17 2025年学业水平考试预测模拟卷(一)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ９７— — ９８— — ９９— 一、单项选择题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．第３３届夏季奥林匹克运动会于２０２４年７月２６日—８月１１日在法国巴黎举行，下列四个运动会项目 图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．记者从潍坊市商务局获悉，２０２４年春节假期前７天，１８类重点监测商品销售额共计６．０１亿元，同比增 长３．４４％。其中６．０１亿用科学记数法表示为 （　　） Ａ．０．６０１×１０９ Ｂ．６．０１×１０７ Ｃ．６０．１×１０７ Ｄ．６．０１×１０８ ３．衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品。如 图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 第３题图 　　　　　 第５题图 　　　　　 第６题图 ４．已知ｘ－ｙ＝１，那么ｘ２－ｙ２－２ｘ＋２０２４的值为 （　　） Ａ．２０２２ Ｂ．２０２３ Ｃ．２０２４ Ｄ．２０２５ ５．如图，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ≠０）的图象与正比例函数ｙ＝－ｘ的图象交于点Ａ，Ｂ，作 ＡＭ⊥ｙ轴，垂足为 Ｍ。若△ＡＢＭ的面积为４，则ｋ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．８ Ｄ．－８ ６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，Ｄ是ＡＢ的中点，以点Ａ为圆心，任意长度为半径画 弧，与ＡＢ，ＡＣ相交，分别以这两个交点为圆心，以大于这两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧 交于点Ｍ，作射线ＡＭ；用同样的方法作射线ＢＮ，与ＡＭ相交于点Ｅ，连接ＤＥ，则ＤＥ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．５ Ｄ．４ 二、多项选择题（共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得５分， 部分选对得３分，有错选的得０分） ７．下列命题是真命题的是 （　　） Ａ．等腰三角形是轴对称图形 Ｂ．若ａ２＝ｂ２，则ａ＝ｂ Ｃ．同角的余角相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 ８．如图，在平面直角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ的边ＡＤ在ｙ轴正半轴上，边ＢＣ在第一象限，且Ａ（０，３）， Ｂ（５，３），将正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ顺时针旋转α（０°＜α＜１８０°），若点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在坐标轴上， 则点Ｂ′的坐标可能为 （　　） Ａ．（０，－２） Ｂ．（０，８） Ｃ．（４，０） Ｄ．（－４，０） 第８题图 　　 第１０题图 ９．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０），其中ｘ，ｙ的部分取值如下表所示， ｘ … －１０ －４ ０ １ ３ … ｙ … ｙ１ ｎ ｎ ０ ｙ２ … 则下列说法正确的是 （　　） Ａ．对称轴是直线ｘ＝－２ Ｂ．方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的解为ｘ１＝１，ｘ２＝－５ Ｃ．ｙ１＞ｙ２ Ｄ．若ｎ＝５，则无论ｘ取何值ｙ≤９恒成立 １０．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”。图１是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如 图２所示的机械设备，磨盘半径ＯＱ＝２ｄｍ，用长为１１ｄｍ的连杆将点Ｑ与动力装置Ｐ相连（∠ＯＱＰ大小 可变），点Ｐ在轨道ＡＢ上滑动，并带动磨盘绕点Ｏ转动，ＯＡ⊥ＡＢ，ＯＡ＝５ｄｍ。下列结论正确的是 （　　） Ａ．当ＡＰ＝９ｄｍ，ＰＱ与⊙Ｏ相切 Ｂ．ＡＰ的最大值为１２ｄｍ Ｃ．ＡＰ的最小值为 槡２１４ｄｍ Ｄ．若磨盘转动５周，则点Ｐ在轨道ＡＢ上滑动的路径长是（６０－ 槡１０１４）ｄｍ 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．计算：３－槡 ６４＋（－２） ０－２－１＝　　　　。 １２．