12 2023年诸城市学业水平第一次模拟试题(与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ６７— — ６８— — ６９— 一、单选题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．若实数ａ的相反数是－１，则ａ＋１等于 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．０ Ｄ． １ ２ ２．如图，水面ＡＢ与水杯下沿ＣＤ平行，光线ＥＦ从水中射向空气时发生折射，光线变成ＦＨ，点Ｇ在射线 ＥＦ上，已知∠ＨＦＢ＝２０°，∠ＦＥＤ＝４５°，则∠ＧＦＨ的度数为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．６０° Ｃ．４５° Ｄ．２５° 第２题图 　　　 第４题图 　　　 第６题图 ３．牡丹自古以来就是富贵的象征，被誉为“百花之王”。据估计，我国牡丹栽种数量约为１７５５０００００株， 用科学记数法表示为（精确到百万位） （　　） Ａ．１．７６×１０８ Ｂ．１．７６×１０９ Ｃ．１．８×１０９ Ｄ．１７．５５×１０７ ４．如图，在一个正方体的上底面中间位置挖去一个长和宽均为６ｃｍ，深为４ｃｍ的长方体形状的洞，得到 的几何体的三视图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ．主视图 Ｂ．左视图 Ｃ．俯视图 Ｄ．不存在 ５．关于ｘ的不等式组 ２ｘ≤３（ｘ＋１）， ２－ ｘ ２ ＞３{ 的解集，在数轴上表示正确的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６．如图，△ＡＢＣ是等边三角形，边长为８ｃｍ，矩形ＤＥＦＧ的长和宽分别为８ｃｍ和 槡２３ｃｍ，点Ｃ和点Ｅ重 合，点Ｂ，Ｃ（Ｅ），Ｆ在同一条直线上，令矩形ＤＥＦＧ不动，△ＡＢＣ以每秒１ｃｍ的速度向右移动，当点Ｃ 与点Ｆ重合时停止移动，设移动ｘ秒后，△ＡＢＣ与矩形ＤＥＦＧ重叠部分的面积为ｙ，则ｙ关于ｘ的函数 图象大致是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、多选题（共４小题，每小题４分，共１６分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得４分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ７．下列运算正确的是 （　　） Ａ．２ａ×３ｂ＝６ａｂ Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ６ Ｃ．ａ２＋６槡 ２＝ａ＋６ Ｄ．（－ａ３）２＝ａ６ ８．如图，正五边形ＡＢＣＤＥ内接于⊙Ｏ，作直径ＡＦ；以点Ｆ为圆心，ＯＦ长为半径作圆弧，与⊙Ｏ交于点Ｍ， Ｎ；连接ＡＭ，ＭＮ，ＡＮ。下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠ＡＢＣ＝１２０° Ｂ．△ＡＭＮ是正三角形 Ｃ．连接ＦＮ，则ＦＮ＝ＣＤ Ｄ．从点Ａ开始，以ＤＮ长为边长，在⊙Ｏ上依次截取点，再依次连接这些分点，得到的多边形是正十五 边形 第８题图 　　　　　 第１０题图 ９．小亮用描点法画二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象时，列出了下面的表格，由于粗心，他算错了其中一个ｙ 值，下列结论正确的是 （　　） ｘ … －１ ０ １ ２ ３ … ｙ … －２ －３ －４ －３ ０ … Ａ．２ａ＋ｂ＝０ Ｂ．对于任意实数ｍ，ａ＋ｂ≥ａｍ２＋ｂｍ总成立 Ｃ．抛物线与ｘ轴的交点为（－１，０）和（３，０） Ｄ．点Ａ（ｍ－１，ｙ１），Ｂ（ｍ，ｙ２）在抛物线上，若ｙ１＜ｙ２，则ｍ＞ ３ ２ １０．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＤＡ，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的中点，连接ＡＨ，ＢＥ，ＣＦ，ＤＧ，它们分别相 交于点Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，连接ＰＭ。若ＡＢ＝４，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ Ｂ．四边形ＭＮＰＱ是正方形 Ｃ．ＰＭ＝槡 ２１０ ５ Ｄ．Ｓ△ＭＮＰ∶Ｓ四边形ＣＰＱＨ＝２∶３ 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．若关于ｘ的方程ｘ２－ｘ＝ｋ有两个不相等的实数根，则ｋ的取值范围是　　　　　　　　。 １２．如图，在菱形纸片 ＡＢＣＤ中，Ｅ是边 ＢＣ上一点，将△ＡＢＥ沿直线 ＡＥ翻折，使点 Ｂ落在 Ｂ′上，连接 Ｂ′Ｄ。已知∠Ｃ＝１３０°，∠ＢＡＥ＝５０°，则∠ＡＢ′Ｄ的度数为　　　　。 第１２题图 　　　 第１３题图 　　　 第１４题图 １３．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为１，点Ｏ，Ａ，Ｂ都在格点上，若扇形ＡＯＢ是一个圆锥的 侧面展开图，则该圆锥的高为　　　　　　。 １４．如图，正方形ＡＢＣＤ的中心与坐标原点Ｏ重合，将顶点Ｄ（１，０）绕点Ａ（０，１）逆时针旋转９０°得点Ｄ１， 再将点Ｄ１绕点Ｂ逆时针旋转９０°得点Ｄ２，再将点Ｄ２绕点Ｃ逆时针旋转９０°得点Ｄ３，再将点Ｄ３绕点Ｄ 逆时针旋转９０°得点Ｄ４，再将点Ｄ４绕点Ａ逆时针旋转９０°得点Ｄ５……依此类推，则点Ｄ２０２３的坐标为 　　　　　　。 四、解答题（共８小题，共９４分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（８分）（１）计算：（１－槡３） ０－｜－槡２｜＋ ３－槡 ２７－－ １ ２( ) －１ ； （２）化简： ｘ２－１ ｘ－２ －ｘ－１( )÷ ｘ＋１ｘ２－４ｘ＋４，请选择一个恰当的数代入求值。 １６．（１０分）某种商品的利润ｙ（元）与销售单价ｘ（元）之间满足关系ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－５，图象如图所示，图象上 有两点Ａ（１，４），Ｂ（２，１１）。 （１）求ｙ关于ｘ的表达式； （２）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为１６元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范 围时，该种商品的销售利润不低于１６元？ １７．（１２分）某商场为了掌握节假日顾客购买商品的时刻分布情况，将顾客购买商品的时刻ｔ分四个时间 段：７：００≤ｔ＜１１：００，１１：００≤ｔ＜１５：００，１５：００≤ｔ＜１９：００和１９：００≤ｔ≤２３：００（分别记为Ａ段，Ｂ段，Ｃ段 和Ｄ段）进行了统计，并绘制出顾客购买商品时刻的扇形统计图和频数分布直方图如下，其中扇形 统计图中，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四段各部分圆心角的度数比为１∶３∶４∶２。 请根据上述信息解答下列问题： （１）这次共调查了　　　　人，其中顾客购买商品时刻的中位数落在　　　　段（填写表示时间段 的字母即可）； １２２０２３年诸城市学业水平第一次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ７０— — ７１— — ７２— （２）补全频数分布直方图； （３）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并 随机分配到Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个时间段中。 ①请直接写出特等奖出现在Ａ时间段的概率：　　　　； ②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率。 　 １８．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）与一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象相交于点 Ａ（２，ｍ）与点Ｂ（４，２）。 （１）求一次函数和反比例函数的表达式； （２）求△ＡＯＢ的面积； （３）在ｘ轴上是否存在一点Ｐ，使得ＡＰ＋ＢＰ最小，若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。 １９．（１０分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某校“综 合与实践”活动小组的同学要测量ＡＢ，ＣＤ两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：如 图，无人机在ＡＢ，ＣＤ两楼之间上方的点Ｏ处，点Ｏ距地面ＡＣ的高度为６０ｍ，此时观测到楼ＡＢ底部点Ａ 处的俯角为７０°，楼ＣＤ上点Ｅ处的俯角为３０°，沿水平方向由点Ｏ飞行２４ｍ到达点Ｆ，测得点Ｅ处的俯角 为６０°，其中点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｏ均在同一竖直平面内。请根据以上数据求楼ＡＢ与ＣＤ之间的距离ＡＣ的 长。（结果精确到１ｍ。参考数据：ｓｉｎ７０°≈０．