13 2023年寿光市学业水平第一次模拟试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ７３— — ７４— — ７５— 一、单选题（共８小题，每小题４分，共３２分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下列四个数中，最小的是 （　　） Ａ．－｜－３｜ Ｂ．｜－３２｜ Ｃ．－（－３） Ｄ．－３２ ２．如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯ＡＢ的坡角（∠ＢＡＣ）为３０．５°，乘客从扶梯底端升到顶端上 升的高度ＢＣ为５米，则自动扶梯ＡＢ的长为 （　　） Ａ．５ｔａｎ３０．５°米 Ｂ．５ｓｉｎ３０．５°米 Ｃ． ５ ｓｉｎ３０．５° 米 Ｄ． ５ ｃｏｓ３０．５° 米 第２题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 ３．下列关于近似数的说法中，正确的是 （　　） Ａ．近似数２０２０精确到百位 Ｂ．近似数５．７８万精确到百分位 Ｃ．近似数３．５１×１０５精确到千位 Ｄ．近似数５．１８９０精确到千分位 ４．已知菱形ＡＢＣＤ的边长为方程ｘ２－７ｘ＋１０＝０的一个根，有一条对角线长为５，则这个菱形的周长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．２０ Ｃ．８或２０ Ｄ．１０ ５．如图是由七个相同的小正方体拼成的立体图形，下面有关它的三视图的结论中，正确的是 （　　） Ａ．左视图是轴对称图形 Ｂ．主视图是中心对称图形 Ｃ．俯视图是中心对称图形但不是轴对称图形 Ｄ．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形 ６．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为 （　　） Ａ．－１＜ｘ≤２ Ｂ．－１≤ｘ＜２ Ｃ．－１＜ｘ＜２ Ｄ．无解 ７．送餐公司为某校提供甲、乙、丙三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别为甲餐６元，乙餐８ 元，丙餐１０元。为做好下阶段的营销工作，送餐公司根据该校上周甲、乙、丙三类午餐购买情况，将所 得的数据处理后，制成统计表（如表）；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图（如 图）。该校师生上周购买午餐费用的中位数和送餐公司上周在该校销售午餐盈利分别为 （　　） 　　该校上周购买情况统计表 种类 数量／份 甲 １０００ 乙 １５００ 丙 ５００ 　 Ａ．６元，５５００元 Ｂ．８元，５５００元 Ｃ．６元，７５００元 Ｄ．８元，７５００元 ８．油箱中装有６０Ｌ油的汽车开始行驶，如果每小时耗油４Ｌ，那么油箱中含油量ｙ（Ｌ）与行驶时间ｘ（ｈ） 之间的函数关系用图象表示为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、多选题（共３小题，每小题４分，共１２分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得４分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ９．若ｘ是实数，在“（槡５－１）□ｘ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择），其运算结果 是有理数，则ｘ可能是 （　　） 槡Ａ．５－ 槡 槡１ Ｂ．５ Ｃ．３５ Ｄ．２－槡５ １０．下列尺规作图能得到平行线的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １１．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的部分图象如图所示，则下列选项正确的有 （　　） Ａ．若（－２，ｙ１），（５，ｙ２）是图象上的两点，则ｙ１＞ｙ２ Ｂ．３ａ＋ｃ＝０ Ｃ．方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－２有两个不相等的实数根 Ｄ．当ｘ≥０时，ｙ随ｘ的增大而减小 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １２．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点（１，０）；乙：ｙ随ｘ 的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限。