15 2023年诸城市学业水平第二次模拟试题(与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ８５— — ８６— — ８７— 一、单选题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下面四个实数中，最大的是 （　　） Ａ． １ ２ 槡 Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．｜－３｜ ２．如图所示的几何体的主视图是 （　　） 　　　　 Ａ 　　　　 Ｂ 　　　　 Ｃ 　　　　 Ｄ ３．如图，已知ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝５５°，分别以点Ｂ，Ｃ为圆心，以大于 １ ２ ＢＣ的长为半径画弧，分别交于点Ｍ， Ｎ，作直线ＭＮ交ＣＤ于点Ｅ，则∠ＡＢＥ的度数为 （　　） Ａ．５５° Ｂ．６０° Ｃ．６５° Ｄ．７０° 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第６题图 ４．如图所示，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，点Ｆ在ＤＥ上，且∠ＡＦＢ＝９０°，若ＡＢ＝５，ＢＣ＝１０，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．１．５ Ｃ．２．５ Ｄ．３ ５．定义新运算：ａ ! ｂ＝ ａ ｂ （ｂ＞０）， －ａ ｂ （ｂ＜０），      例如：３ ! ５＝ ３ ５ ，３ ! （－５）＝－ ３ －５ ，则ｙ＝３ ! ｘ（ｘ≠０）的图象是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６．如图，将扇形ＡＯＢ翻折，使点Ａ与圆心Ｏ重合，展开后折痕所在直线ｌ与弧ＡＢ交于点Ｃ，连接ＡＣ。若 ＯＡ＝３，则图中阴影部分的面积为 （　　） Ａ． ３π ２ －槡９３ ４ Ｂ． ５π ２ －槡９３ ４ Ｃ．槡 ９３ ２ －３π ２ Ｄ． ３π ２ 二、多选题（共４小题，每小题４分，共１６分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得４分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ７．若ｘ是实数，在“（槡５－１）□ｘ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择），其运算结果 是有理数，则ｘ可能是 （　　） 槡Ａ．５＋ 槡 槡１ Ｂ．５ Ｃ．３５ Ｄ．２－槡５ ８．关于ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｘ－ｙ＝ａ＋３， ３ｘ＋ｙ＝２ａ，{ 下列说法正确的是 （　　） Ａ．当ａ＝－３时，ｘ＝ｙ Ｂ．若ｘ＋ｙ＜０，则ａ＞３ Ｃ．ｘ，ｙ满足关系式ｘ＋３ｙ＝－６ Ｄ．若２ｘ·４ｙ＝８，则ａ＝２７ ９．已知二次函数的表达式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３，将其图象向右平移ｋ（ｋ＞０）个单位长度，得到新的二次函数ｙ１ 的图象，使得当－１＜ｘ＜３时，ｙ１随ｘ的增大而增大；当４＜ｘ＜５时，ｙ１随ｘ的增大而减小，则实数ｋ的取值 可以为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ １０．如图，一架梯子ＡＢ斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点Ａ处，底端在水平地面的点Ｂ处。保持 梯子底端Ｂ的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点Ｄ处，连接ＡＤ，Ｆ是线段 ＡＤ上的一点，且ＢＦ∥ＡＣ。若ＡＣ＝２米，ＢＣ＝１．５米，顶端Ｄ距离地面的高度ＤＥ比ＡＣ少０．５米，则下 列结论成立的是 （　　） Ａ．ＡＢ的长为２．５米 Ｂ．ＣＥ的长为３．５米 Ｃ．四边形ＡＣＥＤ的面积为 ４９ ４ 平方米 Ｄ．ＢＦ的长为 ２５ １４ 米 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．国家统计局网站显示，今年３月份，全国社会消费品零售总额为３７８５５亿元，同比增长１０．６％，３７８５５ 亿用科学记数法表示为３．７８５５×１０ｎ，则ｎ＝　　　　　。 １２．