11 2023年潍城区学业水平第一次模拟试题(与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ６１— — ６２— — ６３— 一、单选题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．－２０２３的相反数等于 （　　） Ａ．－２０２３ Ｂ．２０２３ Ｃ．±２０２３ Ｄ． １ ２０２３ ２．如图１，用一个平面截长方体，得到如图２的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑 堵”，图２“堑堵”的左视图是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 图１ 　 图２ 第２题图 　　 第３题图 　　 第４题图 ３．实数ａ，ｂ在数轴上的对应点的位置如图所示，以原点为圆心，以｜ｂ｜为半径画圆，交数轴于另一点（对 应的实数为ｃ），下列结论正确的是 （　　） Ａ．ａ＞ｂ Ｂ．ｂ＋ｃ＞０ Ｃ．ｂ－ａ＞０ Ｄ．｜ａ－ｃ｜＝ａ－ｃ ４．如图，将△ＡＢＣ先向左平移４个单位长度，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，再以原点Ｏ为位似中心，作△Ａ′Ｂ′Ｃ′的位似三 角形Ａ″Ｂ″Ｃ″，使它与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为１∶２且在同一象限内，则点Ａ的对应点Ａ″的坐标为 （　　） Ａ．（０，０） Ｂ．（－２，４） Ｃ．（－１，２） Ｄ．（１，－２） ５．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象如图所示，则ｙ＝－ｋｘ＋ｂ与ｙ＝ ｂ ｘ 的图象在同一坐标系中正确的是 （　　） 　　　 Ａ 　　　 Ｂ 　　　 Ｃ 　　　 Ｄ ６．如图，圆柱的底面直径为ＡＢ，高为ＡＣ，一只蚂蚁在Ｃ处，沿圆柱的侧面爬到Ｂ处，现将圆柱侧面沿ＡＣ “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是 （　　） 　　　 Ａ 　　　 Ｂ 　　　 Ｃ 　　　 Ｄ 二、多选题（共４小题，每小题４分，共１６分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得４分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ７．下列命题中，原命题为真命题而逆命题为假命题的是 （　　） Ａ．若ａ２＞ｂ２，则ａ＞ｂ Ｂ．对顶角相等 Ｃ．若ａ为无理数，则ａ３为无理数 Ｄ．等弧所对的圆周角相等 ８．甲、乙两种物质的溶解度ｙ（ｇ）与温度ｔ（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 Ｂ．当温度升高至ｔ２℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 Ｃ．当温度为０℃时，甲、乙的溶解度都小于２０ｇ Ｄ．当温度为３０℃时，甲、乙的溶解度相等 第８题图 　　　　　 第１０题图 ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象上部分点的坐标（ｘ，ｙ）对应值列表如下： ｘ … －３ －２ －１ ０ １ … ｙ … －３ ２ ２ －３ －１３ … 则下列说法正确的是 （　　） Ａ．对称轴为直线ｘ＝２ Ｂ．当ｘ＜－２时，ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．抛物线与坐标轴有３个交点 Ｄ．当ｘ＞－２时，ｙ随ｘ的增大而减小 １０．如图，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，且 ＡＢ⊥ＣＤ。