根据他们的叙述写出满足上述性质的一个函数表 达式为　　　　　　　　。 １３．｜ｘ－３｜ ｘ２－８ｘ＋１５ ｘ－２ ＝１的解有　　　　个。 １４．如图，在平面直角坐标系中，从点Ｐ１（－１，０），Ｐ２（－１，－１），Ｐ３（１，－１），Ｐ４（１，１），Ｐ５（－２，１），Ｐ６（－２，－２），… 依次扩展下去，则Ｐ２０１７的坐标为　　　　　　　　。 第１４题图 　　　　　 第１５题图 １５．如图，已知反比例函数ｙ１＝ ２ ｘ ，ｙ２＝ ５ ｘ 在第一象限的图象，过ｙ２上任意一点Ｐ作ｘ轴的垂线交ｙ１于点Ａ， 交ｘ轴于点Ｂ，过点Ｐ作ｙ轴的垂线交ｙ１于点Ｃ，交ｙ轴于点Ｄ，连接ＡＣ，ＢＤ，则 Ｓ△ＰＡＣ Ｓ△ＰＢＤ ＝　　　　　　。 四、解答题（共７小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １６．（１２分）（１）｜２－ｔａｎ６０°｜－（π－３．１４）０＋－ １ ２( ) －２ ＋１ ２槡 １２； （２）已知正比例函数ｙ＝２ｘ的图象与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象有一个交点的纵坐标为２。 ①求反比例函数的表达式； ②当－３≤ｘ≤－１时，求反比例函数ｙ的取值范围。 １７．（１２分）如图，一艘渔船沿南偏东４２°方向航行，在Ａ处测得一个小岛Ｐ在其南偏东６４°方向。又继续 航行（４０－ 槡１６３）海里到达Ｂ处，测得小岛Ｐ位于渔船的南偏东７２°方向。已知以小岛Ｐ为圆心，半 径 槡１６２海里的圆形海域内有暗礁。如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明。 如果有危险，渔船自Ｂ处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据： ｓｉｎ２２°≈ 槡 ２２９ ２９ ，ｃｏｓ２２°≈ 槡 ５２９ ２９ ，ｔａｎ２２°≈ ２ ５ ） １３２０２３年寿光市学业水平第一次模拟试题 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ７６— — ７７— — ７８— １８．（１２分）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查。 根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表。 　　　　 频数分布统计表 组别 时间ｘ（分钟） 频数 Ａ ０≤ｘ＜２０ ６ Ｂ ２０≤ｘ＜４０ １４ Ｃ ４０≤ｘ＜６０ ｍ Ｄ ６０≤ｘ＜８０ ｎ Ｅ ８０≤ｘ＜１００ ４ 　　扇形统计图 　 　　频数分布直方图 根据统计图表提供的信息解答下列问题： （１）频数分布统计表中的ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　； （２）补全频数分布直方图； （３）已知该校有１０００名学生，估计书面作业完成时间在６０分钟以上（含６０分钟）的学生有多少人？ （４）若Ｅ组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方 法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率。 １９．（１２分）为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农 引进芒果经销商。已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为４元／千克，在销售过程中发现，每天 的销售量ｙ（千克）与销售单价ｘ（元／千克）之间的关系如图所示，其中ＡＢ段为反比例函数图象的一 部分，ＢＣ段为一次函数图象的一部分。 （１）求每天的销售量ｙ与销售单价ｘ之间的函数关系式； （２）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润为多少？ ２０．（１４分）如图１，在⊙Ｏ中，弦ＡＤ平分圆周角∠ＢＡＣ，我们将圆中以 Ａ为公共点的三条弦 ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ 构成的图形称为圆中“爪形Ａ”，弦ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ称为“爪形Ａ”的爪。 （１）如图２，四边形ＡＢＣＤ内接于圆，ＡＢ＝ＢＣ， ①证明：圆中存在“爪形Ｄ”； ②若∠ＡＤＣ＝１２０°，求证：ＡＤ＋ＣＤ＝ＢＤ； （２）如图３，四边形ＡＢＣＤ内接于圆，其中ＡＢ＝ＢＣ，连接ＢＤ。若ＡＤ⊥ＣＤ，此时“爪形Ｄ”的爪之间满 足怎样的数量关系，请直接写出结果。 图１ 　 图２ 　 图３ ２１．（１４分）如图１，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与ｘ轴交于点Ａ（３，０），Ｂ（－１，０），与ｙ轴 交于点Ｃ，Ｐ是该抛物线的对称轴（ｘ轴上方部分）上的一个动点。 （１）求抛物线的表达式； （２）连接ＡＰ，ＢＰ，将△ＡＢＰ沿直线ＡＰ翻折，得到△ＡＢ′Ｐ，当点Ｂ′落在该抛物线的对称轴上时，求点Ｐ 的坐标； （３）如图２，过点Ｐ作ＥＦ∥ｘ轴，交抛物线于点Ｅ，Ｆ，连接ＡＣ，交线段ＥＦ于点Ｍ，ＡＣ，ＯＦ交于点Ｎ。 求 ＦＮ ＯＮ 的最大值。 图１ 　 图２ ２２．（１４分）如图，在平面直角坐标系中，点Ａ（－４，０），Ｂ（０，４），Ｐ是ｘ轴正半轴上一点，直线 ＡＣ⊥直线 ＰＢ，垂足为Ｃ，连接ＯＣ，设点Ｐ的横坐标为ｍ。 （１）求证：∠ＰＢＯ＝∠ＰＡＣ； （２）当ｍ＝３时，求点Ｃ的坐标； （３）取点Ｏ关于ＰＢ的对称点Ｄ，连接ＣＤ，ＯＤ。 ①试说明：当０＜ｍ＜４时，△ＯＣＤ是等腰直角三角形； ②试探索ＡＣ，ＢＣ，ＯＤ三条线段长度之间的数量关系，并说明理由。 　 备用图 ∴∠ＢＡＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＥ，Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴ＯＡ＝ＤＥ＝２ＯＦ。 故答案为９０；ＤＥ＝２ＯＦ。 （２）由旋转的性质可知△ＯＡＢ≌△ＯＤＥ。 ∵△ＯＡＢ是等边三角形，ＯＤ平分∠ＡＯＢ，△ＯＤＥ是 等边三角形， ∴∠ＤＯＥ＝６０°，∠ＡＯＤ＝ １ ２∠ ＡＯＢ＝３０°。 ∴∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＥ，∴∠ＯＡＥ＝４５°。 ∴△ＡＯＥ是等腰直角三角形，∠ＢＡＥ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ ＝１５°。 ∵Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴△ＯＥＦ是等腰直角三角形。 ∴ＤＥ＝ＯＥ＝槡２ＯＦ。 （３）分以下两种情况进行讨论。 ①如图１，当点Ｅ在ＯＢ右边时， ∵ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝９０°，∴△ＯＡＢ是等腰直角三角形。 ∴∠ＯＡＢ＝４５°。 ∵∠ＥＡＢ＝１５°，∴∠ＯＡＥ＝６０°。 由旋转的性质，得ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＥ＝ＯＤ＝４。 ∴△ＯＡＥ是等边三角形。 ∵Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ，ＯＦ平分∠ＡＯＥ。 ∴∠ＡＯＦ＝ １ ２∠ ＡＯＥ＝３０°。∴ＡＦ＝ １ ２ ＯＡ＝２。 ∴ＯＦ＝槡３ＡＦ＝槡２３； 图１ 　 图２ ②如图２，当点Ｅ在ＯＢ左边时， 同理可得∠ＯＡＥ＝３０°，ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴ＯＦ＝ １ ２ ＯＡ＝２。 综上所述，ＯＦ的长为 槡２３或２。 ２２．解：（１）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１＝（ｘ－２）２－３， ∴可以添加的条件为顶点坐标为（２，－３）。 故答案为（２，－３）。（答案不唯一） （２）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１＝（ｘ－２）２－３， ∴平移后的表达式为ｙ＝（ｘ－６）２－３＝ｘ２－１２ｘ＋３３。 当ｘ＝３时，ｙ＝（ｘ－６）２－３＝６，则ｍ＝６。 （３）当点Ｑ在抛物线ｙ＝（ｘ－６）２－３的部分上时， 设Ｑ（ｔ，ｔ２－１２ｔ＋３３）， ∴Ｓ△ＯＡＱ＝ １ ２ ×２×（ｔ２－１２ｔ＋３３）＝９，解得ｔ＝ 槡６±２３。 ∵ｔ＜４，∴ｔ＝６－槡２３。∴Ｑ（６－槡２３，９）； 当点Ｑ在抛物线ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１的部分上时， 设Ｑ（ｎ，ｎ２－４ｎ＋１）， ∴Ｓ△ＯＡＱ＝ １ ２ ×２×（ｎ２－４ｎ＋１）＝９，解得ｎ＝ 槡２±２３。 ∵ｎ≥４，∴ｎ＝２＋槡２３。∴Ｑ（２＋槡２３，９）。 