如图，△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三角形，点Ｏ在ＡＢ上，⊙Ｏ的半径为３，ＡＣ＝２，若Ｄ是圆上的动点，则点 Ｄ到ＢＣ的距离的最大值为　　　　　。 第１２题图 　　　 第１３题图 　　　 第１４题图 １３．某学生的眼睛离地面的距离为ｍ米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角为３０°，继续向正前方走ｎ米 再看篮球框，测得仰角为６０°，篮球框距地面的高度为　　　　　米。 １４．在如图所示的平面直角坐标系中，△ＯＡ１Ｂ１是边长为２的等边三角形，作△Ｂ２Ａ２Ｂ１与△ＯＡ１Ｂ１关于点 Ｂ１成中心对称，再作△Ｂ２Ａ３Ｂ３与△Ｂ２Ａ２Ｂ１关于点 Ｂ２成中心对称，……，如此作下去，则△Ｂ２０２２Ａ２０２３ Ｂ２０２３的顶点Ａ２０２３的坐标为　　　　　。 四、解答题（共８小题，共９４分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１０分）以下是某同学化简分式 ２ｘ－１ ｘ＋１ －ｘ＋１( )÷ ｘ－２ｘ２＋２ｘ＋１的部分运算过程： 原式＝ ２ｘ－１ ｘ＋１ －（ｘ ＋１）２ ｘ＋１[ ]÷ ｘ－２（ｘ＋１）２① ＝２ｘ －１－（ｘ＋１）２ ｘ＋１ ×（ｘ ＋１）２ ｘ－２ ② ＝ －２－ｘ２ ｘ＋１ ×（ｘ ＋１）２ ｘ－２ …… （１）上面的运算过程中从第　　　　步出现了错误，错误原因是　　　　　　　　　　　； （２）请你写出完整的解答过程。 １６．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－ｘ－３＝０。 （１）若ｘ＝－１是方程的一个根，求ｍ的值及另一个根； （２）若该一元二次方程有两个不同的实数根，求ｍ的取值范围。 １７．（１２分）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育， 该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数的情况开展了一次调 查研究。 ①收集数据：通过问卷调查，兴趣小组获得了２０名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：３， １，２，２，３，３，２，３，１，ａ，４，０，５，５，２，６，１，６，３，１； ②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）　　　　　　 分组 频数 ０≤ｘ＜２ ｍ ２≤ｘ＜４ ｎ ４≤ｘ＜６ ３ ６≤ｘ＜８ ２ 　　　　　　 １５２０２３年诸城市学业水平第二次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ８８— — ８９— — ９０— ③分析数据： 平均数 中位数 众数 ２．８ ｂ ｃ 根据以上信息，解答下列问题： （１）兴趣小组抽取该校九年级２０名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是　　　　； Ａ．从该校九年级（１）班中随机抽取２０名学生 Ｂ．从该校九年级女生中随机抽取２０名学生 Ｃ．从该校九年级学生中随机抽取男、女各１０名学生 （２）填空：ａ＝　　　　，ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　，ｂ＝　　　　，ｃ＝　　　　； （３）已知一周参加家庭劳动的次数在４≤ｘ＜８的这５名学生中，有２名女生，３名男生，现准备从这 ５名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会。请你利用列表法或画树状图法求“谈体会的两人都是 男生”的概率。 １８．（１０分）对于任意一个四位正整数，我们可以记为ａｂｃｄ，即ａｂｃｄ＝１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ。规定：对四位 正整数ａｂｃｄ进行Ｆ运算，得到整数Ｆ（ａｂｃｄ）＝ａ４＋ｂ３＋ｃ２＋ｄ１。例如，Ｆ（１０４９）＝１４＋０３＋４２＋９１＝２６。 （１）计算：Ｆ（２０２３）； （２）当ｃ＝ｅ＋４时，证明：Ｆ（ａｂｃｄ）－Ｆ（ａｂｅｄ）的运算结果一定是８的倍数。 １９．（１１分）如图，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＣＡＢ的平分线交ＢＣ于点Ｄ，交⊙Ｏ于点 Ｅ，连接ＢＥ，作∠ＢＥＦ＝∠ＣＡＥ，ＥＦ交ＡＢ的延长线于点Ｆ。 （１）求证：ＥＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＦ＝８，ＯＢ＝１２，求证：ＡＥ＝２ＢＥ。 ２０．（１４分）某超市购进了一种商品，进价为每件８元，销售过程中发现，该商品每天的销售量ｙ（件）与每 件售价ｘ（元）之间存在某种函数关系（其中８≤ｘ≤１５，且ｘ是整数），且当ｘ＝８时，ｙ＝１１０；当ｘ＝１０ 时，ｙ＝１００；当ｘ＝１２时，ｙ＝９０；…，设超市销售这种商品每天获利为ｗ（元）。 （１）请判断ｙ与ｘ符合哪种函数关系，并求ｙ与ｘ的函数表达式； （２）若该超市销售这种商品每天获利４８０元，则每件商品的售价为多少元？ （３）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ ２１．（１３分）某工厂加工车间要从一块四边形钢板ＡＢＣＤ中切割一个正方形，已知ＡＤ＝９米，ＣＤ＝２米， ＡＢ＝１４米，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°。如图，现有方案１和方案２两种切割方案，图中的正方形ＡＥＦＧ和正方形 ＭＮＰＱ四个顶点都在原四边形的边上。 （１）求ＢＣ的长； （２）求 ＥＦ ＭＮ 的值； （３）若在△ＢＥＦ余料上再切割一个最大正方形，请直接写出此正方形的边长。 方案１ 　 方案２ ２２．（１４分）如图１，两个正方形拼接成一个“Ｌ”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分。 小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图２是其中一种方法。 （１）请在下面图形（图５）中再画出另外两种分割方法； （２）若小正方形的边长为２，大正方形的边长为４，小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图１放置 在平面直角坐标系中，如图３所示，此时图２所示的分割直线 ＡＢ的表达式为 ｙ＝－ １ ３ ｘ＋ ４ ３ 。小颖发 现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点。请你证明此发现； （３）小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图４所示。请根据此图，简述其作图思路； （４）通过上述探究过程，谈谈你的收获。（两条即可） 图１ 　 图２ 　 图３ 　 备用图 图４ 　 　 图５ ∴点Ｐ的坐标为 ３ ２ ，－ ３５ ８( ) 。 ２２．解：（１）①∠ＰＱＣ。（答案不唯一，如∠ＡＭＥ，∠ＤＡＰ， ∠ＭＡＰ） ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｄ＝∠Ｃ＝９０°。 由折叠，得ＥＦ垂直平分ＡＤ，ＥＦ垂直平分ＢＣ， ＡＭ＝ＡＤ，∠ＡＭＰ＝∠Ｄ＝９０°， ∴∠ＡＥＦ＝９０°，ＡＥ＝ＤＥ＝ １ ２ ＡＤ＝ １ ２ ＡＭ。 ∵点Ｍ在ＥＦ上，∴ｓｉｎ∠ＡＭＥ＝ ＡＥ ＡＭ ＝１ ２ 。 ∴∠ＡＭＥ＝３０°。 ∴∠ＤＡＭ＝９０°－∠ＡＭＥ＝６０°。 ∴∠ＢＡＭ＝３０°，∠ＤＡＰ＝∠ＭＡＰ＝ １ ２∠ ＤＡＭ＝３０°。 ∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＰＭ＝６０°。 ∴∠ＣＰＱ＝１８０°－∠ＡＰＤ－∠ＡＰＭ＝６０°。 ∴∠ＰＱＣ＝３０°。 ②∵∠ＤＡＢ＝９０°，∠ＤＡＭ＝６０°， ∴∠ＢＡＭ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＭ＝３０°。 ∵ＡＭ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＭ＝ＡＢ。 ∵∠ＡＭＱ＝１８０°－∠ＡＭＰ＝９０°， ∴∠ＡＭＱ＝∠Ｂ＝９０°。 ∵ＡＱ＝ＡＱ，∴Ｒｔ△ＡＭＱ≌Ｒｔ△ＡＢＱ（ＨＬ）。 ∴∠ＭＡＱ＝∠ＢＡＱ＝ １ ２∠ ＢＡＭ＝１５°。 故答案为１５°；１５°。 （２）∠ＭＡＱ＝∠ＢＡＱ。理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ｄ＝∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ。 由折叠，得ＡＭ＝ＡＤ，∠ＡＭＰ＝∠Ｄ＝９０°， ∴∠ＡＭＱ＝１８０°－∠ＡＭＰ＝９０°，ＡＭ＝ＡＢ。 ∵ＡＱ＝ＡＱ， ∴Ｒｔ△ＡＭＱ≌Ｒｔ△ＡＢＱ（ＨＬ）。 ∴∠ＭＡＱ＝∠ＢＡＱ。 （３）∵正方形纸片ＡＢＣＤ的边长为４ｃｍ， ∴ＢＣ＝ＣＤ＝４ｃｍ。 ∴ＢＦ＝ＣＦ＝ １ ２ ＢＣ＝２ｃｍ。 由折叠，得ＭＰ＝ＤＰ， ∵Ｒｔ△ＡＭＱ≌Ｒｔ△ＡＢＱ，∴ＭＱ＝ＢＱ。 设ＤＰ＝ｘｃｍ，则ＣＰ＝（４－ｘ）ｃｍ， ∵∠Ｃ＝９０°，∴ＣＰ２＋ＣＱ２＝ＰＱ２。 当点Ｑ在ＢＦ上时，如题图１， 则ＭＱ＝ＢＱ＝２－０．５＝１．５（ｃｍ），ＣＱ＝２＋０．５＝２．５（ｃｍ）， ∴（４－ｘ）２＋２．５２＝（１．５＋ｘ）２，解得ｘ＝ ２０ １１ ； 当点Ｑ在ＣＦ上时，如题图２， 则ＭＱ＝ＢＱ＝２＋０．５＝２．５（ｃｍ），ＣＱ＝２－０．５＝１．５（ｃｍ）， ∴（４－ｘ）２＋１．５２＝（２．５＋ｘ）２，解得ｘ＝ １２ １３ 。 综上所述，ＤＰ的长为 ２０ １１ ｃｍ或 １２ １３ ｃｍ。 １５２０２３年诸城市学业水平第二次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ ＡＢＤＡＣＤ ＡＢ ＡＢＤ １．Ｄ　【解析】∵｜－３｜＝３，∴｜－ 槡３｜＞２＞ １ ２ ＞０。 ∴所给的四个实数中最大的是｜－３｜。故选Ｄ。 ２．Ａ　【解析】从正面看该几何体，底层是一个矩形，矩形的 两侧分别有一条纵向的实线，上层是一个矩形。故选Ａ。 ３．Ｄ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ａ＝５５°， ∴∠Ｃ＝∠Ａ＝５５°，∠ＡＢＣ＝１８０°－５５°＝１２５°。 由作图可知ＭＮ是线段ＢＣ的垂直平分线， ∴ＢＥ＝ＣＥ。∴∠Ｃ＝∠ＥＢＣ＝５５°。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ＝１２５°－５５°＝７０°。故选Ｄ。 ４．Ｃ　【解析】∵∠ＡＦＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ的中点，ＡＢ＝５， ∴ＤＦ＝ １ ２ ＡＢ＝２．５。 ∵ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，ＢＣ＝１０， ∴ＤＥ＝ １ ２ ＢＣ＝５。∴ＥＦ＝ＤＥ－ＤＦ＝５－２．５＝２．５。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】由题意，得ｙ＝３ ! ｘ＝ ３ ｘ （ｘ＞０）， －３ ｘ （ｘ＜０），{ 当ｘ＞０时，反比例函数ｙ＝ ３ ｘ 的图象在第一象限； 当ｘ＜０时，反比例函数ｙ＝－ ３ ｘ 的图象在第二象限。 又因为反比例函数图象是双曲线，因此选项 Ｂ符合。 故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】如图，连接 ＯＣ。由 题意，得直线ｌ垂直平分ＯＡ， ∴ＡＣ＝ＯＣ。 ∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴△ＯＡＣ是等边三角形。 ∴∠ＡＯＣ＝６０°。 ∴扇形ＯＡＣ的面积＝ ６０π×３２ ３６０ ＝３π ２ ， △ＯＡＣ的面积＝ １ ２ ×槡３ ２ ＯＡ·ＯＡ＝槡 ９３ ４ 。 ∴阴影部分的面积＝扇形 ＯＡＣ的面积－△ＯＡＣ的面积 ＝３π ２ －槡９３ ４ 。故选Ａ。 ７．ＡＢＤ　【解析】∵当ｘ＝槡５＋１时，（槡５－１）－ｘ＝槡５－１－ （槡５＋１）＝－２，∴ｘ可能等于槡５＋１。故选项 Ａ符合题 意；当ｘ＝槡５时，（槡５－１）－ｘ＝槡５－１－槡５＝－１，∴ｘ可能 等于槡５。故选项Ｂ符合题意；当ｘ＝２－槡５时，（槡５－１）＋ ｘ＝槡５－１＋（２－槡５）＝１，∴ｘ可能等于２－槡５。故选项 Ｄ 符合题意；当 ｘ＝ 槡３５时，（槡５－１）＋ｘ＝槡５－１＋ 槡３５＝ 槡４５－１，（槡５－１）－ｘ＝槡５－１－槡３５＝－槡２５－１，（槡５－１）×                                                                —８４— ｘ＝（槡５－１）×槡３５＝１５－槡３５，（槡５－１）÷ｘ＝（槡５－１）÷槡３５ ＝５ －槡５ １５ ，故ｘ不可能是 槡３５。∴选项Ｃ不符合题意。 故选ＡＢＤ。 ８．ＡＣＤ　【解析】 ｘ－ｙ＝ａ＋３， ３ｘ＋ｙ＝２ａ，{ 解得 ｘ＝ ３ａ＋３ ４ ， ｙ＝ －ａ－９ ４ 。{ Ａ．当ａ＝－３时，ｘ＝－ ３ ２ ，ｙ＝－ ３ ２ ，则ｘ＝ｙ，正确； Ｂ．∵ｘ＋ｙ＜０，∴ ３ａ＋３ ４ ＋ －ａ－９ ４ ＜０，解得ａ＜３，错误； Ｃ．ｘ＋３ｙ＝ ３ａ＋３ ４ ＋ －３ａ－２７ ４ ＝－６，正确； Ｄ．∵２ｘ·４ｙ＝８，∴２ｘ·２２ｙ＝２３。∴ｘ＋２ｙ＝３。 ∴ ３ａ＋３ ４ ＋ －２ａ－１８ ４ ＝３，解得ａ＝２７。正确。故选ＡＣＤ。 ９．