关于ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｘ－３ｙ＝１， ｘ＋ｙ＝ｋ{ 的解满足ｘ＞ｙ，则ｋ的取值范围是　　　　。 １３．在某市体育中考中，不考坐位体前屈的同学，可以从跳绳、篮球运球、足球运球、排球垫球四个项目中 任选一项参加测试，小莹和小亮从四个项目中选到相同项目的概率是　　　　。 １４．在《数书九章》（宋·秦九韶）中收录了四个有关测量降水量的例子，其中的“峻积验雪”，就是 根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ＡＤ⊥ＡＢ于点Ａ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ交ＣＢ的延长线于点Ｅ，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＣＥ于 点Ｂ，交ＤＥ于点Ｆ，若ＡＣ＝２４，ＢＣ＝７，ＡＤ＝０．７，则ＢＦ＝　　　　。 四、解答题（共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１１分）（１）利用数轴，确定不等式组 ９－４ｘ≤３， １－ ｘ－２ ６≥ ｘ ２{ 的解集； （２）先化简： １ ｘ２－２ｘ － １ ｘ２－４( )÷ ２ｘ２－２ｘ，再从０，１，２中选择合适的数代入求值。 １６．（１０分）为了解居民的消防安全意识，近日某市消防部门深入社区开展调查，分别从甲、乙两个小区 各随机抽取了２０户家庭进行了消防知识答卷。 根据答卷数据制作了频数分布表： 分数 ４０分 ５０分 ６０分 ７０分 ８０分 ９０分 １００分 甲小区频数 ３ ０ ０ ３ １ ｍ ｎ 乙小区频数 １ １ １ １ ２ ａ ｂ 并根据数据计算出了有关统计量： 统计量 平均值 中位数 众数 方差 甲小区 ８４．５ １００ １００ ４６４．７５ 乙小区 ８５ ９０ ｃ ２８５ 将甲小区的统计数据绘成扇形统计图，乙小区的统计数据绘成条形统计图。 请根据以上信息解答下列问题： （１）ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　； （２）扇形统计图中１００分所对的圆心角为　　　　度； （３）ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　，ｃ＝　　　　，并补全条形统计图； （４）消防部门将优先选择消防安全意识薄弱的小区进入宣传，提升居民的消防安全意识，你认为哪个 小区优先进行？并说明理由。 １７．（１０分）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图１），我们把ｎ＝ ｓｉｎα ｓｉｎβ 称为 折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）。小莹为了观察光线的折射现象，设计了图２所示的实验， 利用激光笔ＪＫ发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在Ｂ处，加水至ＥＦ处，光斑左移至Ｃ处，图 ３是实验的示意图，四边形ＡＢＦＥ是矩形，测得ＢＦ＝２４ｃｍ，ＤＦ＝３２ｃｍ，若光线从空气射入水中的折射率 ｎ＝ ４ ３ ，请帮助小莹求出光斑移动的距离ＢＣ。（参考数据：ｓｉｎ５３°≈ ４ ５ ，ｃｏｓ５３°≈ ３ ５ ，ｔａｎ５３°≈ ４ ３ ） １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — １００— — １０１— — １０２— １８．（１３分）在物理实验课上，小亮对小球滚动问题进行了研究：在一条笔直的滑道上有一个小球，小球 从某处开始减速，小亮收集了小球减速后的运动速度ｖ（单位：ｃｍ／ｓ），运动距离ｙ（单位：ｃｍ）随运动 时间ｔ（单位：ｓ）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示。 　　　　图１　　　　　　　　　　　　图２　　 【模型建构】 经验证，小球的运动速度ｖ与运动时间ｔ，运动距离ｙ与运动时间ｔ之间的数量关系可以用我们已学 的函数来模拟。 （１）可以选择反比例函数来模拟这两个关系吗？为什么？ （２）分别求出小球的运动速度ｖ与运动时间ｔ，运动距离ｙ与运动时间ｔ之间的函数表达式； 【模型应用】 （３）当小球减速后运动距离为１５ｃｍ时，求它此时的运动速度。 １９．（１２分）某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形ＡＢＣＤＥＦ，它可以看作是由一个矩 形和等腰梯形组成的，通风口是一个倒立的等腰三角形ＭＯＮ。其顶点固定在矩形底边ＡＢ的中点Ｏ 上，横杆ＭＮ在ＡＦＥ和ＢＣＤ两侧移动且保持与底边ＡＢ平行。经测量，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ与ＤＥ之间的距 离为２米，ＡＢ＝３米，ＡＦ＝ＢＣ＝１米，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，∠ＢＣＤ＝∠ＡＦＥ＝１３５°。 （１）设等腰三角形ＭＯＮ底边上的高为ｘ，结合图１和图２分别表示Ｓ△ＭＯＮ并写出ｘ的范围； （２）横杆ＭＮ在两侧滑动时，Ｓ△ＭＯＮ有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由。 ２０．（１２分）如图，等边三角形ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，在ＢＣ ) 上取一点Ｐ，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，以Ｂ为顶点作∠ＰＢＭ ＝６０°，交ＰＡ于点Ｍ。 （１）求证：△ＰＢＣ≌△ＭＢＡ； （２）小亮发现ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ之间满足下列关系：ＰＡ＝ＰＣ＋ＰＢ，请你说明理由； （３）若圆的半径为ｒ＝４，∠ＰＣＢ＝３０°，求阴影部分的面积。 ２１．（１０分）【问题发现】 如图１，已知△ＡＢＣ，作直线ＰＱ，分别与边ＡＢ，边ＢＣ和边ＣＡ所在直线交于点Ｑ，Ｒ，Ｐ，作ＡＭ∥ＰＱ，交 ＢＣ于点Ｍ，用基本事实可得 ＡＱ ＱＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＰ ＰＡ ＝　　　　； 【类比迁移】 如图２，已知△ＡＢＣ，作直线ＰＱ，分别与边ＡＢ所在直线，边ＢＣ，边 ＣＡ，交于点Ｑ，Ｒ，Ｐ，上述结论仍然 成立。请说明理由。 【概括表达】 当一条直线与△ＡＢＣ三边所在直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ分别交于点Ｑ，Ｒ，Ｐ时， ＡＱ ＱＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＰ ＰＡ ＝　　　　。 这个结论被称为梅涅劳斯定理； 【迁移应用】 如图３，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝１２，对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ，Ｅ是ＢＣ延长线上一点，且 ＣＥ＝４， ＯＥ交 ＣＤ于点Ｆ，求线段ＣＦ的长。 图１ 　 图２ 　 图３ ２２．（１２分）【材料阅读】 《庄子·天下》中有一名句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一 半，永远也截不完。我们运用此数学思想可以求 １ ２ ＋１ ２２ ＋１ ２３ ＋…＋ １ ２ｎ 的值。 方法１：如图１，借助长度为１的线段，依次取剩余部分的 １ ２ ，可得 １ ２ ＋１ ２２ ＋１ ２３ ＋…＋ １ ２ｎ ＝１－ １ ２ｎ ；或者如图２， 借助面积为１的正方形，依次取剩余部分的 １ ２ ，可得 １ ２ ＋１ ２２ ＋１ ２３ ＋…＋ １ ２ｎ ＝１－ １ ２ｎ 。 图１ 　　 图２ 方法２：设Ｓ＝ １ ２ ＋１ ２２ ＋１ ２３ ＋…＋ １ ２ｎ ，① 则 １ ２ Ｓ＝ １ ２２ ＋１ ２３ ＋…＋ １ ２ｎ ＋１ ２ｎ＋１ ，② ①－②，得Ｓ－ １ ２ Ｓ＝ １ ２ －１ ２ｎ＋１ ，即Ｓ＝１－ １ ２ｎ 。 【实践应用】 任务一：（１）如图３，在一条长度为１的线段上，依次取剩余部分的 ２ ３ ，根据图示或借鉴方法２，计算： ２ ３ ＋ ２ ９ ＋２ ２７ ＋…＋ ２ ３ｎ ＝　　　　　（用含有ｎ的式子表示）。 图３ 　　 图４ （２）如图４，△ＡＢＣ的面积为１，分别取ＡＣ，ＢＣ两边的中点Ａ１，Ｂ１，再分别取Ａ１Ｃ，Ｂ１Ｃ的中点Ａ２，Ｂ２， Ａ２Ｃ，Ｂ２Ｃ的中点Ａ３，Ｂ３，依次取下去……利用图形或借鉴方法２，可以计算出 ３ ４ ＋３ ４２ ＋３ ４３ ＋…＋ ３ ４ｎ ＝　　 　　（用含有ｎ的式子表示）。 任务二：参照上面的过程，选择合适的方法，求 １ ３ ＋２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ 的值（用含有ｎ的式子表示）。 【拓展延伸】 如图５，一棵“树”的枝干都用线段表示，最下方的一条线段表示初始树干，第一次生长，原树干向上长 出三根“树枝”，第二次生长，各树枝再次长出三根“树枝”，按此规律继续生长，用方法２求第ｎ次生长 后，这棵树的枝干共有多少根。（假设每次生长，新长出来的三条“树枝”都不和生长前的“枝干”共线） 图５ ∴Ｐ１（－５，２＋槡７）。 当在直线ＣＤ下方时，视角是∠ＡＰＣ， 此时以Ｄ（－２，－２）为圆心，ＣＤ长为半径画圆，交直线 ｘ＝－５于点Ｐ２，Ｐ４，点Ｐ４不满足视角的定义； 同理可得Ｐ２（－５，－２－槡７）。 综上，直线上满足条件的点 Ｐ的坐标为（－５，２＋槡７） 或（－５，－２－槡７）。 ２２．解：（１）①ＡＤ＋ＣＥ＝ＢＥ。理由如下： 如图１，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ，交ＤＡ的延长线于点Ｆ。 图１ ∵ＢＥ⊥ｌ，ＢＦ⊥ＡＤ， ∴∠ＢＥＣ＝∠Ｆ＝９０°。 