综上所述，点Ｑ的坐标为（６－槡２３，９）或（２＋槡２３，９）。 １３２０２３年寿光市学业水平第一次模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｂ ＡＢＤＡＢＣＡＢＣ １．Ｄ　【解析】－｜－３｜＝－３，｜－３２｜＝９，－（－３）＝３，－３２＝ －９，∴－３２＜－｜－３｜＜－（－３）＜｜－３２｜。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＢＣ ＡＢ ，则 ＡＢ＝ ＢＣ ｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ５ ｓｉｎ３０．５° 米。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．近似数２０２０精确到个位，此选项不符 合题意； Ｂ．近似数５．７８万精确到百位，此选项不符合题意； Ｃ．近似数３．５１×１０５精确到千位，此选项符合题意； Ｄ．近似数５．１８９０精确到万分位，此选项不符合题意。 故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】如图所示。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ。 ∵ｘ２－７ｘ＋１０＝０，因式分解，得 （ｘ－２）（ｘ－５）＝０，解得ｘ１＝２， ｘ２＝５， ∴分两种情况： ①当ＡＢ＝ＡＤ＝２时，２＋２＝４＜５，不能构成三角形； ②当ＡＢ＝ＡＤ＝５时，可以构成三角形。 ∴菱形ＡＢＣＤ的周长＝４ＡＢ＝２０。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】该立体图形的三视图如图所示。 主视图 　 左视图 　 俯视图 　 左视图是轴对称图形，故Ａ正确，符合题意； 主视图不是中心对称图形，故Ｂ错误，不符合题意； 俯视图不是中心对称图形但是轴对称图形，故 Ｃ和 Ｄ 错误，不符合题意。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】由题图，得不等式组的解集为－１＜ｘ≤２。 故选Ａ。 ７．Ｄ　【解析】∵该校上周共订餐１０００＋１５００＋５００＝３０００ （份），∴其中位数是第１５００，１５０１个数据的平均数。 而这２个数据均为８元，∴中位数是 ８＋８ ２ ＝８（元）。送 餐公司上周在该校销售午餐盈利为１０００×１．５＋１５００× ３＋５００×３＝７５００（元）。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】由题意，得ｙ＝６０－４ｘ， 当ｘ＝０时，ｙ＝６０，当ｙ＝０时，６０－４ｘ＝０，解得ｘ＝１５。 所以ｘ的取值范围是０≤ｘ≤１５。函数图象与 ｘ轴的                                                                —１４— 交点为（１５，０），与ｙ轴的交点为（０，６０）。故选Ｂ。 ９．ＡＢＤ　【解析】若“□”中添上的是“＋”，要使运算结果 是有理数，则ｘ可以为选项 Ｄ中的实数，因此选项 Ｄ 符合题意；若“□”中添上的是“－”，要使运算结果是 有理数，则ｘ可以为选项Ａ，Ｂ中的实数，因此选项Ａ， 选项Ｂ符合题意；若“□”中添上的是“×”，要使运算 结果是有理数，则 ｘ无选项可选；若“□”中添上的是 “÷”，要使运算结果是有理数，则ｘ可以为选项Ａ中的 实数，因此选项Ａ符合题意。故选ＡＢＤ。 １０．ＡＢＣ　【解析】由尺规作图可知，Ａ选项所作的两个 相等的角是同位角，能得到平行线，符合题意； Ｂ选项所作的两个相等的角是内错角，能得到平行 线，符合题意； Ｃ选项所作的两条直线垂直于同一条直线，能得到 平行线，符合题意； Ｄ选项作了一个角的平分线和一边的垂线，不能得 到平行线，不符合题意。故选ＡＢＣ。 １１．ＡＢＣ　【解析】∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，ａ＜０， ∴点（－２，ｙ１）关于直线ｘ＝１的对称点为（４，ｙ１）。 ∵当ｘ＞１时，函数ｙ随ｘ增大而减小，∴ｙ１＞ｙ２。故选 项Ａ符合题意。 由题图，得当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＝０。 ∵－ ｂ ２ａ ＝１，∴ｂ＝－２ａ。 ∴ａ＋２ａ＋ｃ＝０，即３ａ＋ｃ＝０。