然后用尺规按如下步骤作图：①作 ＯＡ的垂直平分线，交 ＯＡ于点Ｅ；②以点Ｅ为圆心，ＣＥ长为半径画弧，交ＯＢ于点Ｆ；③以点Ｃ为圆心，ＣＦ长为半径画弧， 交⊙Ｏ于点Ｐ，Ｍ；④分别以点Ｐ，Ｍ为圆心，ＣＦ长为半径画弧，交⊙Ｏ于点Ｈ，Ｎ。顺次连接点Ｃ，Ｍ， Ｎ，Ｈ，Ｐ，可得正五边形ＣＭＮＨＰ，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．ＤＮ ) ＝ＤＨ ) Ｂ．ｔａｎ∠ＦＣＯ＝槡 ５－１ ２ Ｃ．∠ＥＣＦ＝５４° Ｄ．△ＣＥＦ是等边三角形 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．因式分解：ｘ２（ａ－ｂ）＋４（ｂ－ａ）＝　　　　　　　　。 １２．某饭店为吸引顾客，推出了“掷骰子得折扣”的活动，顾客同时投掷两颗骰子，然后按照所得点数情况决 定最后的折扣，规则如图所示，一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折折扣的概率为　　　　　。 　 ……点数相同　七五折！ 　 ……点数相连　五五折！ 第１２题图 　　　　　 第１４题图 １３．图１是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果。图２是一个菱 形，将图２截去一个边长为原来一半的菱形得到图３，用图３镶嵌得到图４，将图４着色后，再次镶嵌 便得到图１，则图４中∠ＡＢＣ的度数为　　　　°。 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ 　 １４．如图，在平面直角坐标系中，点Ａ，Ｂ的坐标分别为 －槡３ ２ ，０       ，槡 ３ ２ ，１       ，连接ＡＢ，以ＡＢ为边向上作等边 三角形ＡＢＣ，则线段ＢＣ所在直线的函数表达式为　　　　　　　　。 四、解答题（共８小题，共９４分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１２分）（１）计算：（π－３．１４）０－槡３ｔａｎ３０°－｜１－槡２｜； （２）解不等式组 １＋２ｘ ３ ＜ ｘ ２ ＋１，① ２ｘ－７≤３（ｘ－２），②{ 把解集表示在数轴上，写出所有整数解。 １６．（１０分）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｐ是对角线ＡＣ上一动点，ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＮ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｍ，Ｎ，连 接ＤＰ并延长，交ＭＮ于点Ｅ。 小亮说：点Ｐ在运动过程中，ＰＤ与ＭＮ的数量关系为ＰＤ＝ＭＮ； 小莹说：点Ｐ在运动过程中，ＰＤ与ＭＮ的位置关系为ＰＤ⊥ＭＮ。 小亮和小莹两人的发现，　　　　是对的（选填“小亮”“小莹”或“两人都”），并说明你的理由。 １７．（１０分）图１是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩ＡＢ 的高度进行了测量，图２是其设计的测量示意图。已知桥墩底端点Ｂ到河岸的参照点Ｃ的距离为 １００米，该小组沿坡度ｉ＝１∶２．４的斜坡ＣＤ行走５２米至坡顶平台的点Ｄ处，再沿平台行走５２米到达 点Ｅ处，在Ｅ处测得桥墩顶端点Ａ的仰角为１９°。 （１）求平台ＤＥ到水平面ＢＣ的垂直距离； （２）求桥墩ＡＢ的高度（参考数据：ｓｉｎ１９°≈０．３３，ｃｏｓ１９°≈０．９５，ｔａｎ１９°≈０．３４）。 图１ 　 图２ １１２０２３年潍城区学业水平第一次模拟试题 （与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ６４— — ６５— — ６６— １８．