９４，ｃｏｓ７０°≈０．３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡３≈１．７３） 　 ２０．（１４分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，且ＡＤ平分∠ＣＡＢ，过点Ｄ作ＡＣ的垂线，与ＡＣ的 延长线相交于点Ｅ，与ＡＢ的延长线相交于点Ｆ，Ｇ是ＡＢ的下半圆弧的中点，ＤＧ交ＡＢ于点Ｈ，连接 ＢＤ，ＢＧ。 （１）证明：ＥＦ是⊙Ｏ的切线； （２）若圆的半径ｒ＝５，ＢＨ＝３，求ＧＨ的长； （３）求证：ＤＦ２＝ＡＦ·ＢＦ。 ２１．（１４分）九年级（１）班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动。 【操作探究】（１）如图１，△ＯＡＢ是等腰三角形，ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝６０°，将△ＯＡＢ绕点Ｏ旋转１８０°，得到 △ＯＤＥ，连接ＡＥ，Ｆ是ＡＥ的中点，连接ＯＦ，则∠ＢＡＥ＝　　　　°，ＯＦ与ＤＥ的数量关系是　　　　； 【迁移探究】（２）如图２，（１）中的其他条件不变，当△ＯＡＢ绕点Ｏ逆时针旋转，点Ｄ正好落在∠ＡＯＢ 的平分线上，得到△ＯＤＥ，求出此时∠ＢＡＥ的度数及ＯＦ与ＤＥ的数量关系； 【拓展应用】（３）如图３，在等腰三角形ＯＡＢ中，ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝９０°。将△ＯＡＢ绕点Ｏ旋转，得到 △ＯＤＥ，连接ＡＥ，Ｆ是ＡＥ的中点，连接ＯＦ。当∠ＥＡＢ＝１５°时，请直接写出ＯＦ的长。 图１ 　 图２ 　 图３ ２２．（１４分）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解 答，经查询结果发现，二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１。 已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ｍ（１，－２）， 。 求二次函数的表达式。 （１）请根据上述信息添加一个适当的条件补全题目，添加的条件为　　　　　　　　　； （２）如图１，将函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１（ｘ＜０）的图象向右平移４个单位长度，与ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１（ｘ≥４）的图象组 成一个新的函数图象，记为Ｌ。若点Ｐ（３，ｍ）在Ｌ上，求ｍ的值； （３）如图２，在（２）的条件下，点Ａ（２，０），在Ｌ上是否存在点Ｑ，使得Ｓ△ＯＡＱ＝９。若存在，求出所有满足 条件的点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由。 图１ 　 图２ （３）设格点多边形内部的点数为 ｙ，边上的点数为 ｘ， 则格点多边形的面积Ｓ＝ｙ＋ １ ２ ｘ－１， ∵图Ａ中，ｙ＝６，ｘ＝１３， ∴Ｓ＝ｙ＋ １ ２ ｘ－１＝６＋６．５－１＝１１．５， 即图Ａ的面积为１１．５。 （４）由题意，得 ｘ＝３ｙ， １９＝ｙ＋ ｘ ２ －１，{ 解得 ｘ＝２４，ｙ＝８。{ 设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多 边形如图所示。（答案不唯一） １２２０２３年诸城市学业水平第一次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ａ ＡＤ ＢＤ ＡＣＤＡＢＤ １．Ａ　【解析】∵实数ａ的相反数是－１，∴ａ＝１。 ∴ａ＋１＝２。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＧＦＢ＝∠ＦＥＤ＝４５°。 ∴∠ＧＦＨ＝∠ＧＦＢ－∠ＨＦＢ＝４５°－２０°＝２５°。 故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】１７５５０００００＝１．７５５×１０８≈１．７６×１０８。 故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】该正方体的三视图如图所示。 主视图 　 左视图 　 俯视图 故既是轴对称图形又是中心对称图形的是俯视图。 故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】解第一个不等式，得ｘ≥－３，解第二个不等 式，得ｘ＜－２。所以不等式组的解集为－３≤ｘ＜－２。 故选Ｃ。 ６．Ａ　【解析】当ＡＣ经过点Ｄ时，如图１所示。 