故选项Ｂ符合题意； 当ｙ＝－２时，ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－２， 由题图，得抛物线上纵坐标为－２的点有２个， ∴方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－２有两个不相等的实数根。故选 项Ｃ符合题意； ∵二次函数图象的对称轴为直线ｘ＝１，ａ＜０， ∴当ｘ≤１时，ｙ随ｘ的增大而增大。 当ｘ≥１时，ｙ随ｘ的增大而减小。故选项 Ｄ不符合 题意。故选ＡＢＣ。 １２．ｙ＝－ｘ＋１（答案不唯一）　【解析】设ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 ∵函数的图象经过点（１，０），∴０＝ｋ＋ｂ。 ∵ｙ随ｘ的增大而减小，∴ｋ＜０，取ｋ＝－１。∴ｂ＝１。 ∵此函数图象不经过第三象限，∴ｂ＞０。∴ｂ＝１符合 要求。 ∴满足题意的一次函数的表达式为ｙ＝－ｘ＋１（答案不 唯一）。 １３．２　【解析】当ｘ－３＝１，即ｘ＝４时，方程成立； 当ｘ－３＝－１，即ｘ＝２时，指数中分母为０，不合题意； 当 ｘ２－８ｘ＋１５ ｘ－２ ＝０，ｘ－３≠０时， 整理，得（ｘ－３）（ｘ－５）＝０，ｘ≠３，解得ｘ＝５， 经检验，ｘ＝５是分式方程的解。 综上，方程的解为ｘ＝４或ｘ＝５，共２个。 １４．（－５０５，５０４）　【解析】根据题意可得到规律： Ｐ１（－１，０），Ｐ２（－１，－１），Ｐ３（１，－１），Ｐ４（１，１）， Ｐ５（－２，１），Ｐ６（－２，－２），…，Ｐ４ｎ（ｎ，ｎ），Ｐ４ｎ＋１（－ｎ－１，ｎ）， Ｐ４ｎ＋２（－ｎ－１，－ｎ－１），Ｐ４ｎ＋３（ｎ＋１，－ｎ－１）， ∵２０１７÷４＝５０４……１，∴点Ｐ２０１７（－５０５，５０４）。 １５． ９ ２５ 　【解析】设Ｐｔ， ５ ｔ( ) 。 ∵过ｙ２上任意一点Ｐ作ｘ轴的垂线交ｙ１于点 Ａ，交 ｘ轴于点Ｂ，过点 Ｐ作 ｙ轴的垂线交 ｙ１于点 Ｃ，交 ｙ 轴于点Ｄ，∴点Ｃ的纵坐标为 ５ ｔ ，点Ａ的横坐标为ｔ。 将点Ｃ的纵坐标，点Ａ的横坐标代入ｙ１＝ ２ ｘ 中，得 Ｃ ２ｔ ５ ， ５ ｔ( ) ，Ａｔ，２ｔ( ) ， ∴ＰＣ＝ ３ｔ ５ ，ＰＡ＝ ３ ｔ 。 ∴ ＰＣ ＰＤ ＝ＰＡ ＰＢ ＝３ ５ 。 ∵∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ， ∴△ＰＡＣ∽△ＰＢＤ。 ∴ Ｓ△ＰＡＣ Ｓ△ＰＢＤ ＝ ＰＣ ＰＤ( ) ２ ＝９ ２５ 。 １６．解：（１）原式＝｜２－槡３｜－１＋４＋槡３＝２－槡３－１＋４＋槡３＝５。 （２）①把ｙ＝２代入ｙ＝２ｘ，得ｘ＝１，则交点坐标为（１，２）。 把（１，２）代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得２＝ ｋ １ ，解得ｋ＝２。 所以反比例函数的表达式为ｙ＝ ２ ｘ 。 ②当ｘ＝－３时，ｙ＝－ ２ ３ ；当ｘ＝－１时，ｙ＝－２， 所以反比例函数ｙ的取值范围是－２≤ｙ≤－ ２ ３ 。 １７．解：如图１，过点 Ｐ作 ＰＣ垂直于 ＡＢ所在直线，垂足 为Ｃ。 图１ 根据题意， 得∠ＰＡＣ＝６４°－４２°＝２２°， ∠ＰＢＣ＝７２°－４２°＝３０°。 在Ｒｔ△ＰＢＣ中， ＢＣ＝ ＰＣ ｔａｎ∠ＰＢＣ ＝槡３ＰＣ， 在Ｒｔ△ＰＡＣ中， ＡＣ＝ ＰＣ ｔａｎ∠ＰＡＣ ＝５ ２ ＰＣ， ∴ＡＢ＝ＡＣ－ＢＣ＝ ５ ２ ＰＣ－槡３ＰＣ＝４０－ 槡１６３（海里）， 解得ＰＣ＝１６海里。 槡∵１６＜１６２，∴如果渔船不改变航向有触礁的危险。 图２ 如图２，渔船沿着ＢＤ方向 航行，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＢＤ， 垂足为Ｄ。 在Ｒｔ△ＰＢＣ中，ＰＢ＝２ＰＣ＝３２。 在Ｒｔ△ＰＢＤ中， ∵ｓｉｎ∠ＰＢＤ＝ ＰＤ ＰＢ ＝ 槡１６２ ３２ ＝槡２ ２ ， ∴∠ＰＢＤ＝４５°。                                                                —２４— ∴∠ＱＢＤ＝∠ＱＢＰ－∠ＰＢＤ＝７２°－４５°＝２７°， 即渔船自Ｂ处开始，沿南偏东小于２７°的方向航行， 能够安全通过这一海域。 １８．解：（１）∵抽取的总人数为１４÷２８％＝５０， ∴ｍ＝５０×３６％＝１８。 ∴ｎ＝５０－６－１４－１８－４＝８。 故答案为１８；８。 （２）补全频数分布直方图如下： 频数分布直方图 （３）１０００× ８＋４ ５０ ＝２４０（人）。 答：估计书面作业完成时间在６０分钟以上（含６０分 钟）的学生有２４０人。 （４）列表如下： 男１ 男２ 女１ 女２ 男１ （男１，男２）（男１，女１）（男１，女２） 男２（男２，男１） （男２，女１）（男２，女２） 女１（女１，男１）（女１，男２） （女１，女２） 女２（女２，男１）（女２，男２）（女２，女１） 由表可知，共有 １２种等可能的结果，其中抽取的两 名同学恰好是一男一女的结果有 ８种，所以抽取的 两名同学恰好是一男一女的概率＝ ８ １２ ＝２ ３ 。 １９．解：（１）当４≤ｘ≤８时，设ｙ与ｘ的函数关系式为 ｙ＝ ｋ ｘ 。 ∵点（４，４０）在该函数图象上，∴４０＝ ｋ ４ ，解得ｋ＝１６０。 ∴当４≤ｘ≤８时，ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝ １６０ ｘ 。 当８＜ｘ≤２８时，设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝ａｘ＋ｂ。 ∴ ８ａ＋ｂ＝２０， ２８ａ＋ｂ＝０，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝２８。{ ∴当８＜ｘ≤２８时，ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－ｘ＋２８。 由上可得ｙ＝ １６０ ｘ （４≤ｘ≤８）， －ｘ＋２８（８＜ｘ≤２８）。{ （２）设利润为ｗ元。 当４≤ｘ≤８时，ｗ＝（ｘ－４）ｙ＝（ｘ－４）· １６０ ｘ ＝１６０－ ６４０ ｘ 。 ∵－６４０＜０，∴ｗ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝８时，ｗ取得最大值，此时ｗ＝１６０－ ６４０ ８ ＝８０。 当８＜ｘ≤２８时，ｗ＝（ｘ－４）ｙ＝（ｘ－４）（－ｘ＋２８） ＝－（ｘ－１６）２＋１４４， ∴当ｘ＝１６时，ｗ取得最大值，此时ｗ＝１４４。 ∵１４４＞８０，∴当销售单价为１６元／千克时，该经销商 每天的销售利润最大，最大利润为１４４元。 ２０．（１）证明：①∵ＡＢ＝ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ。 ∴ＤＢ平分圆周角∠ＡＤＣ。 ∴圆中存在“爪形Ｄ”。 ②如图１，延长ＤＣ至点Ｅ，使得ＣＥ＝ＡＤ，连接ＢＥ。 图１ ∵ ∠Ａ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∠ＢＣＥ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠Ａ＝∠ＢＣＥ。 ∵ＣＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴△ＢＡＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｅ＝∠ＡＤＢ。 ∵∠ＡＤＣ＝１２０°， ∴∠Ｅ＝∠ＡＤＢ＝６０°。 ∴△ＢＤＥ是等边三角形。 ∴ＤＥ＝ＢＤ，即ＡＤ＋ＣＤ＝ＢＤ。 （２）解：ＡＤ＋ＣＤ＝槡２ＢＤ。理由如下： 图２ 如图 ２，延长 ＤＣ至 点 Ｅ，使得 ＣＥ＝ＡＤ， 连接ＢＥ。 ∵∠Ａ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∠ＢＣＥ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠Ａ＝∠ＢＣＥ。 ∵ＣＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴△ＢＡＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｅ＝∠ＡＤＢ，ＢＤ＝ＢＥ。 ∵ＡＤ⊥ＣＤ， ∴∠Ｅ＝∠ＢＤＣ＝４５°。 ∴△ＢＤＥ是等腰直角三角形，∠ＤＢＥ＝９０°。 ∴ＤＥ＝槡２ＢＤ，即ＡＤ＋ＣＤ＝槡２ＢＤ。 ２１．解：（１）把点 Ａ（３，０），Ｂ（－１，０）代入抛物线的表达 式，得 ９ａ＋３ｂ＋３＝０， ａ－ｂ＋３＝０，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝２。{ 所以抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）如图，设对称轴与ｘ轴交于点Ｄ。 ∵对称轴为直线ｘ＝－ ２ －２ ＝１，∴ＡＤ＝２。 ∵将△ＡＢＰ沿直线 ＡＰ翻折，得到△ＡＢ′Ｐ， ∴ＡＢ′＝ＡＢ＝４，Ｂ′Ｐ＝ＢＰ，∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＢ′。                                                                —３４— ∴ｃｏｓ∠ＤＡＢ′＝ ＡＤ ＡＢ′ ＝１ ２ 。∴∠ＤＡＢ′＝６０°。 ∴∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＢ′＝３０°。 ∴ＰＤ＝ＡＤ·ｔａｎ３０°＝槡 ２３ ３ 。∴点Ｐ１，槡 ２３ ３( ) 。 （３）∵ＥＦ∥ｘ轴，∴∠ＭＦＮ＝∠ＡＯＮ，∠ＦＭＮ＝∠ＯＡＮ。 ∴△ＭＦＮ∽△ＡＯＮ。∴ ＦＮ ＯＮ ＝ＦＭ ＯＡ 。 ∵ＯＡ＝３，∴当ＦＭ的值最大时， ＦＮ ＯＮ 有最大值。 设直线ＡＣ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｃ， 把Ａ（３，０），Ｃ（０，３）代入，得 ｋ＝－１， ｃ＝３。{ ∴直线ＡＣ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３。 设Ｐ（１，ｍ），则Ｍ（３－ｍ，ｍ），Ｆ（１＋ ４－槡 ｍ，ｍ）， ∴ＦＭ＝１＋ ４－槡 ｍ－３＋ｍ＝ｍ－２＋ ４－槡 ｍ。 令ｔ＝ ４－槡 ｍ，则ｍ＝４－ｔ ２， ∴ＦＭ＝４－ｔ２－２＋ｔ＝－ｔ２＋ｔ＋２＝－ｔ－ １ ２( ) ２ ＋９ ４ 。 当ｔ＝ １ ２ 时，ｍ＝ １５ ４ ，此时ＦＭ＝ ９ ４ 取得最大值， 此时 ＦＮ ＯＮ ＝ＦＭ ＯＡ ＝３ ４ 为最大值。 ２２．（１）证明：∵ＡＣ⊥ＰＢ，∴∠ＰＡＣ＋∠ＡＰＣ＝９０°。 ∵∠ＰＢＯ＋∠ＡＰＣ＝９０°，∴∠ＰＢＯ＝∠ＰＡＣ。 （２）解：如图１，标注Ｅ，Ｎ。当ｍ＝３时，Ｐ（３，０）。 图１ ∵Ａ（－４，０），Ｂ（０，４），∴ＯＢ＝４，ＯＰ＝３，ＯＡ＝４。 ∴ＯＢ＝ＯＡ。 ∵∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∠ＯＡＥ＝∠ＯＢＰ， ∴△ＡＯＥ≌△ＢＯＰ（ＡＳＡ）。∴ＯＥ＝ＯＰ。∴Ｅ（０，３）。 设直线ＡＥ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ∴ －４ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝３，{ 解得 ｋ＝ ３ ４ ， ｂ＝３。{ ∴直线ＡＥ的表达式为ｙ＝ ３ ４ ｘ＋３。 设直线ＢＰ的表达式为ｙ＝ｈｘ＋ｎ， ∴ ３ｈ＋ｎ＝０， ｎ＝４，{ 解得 ｈ＝－ ４ ３ ， ｎ＝４。{ ∴直线ＢＰ的表达式为ｙ＝－ ４ ３ ｘ＋４。 联立 ｙ＝ ３ ４ ｘ＋３， ｙ＝－ ４ ３ ｘ＋４，{ 解得 ｘ＝ １２ ２５ ， ｙ＝ ８４ ２５ 。{ ∴Ｃ １２ ２５ ， ８４ ２５( ) 。 （３）解：①过点Ｏ作ＯＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，如图２。 图２ ∵点Ｏ关于ＰＢ的对称点为Ｄ， ∴直线ＰＣ是线段ＯＤ的垂直平分线。 ∴ＯＣ＝ＣＤ。∴∠ＣＯＤ＝∠ＣＤＯ。 ∵∠ＮＯＰ＋∠ＮＰＯ＝９０°，∠ＯＢＰ＋∠ＮＰＯ＝９０°， ∴∠ＮＯＰ＝∠ＯＢＰ。 ∵∠ＰＡＣ＝∠ＯＢＰ，∴∠ＮＯＰ＝∠ＰＡＣ。 ∴ＯＤ∥ＡＣ。∴∠ＡＣＯ＝∠ＣＯＮ。 ∵∠ＯＥＡ＋∠ＯＡＥ＝９０°，∠ＮＯＰ＋∠ＮＰＯ＝９０°， ∴∠ＯＥＡ＝∠ＮＰＯ。 ∵ＯＥ＝ＯＰ，∴△ＯＭＥ≌△ＯＮＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＯＭ＝ＯＮ。∴∠ＡＣＯ＝∠ＯＣＮ。 ∴∠ＣＯＮ＝∠ＯＣＮ。∴∠ＣＯＮ＝４５°。∴∠ＯＣＤ＝９０°。 ∴当０＜ｍ＜４时，△ＯＣＤ是等腰直角三角形。 ②当０＜ｍ≤４时，由①可知ＯＥ＝ＯＰ。 如图３，作ＯＱ∥ＣＤ交ＡＣ于点Ｑ。 图３ 由①，知ＯＤ∥ＡＣ， ∴四边形ＯＱＣＤ是平行四边形。∴ＣＱ＝ＯＤ，ＯＱ＝ＣＤ。 ∵ＯＣ＝ＣＤ，∴ＯＱ＝ＯＣ。 ∵ＣＤ∥ＯＱ，∴∠ＣＯＱ＝∠ＯＣＤ＝９０°。 ∴∠ＣＯＥ＋∠ＱＯＥ＝９０°。 ∵∠ＱＯＥ＋∠ＡＯＱ＝９０°，∴∠ＣＯＥ＝∠ＡＯＱ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴△ＡＯＱ≌△ＢＯＣ（ＳＡＳ）。∴ＡＱ＝ＢＣ。 ∵ＡＣ＝ＡＱ＋ＣＱ，∴ＡＣ＝ＢＣ＋ＯＤ； 如图４，当ｍ＞４时，同理可得ＯＤ＝ＡＣ＋ＢＣ。                                                                —４４— 图４ 综上所述，当 ０＜ｍ≤４时，ＡＣ＝ＢＣ＋ＯＤ；当 ｍ＞４时， ＯＤ＝ＡＣ＋ＢＣ。 １４２０２３年潍城区学业水平第二次模拟试题 （与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ａ ＢＣ ＡＤ ＢＣＤ ＢＤ １．Ｃ　【解析】∵－３２＝－９，∴－３２的相反数是９。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１４８０５６００００００＝１．