２＋１。 把点Ｃ（槡４３，７）代入，得７＝ａ（槡４３） ２＋１， 解得ａ＝ １ ８ 。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝ １ ８ ｘ２＋１。 （２）∵酒面下降了１ｃｍ， ∴此时酒面距碗底距离为７－１＝６（ｃｍ），即ｙ＝６。 当ｙ＝６时， １ ８ ｘ２＋１＝６， 解得ｘ１＝－ 槡２ １０，ｘ２＝ 槡２ １０。 ∴酒面ＭＮ的宽度为 槡４ １０ｃｍ。 （３）如图，设ＣＨ与ｙ轴交于点Ｇ。 将酒碗绕点Ｂ缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当∠ＡＢＫ＝ ３０°时停止，则旋转前 ＣＨ与水平方向的夹角为 ３０°， 即∠ＤＣＨ＝３０°。 设直线ＣＨ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，与ｙ轴交于点Ｇ， 由题意知，点Ｃ（槡４３，７）， ∵∠ＤＣＨ＝３０°，ＣＫ＝槡４３ｃｍ， ∴ＫＧ＝槡４３·ｔａｎ３０°＝４（ｃｍ），即点Ｇ（０，３）。 由点Ｃ，Ｇ的坐标，得 槡４３ｋ ＋ｂ＝７， ｂ＝３，{ 解得 ｋ＝ 槡３ ３ ， ｂ＝３。{ ∴直线的表达式为ｙ＝槡 ３ ３ ｘ＋３。 联立上式和抛物线的表达式，得 １ ８ ｘ２＋１＝槡 ３ ３ ｘ＋３， 解得ｘ＝－槡 ４３ ３ 或ｘ＝槡４３。 则点Ｈ －槡４３ ３ ， ５ ３( ) ，Ｃ（槡４３，７）， ∴ＣＨ＝ 槡４３＋ 槡４３ ３( ) ２ ＋７－ ５ ３( )槡 ２ ＝３２ ３ （ｃｍ）。 ２０．（１）证明：如图，连接ＯＣ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＥＢ＝９０°。 ∵ＰＤ⊥ＢＥ， ∴ＰＤ∥ＡＥ。 ∵Ｃ是弧ＡＥ的中点， ∴ＯＣ⊥ＡＥ。∴ＯＣ⊥ＰＤ。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＰＣ是⊙Ｏ的切线。 （２）证明：∵Ｃ是弧ＡＥ的中点， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＣ。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＦＣＡ， ∴△ＡＣＦ∽△ＢＣＡ。 ∴ ＡＣ ＢＣ ＝ＦＣ ＡＣ 。 ∴ＢＣ·ＦＣ＝ＡＣ２。 （３）解：∵Ｃ是弧ＡＥ的中点， ∴ＡＣ＝ＣＥ。 ∵ＢＣ·ＦＣ＝ＡＣ２， ∴ＢＣ·ＦＣ＝ＣＥ２。 ∵ＣＥ２＝３ＣＦ·ＣＤ， ∴ＢＣ·ＦＣ＝３ＣＦ·ＣＤ。 ∴ ＣＤ ＢＣ ＝ＣＦ ３ＣＦ ＝１ ３ 。 在Ｒｔ△ＣＢＤ中，ｓｉｎ∠ＣＢＤ＝ ＣＤ ＢＣ ＝１ ３ 。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＦ＝９０°。 ∵∠ＣＡＦ＝∠ＣＢＤ， ∴ｓｉｎ∠ＣＡＦ＝ ＣＦ ＡＦ ＝１ ３ 。∴设ＣＦ＝ｘ，则ＡＦ＝３ｘ。 ∵在Ｒｔ△ＡＣＦ中，ＡＣ２＋ＣＦ２＝ＡＦ２， ∴２２＋ｘ２＝９ｘ２。 ∴ｘ＝槡 ２ ２ （负值舍去）。 ∴ＡＦ＝槡 ３２ ２ 。 ２１．解：【问题呈现】 由题意可得△ＡＢＣ，△ＣＥＦ，△ＡＣＦ均是直角三角形， 梯形ＡＢＥＦ是直角梯形，ＣＥ＝ＡＢ＝ａ，ＥＦ＝ＢＣ＝ｂ，ＣＦ＝ ＡＣ＝ｃ，∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＢＣ＝ １ ２ ａｂ，Ｓ△ＣＥＦ＝ １ ２ ＣＥ·ＥＦ ＝１ ２ ａｂ，Ｓ△ＡＣＦ＝ １ ２ ＡＣ·ＣＦ＝ １ ２ ｃ２， Ｓ梯形ＡＢＥＦ＝ １ ２ （ＡＢ＋ＥＦ）·（ＢＣ＋ＣＥ）＝ １ ２ （ａ＋ｂ）２。 ∵Ｓ梯形ＡＢＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＣＥＦ＋Ｓ△ＡＣＦ， ∴ １ ２ （ａ＋ｂ）２＝ １ ２ ａｂ＋ １ ２ ａｂ＋ １ ２ ｃ２。 ∴ａ２＋ｂ２＝ｃ２。                                                                —２６— 【拓展延伸】 （１）∵ＡＣ＝ＣＦ，ＣＤ⊥ＡＤ， ∴ＡＤ＝ＤＦ＝８。 ∵ＣＤ＝ＦＧ，∠ＣＤＭ＝∠ＦＧＭ，∠ＣＭＤ＝∠ＦＭＧ， ∴△ＣＤＭ≌△ＦＧＭ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＭ＝ＧＭ，ＣＭ＝ＦＭ。∴△ＭＣＦ是等腰三角形。 ∴ＣＭ＋ＤＭ＝８。 设ＣＭ＝ＦＭ＝ｘ，则ＤＭ＝ＧＭ＝８－ｘ。 在Ｒｔ△ＣＤＭ中，∵ＣＤ２＋ＤＭ２＝ＣＭ２， ∴４２＋（８－ｘ）２＝ｘ２，解得ｘ＝５。 ∴Ｓ△ＭＣＦ＝ １ ２ ＦＭ·ＣＤ＝ １ ２ ×５×４＝１０。 （２）在旋转过程中，点 Ｆ的运动轨迹是以点 Ｃ为圆 心，８为半径的圆， ∴当点Ｆ在ＢＣ的延长线上时，△ＡＢＦ的面积最大。 ∵ａ＝４，ｃ＝８， ∴ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２＝ ８２－４槡 ２＝槡４３。 ∴Ｓ△ＡＢＦ＝ １ ２ ＡＢ·ＢＦ＝ １ ２ ×４×（８＋槡４３）＝１６＋槡８３。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ＡＢ ＡＣ ＝ａ ｃ ＝１ ２ ， ∴∠ＡＣＢ＝３０°。∴∠ＡＣＦ＝１５０°。 ∴旋转角为 １５０°时，△ＡＢＦ的面积最大，最大值为 １６＋槡８３。 ２２．解：（１）由题意知，一元二次方程 ｘ２－４ｘ＋３＝０的求解 问题可以转化为一个二次函数与一次函数图象的交 点问题。ｘ２－４ｘ＋３＝０可以变形为ｘ２－２ｘ＝２ｘ－３，所以 二次函数为ｙ１＝ｘ ２－２ｘ，一次函数为 ｙ２＝２ｘ－３。故答 案为ｙ１＝ｘ ２－２ｘ；ｙ２＝２ｘ－３。（答案不唯一，正确即可） 画图如图１所示。 图１ （２）小莹同学的思路是转化为一个二次函数与一个 一次函数的图象来求解，换一种思路求解时可以把小 莹思路中的二次函数换成反比例函数， 因为函数图象的交点为（１，３），（３，１），可得反比例函 数表达式为ｙ２＝ ３ ｘ 。 方程ｘ２－４ｘ＋３＝０经过移项，得－ｘ２＋４ｘ＝３，方程两边 同时除以ｘ（ｘ≠０），得－ｘ＋４＝ ３ ｘ ，可以看作一次函数 ｙ１＝－ｘ＋４与反比例函数ｙ２＝ ３ ｘ 的交点的横坐标，如图 ２所示。 图２ （３）如图３， 图３ 要想能够围成矩形地块，则函数ｙ１＝－２ｘ＋ａ的图象与 函数ｙ２＝ ８ ｘ 的图象在第一象限内存在交点， 即方程－２ｘ＋ａ＝ ８ ｘ 有实数根， 整理，得－２ｘ２＋ａｘ－８＝０， Δ＝ａ２－４×（－２）×（－８）≥０， 解得ａ≥８。 把ｘ＝１代入ｙ＝ ８ ｘ ，得ｙ＝８， 把（１，８）代入函数ｙ＝－２ｘ＋ａ，得ａ＝１０。 由函数图象可知，边 ＡＢ的长 ｘ≥１，则函数交点应在 点（１，８）的右侧， 所以８≤ａ≤１０。 （４）在处理代数、方程等问题时，可通过绘制函数图 象等几何图形，直观地展示数之间的关系，从而找到 解题的思路。（答案不唯一，合理即可得分）                                                                —３６— — １０３— — １０４— — １０５— 一、单项选择题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下列各式的结果中，最大的是 （　　） Ａ．－（－３） Ｂ．（－３）－２ Ｃ．（－３）０ Ｄ．－｜－３｜ ２．