又∵ＡＤ⊥ｌ，∴∠ＥＤＦ＝９０°。 ∴四边形ＤＥＢＦ是矩形。∴∠ＥＢＦ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＦ－∠ＡＢＥ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＦ。 在△ＣＢＥ与△ＡＢＦ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＦ， ∠ＢＥＣ＝∠ＢＦＡ， ＣＢ＝ＡＢ，{ ∴△ＣＢＥ≌△ＡＢＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＥ＝ＡＦ，ＢＥ＝ＢＦ。 又∵四边形ＤＥＢＦ是矩形， ∴四边形ＤＥＢＦ是正方形。 ∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＤＦ＝ＢＦ。 ∴ＡＤ＋ＣＥ＝ＡＤ＋ＡＦ＝ＤＦ＝ＢＥ。 ②由①知ＣＤ＋ＡＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＋ＡＤ＝ＤＥ＋ＤＦ＝２ＢＥ。 （２）ＤＣ－ＡＤ＝２ＢＥ。证明如下： 如图２，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＤ，交ＡＤ的延长线于点Ｇ。 图２ ∵ＢＥ⊥ｌ，ＢＧ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＣ＝∠Ｇ＝９０°。 又∵ＡＤ⊥ｌ， ∴∠ＥＤＧ＝９０°。∴四边形ＤＥＢＧ是矩形。 ∴∠ＥＢＧ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＧ－∠ＡＢＥ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＧ。 在△ＢＣＥ与△ＢＡＧ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＧ， ∠ＢＥＣ＝∠ＢＧＡ， ＣＢ＝ＡＢ，{ ∴△ＢＣＥ≌△ＢＡＧ（ＡＡＳ）。∴ＣＥ＝ＡＧ，ＢＥ＝ＢＧ。 又∵四边形ＤＥＢＧ是矩形， ∴四边形ＤＥＢＧ是正方形。 ∴ＤＥ＝ＢＥ＝ＢＧ＝ＤＧ。 ∵ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ， ∴ＣＤ＝ＡＧ＋ＢＥ＝ＡＤ＋ＤＧ＋ＢＥ＝ＡＤ＋２ＢＥ。 ∴ＣＤ－ＡＤ＝２ＢＥ。 （３）如图３，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ。 由（２）同理可证△ＢＡＦ≌△ＢＣＥ，四边形ＤＥＢＦ是正方形， 图３ ∴ＣＥ＝ＡＦ，ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＦ。 ∵ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ， ∴ＣＤ＝ＡＦ－ＢＥ＝ＡＤ－ＤＦ－ＢＥ ＝ＡＤ－２ＢＥ。 ∴ＡＤ－ＣＤ＝２ＢＥ。 ∵ＣＤ＝３，ＡＤ＝９， ∴ＢＥ＝ＤＥ＝３，ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝６。 ∵ＤＨ∥ＢＥ，∴ ＤＨ ＥＢ ＝ＣＤ ＣＥ 。 ∴ ＤＨ ３ ＝３ ６ 。∴ＤＨ＝ ３ ２ 。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ ＡＣ ＡＣＤＡＢＤ ＢＣ １．Ｃ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，又是中 心对称图形，故选项符合题意；Ｄ不是轴对称图形，是 中心对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】６．０１亿＝６０１００００００＝６．０１×１０８。故选Ｄ。 ３．Ｄ　【解析】该直口杯的左视图如下。故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】原式＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－２ｘ＋２０２４ ＝ｘ＋ｙ－２ｘ＋２０２４＝ｙ－ｘ＋２０２４ ＝－１＋２０２４＝２０２３。故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】由题意，得Ｓ△ＡＯＭ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＭ＝２。 所以｜ｋ｜＝４，即ｋ＝－４。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】如图，设ＡＭ交ＢＣ于点 Ｆ，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ ＡＢ于点Ｇ。 ∵ＡＭ是∠ＢＡＣ的平分线，ＢＮ是∠ＡＢＣ的平分线， ∴∠ＢＡＭ＋∠ＡＢＮ＝ １ ２ （∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ）                                                                —５５— ＝１ ２ （１８０°－∠ＡＣＢ）＝４５°。 在△ＡＢＣ中，∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝１０。 ∵Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ＝５。 ∵ＡＭ是∠ＢＡＣ的平分线，∴ＦＧ＝ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝８－ＢＦ。 ∴ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ ＝ＦＧ ＢＦ ，即 ６ １０ ＝８ －ＢＦ ＢＦ ，解得ＢＦ＝５。 ∴ＣＦ＝３，ＢＤ＝ＢＦ。 在Ｒｔ△ＡＣＦ中，根据勾股定理，得ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２＝槡３５。 ∵∠ＡＢＮ＝∠ＣＢＮ，ＢＥ＝ＢＥ， ∴△ＢＤＥ≌△ＢＦＥ（ＳＡＳ）。∴∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＝４５°。 ∴∠ＤＥＦ＝∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ，∴△ＡＣＦ∽△ＡＥＤ。 ∴ ＡＦ ＡＤ ＝ＣＦ ＥＤ ，即 槡 ３５ ５ ＝３ ＥＤ ，解得ＤＥ＝槡５。 故选Ｃ。 ７．ＡＣ　【解析】Ａ．等腰三角形是轴对称图形，原命题是真 命题； Ｂ．若ａ２＝ｂ２，则｜ａ｜＝｜ｂ｜，原命题是假命题； Ｃ．同角的余角相等，原命题是真命题； Ｄ．对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题。 故选ＡＣ。 ８．ＡＣＤ　【解析】①当点 Ｂ的对应点 Ｂ′恰好落在 ｘ轴正 半轴上时，如图１。 图１ ∵ＡＢ′＝ＡＢ＝５，ＯＡ＝３，∴ＯＢ′＝ ５２－３槡 ２＝４。 ∴点Ｂ′的坐标为（４，０）； ②当点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ｙ轴负半轴上时，如图２。 图２ ∵ＡＢ′＝ＡＢ＝５，ＯＡ＝３，∴ＯＢ′＝２。 ∴点Ｂ′的坐标为（０，－２）； ③当点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ｘ轴负半轴上时，如图３。 图３ 同①可得ＯＢ′＝４。∴点Ｂ′的坐标为（－４，０）。 故选ＡＣＤ。 ９．ＡＢＤ　【解析】由题表可知，对称轴是直线 ｘ＝ １ ２ （－４＋０）＝－２。故Ａ正确； ∵当ｘ＝１时，ｙ＝０，∴当ｘ＝－５时，ｙ＝０。 ∴方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的解为ｘ１＝１，ｘ２＝－５。故Ｂ正确； ∵－２－（－１０）＝８，３－（－２）＝５，ａ＜０， ∴ｙ１＜ｙ２。故Ｃ错误； 把ｘ＝－４，ｙ＝５；ｘ＝０，ｙ＝５；ｘ＝１，ｙ＝０代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 １６ａ－４ｂ＋ｃ＝５， ｃ＝５， ａ＋ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ａ＝－１， ｂ＝－４， ｃ＝５。{ ∴ｙ＝－ｘ２－４ｘ＋５＝－（ｘ＋２）２＋９。 ∵－（ｘ＋２）２≤０，∴－（ｘ＋２）２＋９≤９。 ∴若ｎ＝５，则无论ｘ取何值ｙ≤９恒成立。故Ｄ正确。 故选ＡＢＤ。 １０．ＢＣ　【解析】如图１，连接ＯＰ。 ∵ＰＱ与⊙Ｏ相切，∴∠ＯＱＰ＝９０°。 在Ｒｔ△ＯＱＰ中，ＯＱ＝２ｄｍ，ＰＱ＝１１ｄｍ， ＯＰ２＝ＯＱ２＋ＰＱ２＝２２＋１１２＝１２５。 在Ｒｔ△ＯＡＰ中，ＡＰ＝ ＯＰ２－ＯＡ槡 ２＝ １２５－槡 ２５＝１０（ｄｍ）。 故Ａ错误； 如图２，当点Ｑ运动到点Ｑ１时，ＡＰ取最大值Ｓ１， 在Ｒｔ△ＯＡＰ１中，ＯＡ＝５ｄｍ，ＯＰ１＝ＯＱ１＋Ｐ１Ｑ１＝１３ｄｍ， ∴Ｓ１＝ ＯＰ ２ １－ＯＡ槡 ２＝ １３２－５槡 ２＝１２（ｄｍ）。故Ｂ正确； 当点Ｑ运动到点Ｑ２时，ＡＰ取最小值Ｓ２， 在Ｒｔ△ＯＡＰ２中，ＯＡ＝５ｄｍ，ＯＰ２＝Ｐ２Ｑ２－ＯＱ２＝９ｄｍ， ∴Ｓ２＝ ＯＰ ２ ２－ＯＡ槡 ２＝ ９２－５槡 ２＝ 槡２ １４（ｄｍ）。 故Ｃ正确； 图１ 　 图２ 若磨盘转动５周，则点Ｐ在轨道ＡＢ上滑动的路径长 为５×２×（１２－ 槡２ １４）＝（１２０－ 槡２０ １４）ｄｍ。 故Ｄ错误。故选ＢＣ。                                                                —６５— １１．－ ７ ２ 　【解析】原式＝－４＋１－ １ ２ ＝－７ ２ 。 １２．