４８０５６×１０１１。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】俯视图如图所示。故选Ｃ。 ４．Ａ　【解析】∵ｘ１，ｘ２是关于 ｘ的一元二次方程 ｘ ２－３ｘ－ ５＝０的两根，∴ｘ１＋ｘ２＝３，ｘ１ｘ２＝－５。 ∴ｘ２１＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２＝９＋１０＝１９。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】如图所示，标注点Ｆ，Ｇ，Ｈ。 由网格图，知ＢＦ＝２，ＡＦ＝４，ＣＨ＝２，ＤＨ＝１， ∴ＡＢ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２＝槡２５，ＣＤ＝ ＣＨ ２＋ＤＨ槡 ２＝槡５。 ∵ＡＦ∥ＣＧ，∴∠ＣＡＦ＝∠ＡＣＧ。 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ｔａｎ∠ＢＡＦ＝ ＢＦ ＡＦ ＝２ ４ ＝１ ２ ， 在Ｒｔ△ＣＤＨ中，ｔａｎ∠ＤＣＨ＝ ＤＨ ＣＨ ＝１ ２ ， ∴ｔａｎ∠ＢＡＦ＝ｔａｎ∠ＤＣＨ。∴∠ＢＡＦ＝∠ＤＣＨ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＦ＋∠ＣＡＦ，∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＨ＋∠ＡＣＧ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＤ。∴ＡＢ∥ＣＤ。 ∴△ＡＢＥ∽△ＣＤＥ。 ∴△ＡＢＥ与△ＣＤＥ的周长比＝ ＡＢ ＣＤ ＝槡２５ 槡５ ＝２∶１。 故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】当点Ｑ在线段ＡＢ上运动时， ∵ＰＱ⊥ＡＣ，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＡＱＰ＝∠ＤＡＣ。∴△ＡＱＰ∽△ＤＡＣ。 ∴ ＡＱ ＡＰ ＝ＤＡ ＤＣ ＝８ ４ ＝２。∴ＡＱ＝２ＡＰ。 当点Ｑ和点Ｂ重合时，ＡＱ＝ＡＢ＝４，∴此时ＡＰ＝２。 ①当０≤ｘ≤２时，如图１所示。 图１ ｙ＝Ｓ△ＡＰＱ＝ １ ２ ＡＰ·ＡＱ＝ １ ２ ·ｘ·２ｘ＝ｘ２； ②当２＜ｘ≤８时，如图２所示。 图２ ｙ＝Ｓ△ＡＰＱ＝ １ ２ ＡＰ·ＡＢ＝ １ ２ ·ｘ·４＝２ｘ。故选Ａ。 ７．ＢＣ　【解析】Ａ．（ｘ３）２＝ｘ６，不符合题意； Ｂ．（－３ｘｙ）２＝９ｘ２ｙ２，符合题意； Ｃ． ｘ－ｙ ２ｘｙ－ｘ２－ｙ２ ＝ ｘ －ｙ －（ｘ－ｙ）２ ＝－１ ｘ－ｙ ＝１ ｙ－ｘ ，符合题意； Ｄ．ｘ６÷ｘ３＝ｘ３，不符合题意。故选ＢＣ。 ８．ＡＤ　【解析】由折线统计图可知，２０２２年 ４月份该企 业产值最低，故选项 Ａ符合题意；２０２３年 ３月份是该 企业产值最大的月份，故选项 Ｂ不符合题意；２０２２年 １１月份比２０２２年１０月份产值高，故选项Ｃ不符合题 意；２０２２年５月至 ２０２３年 ３月该企业产值一直在增 大，说法正确，故选项Ｄ符合题意。故选ＡＤ。 ９．ＢＣＤ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ内角大小不确定， ∴∠ＡＤＣ不一定等于９０°。故选项Ａ错误； 如图，⊙Ｏ内切于四边形 ＡＢＣＤ，设切点为 Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ， 连接ＯＭ，ＯＮ，由题易得Ｒｔ△ＡＭＯ≌Ｒｔ△ＡＮＯ， ∴ＡＭ＝ＡＮ。 ∵ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＢ－ＡＭ＝ＡＤ－ＡＮ。 ∴ＢＭ＝ＤＮ。 ∵ＢＰ＝ＢＭ，ＤＱ＝ＤＮ， ∴ＢＰ＝ＤＱ。 ∵ＣＰ＝ＣＱ， ∴ＢＰ＋ＣＰ＝ＤＱ＋ＣＱ。 ∴ＢＣ＝ＣＤ。故选项Ｂ正确； ∵ＯＭ⊥ＡＢ，ＯＮ⊥ＡＤ，ＯＭ＝ＯＮ，∴ＡＯ平分∠ＢＡＤ。 ∵ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＯ⊥ＢＤ。 同理可得ＣＯ⊥ＢＤ，ＣＯ平分∠ＢＣＤ， ∴Ａ，Ｏ，Ｃ三点共线，∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ。 故选项Ｃ和Ｄ正确。故选ＢＣＤ。                                                                —５４—