图１ ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＤＣＥ＝６０°。 ∵ＤＥ＝槡２３，∠ＤＥＣ＝９０°，∴ＣＥ＝ ＤＥ ｔａｎ６０° ＝槡２３ 槡３ ＝２。 当ＡＢ经过点Ｄ时，如图２所示。 图２ ∵∠Ｂ＝６０°，ＤＥ＝槡２３，∴ＢＥ＝２。 ∴ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝８－２＝６。 ①当０≤ｘ≤２时，如图３所示，ＡＣ与ＤＥ交于点Ｈ。 图３ 此时ＣＥ＝ｘ，∠ＨＣＥ＝６０°，∴ＥＨ＝ｔａｎ６０°·ＣＥ＝槡３ｘ。 ∴ｙ＝ １ ２ ＣＥ·ＥＨ＝ １ ２ ｘ·槡３ｘ＝ 槡３ ２ ｘ２； ②当２＜ｘ≤６时，如图４所示，ＡＣ与ＤＧ交于点Ｍ， 过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＣ于点Ｎ。 图４ 此时ＭＮ＝槡２３，∠ＭＣＮ＝６０°，∴ＣＮ＝２。 ∵ＣＥ＝ｘ，∴ＥＮ＝ＣＥ－ＣＮ＝ｘ－２。 ∵四边形ＤＥＮＭ是矩形，∴ＤＭ＝ＥＮ＝ｘ－２。 ∴ｙ＝ １ ２ （ＤＭ＋ＣＥ）·ＤＥ＝ １ ２ （ｘ－２＋ｘ）×槡２３＝槡２３ｘ－槡２３； ③当６＜ｘ≤８时，如图５所示。 ＡＣ与ＤＧ交于点 Ｉ，ＡＢ与 ＤＧ交于点 Ｋ，与 ＤＥ交于点 Ｔ，过点Ｉ作ＩＲ⊥ＢＣ于点Ｒ。 图５ 此时ＩＲ＝槡２３，∠ＩＣＲ＝６０°。∴ＣＲ＝２。 ∵ＣＥ＝ｘ，∴ＥＲ＝ＤＩ＝ｘ－２，ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝８－ｘ。 ∵∠Ｂ＝６０°，∴ＥＴ＝ＢＥ·ｔａｎ６０°＝槡３（８－ｘ）。 ∵ＤＥ＝槡２３，∴ＤＴ＝ＤＥ－ＥＴ＝槡２３－槡３（８－ｘ）＝槡３（ｘ－６）。 ∵ＤＧ∥ＢＣ，∴∠ＤＫＴ＝６０°。 ∴ＤＫ＝ ＤＴ ｔａｎ６０° ＝槡３（ｘ －６） 槡３ ＝ｘ－６。 ∴ｙ＝Ｓ四边形ＤＥＲＩ＋Ｓ△ＩＲＣ－Ｓ△ＤＴＫ                                                                —７３— ＝槡２３（ｘ－２）＋ １ ２ ×２×槡２３－ １ ２ ×槡３（ｘ－６） ２ ＝－槡３ ２ ｘ２＋槡８３ｘ－ 槡２０３ ＝－槡３ ２ （ｘ－８）２＋ 槡１２３。故选Ａ。 ７．ＡＤ　【解析】Ａ．２ａ×３ｂ＝６ａｂ，正确，符合题意；Ｂ．ａ３·ａ２＝ ａ５，原式计算错误，不符合题意；Ｃ． ａ２＋６槡 ２是最简二次根 式，不能化简，原式计算错误，不符合题意；Ｄ．（－ａ３）２＝ａ６， 正确，符合题意。故选ＡＤ。 ８．ＢＤ　【解析】∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＡＢＣ＝ （５－２）×１８０° ５ ＝１０８°。 故选项Ａ不符合题意； 如图，连接ＯＮ，ＦＮ。 由题意，得ＦＮ＝ＯＮ＝ＯＦ， ∴△ＦＯＮ是等边三角形。 ∴∠ＡＦＮ＝６０°。 ∴∠ＡＭＮ＝６０°。 同理可得∠ＡＮＭ＝６０°。 ∴∠ＭＡＮ＝６０°。 ∴△ＭＡＮ是正三角形。故选项Ｂ符合题意； 如图，连接ＯＤ，ＯＣ。 ∵△ＯＮＦ是等边三角形，∴∠ＦＯＮ＝６０°。 ∵∠ＣＯＤ＝ １ ５ ×３６０°＝７２°，∴ＦＮ) ≠ＣＤ) 。 ∴ＦＮ≠ＣＤ。故选项Ｃ不符合题意； ∵∠ＡＭＮ＝６０°，∴∠ＡＯＮ＝１２０°。 ∵∠ＡＯＤ＝ ２ ５ ×３６０°＝１４４°， ∴∠ＤＯＮ＝∠ＡＯＤ－∠ＡＯＮ＝１４４°－１２０°＝２４°。 ∵３６０°÷２４°＝１５，∴正多边形的边数为１５。故选项 Ｄ 符合题意。故选ＢＤ。 ９．ＡＣＤ　【解析】由函数图象关于对称轴对称，得（０，－３）， （２，－３）在函数图象上， ∴－ ｂ ２ａ ＝０ ＋２ ２ ＝１。∴２ａ＋ｂ＝０，故选项Ａ符合题意； ∵顶点为（１，－４），函数有最小值， ∴对于任意实数 ｍ，有 ａ＋ｂ＋ｃ≤ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ，即 ａ＋ｂ≤ ａｍ２＋ｂｍ总成立。故选项Ｂ不符合题意； ∵抛物线过（０，－３），（１，－４），（２，－３）， ∴设ｙ＝ａ（ｘ－１）２－４，代入（０，－３），得－３＝ａ－４，解得ａ＝１。 ∴ｙ＝（ｘ－１）２－４。 ∵当ｘ＝３时，ｙ＝０，∴抛物线与ｘ轴的一个交点为（３，０）。 ∴抛物线与ｘ轴的另一个交点为（－１，０）。 ∴抛物线与ｘ轴的交点为（－１，０）和（３，０）。故选项 Ｃ 符合题意； 二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象以直线 ｘ＝１为对称轴， 开口向上。 ∵点Ａ（ｍ－１，ｙ１），Ｂ（ｍ，ｙ２）在抛物线上，ｙ１＜ｙ２， ∴ ｍ－１＋ｍ ２ ＞１。∴ｍ＞ ３ ２ 。故选项Ｄ符合题意。 故选ＡＣＤ。 １０．