ｋ＞－１　【解析】 ｘ－３ｙ＝１，① ｘ＋ｙ＝ｋ，②{ ①＋②，得２ｘ－２ｙ＝１＋ｋ。 ∵ｘ＞ｙ，即ｘ－ｙ＞０，∴１＋ｋ＞０。∴ｋ＞－１。 １３． １ ４ 　【解析】将跳绳、篮球运球、足球运球、排球垫球 分别用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示，列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ａ） （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｂ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｃ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） （Ｄ，Ｄ） 共有１６种等可能的结果，其中小莹和小亮从四个项 目中选到相同项目的结果有４种，所以小莹和小亮从 四个项目中选到相同项目的概率是 ４ １６ ＝１ ４ 。 １４．２．５　【解析】如图，作ＣＨ⊥ＡＢ，ＢＧ⊥ＤＥ于点Ｈ，Ｇ。 ∵ＤＥ∥ＡＢ，∴ＢＧ⊥ＡＢ。 ∵ＡＤ⊥ＡＢ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＧ＝∠ＢＧＤ＝９０°。 ∴四边形ＡＤＧＢ是矩形，∴ＢＧ＝ＡＤ＝０．７。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２４，ＢＣ＝７， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ２４２＋７槡 ２＝２５。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＨ， ∴ＣＨ＝ ＢＣ·ＡＣ ＡＢ ＝１６８ ２５ 。 ∵ＤＥ∥ＡＢ，∴∠Ｅ＝∠ＡＢＣ。 ∵∠ＦＢＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴△ＦＢＥ∽△ＡＣＢ。 ∵ＣＨ⊥ＡＢ，ＢＧ⊥ＤＥ， ∴ ＢＦ ＡＣ ＝ＢＧ ＣＨ ，即 ＢＦ ２４ ＝０．７ １６８ ２５ 。∴ＢＦ＝２．５。 １５．解：（１）解不等式９－４ｘ≤３，得ｘ≥ ３ ２ ， 解不等式１－ ｘ－２ ６≥ ｘ ２ ，得ｘ≤２， 在同一数轴上表示出两不等式的解集，如图。 所以该不等式组的解集为 ３ ２≤ ｘ≤２。 （２）原式＝ １ ｘ（ｘ－２） － １ （ｘ－２）（ｘ＋２）[ ] ÷ ２ｘ（ｘ－２） ＝ ｘ ＋２ ｘ（ｘ－２）（ｘ＋２） － ｘ ｘ（ｘ－２）（ｘ＋２）[ ] ÷ ２ｘ（ｘ－２） ＝ ２ ｘ（ｘ－２）（ｘ＋２） · ｘ（ｘ－２） ２ ＝１ ｘ＋２ 。 ∵要使原分式有意义， ∴ｘ≠０，ｘ≠±２。∴ｘ＝１。 ∴原式＝ １ １＋２ ＝１ ３ 。 １６．解：（１）ｍ＝２０×１０％＝２，ｎ＝２０－３－３－１－２＝１１。故答 案为２；１１。 （２）扇形统计图中 １００分所对的圆心角度数为 １１ ２０ × ３６０°＝１９８°。故答案为１９８。 （３）由题意，得ａ＋ｂ＝２０－４×１－２＝１４。 根据乙小区的平均值，得４０＋５０＋６０＋７０＋２×８０＋９０ａ＋ １００ｂ＝８５×２０。 联立上方两个式子，解得ａ＝８，ｂ＝６。 乙小区得９０分的家庭最多，故众数为９０。 故答案为８；６；９０。 补全条形统计图如下： （４）甲小区。理由：方差大，平均数小，消防安全意识 整体较弱。（合理即可） １７．解：如图，设法线为 ＭＮ，ＭＮ交 ＡＢ于点 Ｈ，则 ＭＮ ∥ＢＦ， ∴∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＦ＝∠ＰＤＭ。 ∵ＢＦ＝２４ｃｍ，ＤＦ＝３２ｃｍ， ∴ｔａｎ∠ＤＢＦ＝ ＤＦ ＢＦ ＝３２ ２４ ＝４ ３ 。 ∵ｔａｎ５３°≈ ４ ３ ， ∴入射角约为５３°，即α≈５３°。 ∵ｎ＝ ４ ３ ，∴ ｓｉｎα ｓｉｎβ ＝４ ３ 。 ∴ｓｉｎβ＝ ３ ５ 。 ∵ＤＨ⊥ＡＢ，∴四边形ＤＨＢＦ是矩形。 ∴ＤＦ＝ＢＨ，ＤＨ＝ＢＦ。 在Ｒｔ△ＤＨＣ中，∵ｓｉｎβ＝ ＣＨ ＣＤ ＝３ ５ ， ∴设 ＣＨ＝３ｘ，ＣＤ＝５ｘ，则ＤＨ＝４ｘ。∴４ｘ＝２４，解得ｘ＝６。 ∴ＣＨ＝１８ｃｍ。∴ＢＣ＝ＢＨ－ＣＨ＝ＤＦ－ＣＨ＝１４ｃｍ， 即光斑移动的距离为１４ｃｍ。 １８．解：（１）不可以选择反比例函数。 理由：反比例函数的图象与坐标轴没有交点，而题图中 的函数图象与坐标轴都有交点；反比例函数在第一象限 中纵坐标的值随横坐标的值增大而减小，图象不是均匀                                                                —７５— 递减的，而题图１的图象是均匀递减的，题图２的图象是 递增的。（答案不唯一，说出一种合理理由即可） （２）由题意，可猜想运动速度 ｖ与运动时间 ｔ是一次 函数关系，设ｖ关于ｔ的函数表达式为ｖ＝ｍｔ＋ｎ， 把（０，８），（１，７．５）代入表达式，得 ｎ＝８， ｍ＋ｎ＝７．５，{ 解得 ｍ＝－０．５， ｎ＝８。