在２０２４年春晚舞台上，中国传统纹样创演秀《年锦》惊艳全网，节目选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意 吉祥祝福的代表纹样与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷，以下纹样图案中 既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．２０２４年元旦假期，我国东北地区的冰雪城市哈尔滨开启“刷屏”模式，旅游市场火爆，元旦假期实现旅 游总收入５９．１４亿元，同时带动各地文旅部门花式揽客，大力发展旅游产业。将“５９．１４亿”保留两个 有效数字，并用科学记数法表示为 （　　） Ａ．５９．１４×１０８ Ｂ．５．９×１０９ Ｃ．５９亿 Ｄ．６．０×１０９ ４．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个 数最少为 （　　） Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６ 第４题图 　　　 第６题图 ５．已知关于ｘ，ｙ的二元一次方程组 ２ｘ －ｙ－ｍ＝６， ｘ＋ｙ－ｍ＝４，{ 则代数式２ｘｙ－１的值可能为 （　　） Ａ．－５ Ｂ．－４ Ｃ．－３ Ｄ．－２ ６．如图，△ＡＢＣ是等腰三角形，分别以腰ＡＢ的两个端点为圆心，以大于 １ ２ ＡＢ的长为半径作弧，两弧分别 相交于点Ｍ，Ｎ，直线ＭＮ交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｄ，∠ＣＢＤ＝４５°，ＢＣ＝槡３２，则ＡＤ的长为 （　　） Ａ．２＋槡 槡３ Ｂ．２３ Ｃ．３＋槡 槡３ Ｄ．３３ 二、多项选择题（共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得５分， 部分选对得３分，有错选的得０分） ７．如图，实数ａ，ｂ在数轴上的对应点分别位于原点两侧，下列各式成立的是 （　　） Ａ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＞０ Ｂ．－ａｂ＜０ Ｃ．｜ ａ ｂ ｜＜１ Ｄ．－ａ＋ｂ＞０ 第７题图 　　　　 第９题图 　　　　 第１０题图 ８．下列说法错误的是 （　　） Ａ．二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－５，当ｘ＞０时ｙ随ｘ的增大而增大 Ｂ．每一个正ｎ边形都是轴对称图形，都有ｎ条对称轴 Ｃ．在一组数据中，每个数据都增加４，则方差增加１６ Ｄ．若ｘ１，ｘ２分别是ｘ ２－３ｘ－５＝０的两根，则ｘ１＋ｘ２＝－３ ９．如图，直线ｙ１＝ｘ＋１，ｙ２＝ｘ－１与双曲线ｙ３＝ ２ ｘ 分别相交于点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，下列说法正确的是 （　　） Ａ．点Ｃ的坐标为（－１，－２） Ｂ．∠ＢＡＤ＝９０° Ｃ．当－２＜ｘ＜０或ｘ＞１时，ｙ１＞ｙ３ Ｄ．四边形ＡＢＣＤ的面积为４ １０．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４，Ｍ是 ＡＢ上一点，且 ＡＭ∶ＢＭ＝ 槡１∶２，过点 Ａ作 ＡＮ⊥ＤＭ，分别交 ＤＭ，ＢＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ，Ｎ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ＢＭ＝ＣＮ Ｂ．Ｐ为ＤＭ上任意一点，则ＰＦ＋ＰＣ的最小值为 槡３２ Ｃ．ＢＮ２＝ＥＭ·ＤＭ Ｄ．