ＡＢ　【解析】∵ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝－（ｘ＋１）２＋４， ∴将二次函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３的图象向右平移 ｋ（ｋ＞０） 个单位长度，得ｙ１＝－（ｘ－ｋ＋１） ２＋４的图象。 ∴ｙ１的对称轴为直线ｘ＝ｋ－１。 ∵当－１＜ｘ＜３时，ｙ１随ｘ的增大而增大；当４＜ｘ＜５时， ｙ１随ｘ的增大而减小， ∴３≤ｋ－１≤４，解得４≤ｋ≤５。 故ｋ的取值可以为４或５。故选ＡＢ。 １０．ＡＢＤ　【解析】∵ＡＣ＝２米，ＢＣ＝１．５米， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝２．５（米）。选项 Ａ成立，符合 题意； ∵ＤＥ比ＡＣ少０．５米，∴ＤＥ＝ＡＣ－０．５＝１．５（米）。 ∵ＡＢ＝ＢＤ＝２．５米，∴ＢＥ＝ ＢＤ２－ＤＥ槡 ２＝２（米）。 ∴ＣＥ＝ＢＣ＋ＢＥ＝３．５（米）。选项Ｂ成立，符合题意； 四边形ＡＣＥＤ的面积＝ １ ２ （ＤＥ＋ＡＣ）·ＣＥ ＝１ ２ （１．５＋２）×３．５＝ ４９ ８ （平方米），选项 Ｃ不成立，不 符合题意； 如图，连接ＥＦ并延长，交直线ＡＣ于点Ｍ。 ∵ＢＦ∥ＡＣ， ∴ ＥＦ ＦＭ ＝ＢＥ ＢＣ ＝４ ３ ，△ＤＥＦ∽△ＡＭＦ，△ＢＥＦ∽△ＣＥＭ。 ∴ ＥＦ ＦＭ ＝ＤＥ ＡＭ ＝４ ３ ， ＢＦ ＣＭ ＝ＢＥ ＣＥ ＝４ ７ 。 ∵ＤＥ＝１．５米，∴ＡＭ＝ ９ ８ 米。 ∵ＡＣ＝２米，∴ＣＭ＝ ２５ ８ 米。∴ＢＦ＝ ２５ １４ 米。选项 Ｄ成 立，符合题意。故选ＡＢＤ。 １１．１２　【解析】∵３７８５５亿 ＝３７８５５００００００００＝ ３．７８５５×１０１２，∴ｎ＝１２。 １２．４　【解析】如图，过点Ｏ作ＯＭ⊥ＢＣ，垂足为Ｍ，延长 ＭＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，此时点Ｄ到ＢＣ的距离最大，故点 Ｄ到ＢＣ的距离的最大值为ＤＭ的长， ∴ＣＭ＝ＢＭ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴ＯＭ是△ＡＢＣ的中位线。 ∴ＯＭ＝ １ ２ ＡＣ＝１。 ∵ＯＤ＝３， ∴ＤＭ＝ＯＤ＋ＯＭ＝４。 ∴点Ｄ到ＢＣ的距离的最大值为４。 １３．槡３ ２ ｎ＋ｍ( ) 　【解析】如图，过点Ｅ作 ＤＥ⊥ＢＣ，垂足为 Ｄ，延长ＡＧ交ＤＥ于点Ｆ。 由题意，得 ＡＢ＝ＣＧ＝ＤＦ ＝ｍ米， ＡＧ＝ＢＣ＝ｎ米， ∠ＥＡＧ＝３０°， ∠ＥＧＦ＝６０°。 ∵∠ＥＧＦ是△ＡＥＧ的一个外角， ∴∠ＡＥＧ＝∠ＥＧＦ－∠ＥＡＧ＝３０°。 ∴∠ＥＡＧ＝∠ＡＥＧ。∴ＥＧ＝ＡＧ＝ｎ米。 ∵ＡＦ⊥ＤＥ， ∴在Ｒｔ△ＥＧＦ中，ＥＦ＝ＥＧ·ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ ｎ（米）， ∴ＤＥ＝ＥＦ＋ＤＦ＝槡 ３ ２ ｎ＋ｍ（米）。 ∴篮球框距地面的高度为 槡３ ２ ｎ＋ｍ( ) 米。 １４．（４０４５，槡３）　【解析】∵△ＯＡ１Ｂ１是边长为 ２的等边 三角形， ∴点Ａ１的坐标为（１，槡３），点Ｂ１的坐标为（２，０）。 ∵△Ｂ２Ａ２Ｂ１与△ＯＡ１Ｂ１关于点Ｂ１成中心对称， ∴点Ａ２与点Ａ１关于点Ｂ１成中心对称。 ∵２×２－１＝３，２×０－槡３＝－槡３， ∴点Ａ２的坐标为（３，－槡３）。 ∵△Ｂ２Ａ３Ｂ３与△Ｂ２Ａ２Ｂ１关于点Ｂ２成中心对称， ∴点Ａ３与点Ａ２关于点Ｂ２成中心对称。 ∵２×４－３＝５，２×０－（－槡３）＝槡３， ∴点Ａ３的坐标为（５，槡３）。 ∵△Ｂ３Ａ４Ｂ４与△Ｂ３Ａ３Ｂ２关于点Ｂ３成中心对称， ∴点Ａ４与点Ａ３关于点Ｂ３成中心对称。 ∵２×６－５＝７，２×０－槡３＝－槡３， ∴点Ａ４的坐标为（７，－槡３）。 …… ∵１＝２×１－１，３＝２×２－１，５＝２×３－１，７＝２×４－１，……， ∴点Ａｎ的横坐标为２ｎ－１。                                                                —９４— ∵当ｎ是奇数时，点 Ａｎ的纵坐标为槡３，当 ｎ是偶数 时，点Ａｎ的纵坐标为－槡３， ∴△Ｂ２０２２Ａ２０２３Ｂ２０２３的顶点Ａ２０２３的横坐标为２×２０２３－１＝ ４０４５，纵坐标为槡３。 ∴Ａ２０２３的坐标为（４０４５，槡３）。 １５．解：（１）运算过程中从第①步出现了错误，错误原因是通 分不正确。 （２）原式＝ ２ｘ－１ ｘ＋１ －（ｘ －１）（ｘ＋１） ｘ＋１[ ] ÷ｘ－２（ｘ＋１）２ ＝２ｘ －１－ｘ２＋１ ｘ＋１ · （ｘ＋１）２ ｘ－２ ＝ －ｘ（ｘ－２） ｘ＋１ · （ｘ＋１）２ ｘ－２ ＝－ｘ２－ｘ。 １６．解：（１）将ｘ＝－１代入原方程，得ｍ－２＋１－３＝０，解得ｍ＝４。 当ｍ＝４时，原方程为２ｘ２－ｘ－３＝０，即（２ｘ－３）（ｘ＋１）＝０， ∴ｘ１＝－１，ｘ２＝ ３ ２ 。 ∴方程的另一个根为 ３ ２ 。 （２）∵方程（ｍ－２）ｘ２－ｘ－３＝０有两个不同的实数根， ∴ ｍ－２≠０， Δ＝（－１）２－４（ｍ－２）×（－３）＞０，{ 解得ｍ＞ ２３ １２ 且ｍ≠２。 ∴当ｍ＞ ２３ １２ 且ｍ≠２时，方程有两个不同的实数根。 １７．解：（１）∵调查样本要具有代表性， ∴从该校九年级学生中随机抽取男、女各１０名学生。 故答案为Ｃ。 （２）从扇形图可知，０≤ｘ＜２组占总人数的２５％， ∴ｍ＝２０×２５％＝５。∴ｎ＝２０－５－３－２＝１０。 ∵平均数为２．８， ∴（３＋１＋２＋２＋３＋３＋２＋３＋１＋ａ＋４＋０＋５＋５＋２＋６＋１＋６＋ ３＋１）＝２．８×２０，解得ａ＝３。 数据按由小到大的顺序排序： ０，１，１，１，１，２，２，２，２，３，３，３，３，３，３，４，５，５，６，６， ∴中位数ｂ＝ ３＋３ ２ ＝３，众数ｃ＝３。 故答案为３；５；１０；３；３。 （３）列表如下： 男１ 男２ 男３ 女１ 女２ 男１ （男１， 男２） （男１， 男３） （男１， 女１） （男１， 女２） 男２（男２， 男１） （男２， 男３） （男２， 女１） （男２， 女２） 男３（男３， 男１） （男３， 男２） （男３， 女１） （男３， 女２） 女１（女１， 男１） （女１， 男２） （女１， 男３） （女１， 女２） 女２（女２， 男１） （女２， 男２） （女２， 男３） （女２， 女１） 共有２０种等可能的情况，其中抽到２名男生的情况 有６种， 因此“谈体会的两人都是男生”的概率为 ６ ２０ ＝３ １０ 。 １８．解：（１）Ｆ（２０２３）＝２４＋０３＋２２＋３１＝１６＋０＋４＋３＝２３。 （２）证明：∵ｃ＝ｅ＋４， ∴Ｆ（ａｂｃｄ）－Ｆ（ａｂｅｄ） ＝（ａ４＋ｂ３＋ｃ２＋ｄ）－（ａ４＋ｂ３＋ｅ２＋ｄ）＝ｃ２－ｅ２ ＝（ｅ＋４）２－ｅ２ ＝（ｅ＋４＋ｅ）（ｅ＋４－ｅ） ＝８（ｅ＋２）。 ∴Ｆ（ａｂｃｄ）－Ｆ（ａｂｅｄ）的运算结果一定是８的倍数。 １９．证明：（１）∵∠ＢＥＦ＝∠ＣＡＥ，∠ＣＡＥ＝∠ＣＢＥ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＣＢＥ。 ∴ＢＣ∥ＥＦ。 如图，连接ＯＥ。 ∵ＡＥ平分∠ＣＡＢ， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＥ。 ∴ＣＥ) ＝ＢＥ) 。∴ＯＥ⊥ＢＣ。 ∵ＢＣ∥ＥＦ，∴ＯＥ⊥ＥＦ。 ∵ＯＥ是⊙Ｏ的半径， ∴ＥＦ是⊙Ｏ的切线。 （２）∵ＯＢ＝１２，ＢＦ＝８，∴ＯＥ＝ＯＢ＝１２，ＯＦ＝１２＋８＝２０。 在Ｒｔ△ＯＥＦ中，由勾股定理，得ＯＥ２＋ＥＦ２＝ＯＦ２， ∴ＥＦ２＝ＯＦ２－ＯＥ２＝２０２－１２２＝２５６，解得ＥＦ＝１６。 ∵∠ＢＥＦ＝∠ＢＡＥ，∠Ｆ＝∠Ｆ， ∴△ＥＢＦ∽△ＡＥＦ。 ∴ ＢＥ ＥＡ ＝ＢＦ ＥＦ ＝８ １６ ＝１ ２ 。∴ＡＥ＝２ＢＥ。 ２０．解：（１）ｙ与ｘ符合一次函数关系。 设ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 将（８，１１０），（１０，１００）代入，得 ８ｋ＋ｂ＝１１０， １０ｋ＋ｂ＝１００，{ 解得 ｋ＝－５， ｂ＝１５０。{ 因此ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝－５ｘ＋１５０（８≤ｘ≤１５）。 （２）由题意，得（ｘ－８）（－５ｘ＋１５０）＝４８０， 解得ｘ１＝１４，ｘ２＝２４（不合题意，舍去）。 答：每件商品的售价为１４元。 （３）由题意，得ｗ＝（ｘ－８）（－５ｘ＋１５０） ＝－５（ｘ－１９）２＋６０５， ∵－５＜０， ∴当８≤ｘ≤１５时，ｗ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝１５时，ｗ最大值＝－５×（１５－１９） ２＋６０５＝５２５。 答：当每件商品的售价为１５元时，每天的销售利润最 大，最大利润为５２５元。 ２１．解：（１）如图１，作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 图１                                                                —０５— ∵∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＣＨ⊥ＡＢ， ∴四边形ＡＤＣＨ是矩形。 ∴ＣＨ＝ＡＤ＝９米，ＡＨ＝ＣＤ＝２米，ＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝１２米。 ∴ＢＣ＝ ９２＋１２槡 ２＝１５（米）。 （２）如图２，设ＦＧ与ＣＨ相交于点Ｉ，正方形ＡＥＦＧ的 边长为ａ米。 图２ 由（１）得ｓｉｎＢ＝ ＣＨ ＢＣ ＝３ ５ ，ｔａｎＢ＝ ＣＨ ＢＨ ＝３ ４ ，ｃｏｓＢ＝ ＢＨ ＢＣ ＝４ ５ 。 在Ｒｔ△ＦＩＣ中，ｔａｎ∠ＣＦＩ＝ｔａｎＢ＝ ３ ４ ，ＦＩ＝（ａ－２）米， ＣＩ＝（９－ａ）米， ∴ ＣＩ ＦＩ ＝９ －ａ ａ－２ ＝３ ４ ，解得ａ＝６。 ∴ＥＦ＝６米。 设正方形ＭＮＰＱ边长为ｂ米， ∴∠Ｂ＝∠ＭＮＡ。 在Ｒｔ△ＢＮＰ中，ｓｉｎＢ＝ ＰＮ ＢＮ ＝ｂ ＢＮ ＝３ ５ ，则ＢＮ＝ ５ ３ ｂ米。 在Ｒｔ△ＭＡＮ中，ｃｏｓ∠ＭＮＡ＝ ＡＮ ＭＮ ＝ＡＮ ｂ ＝４ ５ ， 则ＡＮ＝ ４ ５ ｂ米。 ∴ ４ ５ ｂ＋ ５ ３ ｂ＝１４，解得ｂ＝ ２１０ ３７ 。 ∴ＭＮ＝ ２１０ ３７ 米。 ∴ ＥＦ ＭＮ ＝６ ２１０ ３７ ＝３７ ３５ 。 （３）如图 ３，在△ＢＥＦ余料上再切割一个正方形 ＥＫＪＬ，设正方形ＥＫＪＬ的边长为ｍ米。 图３ ∵ＢＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝１４－６＝８（米）， ∴ＢＫ＝（８－ｍ）米。 在Ｒｔ△ＢＪＫ中，ｔａｎＢ＝ ３ ４ ， ∴ ＪＫ ＢＫ ＝ｍ ８－ｍ ＝３ ４ ，解得ｍ＝ ２４ ７ ，即正方形ＥＫＪＬ的边长 为 ２４ ７ 米。 如图４，在△ＢＥＦ余料上再切割一个正方形ＲＳＴＵ，设 正方形ＲＳＴＵ的边长为ｎ米。 图４ 在Ｒｔ△ＢＳＴ中，ｓｉｎＢ＝ ＳＴ ＢＴ ＝ｎ ＢＴ ＝３ ５ ，则ＢＴ＝ ５ ３ ｎ米， 在Ｒｔ△ＵＴＥ中，ｃｏｓ∠ＵＴＥ＝ ＥＴ ＵＴ ＝ＥＴ ｎ ＝４ ５ ， 则ＥＴ＝ ４ ５ ｎ米。 ∴ ４ ５ ｎ＋ ５ ３ ｎ＝８，解得ｎ＝ １２０ ３７ ，即正方形 ＲＳＴＵ的边长 为 １２０ ３７ 米。 ∵ ２４ ７ ＞ １２０ ３７ ，∴在△ＢＥＦ余料上再切割一个最大正方 形，正方形的边长为 ２４ ７ 米。 ２２．解：（１）如图１，图２，将图形分割或补成矩形，再连接 矩形中心，即可平分面积。 图１ 　 图２ （２）将图１按照题设图３的方式建立坐标系如图３， 图３ 则点Ｍ，Ｎ的坐标分别为（－２，３），（－１，１）。 设直线ＭＮ的表达式为ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３， 将（－１，１）代入上式，得１＝ｋ（－１＋２）＋３， 解得ｋ＝－２， 则直线ＭＮ的表达式为ｙ＝－２ｘ－１。 联立 ｙ＝－ １ ３ ｘ＋ ４ ３ ， ｙ＝－２ｘ－１，{ 解得 ｘ＝－ ７ ５ ， ｙ＝ ９ ５ ，{ 即交点为 － ７ ５ ， ９ ５( ) 。                                                                —１５— 同理，图２的直线的表达式为ｙ＝ １ ２ ｘ＋ ５ ２ ， 当ｘ＝－ ７ ５ 时，ｙ＝ ９ ５ ，即直线过点 － ７ ５ ， ９ ５( ) 。 因此三种不同的分割直线都经过同一个点。 （３）设点Ｈ（１，０），将点 Ｈ右侧矩形补到 ＡＢ上侧，构 成矩形ＯＨＧＤ， 连接ＦＧ，ＥＨ交于点Ｐ，过点Ｐ作与ＥＧ和ＦＨ都相交 的直线，即为所求直线。 （４）基本收获：①根据例题可以得出只要过矩形的中 心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点。 （答案不唯一） １６２０２３年诸城市学业水平第三次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ ＢＣＤＡＢＤ ＡＣ ＡＢＤ １．Ｃ　【解析】７ａ－５ａ＝２ａ，故选项 Ａ错误，不符合题意； ９ａ÷３ａ＝３，故选项 Ｂ错误，不符合题意；ａ５÷ａ３＝ａ２，故 选项Ｃ正确，符合题意；（３ａ２）３＝２７ａ６，故选项Ｄ错误， 不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】用科学记数法表示２０纳秒为２０×１×１０－９秒 ＝２×１０－８秒。