{ 所以ｖ＝－０．５ｔ＋８。 经检验，点（２，７），（３，６．５），（４，６）在函数图象上， 故ｖ＝－０．５ｔ＋８。 由题意，可猜想运动距离ｙ与运动时间ｔ是二次函数关系， 设运动距离ｙ与运动时间ｔ之间的函数表达式为 ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ，把（０，０），（１，７．７５），（２，１５）代入表达 式，得 ｃ＝０， ａ＋ｂ＋ｃ＝７．７５， ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝１５，{ 解得 ａ＝－０．２５， ｂ＝８， ｃ＝０。{ 所以ｙ＝－０．２５ｔ２＋８ｔ。 经检验，点（３，２１．７５），（４，２８）在函数图象上， 故ｙ＝－０．２５ｔ２＋８ｔ。 （３）由题图２可得当ｙ＝１５时，ｔ＝２。 当ｔ＝２时，由题图１可得ｖ＝７。 所以小球此时的运动速度为７ｃｍ／ｓ。 １９．解：（１）∵横杆 ＭＮ在 ＡＦＥ和 ＢＣＤ两侧移动且保持 与底边ＡＢ平行， 且ＡＢ＝３米，ＡＦ＝ＢＣ＝１米，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，等腰三角 形ＭＯＮ底边上的高为ｘ， ∴①当０＜ｘ≤１时，ＡＢ＝ＭＮ＝３米， Ｓ△ＭＯＮ＝ １ ２ ×３·ｘ＝ ３ ２ ｘ； ②当１＜ｘ≤２时，如图，作 ＭＨ⊥ ＡＢ交ＦＣ于点Ｇ，交ＡＢ于点Ｈ。 ∵∠ＢＣＤ＝∠ＡＦＥ＝１３５°，四边 形ＡＢＣＦ是矩形， ∴∠ＭＦＣ＝∠ＮＣＦ＝４５°。 ∴ＦＧ＝ＭＧ＝（ｘ－１）米。 ∴ＭＮ＝３－２×（ｘ－１）＝５－２ｘ（米）。 ∴Ｓ△ＭＯＮ＝ １ ２ （５－２ｘ）·ｘ＝－ｘ２＋ ５ ２ ｘ。 ∴Ｓ△ＭＯＮ＝ ３ ２ ｘ（０＜ｘ≤１）， －ｘ２＋ ５ ２ ｘ（１＜ｘ≤２）。{ （２）横杆ＭＮ在两侧滑动时，Ｓ△ＭＯＮ有最大值。 ①当０＜ｘ≤１时，此时ｘ＝１，Ｓ△ＭＯＮ有最大值为 ３ ２ 。 ②当１＜ｘ≤２时，根据二次函数的性质可知 Ｓ△ＭＯＮ＝－ｘ－ ５ ４( ) ２ ＋２５ １６ ， ∴当ｘ＝ ５ ４ 时，Ｓ△ＭＯＮ有最大值为 ２５ １６ 。 ∵ ３ ２ ＜ ２５ １６ ，∴当ｘ＝ ５ ４ 时，Ｓ△ＭＯＮ有最大值为 ２５ １６ 平方米。 ２０．（１）证明：由题意，得∠ＢＣＰ＝∠ＢＡＭ，在等边三角形 ＡＢＣ中，ＣＢ＝ＡＢ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＢ＝６０°。 又∵∠ＰＢＭ＝６０°， ∴∠ＰＢＭ－∠ＭＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＭＢＣ。 ∴∠ＣＢＰ＝∠ＡＢＭ。 ∴△ＰＢＣ≌△ＭＢＡ（ＡＳＡ）。 （２）解：∵△ＰＢＣ≌△ＭＢＡ，∴ＰＢ＝ＭＢ，ＰＣ＝ＭＡ。 又∵∠ＰＢＭ＝６０°， ∴△ＰＢＭ是等边三角形。 ∴ＰＢ＝ＭＰ。 ∴ＰＡ＝ＭＡ＋ＭＰ＝ＰＣ＋ＰＢ。 （３）解：如图，连接ＯＣ，ＯＢ，ＯＰ， 则ＯＢ＝ＯＣ，∠ＣＯＢ＝２∠ＣＡＢ＝１２０°， ∠ＰＯＢ＝２∠ＰＣＢ＝６０°， ∴△ＯＣＰ，△ＰＯＢ是等边三角形。 ∴∠ＯＣＢ＝３０°。 又∵∠ＣＢＰ＝６０°－∠ＰＣＢ＝６０°－ ∠ＰＣＢ＝６０°－３０°＝３０°， ∴∠ＯＣＢ＝∠ＣＢＰ。 ∴ＯＣ∥ＰＢ。 ∴Ｓ△ＯＰＢ＝Ｓ△ＢＣＰ。 ∴Ｓ阴影＝Ｓ弓形＋Ｓ△ＢＣＰ＝Ｓ弓形＋Ｓ△ＯＰＢ＝Ｓ扇形ＢＯＰ＝ ６０π·４２ ３６０ ＝８π ３ 。 ２１．解：【问题发现】由题意，得ＡＭ∥ＱＲ， 在△ＡＢＭ中， ＡＱ ＱＢ ＝ＭＲ ＲＢ ， 在△ＰＣＲ中， ＣＰ ＰＡ ＝ＣＲ ＲＭ ， ∴ ＡＱ ＱＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＰ ＰＡ ＝ＭＲ ＲＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＲ ＲＭ ＝１。 故答案为１。 【类比迁移】如图，作ＡＭ∥ＰＱ，交ＢＣ于点Ｍ。 ∵ＡＭ∥ＰＱ， ∴ ＡＱ ＱＢ ＝ＭＲ ＲＢ ， ＣＰ ＰＡ ＝ＣＲ ＲＭ 。 ∴ ＡＱ ＱＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＰ ＰＡ ＝ＭＲ ＲＢ · ＲＢ ＣＲ · ＣＲ ＲＭ ＝１。 【概括表达】１ 【迁移应用】 由梅涅劳斯定理，得 ＢＯ ＯＤ · ＤＦ ＦＣ · ＣＥ ＥＢ ＝１， 又∵ＡＢＣＤ中，ＢＯ＝ＯＤ，ＢＣ＝ＡＤ＝１２，ＣＤ＝ＡＢ＝１０， ＣＥ＝４， ∴ ＢＯ ＯＤ · １０－ＣＦ ＦＣ · ４ ４＋１２ ＝１，解得ＣＦ＝２。 ２２．解：【实践应用】 任务一：（１）设Ｔ＝ ２ ３ ＋２ ９ ＋２ ２７ ＋…＋ ２ ３ｎ ，①                                                                —８５— 则 １ ３ Ｔ＝ ２ ３２ ＋２ ３２ ＋２ ３４ ＋…＋ ２ ３ｎ＋１ ，② ①－②，得Ｔ－ １ ３ Ｔ＝ ２ ３ －２ ３ｎ＋１ ， 所以 ２ ３ Ｔ＝ ２ ３ －２ ３ｎ＋１ ，即Ｔ＝１－ １ ３ｎ 。 