（１２分）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲、乙两所学校分别随机抽取了２００名九年级学 生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成 作业时间的频数分布直方图如下： 学生完成作业时间频数分布表 完成作业所需时间（ｘ／ｈ） 甲校频数 乙校频数 ０．５≤ｘ＜１ １８ ２４ １≤ｘ＜１．５ ３２ ４０ １．５≤ｘ＜２ ４８ ７６ ２≤ｘ＜２．５ ８６ ４０ ２．５≤ｘ＜３ １６ ２０ 　　 　　甲校学生完成作业时间 　 　　频数分布直方图 　 【数据分析】（１）请在下图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的 中位数ｍ与乙校所得数据的中位数ｎ的大小； （２）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示为该组的平均数， 则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下： ｘ甲＝ １ ２００ ×（０．７５×１８＋１．２５×３２＋１．７５×４８＋２．２５×８６＋２．７５×１６）＝１．８７５， 类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值ｘ乙； 【统计应用】（３）有关部门调取了这４００名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表： 平均分 方差 中位数 众数 最高分 最低分 甲校 ４０１．８ １５６．２ ３７３ ３３５ ６８２ ２３ 乙校 ４０８．８ １５４．５ ３７３ ３４６ ６８２ ３５ 小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”。你认为小亮说得对吗？请结合以上数据，至少说出两条 理由。 １９．（１２分）某服装销售商用４８０００元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第 二次又用１０００００元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的２倍，每件的进价多了 １０元。 （１）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价为多少元？ （２）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件３００元销售，每天平均能卖出８０件，销售价每 降低１０元，则多卖出２０件。依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为３６００ 元，销售价应为多少？ ２０．（１２分）如图，在水平地面上放置了一个⊙Ｏ和矩形ＡＢＣＤ，⊙Ｏ与地面相切于点Ｅ，ＡＥ＝６，ＯＥ＝槡２３，矩 形的宽ＡＢ＝３，长ＡＤ＝６。将矩形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转一定角度α（０°＜α＜９０°），得到矩形ＡＢ′Ｃ′Ｄ′。 （１）旋转过程中，当Ｂ′，Ｃ′，Ｄ三点共线时，如图１，求证：直线ＡＤ′与⊙Ｏ相切； （２）旋转过程中，当边ＡＤ′落在ＯＡ上时，如图２，求矩形ＡＢＣＤ扫过的面积。 图１ 　 图２ ２１．（１３分）如图１，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线ｌ的方向行驶，为绿化带浇水。喷水口Ｈ离地竖 直高度ＯＨ＝１．５米。如图２，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线 的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形ＤＥＦＧ，其水平宽度ＤＥ＝２米，竖直高度ＥＦ＝１米。下边缘 抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 Ａ离喷水口的水平距离为 ２米，高出喷水口０．