ＡＢＤ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＤＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ。 ∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＤＡ，ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ的中点， ∴ＤＥ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ＢＦ＝ＢＧ＝ＣＧ＝ＣＨ＝ＤＨ。 在△ＡＢＥ和△ＢＣＦ中， ＡＥ＝ＢＦ， ∠ＥＡＢ＝∠ＦＢＣ＝９０°， ＡＢ＝ＢＣ，{ ∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ（ＳＡＳ）。故选项Ａ符合题意； ∵△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＦ。 ∵∠ＢＣＦ＋∠ＢＦＣ＝９０°，∴∠ＡＢＥ＋∠ＢＦＣ＝９０°。 ∴∠ＦＮＢ＝９０°。 ∵ＤＥ∥ＢＧ，ＤＥ＝ＢＧ， ∴四边形ＤＥＢＧ是平行四边形。∴ＢＥ∥ＤＧ。 同理可得ＡＨ∥ＣＦ。∴四边形ＭＱＰＮ是平行四边形。 ∵∠ＭＮＰ＝∠ＦＮＢ＝９０°，∴四边形ＭＮＰＱ是矩形。 ∴∠ＡＭＢ＝∠ＢＮＣ＝９０°。 在△ＡＭＢ和△ＢＮＣ中， ∠ＡＭＢ＝∠ＢＮＣ＝９０°， ∠ＡＢＭ＝∠ＢＣＮ， ＡＢ＝ＢＣ，{ ∴△ＡＭＢ≌△ＢＮＣ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＭ＝ＣＮ。同理可得ＰＤ＝ＡＱ＝ＢＭ＝ＣＮ。 ∵ＢＥ∥ＤＧ，Ｅ是ＡＤ的中点， ∴ＥＭ是△ＡＤＱ的中位线。 ∴ＭＱ＝ １ ２ ＡＱ。同理可得ＭＮ＝ １ ２ ＢＭ，ＮＰ＝ １ ２ ＣＮ， ＰＱ＝ １ ２ ＤＰ。 ∴ＭＮ＝ＮＰ＝ＰＱ＝ＭＱ。∴四边形ＭＮＰＱ是正方形。 故选项Ｂ符合题意； ∵四边形 ＭＮＰＱ是正方形，ＭＮ＝ １ ２ ＢＭ，ＮＰ＝ １ ２ ＣＮ， ＰＱ＝ １ ２ ＤＰ，ＭＱ＝ １ ２ ＡＱ， ∴ＡＭ＝ＭＮ＝ＢＮ＝ＮＰ＝ＭＱ＝ＤＱ＝ＰＱ＝ＣＰ。 设正方形ＭＮＰＱ的边长为ｘ。 ∵ＡＭ２＋ＢＭ２＝ＡＢ２，∴ｘ２＋（２ｘ）２＝４２。 ∵ｘ＞０，∴ｘ＝槡 ４５ ５ 。 ∴ＰＱ＝ＭＱ＝槡 ４５ ５ 。∴ＰＭ＝槡２ＰＱ＝ 槡４ １０ ５ 。 故选项Ｃ不符合题意； ∵ＨＱ是△ＤＰＣ的中位线，∴ＨＱ＝ １ ２ ＣＰ＝槡 ２５ ５ 。 ∵Ｓ△ＭＮＰ＝ １ ２ ＭＮ·ＮＰ＝ １ ２ ×槡４５ ５ ×槡４５ ５ ＝８ ５ ， Ｓ四边形ＣＰＱＨ＝ １ ２ （ＨＱ＋ＣＰ）·ＰＱ＝ １ ２ × 槡２５ ５ ＋槡４５ ５( ) · 槡４５ ５ ＝１２ ５ ， ∴Ｓ△ＭＮＰ∶Ｓ四边形ＣＰＱＨ＝２∶３。故选项Ｄ符合题意。 故选ＡＢＤ。                                                                —８３— １１．ｋ＞－ １ ４ 　【解析】∵关于ｘ的方程ｘ２－ｘ＝ｋ有两个不相 等的实数根， ∴Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０。∴（－１）２－４×１×（－ｋ）＞０。 ∴ｋ＞－ １ ４ 。∴ｋ的取值范围是ｋ＞－ １ ４ 。 １２．７５°　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠Ｃ＝１３０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｃ＝１３０°，ＡＢ＝ＡＤ。 根据折叠的性质，得ＡＢ＝ＡＢ′，∠ＢＡＥ＝∠Ｂ′ＡＥ＝５０°。 ∴ＡＢ′＝ＡＤ，∠ＢＡＢ′＝∠ＢＡＥ＋∠Ｂ′ＡＥ＝１００°。 ∴∠ＡＢ′Ｄ＝∠ＡＤＢ′，∠ＤＡＢ′＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＢ′＝３０°。 ∴∠ＡＢ′Ｄ＝∠ＡＤＢ′＝ １ ２ （１８０°－∠ＤＡＢ′）＝７５°。 １３．槡 ５ １５ ４ 　【解析】如图，连接ＡＢ。∵ＯＡ＝ ３２＋４槡 ２＝５， ＯＢ＝ ３２＋４槡 ２＝５，ＡＢ＝ １２＋７槡 ２＝槡５２， ∴ＯＡ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２。 ∴△ＯＡＢ是等腰直角三角形， ∠ＡＯＢ＝９０°。 设圆锥的底面圆的半径为ｒ， 根据题意，得２πｒ＝ ９０×π×５ １８０ ， 解得ｒ＝ ５ ４ 。 ∴该圆锥的高为 ５２－ ５ ４( )槡 ２ ＝ 槡５ １５ ４ 。 １４．（－２０２３，－２０２４）　【解析】如图，过点 Ｄ１作 Ｄ１Ｅ⊥ ｙ轴于点Ｅ，过点Ｄ２作 Ｄ２Ｆ⊥ｘ轴于点 Ｆ，过点 Ｄ３作 Ｄ３Ｇ⊥ｙ轴于点Ｇ，过点Ｄ４作Ｄ４Ｈ⊥ｘ轴于点 Ｈ，过点 Ｄ５作Ｄ５Ｋ⊥ｙ轴于点Ｋ。 ∵正方形ＡＢＣＤ的中心与坐标原点Ｏ重合，Ｄ（１，０）， ∴ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝１，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝槡２， ∠ＢＡＯ＝∠ＣＢＯ＝∠ＤＣＯ＝∠ＡＤＯ＝４５°。 ∴Ａ（０，１），Ｂ（－１，０），Ｃ（０，－１）。 ∵将顶点 Ｄ（１，０）绕点 Ａ（０，１）逆时针旋转 ９０°得 点Ｄ１， ∴∠Ｄ１ＡＥ＝４５°，∠ＡＥＤ１＝９０°，ＡＤ１＝ＡＤ＝槡２。 ∴ＡＥ＝ＡＤ１·ｃｏｓ∠Ｄ１ＡＥ＝槡２ｃｏｓ４５°＝１， Ｄ１Ｅ＝ＡＤ１·ｓｉｎ∠Ｄ１ＡＥ＝槡２ｓｉｎ４５°＝１。 ∴ＯＥ＝ＯＡ＋ＡＥ＝１＋１＝２，ＢＤ１＝ＡＢ＋ＡＤ１＝槡２＋槡２＝槡２２。 ∴Ｄ１（１，２）。 ∵再将点Ｄ１绕点Ｂ逆时针旋转９０°得点Ｄ２， ∴∠Ｄ２ＢＦ＝４５°，∠Ｄ２ＦＢ＝９０°，ＢＤ２＝ＢＤ１＝槡２２。 ∴Ｄ２Ｆ＝ＢＤ２·ｓｉｎ∠Ｄ２ＢＦ＝槡２２ｓｉｎ４５°＝２， ＢＦ＝ＢＤ２·ｃｏｓ∠Ｄ２ＢＦ＝槡２２ｃｏｓ４５°＝２。 ∴ＯＦ＝ＯＢ＋ＢＦ＝１＋２＝３。∴Ｄ２（－３，２）。 再将点Ｄ２绕点Ｃ逆时针旋转９０°得点 Ｄ３，再将点 Ｄ３ 绕点Ｄ逆时针旋转９０°得点 Ｄ４，再将点 Ｄ４绕点 Ａ逆 时针旋转９０°得点Ｄ５…… 同理可得Ｄ３（－３，－４），Ｄ４（５，－４），Ｄ５（５，６）… 观察发现：每四个点一个循环，Ｄ４ｎ（４ｎ＋１，－４ｎ）， Ｄ４ｎ＋１（４ｎ＋１，４ｎ＋２），Ｄ４ｎ＋２（－４ｎ－３，４ｎ＋２）， Ｄ４ｎ＋３（－４ｎ－３，－４ｎ－４）。 ∵２０２３＝４×５０５＋３，∴Ｄ２０２３（－２０２３，－２０２４）。 １５．解：（１）（１－槡３） ０－｜－槡２｜＋ ３－槡 ２７－－ １ ２( ) －１ ＝１－槡２－３＋２＝－槡２。 （２） ｘ２－１ ｘ－２ －ｘ－１( ) ÷ ｘ＋１ｘ２－４ｘ＋４ ＝ｘ ＋１ ｘ－２ ÷ ｘ ＋１ （ｘ－２）２ ＝ｘ ＋１ ｘ－２ · （ｘ－２）２ ｘ＋１ ＝ｘ－２。 ∵ｘ≠２且ｘ≠－１，∴可取ｘ＝３。 当ｘ＝３时，原式＝３－２＝１。（答案不唯一） １６．解：（１）∵函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－５的图象过点 Ａ（１，４）， Ｂ（２，１１），　 ∴ ａ＋ｂ－５＝４， ４ａ＋２ｂ－５＝１１，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝１０。{ ∴ｙ关于ｘ的表达式为ｙ＝－ｘ２＋１０ｘ－５。 （２）当ｙ＝１６时，－ｘ２＋１０ｘ－５＝１６，解得ｘ１＝３，ｘ２＝７。 所以当销售单价定为３元或７元时，该种商品的销售 利润为１６元。 结合图象，当３≤ｘ≤７时，该种商品的销售利润不低 于１６元。 １７．解：（１）∵扇形统计图中，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四段各部分圆心 角的度数比为１∶３∶４∶２， ∴扇形统计图中，Ａ段所占的百分比为 １ １＋３＋４＋２ × １００％＝１０％。 ∴这次共调查的人数为５００÷１０％＝５０００。 ∴Ｂ段的顾客人数为５０００× ３ １＋３＋４＋２ ＝１５００， Ｃ段的顾客人数为５０００× ４ １＋３＋４＋２ ＝２０００。 按照时间段从早到晚排序，根据各时间段的人数可 知，排在第 ２５００和 ２５０１名所在的时间段为 Ｃ段。 ∴顾客购买商品时刻的中位数落在Ｃ段。 故答案为５０００；Ｃ。 （２）补全频数分布直方图如下：                                                                —９３— （３）①∵有 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个时间段，∴特等奖出现在 Ａ时间段的概率为 １ ４ 。故答案为 １ ４ 。 ②画树状图如下： 共有１６种等可能的结果，其中两个一等奖出现在不 同时间段的结果有ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，ＣＡ，ＣＢ， ＣＤ，ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，共１２种。 所以两个一等奖出现在不同时间段的概率为 １２ １６ ＝３ ４ 。 １８．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象经过Ｂ（４，２）， ∴ｋ＝４×２＝８。∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ８ ｘ 。 ∵点Ａ（２，ｍ）在ｙ＝ ８ ｘ 的图象上，∴ｍ＝４。 ∴点Ａ的坐标为（２，４）。 