Ｓ△ＡＤＦ＝槡６２ 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字－槡２，－槡５，０，２，π，现将卡片背面朝上并洗匀，从中 抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为　　　　。 １２．若分式方程 ｘ－２ ｘ－３ ＝ｍ ｘ－３ ＋２的解为正数，则ｍ的取值范围是　　　　。 １３．如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的边长为１，点Ｏ是其中心，以ＡＢ为边在正六边形ＡＢＣＤＥＦ的内部作正方 形ＡＢＭＮ，连接ＥＭ，ＤＮ，交于点Ｐ，则ＯＰ＝　　　　。 １４．进入初中后数域的范围由小学的算术数扩展到实数，升入高中后角度的范围也将扩展到任意实数， 相对应的锐角三角比也扩展为任意角的三角比，下图是正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ的图象，从图象可以看出函 数图象具有周期性、对称性，点Ｐ从原点Ｏ开始，沿函数图象向右匀速运动，经过１秒到达函数图象 的最高点Ａ（ｍ，ｎ），观察函数图象，经过２０２４秒，点Ｐ的坐标用含ｍ，ｎ的代数式表示为　　　　。 第１３题图 　　　 第１４题图 四、解答题（共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（８分）先化简，再求值： ｘ２－４ｘ＋４ ｘ－１ ÷ ５ ｘ－１ －ｘ－３( )，请从不等式组 ５－２ｘ≥１，ｘ＋１＞０{ 的整数解中选择一个合适的 数代入求值。 １６．（１０分）龙年春晚不仅展示了我国传统文化的博大精深，还展现了现代科技的无限魅力。虚拟现实 技术、无人机表演等技术的运用，使得整个晚会更加丰富多彩，也让观众感受到了科技的力量。如图 所示，Ｃ，Ｄ处有两架固定机位的无人机，Ｃ位于Ｄ的正上方，在Ａ处观察Ｄ的仰角为６０°，为使演出 效果最佳，需要调整Ａ处无人机的位置，当上升１０米到达Ｂ处时测得Ｃ的仰角为４５°，测得Ｄ的仰 角为３０°。 （１）求ＣＤ与ＡＢ之间的距离； （２）求Ｃ，Ｄ处两架固定机位的无人机的距离。 １７．（１２分）潍坊寿光，作为中国蔬菜之乡，其新鲜蔬菜礼盒以其丰富的营养和满满的诚意，成为了新年 礼尚往来的上佳选择。某超市为了利润最大化进行市场调研：某蔬菜礼盒进价１２０元，当每盒售价 １３０元时，每天可售出４５盒；当每盒售价１４０元时，每天可售出４０盒。通过分析销售数据发现，每天 的销售量ｙ（盒）与售价ｘ（元）满足一次函数关系。 （１）当售价定为多少元时，每天销售该种礼盒可获得利润１２００元？ （２）如果你是超市老板，你将如何定价，此时每天需准备多少盒蔬菜礼盒？ １８．（１２分）【问题呈现】 某学校为满足新学期课后延时服务需求，抽取若干名学生进行问卷调查，调查问卷如下： 下列四种类型的延时活动中，你最喜欢的是 （　　） Ａ．学科素养　　Ｂ．科技活动　　Ｃ．体育活动　　Ｄ．艺术活动 【数据收集、整理】 （１）下列抽样调查方式中你认为比较合理的是　　　　； Ａ．在操场上随机抽取部分同学调查 Ｂ．抽取每个班级的各科课代表进行调查 Ｃ．在校门口进行随机抽样调查 Ｄ．对全校所有学生进行调查 （２）学校根据抽取的样本数据绘制成两幅不完整的统计图，请将左侧的条形图补充完整； 　　　 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — １０６— — １０７— — １０８— 【数据分析】 （３）扇形统计图中ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　，α＝　　　　； （４）若学校共有１２００名学生，报名时要求每人选择一项延时活动，选择科技活动的大约有多少人？ （５）小莹和小亮对四种延时活动都非常喜欢，四种活动剩余的名额相同，两人想用随机抽签的形式 来决定参加哪项活动，请利用树状图求出小莹和小亮选择相同类型活动的概率； （６）根据此次调查，你对学校延时服务活动设置有什么建议？ １９．（１２分）“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在潍坊的小明一家人慕名而来。热情好客的广西 人给小明爸爸敬了一碗糯米酒。爱思考的小明发现：酒碗的截面图如图１所示，碗体呈抛物线状（碗 体厚度不计），Ｅ是抛物线的顶点，碗底高ＥＦ＝１ｃｍ，碗口宽ＤＣ与碗底宽 ＡＢ平行。当碗中装满酒 时，酒面宽ＤＣ＝槡８３ｃｍ，此时酒的最大深度ＥＧ＝６ｃｍ。以Ｆ为原点，水平线ＡＢ为ｘ轴，直线ＥＦ为ｙ 轴，建立平面直角坐标系如图２所示。请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （１）求出图２中抛物线的表达式； （２）喝掉部分酒后，其酒面下降了１ｃｍ至线段ＭＮ处，试求此时酒面ＭＮ的宽度； （３）将酒碗绕点Ｂ缓缓倾斜倒出部分酒，如图３，当∠ＡＢＫ＝３０°时停止，求此时的酒面的值。 图１ 　　 图２ 　　 图３ 　　 备用图 ２０．（１２分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｅ在圆上，Ｃ是弧ＡＥ的中点，ＡＥ与ＢＣ相交于点Ｆ，过点Ｃ作ＰＤ ⊥ＢＥ，垂足为Ｄ，交ＢＡ的延长线于点Ｐ。 （１）求证：ＰＣ是⊙Ｏ的切线； （２）求证：ＢＣ·ＦＣ＝ＡＣ２； （３）若ＣＥ２＝３ＦＣ·ＣＤ，ＡＣ＝２，求ＡＦ的长度。 ２１．（１２分）【问题呈现】 小亮同学在研究勾股定理的证明时，借助两个完全相同的矩形进行操作演示，如图１，矩形ＡＢＣＤ以 顶点Ｃ为旋转中心顺时针旋转９０°得到矩形ＦＧＣＥ，连接ＡＣ，ＡＦ，ＣＦ，记ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＡＣ＝ｃ，请结合 图形证明勾股定理。 【拓展延伸】 矩形ＡＢＣＤ的位置不变，矩形ＦＧＣＥ绕点Ｃ旋转。 （１）如图２，若ａ＝４，ｂ＝８，当矩形ＦＧＣＥ旋转到点Ｆ在线段ＡＤ的延长线上时，ＤＦ与ＣＧ相交于点Ｍ， 判断△ＭＣＦ的形状，并求出△ＭＣＦ的面积； （２）若ａ＝４，ｃ＝８，当旋转角为多少度时，△ＡＢＦ的面积最大，最大值为多少？ 图１ 　　 图２ ２２．（１２分）【问题初探】 学习完方程与函数后，小莹和小亮一起讨论探究方程求解的方法。对于方程ｘ２－４ｘ＋３＝０，小莹同学 提出了可以借助二次函数与一次函数的图象来求解的思路，具体方案如下： 方程ｘ２－４ｘ＋３＝０可变形为ｘ２＝４ｘ－３，问题可转化为研究二次函数ｙ１＝ｘ ２与一次函数ｙ２＝４ｘ－３图象的 关系。利用函数图象求得两个函数的交点坐标为（１，１），（３，９），如图１所示，则方程ｘ２－４ｘ＋３＝０的 解为ｘ１＝１，ｘ２＝３。 （１）按照小莹的思路，请设计一种不同的方案：还可转化为二次函数　　　　与一次函数　　　　图 象的关系（写出一种答案即可），并在图２的坐标系中画出函数简图； 图１ 　 图２ 　 图３ 　　 图４ 【类比探究】 （２）小亮同学在探究中发现了一种不同于小莹同学思路的方法，他画出的两个函数图象交点为 （１，３），（３，１），请在图３的坐标系中画出两个函数的图象并阐述具体思路； 【拓展应用】 （３）如图５，某校劳动实践基地计划开垦面积为８ｍ２的矩形地块ＡＢＣＤ种植作物，地块一边靠墙，另 外三边用木栏围住，木栏总长为ａｍ。设ＡＢ为ｘｍ，ＢＣ为ｙｍ，请在图４中用函数的观点进行分析，当 围成矩形的宽ＡＢ不小于１ｍ时，求木栏的长ａ的取值范围； 【学习反思】 （４）通过上述探究过程，你有什么体会或感悟？（写出一条即可） 图５