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】小正方块移动前的主视图中正方形的个数 为１，２，１；小正方块移动后的主视图中正方形的个数 为１，２，１，主视图不发生改变；小正方块移动前的左视 图中正方形的个数为 ２，１，１；小正方块移动后的左视 图中正方形的个数为２，１，左视图发生改变；小正方块 移动前的俯视图中正方形的个数为 ３，１，１；小正方块 移动后的俯视图中正方形的个数为 ２，１，２，俯视图发 生改变。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】如图，标注∠３和线段ａ，ｂ。 ∵ａ∥ｂ，∴∠１＝∠３＝２５°。 ∵∠２＋∠３＝４５°，∴∠２＝４５°－∠３＝２０°。故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】设Ｉ与Ｒ的函数关系式为Ｉ＝ Ｕ Ｒ （Ｒ＞０）。 ∵该图象经过点Ｐ（８８０，０．２５）， ∴ Ｕ ８８０ ＝０．２５。∴Ｕ＝２２０。 ∴Ｉ与Ｒ的函数关系式为Ｉ＝ ２２０ Ｒ （Ｒ＞０）。故选项 Ｂ不 符合题意； ∵Ｉ随Ｒ的增大而减小， ∴当Ｒ＜０．２５时，Ｉ＞８８０，当 Ｒ＞１０００时，Ｉ＜０．２２。故选 项Ａ，Ｃ不符合题意； ∵Ｒ＝８８０时，Ｉ＝０．２５，当Ｒ＝１０００时，Ｉ＝０．２２， ∴当８８０＜Ｒ＜１０００时，Ｉ的取值范围是 ０．２２＜Ｉ＜０．２５。 故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】设 ｙ１ ｘ１ ＝ ｙ２ ｘ２ ＝…＝ ｙｎ ｘｎ ＝ｋ，则在该函数图象上 ｎ个不同的点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ）也都在函 数ｙ＝ｋｘ的图象上，即为正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象与如 题图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象与如题图所示的图象的交点可能有１个或２ 个或３个或４个或５个。故选Ｄ。 ７．ＢＣＤ　【解析】∵１＜ａ＜２，∴－２＜－ａ＜－１。∵－ａ＜ｂ＜ａ， ∴ｂ的值可以为－１，０，１。故选ＢＣＤ。 ８．ＡＢＤ　【解析】由扇形统计图可知，体温为３６．１℃的学 生人数所占百分比为 ３６ ３６０ ×１００％＝１０％，故这个班有学 生 ４ １０％ ＝４０（名），所以ｍ＝４０－４－８－８－１０－２＝８，故选 项Ａ，Ｂ符合题意； 这些体温的众数是３６．４，故选项Ｃ不符合题意； 这些体温的中位数是 ３６．３＋３６．４ ２ ＝３６．３５，故选项Ｄ符合 题意。故选ＡＢＤ。 ９．ＡＣ　【解析】Ａ．由题图，得－ ｂ ２ａ ＝１，ａ＞０，ｃ＜０， ∴ｂ＝－２ａ＜０。∴ａｂｃ＞０。正确，符合题意； Ｂ．∵当ｘ＝１时，ｙ＜０， ∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。错误，不符合题意； Ｃ．∵当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。∴ｃ＞ｂ－ａ。 ∵ａ＝－ １ ２ ｂ，∴ｃ＞ ３ ２ ｂ，即３ｂ＜２ｃ。正确，符合题意； Ｄ．∵ａ－ｂ＋ｃ＞０，∴ｂ＜ａ＋ｃ。错误，不符合题意。 故选ＡＣ。 １０．ＡＢＤ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ。 ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝４５°。 根据折叠的性质可得∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ＝ １ ２∠ ＯＤＡ＝ ２２．５°， ∴∠ＡＧＤ＝１８０°－∠ＤＡＧ－∠ＡＤＧ＝１８０°－４５°－２２．５°＝ １１２．５°。故选项Ａ正确，符合题意； 根据折叠的性质可得∠ＤＦＥ＝∠ＤＡＥ＝９０°，ＡＥ＝ＥＦ， ＡＤ＝ＤＦ，∴∠ＢＦＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＡ⊥ＯＢ，∴∠ＡＢＯ＝４５°。 ∴△ＢＥＦ是等腰直角三角形。 ∴ＢＦ＝ＥＦ＝ＡＥ。 设ＡＤ＝ＡＢ＝ａ，则ＤＦ＝ａ，∴ＢＤ＝槡２ａ。 ∴ＢＦ＝ＢＤ－ＤＦ＝槡２ａ－ａ。 ∴ＡＥ＝ＥＦ＝ＢＦ＝槡２ａ－ａ。 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｔａｎ∠ＡＥＤ＝ ＡＤ ＡＥ ＝ ａ 槡２ａ－ａ ＝槡２＋１，故选 项Ｂ正确，符合题意；                                                                —２５—