把Ａ，Ｂ两点的坐标代入ｙ＝ａｘ＋ｂ，得 ２ａ ＋ｂ＝４， ４ａ＋ｂ＝２，{ 解得 ａ＝－１， ｂ＝６。{ ∴一次函数的表达式为ｙ＝－ｘ＋６。 （２）如图，ＡＢ与ｙ轴交于点Ｄ。 当ｘ＝０时，ｙ＝－ｘ＋６＝６。 ∴点Ｄ的坐标为（０，６）。 ∴Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＢＯＤ－Ｓ△ＡＯＤ＝ １ ２ ×６×４－ １ ２ ×６×２＝６。 （３）在ｘ轴上存在点Ｐ，使得ＡＰ＋ＢＰ最小。 如图，作点Ｂ（４，２）关于 ｘ轴的对称点 Ｂ′（４，－２），连 接ＡＢ′，交ｘ轴于点Ｐ，连接ＢＰ。 设直线ＡＢ′的表达式为ｙ＝ａ′ｘ＋ｂ′， ∴ ２ａ′ ＋ｂ′＝４， ４ａ′＋ｂ′＝－２，{ 解得 ａ′＝－３，ｂ′＝１０。{ ∴直线ＡＢ′的表达式为ｙ＝－３ｘ＋１０。 令ｙ＝０，解得ｘ＝ １０ ３ 。 ∴存在Ｐ １０ ３ ，０( ) 可使ＡＰ＋ＢＰ最小。 １９．解：如图，延长ＡＢ，ＣＤ分别与直线ＯＦ交于点Ｇ和点Ｈ， 则ＡＧ＝６０ｍ，ＧＨ＝ＡＣ，∠ＡＧＯ＝∠ＥＨＯ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＧＯ中，∠ＡＯＧ＝７０°， ∴ＯＧ＝ ＡＧ ｔａｎ７０°≈ ６０ ２．７５≈ ２１．８（ｍ）。 ∵∠ＥＦＨ是△ＯＦＥ的一个外角， ∴∠ＯＥＦ＝∠ＥＦＨ－∠ＥＯＦ＝３０°。 ∴∠ＥＯＦ＝∠ＯＥＦ。 ∴ＯＦ＝ＥＦ＝２４ｍ。 在Ｒｔ△ＥＦＨ中，∠ＥＦＨ＝６０°， ∴ＦＨ＝ＥＦ·ｃｏｓ６０°＝２４× １ ２ ＝１２（ｍ）。 ∴ＡＣ＝ＧＨ＝ＯＧ＋ＯＦ＋ＦＨ＝２１．８＋２４＋１２≈５８（ｍ）。 ∴楼ＡＢ与ＣＤ之间的距离ＡＣ的长约为５８ｍ。 ２０．（１）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ。 又∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＣＡＤ。 ∴∠ＯＤＡ＝∠ＣＡＤ。∴ＯＤ∥ＡＥ。 又∵ＥＦ⊥ＡＥ，∴ＯＤ⊥ＥＦ。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＥＦ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：如图，连接ＯＧ。 ∵Ｇ是半圆弧中点，∴∠ＢＯＧ＝９０°。 在Ｒｔ△ＯＧＨ中，ＯＧ＝５，ＯＨ＝ＯＢ－ＢＨ＝５－３＝２。 ∴ＧＨ＝ ＯＨ２＋ＯＧ槡 ２＝ ２２＋５槡 ２＝槡２９。 （３）证明：由（１）知ＥＦ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＤＡＦ＝∠ＦＤＢ。 ∵∠Ｆ＝∠Ｆ，∴△ＤＡＦ∽△ＢＤＦ。 ∴ ＤＦ ＡＦ ＝ＢＦ ＤＦ ，即ＤＦ２＝ＡＦ·ＢＦ。 ２１．解：（１）∵△ＯＡＢ是等腰三角形，ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝６０°， ∴△ＯＡＢ是等边三角形。 ∵将△ＯＡＢ绕点Ｏ旋转１８０°，得到△ＯＤＥ， ∴△ＯＡＢ≌△ＯＤＥ。 ∴△ＯＤＥ是等边三角形，ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＢ＝ＤＥ＝ＯＥ， ∠ＡＯＢ＝∠ＯＡＢ＝６０°。 ∴∠ＡＯＥ＝１２０°。∴∠ＡＥＢ＝∠ＯＡＥ＝３０°。                                                                —０４— ∴∠ＢＡＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＥ，Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴ＯＡ＝ＤＥ＝２ＯＦ。 故答案为９０；ＤＥ＝２ＯＦ。 （２）由旋转的性质可知△ＯＡＢ≌△ＯＤＥ。 ∵△ＯＡＢ是等边三角形，ＯＤ平分∠ＡＯＢ，△ＯＤＥ是 等边三角形， ∴∠ＤＯＥ＝６０°，∠ＡＯＤ＝ １ ２∠ ＡＯＢ＝３０°。 ∴∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＥ，∴∠ＯＡＥ＝４５°。 ∴△ＡＯＥ是等腰直角三角形，∠ＢＡＥ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ ＝１５°。 ∵Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴△ＯＥＦ是等腰直角三角形。 ∴ＤＥ＝ＯＥ＝槡２ＯＦ。 （３）分以下两种情况进行讨论。 ①如图１，当点Ｅ在ＯＢ右边时， ∵ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝９０°，∴△ＯＡＢ是等腰直角三角形。 ∴∠ＯＡＢ＝４５°。 ∵∠ＥＡＢ＝１５°，∴∠ＯＡＥ＝６０°。 由旋转的性质，得ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＥ＝ＯＤ＝４。 ∴△ＯＡＥ是等边三角形。 ∵Ｆ是ＡＥ的中点，∴ＯＦ⊥ＡＥ，ＯＦ平分∠ＡＯＥ。 ∴∠ＡＯＦ＝ １ ２∠ ＡＯＥ＝３０°。∴ＡＦ＝ １ ２ ＯＡ＝２。 ∴ＯＦ＝槡３ＡＦ＝槡２３； 图１ 　 图２ ②如图２，当点Ｅ在ＯＢ左边时， 同理可得∠ＯＡＥ＝３０°，ＯＦ⊥ＡＥ。 ∴ＯＦ＝ １ ２ ＯＡ＝２。 综上所述，ＯＦ的长为 槡２３或２。 ２２．解：（１）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１＝（ｘ－２）２－３， ∴可以添加的条件为顶点坐标为（２，－３）。 故答案为（２，－３）。（答案不唯一） （２）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１＝（ｘ－２）２－３， ∴平移后的表达式为ｙ＝（ｘ－６）２－３＝ｘ２－１２ｘ＋３３。 当ｘ＝３时，ｙ＝（ｘ－６）２－３＝６，则ｍ＝６。 （３）当点Ｑ在抛物线ｙ＝（ｘ－６）２－３的部分上时， 设Ｑ（ｔ，ｔ２－１２ｔ＋３３）， ∴Ｓ△ＯＡＱ＝ １ ２ ×２×（ｔ２－１２ｔ＋３３）＝９，解得ｔ＝ 槡６±２３。 ∵ｔ＜４，∴ｔ＝６－槡２３。∴Ｑ（６－槡２３，９）； 当点Ｑ在抛物线ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１的部分上时， 设Ｑ（ｎ，ｎ２－４ｎ＋１）， ∴Ｓ△ＯＡＱ＝ １ ２ ×２×（ｎ２－４ｎ＋１）＝９，解得ｎ＝ 槡２±２３。 ∵ｎ≥４，∴ｎ＝２＋槡２３。∴Ｑ（２＋槡２３，９）。 综上所述，点Ｑ的坐标为（６－槡２３，９）或（２＋槡２３，９）。 １３２０２３年寿光市学业水平第一次模拟试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｂ ＡＢＤＡＢＣＡＢＣ １．Ｄ　【解析】－｜－３｜＝－３，｜－３２｜＝９，－（－３）＝３，－３２＝ －９，∴－３２＜－｜－３｜＜－（－３）＜｜－３２｜。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＢＣ ＡＢ ，则 ＡＢ＝ ＢＣ ｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ５ ｓｉｎ３０．５° 米。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．近似数２０２０精确到个位，此选项不符 合题意； Ｂ．近似数５．７８万精确到百位，此选项不符合题意； Ｃ．近似数３．５１×１０５精确到千位，此选项符合题意； Ｄ．近似数５．１８９０精确到万分位，此选项不符合题意。 故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】如图所示。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ。 ∵ｘ２－７ｘ＋１０＝０，因式分解，得 （ｘ－２）（ｘ－５）＝０，解得ｘ１＝２， ｘ２＝５， ∴分两种情况： ①当ＡＢ＝ＡＤ＝２时，２＋２＝４＜５，不能构成三角形； ②当ＡＢ＝ＡＤ＝５时，可以构成三角形。 ∴菱形ＡＢＣＤ的周长＝４ＡＢ＝２０。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】该立体图形的三视图如图所示。 主视图 　 左视图 　 俯视图 　 左视图是轴对称图形，故Ａ正确，符合题意； 主视图不是中心对称图形，故Ｂ错误，不符合题意； 俯视图不是中心对称图形但是轴对称图形，故 Ｃ和 Ｄ 错误，不符合题意。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】由题图，得不等式组的解集为－１＜ｘ≤２。 故选Ａ。 ７．Ｄ　【解析】∵该校上周共订餐１０００＋１５００＋５００＝３０００ （份），∴其中位数是第１５００，１５０１个数据的平均数。 而这２个数据均为８元，∴中位数是 ８＋８ ２ ＝８（元）。送 餐公司上周在该校销售午餐盈利为１０００×１．５＋１５００× ３＋５００×３＝７５００（元）。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】由题意，得ｙ＝６０－４ｘ， 当ｘ＝０时，ｙ＝６０，当ｙ＝０时，６０－４ｘ＝０，解得ｘ＝１５。 所以ｘ的取值范围是０≤ｘ≤１５。函数图象与 ｘ轴的                                                                —１４—