５米，灌溉车到ｌ的距离ＯＤ为ｄ米。 （１）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程ＯＣ； （２）求下边缘抛物线与ｘ轴的正半轴交点Ｂ的坐标； （３）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形ＤＥＦＧ位于上边缘抛物线和下边缘抛 物线所夹区域内），求ｄ的取值范围。 图１ 　 图２ ２２．（１３分）【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都为１个单位长度的点，图Ａ，Ｂ都是用直线段连接 一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形 的面积。请参照下面的探究过程，完成相应的问题。 【观察发现】（１）当内部有１个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表。 　　 图Ｃ 图Ｄ 图Ｅ 图Ｆ 边上的点数ｘ ４ ８ ８ ９ 多边形面积Ｓ ２ ４ ４ 请完成表格，并归纳Ｓ与ｘ之间的关系式为　　　　　　； （２）当多边形内部有２个点时，在如图所示的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边 上的点数和面积填写在下面的表格中。 　　 图１ 图２ 边上的点数ｘ 多边形面积Ｓ 归纳Ｓ与ｘ之间的关系式为　　　　　　； 【规律总结】（３）如果设格点多边形内部的点数为ｙ，边上的点数为ｘ，格点多边形的面积为Ｓ，试用含 ｘ，ｙ的代数式表示Ｓ，并用所得规律求出【问题背景】中图Ａ的面积； 【拓展应用】（４）一个格点多边形的面积为１９，且边上的点数ｘ是内部点数ｙ的３倍，求出ｘ与ｙ的 值。在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形。 ∵△ＡＢＰ∽△ＰＣＭ， ∴ ＰＣ ＡＢ ＝ＭＣ ＰＢ ，即 ４－ｔ ４ ＝ＭＣ ｔ 。 ∴ＭＣ＝ ４ｔ－ｔ２ ４ 。∴ＭＤ＝４－ＭＣ＝ ｔ２－４ｔ＋１６ ４ 。 ∴Ｒｔ△ＡＤＭ的面积Ｓ＝ １ ２ ＡＤ·ＤＭ ＝１ ２ ×４× ｔ２－４ｔ＋１６ ４ ＝１ ２ ｔ２－２ｔ＋８（０≤ｔ≤４）。 （２）∵Ｓ＝ １ ２ ｔ２－２ｔ＋８， ∴ｔ１＋ｔ２＝－ －２ １ ２ ＝４。 １１２０２３年潍城区学业水平第一次模拟试题 （与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ ＢＤ ＡＢＣ ＢＣ ＡＢ １．Ｂ　【解析】－２０２３的相反数是２０２３。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】题图２“堑堵”的左视图是 。故选Ａ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．由数轴可知ａ＜０，ｂ＞０，∴ａ＜ｂ。故本选项 错误；Ｂ．由数轴可知ｃ＜０，ｂ＞０，｜ｂ｜＝｜ｃ｜，∴ｂ＋ｃ＝０。故 本选项错误；Ｃ．由数轴可知ａ＜０，ｂ＞０，∴ｂ－ａ＞０。故本 选项正确；Ｄ．由数轴可知ａ＜０，ｃ＜０，｜ｃ｜＜｜ａ｜，∴ａ－ｃ＜０。 ∴｜ａ－ｃ｜＝ｃ－ａ。故本选项错误。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】∵Ａ（２，４），Ｂ（１，２），Ｃ（４，０），将△ＡＢＣ向 左平移 ４个单位长度，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∴Ａ′（－２，４）， Ｂ′（－３，２），Ｃ′（０，０）。如图， ∵以原点 Ｏ为位似中心，作△Ａ′Ｂ′Ｃ′的位似三角形 Ａ″Ｂ″Ｃ″，使它与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为１∶２且在同一象限 内，∴点Ａ″的坐标为 －２＋０ ２ ， ４＋０ ２( ) ，即（－１，２）。