故答案为１－ １ ３ｎ 。 （２）设Ａ＝ ３ ４ ＋３ ４２ ＋３ ４３ ＋…＋ ３ ４ｎ ，① 则 １ ４ Ａ＝ ３ ４２ ＋３ ４３ ＋３ ４４ ＋…＋ ３ ４ｎ＋１ ，② ①－②，得Ａ－ １ ４ Ａ＝ ３ ４ －３ ４ｎ＋１ ， 所以 ３ ４ Ａ＝ ３ ４ －３ ４ｎ＋１ ，即Ａ＝１－ １ ４ｎ 。 故答案为１－ １ ４ｎ 。 任务二：方法 １：用面积为 １的正方形，依次取剩余 的 １ ３ 。 所以 １ ３ ＋２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ＝１－ ２ｎ ３ｎ 。 方法２：设Ｓ＝ １ ３ ＋２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ，① 则 ２ ３ Ｓ＝ ２ ９ ＋４ ２７ ＋８ ８１ ＋…＋ ２ｎ－１ ３ｎ ＋２ ｎ ３ｎ＋１ ，② ①－②，得Ｓ－ ２ ３ Ｓ＝ １ ３ －２ ｎ ３ｎ＋１ ，即Ｓ＝１－ ２ｎ ３ｎ 。 【拓展延伸】 设这棵树的枝干共有Ｍ根， 则Ｍ＝１＋３＋３２＋３３＋３４＋…＋３ｎ，① 则３Ｍ＝３＋３２＋３３＋３４＋…＋３ｎ＋３ｎ＋１。② ①－②，得Ｍ－３Ｍ＝１－３ｎ＋１， 即Ｍ＝－ １－３ｎ＋１ ２ ＝３ ｎ＋１－１ ２ 。 所以这棵树的枝干共有 ３ｎ＋１－１ ２ 根。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ ＣＤ ＣＤ ＡＢＣ ＡＣ １．Ａ　【解析】－（－３）＝３，（－３）－２＝ １ ９ ，（－３）０＝１， －｜－３｜＝－３。 ∵３＞１＞ １ ９ ＞－３，∴最大的是－（－３）。 故选Ａ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既不是轴对称图形，也不是中心对称图 形，故选项符合题意；Ｂ既是轴对称图形，也是中心对 称图形，故选项不符合题意；Ｃ不是轴对称图形，是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｄ既是轴对称图形， 也是中心对称图形，故选项不符合题意。 故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】５９．１４亿＝５９１４００００００＝５．９１４×１０９≈５．９× １０９。故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】根据主视图和俯视图可得这个几何体有 ２层，２列，最底层有５个小正方体，第二层最少有１个 小正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少 为５＋１＝６。故选Ｄ。 ５．Ｄ　【解析】解二元一次方程组，得ｘ＝ ２ｍ ３ ＋１０ ３ ，ｙ＝ ｍ ３ ＋２ ３ 。 因此２ｘｙ－１＝２ ２ｍ ３ ＋１０ ３( ) ｍ３＋２３( ) －１ ＝４ ９ ｍ２＋ ２８ ９ ｍ＋ ３１ ９ ＝ ２ｍ ３ ＋７ ３( ) ２ －２≥－２。 故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＢＤ于点Ｆ， 则∠ＢＦＣ＝９０°。 ∵∠ＣＢＤ＝４５°，∴∠ＢＣＦ＝４５°。∴ＢＦ＝ＣＦ。 ∵ＢＣ＝槡３２，∴ＢＦ＝ＣＦ＝３。 ∵△ＡＢＣ是等腰三角形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＦ。 ∵ＭＮ垂直平分ＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ。∴∠Ａ＝∠ＡＢＤ。 ∵∠Ａ＋∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＦ＝１８０°－４５°－４５°， ∴∠ＡＣＦ＝３０°。∴ＤＦ＝槡３。 ∴ＢＤ＝ＢＦ＋ＤＦ＝３＋槡３。故选Ｃ。 ７．ＣＤ　【解析】由题图可知ａ＜０，ｂ＞０，｜ａ｜＜｜ｂ｜， 所以（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＜０，－ａｂ＞０， ａ ｂ ＜１，－ａ＋ｂ＞０。故选ＣＤ。 ８．ＣＤ　【解析】二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－５＝（ｘ＋１）２－６， 当ｘ＞－１时，ｙ随ｘ的增大而增大。故Ａ正确； 每一个正ｎ边形都是轴对称图形，都有ｎ条对称轴。 故Ｂ正确； 在一组数据中，每个数据都增加４，则方差不变。 故Ｃ错误； 若ｘ１，ｘ２分别是ｘ ２－３ｘ－５＝０的两根，则ｘ１＋ｘ２＝３。 故Ｄ错误。故选ＣＤ。 ９．ＡＢＣ　【解析】令ｙ２＝ｙ３，得ｘ－１＝ ２ ｘ ， 解得ｘ１＝－１，ｘ２＝２。所以点 Ｃ的坐标为（－１，－２），点 Ｄ的坐标为（２，１）。故Ａ正确； 同理可得点Ａ的坐标为（１，２），                                                                —９５—