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】根据题意，得ｋ＜０，ｂ＞０。∴－ｋ＞０。 ∴一次函数ｙ＝－ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、三象限，反 比函数ｙ＝ ｂ ｘ 的图象位于第一、三象限内。故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】∵底面直径为ＡＢ，∴将圆柱侧面沿 ＡＣ“剪 开”后，点Ｂ在长方形上面那条边的中间。 ∵两点之间线段最短，∴选项Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ７．ＢＤ　【解析】Ａ．若 ａ２＞ｂ２，则｜ａ｜＞｜ｂ｜，原命题为假命 题，此项不符合题意；Ｂ．对顶角相等，原命题为真命题； 相等的角不一定是对顶角，即逆命题是假命题，此项符 合题意；Ｃ．若ａ为无理数，则ａ３不一定为无理数，故原 命题为假命题，此项不符合题意；Ｄ．等弧所对的圆周角 相等，原命题为真命题；圆周角相等，其所对的弧相等， 此命题只有在同圆或者等圆中成立，故逆命题是假命 题，此项符合题意。故选ＢＤ。 ８．ＡＢＣ　【解析】甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的 升高而增大，故选项 Ａ正确；当温度升高至 ｔ２℃时，甲 的溶解度比乙的溶解度大，故选项 Ｂ正确；当温度为 ０℃时，甲、乙的溶解度都小于２０ｇ，故选项Ｃ正确；当 温度为ｔ１℃时，甲、乙的溶解度相同，都为３０ｇ，故选项 Ｄ错误。故选ＡＢＣ。 ９．ＢＣ　【解析】根据题表可画出图象如图。 ∵抛物线过点（－２，２）（－１，２）， ∴抛物线对称轴为直线ｘ＝ －３ ２ 。故选项Ａ错误；根据 图象可知抛物线开口向下， 当ｘ＜－ ３ ２ 时，ｙ随 ｘ的增大 而增大。故选项Ｂ正确；当 ｘ＞－ ３ ２ 时，ｙ随 ｘ的增大而 减小。故选项Ｄ错误；由图 象可知抛物线与坐标轴有３个交点，故选项Ｃ正确。故 选ＢＣ。 １０．ＡＢ　【解析】设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝２，则ＡＥ＝ＯＥ＝１。 ∴ＣＥ＝ＥＦ＝ １２＋２槡 ２＝槡５，ＯＦ＝ＥＦ－ＯＥ＝槡５－１。 ∵ＡＢ⊥ＣＤ，∴ｔａｎ∠ＦＣＯ＝ ＯＦ ＯＣ ＝槡５ －１ ２ 。 故选项Ｂ正确，符合题意； ∵ＯＦ≠ＯＥ，ＡＢ⊥ＣＤ， ∴直线ＯＣ不是线段ＥＦ的垂直平分线。 ∴ＣＦ≠ＣＥ。∴△ＣＥＦ不是等边三角形。 故选项Ｄ错误，不符合题意； ∵ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，且ＡＢ⊥ＣＤ， ∴ＣＭ) ＋ＭＮ) ＋ＮＤ) ＝ＣＰ) ＋ＰＨ) ＋ＤＨ) 。 ∵ＣＭ) ＝ＭＮ) ＝ＣＰ) ＝ＰＨ) ， ∴ＤＮ) ＝ＤＨ) 。故选项Ａ正确，符合题意； 在Ｒｔ△ＣＯＦ中，ｔａｎ∠ＣＦＯ＝ ＣＯ ＯＦ ＝槡５ ＋１ ２ ， ∵ＣＥ＝ＥＦ，∴∠ＥＣＦ＝∠ＣＦＯ。 ∴ｔａｎ∠ＥＣＦ＝槡 ５＋１ ２ 。∴∠ＥＣＦ＞５４°。 故选项Ｃ错误，不符合题意。 故选ＡＢ。 １１．（ａ－ｂ）（ｘ＋２）（ｘ－２）　【解析】原式＝ｘ２（ａ－ｂ）－４（ａ－ ｂ）＝（ａ－ｂ）（ｘ２－４）＝（ａ－ｂ）（ｘ＋２）（ｘ－２）。 １２． １ ６ 　【解析】∵同时投掷两颗骰子，共有 ６×６＝３６种 等可能的结果，其中得到两颗骰子上的点数相同的情                                                                —４３— 况共有６种，∴一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五 折折扣的概率为 ６ ３６ ＝１ ６ 。 １３．６０　【解析】标注字母，如图。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ， ∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＥ＝３６０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ＝１２０°。 ∵ＢＣ∥ＡＤ，∴∠ＡＢＣ＝１８０°－１２０°＝６０°。 １４．ｙ＝－槡 ３ ３ ｘ＋ ３ ２ 　【解析】如图，过点Ｂ作ＢＨ⊥ｘ轴于点Ｈ。 ∵点Ａ，Ｂ的坐标分别为 －槡３ ２ ，０( ) ，槡３２，１( ) ， ∴ＯＡ＝ＯＨ＝槡 ３ ２ ，ＢＨ＝１。 ∴ＡＨ＝ＯＡ＋ＯＨ＝槡３。 ∴ＡＢ＝ ＡＨ２＋ＢＨ槡 ２＝２。 ∴ｓｉｎ∠ＢＡＨ＝ ＢＨ ＡＢ ＝１ ２ 。∴∠ＢＡＨ＝３０°。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＡＣ＝２。 ∴∠ＣＡＢ＋∠ＢＡＨ＝９０°。∴ＡＣ⊥ｘ轴。 ∴点Ｃ的纵坐标为２。 ∴点Ｃ的坐标为 －槡３ ２ ，２( ) 。 设线段ＢＣ所在直线的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 把Ｂ槡３ ２ ，１( ) ，Ｃ－槡３２，２( ) 代入表达式，得 槡３ ２ ｋ＋ｂ＝１， －槡３ ２ ｋ＋ｂ＝２，{ 解得 ｋ＝－槡３３，ｂ＝３２。{ ∴线段ＢＣ所在直线的函数表达式为ｙ＝－槡 ３ ３ ｘ＋ ３ ２ 。 １５．解：（１）原式＝１－槡３× 槡３ ３ －（槡２－１） ＝１－１－槡２＋１＝１－槡２。 （２）解不等式①，得ｘ＜４。解不等式②，得ｘ≥－１。 在数轴上表示出不等式①和②的解集如下图所示。 所以原不等式组的解集为－１≤ｘ＜４。 所以整数解为－１，０，１，２，３。 １６．解：两人都　理由：如图，延长ＮＰ交ＡＤ于点Ｆ，则四 边形ＡＭＰＥ是正方形。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ。 ∵ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＮ⊥ＢＣ， ∴∠ＰＭＢ＝９０°，∠ＰＮＢ＝９０°。 ∴四边形ＰＮＢＭ是矩形。 ∴ＰＮ＝ＭＢ，∠ＭＰＮ＝９０°。 ∵四边形ＡＭＰＦ是正方形， ∴ＡＭ＝ＡＦ＝ＰＭ＝ＰＦ，∠ＰＦＡ＝９０°。 ∵ＡＢ＝ＡＤ，∴ＭＢ＝ＦＤ。 ∵ＰＮ＝ＭＢ，∴ＰＮ＝ＦＤ。 又∵ＰＭ＝ＰＦ，∠ＰＦＤ＝∠ＭＰＮ＝９０°， ∴△ＭＰＮ≌△ＰＦＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＤ＝ＭＮ，∠ＰＮＭ＝∠ＦＤＰ。 ∵∠ＮＰＥ＝∠ＦＰＤ， ∴∠ＮＰＥ＋∠ＰＮＭ＝∠ＦＰＤ＋∠ＦＤＰ＝９０°。 ∴∠ＰＥＮ＝９０°。∴ＰＤ⊥ＭＮ。∴两人都对。 １７．解：（１）作ＤＨ⊥ＢＣ，垂足为Ｈ，如图所示。 ∵ｉ＝１∶２．４＝５∶１２， ∴ ＤＨ ＣＨ ＝５ １２ 。 设ＤＨ＝５ｘ米，则ＣＨ＝ １２ｘ米，由勾股定理， 得ＣＤ＝ ＤＨ２＋ＣＨ槡 ２＝１３ｘ。 ∴１３ｘ＝５２，解得ｘ＝４。 ∴ＣＨ＝１２×４＝４８（米），ＤＨ＝５×４＝２０（米）。 ∴平台ＤＥ到水平面ＢＣ的垂直距离为２０米。 （２）延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｇ，则ＥＧ⊥ＡＢ，如图所示。 ∵∠ＤＧＢ＝∠ＧＢＨ＝∠ＤＨＢ＝９０°， ∴四边形ＧＢＨＤ是矩形。 ∴ＤＧ＝ＢＨ，ＤＨ＝ＢＧ＝２０米。 ∴ＥＧ＝ＤＧ＋ＤＥ＝ＢＣ＋ＣＨ＋ＤＥ＝１００＋４８＋５２＝２００（米）。 ∵∠ＡＥＧ＝１９°，∴ｔａｎ∠ＡＥＧ＝ ＡＧ ＥＧ≈ ０．３４。 ∴ＡＧ≈ＥＧ·０．３４＝２００×０．３４＝６８（米）。 ∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝６８＋２０＝８８（米）。 ∴桥墩ＡＢ的高度约为８８米。 １８．解：（１）如图所示。 ∵甲校所得数据的中位数 ｍ满足２≤ｍ＜２．５，乙校所 得数据的中位数ｎ满足１．５≤ｎ＜２， ∴ｎ＜ｍ。 （２）ｘ乙＝ １ ２００ （０．７５×２４＋１．２５×４０＋１．７５×７６＋２．２５×４０＋ ２．７５×２０）＝１．７３。 （３）小亮说得不对。因为从两所学校的平均成绩来 看，乙校学生的平均成绩高，而且乙校学生的方差小， 学生成绩两极分化小，但其学生作业的完成平均时间 比甲校短。（合理即可） １９．解：（１）设第一次购进每件进价为ｘ元。 根据题意，得 ４８０００ ｘ ×２＝ １０００００ ｘ＋１０ ，解得ｘ＝２４０。 经检验，ｘ＝２４０是方程的解，且符合题意。                                                                —５３— ４８０００÷２４０＝２００。 答：销售商第一次购进了这种服装 ２００件，每件进价 为２４０元。 （２）设销售价为ｔ元／件， 则每天销售量为８０＋ ３００－ｔ １０ ×２０＝６８０－２ｔ。 （ｔ－２５０）×（６８０－２ｔ）＝３６００。 整理，得ｔ２－５９０ｔ＋８６８００＝０， 解得ｔ１＝２８０，ｔ２＝３１０（舍）。 答：销售价应为２８０元／件。 ２０．（１）证明：连接ＯＤ′，ＯＡ，如图１所示。 图１ ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，将矩形ＡＢＣＤ绕点 Ａ逆时针 旋转一定角度α（０°＜α＜９０°），得到矩形ＡＢ′Ｃ′Ｄ′， ∴∠Ｄ′ＡＢ′＝∠ＤＡＢ＝９０°，∠Ｂ′＝∠ＡＢＣ＝９０°， ＡＢ′＝ＡＢ＝３。 ∵Ｂ′，Ｃ′，Ｄ三点共线， ∴ｃｏｓ∠ＤＡＢ′＝ ＡＢ′ ＡＤ ＝３ ６ ＝１ ２ 。 ∴∠ＤＡＢ′＝６０°。 ∴α＝∠Ｄ′ＡＤ＝∠Ｄ′ＡＢ′－∠ＤＡＢ′＝３０°。 又∵∠ＥＡＤ＝１８０°－∠ＤＡＢ＝１８０°－９０°＝９０°， ∴∠ＥＡＤ′＝∠ＥＡＤ－α＝９０°－３０°＝６０°。 ∵ＡＥ与⊙Ｏ相切于点Ｅ，∴ＯＥ⊥ＡＥ。 ∴ ｔａｎ∠ＯＡＥ＝ ＯＥ ＡＥ ＝槡２３ ６ ＝槡３ ３ 。 ∴∠ＯＡＥ＝３０°。∴∠ＯＡＤ′＝６０°－３０°＝３０°＝∠ＯＡＥ。 ∵ＯＡ＝ＯＡ，ＡＥ＝ＡＤ′，∴△ＯＡＥ≌△ＯＡＤ′（ＳＡＳ）。 ∴∠ＯＤ′Ａ＝∠ＯＥＡ＝９０°。 ∴ＯＤ′⊥ＡＤ′。 ∵ＯＤ′是⊙Ｏ的半径，∴直线ＡＤ′与⊙Ｏ相切。 （２）解：连接ＡＣ，ＡＣ′，如图２所示。 图２ 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝９＋３６＝４５。 ∵ＡＤ′在ＯＡ上，由（１）知∠Ｄ′ＡＤ＝９０°－３０°＝６０°， ∴此时旋转角α＝６０°。 ∵矩形扫过的区域为△ＡＢＣ，△ＡＣ′Ｄ′和扇形ＡＣＣ′， ∴Ｓ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＣ′Ｄ′＋Ｓ扇形ＡＣＣ′＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ＋Ｓ扇形ＡＣＣ′＝３×６＋ ６０π×４５ ３６０ ＝１８＋７．５π。 ２１．解：（１）由题意，得Ａ（２，２）是上边缘抛物线的顶点， 则设ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋２。 又∵抛物线经过点（０，１．５）， ∴４ａ＋２＝１．５。∴ａ＝－ １ ８ 。 ∴上边缘抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ ８ （ｘ－２）２＋２。 当ｙ＝０时，－ １ ８ （ｘ－２）２＋２＝０。 ∴ｘ１＝６，ｘ２＝－２（舍去）。 ∴喷出水的最大射程ＯＣ为６米。 （２）∵上边缘抛物线对称轴为直线ｘ＝２， ∴点（０，１．５）的对称点为（４，１．５）。 ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移４米得 到的。 ∴将点Ｃ向左平移４米得到点Ｂ的坐标为（２，０）。 （３）如题图，先看上边缘抛物线。 ∵ＥＦ＝１米，∴点Ｆ的纵坐标为１。 当抛物线恰好经过点Ｆ时，－ １ ８ （ｘ－２）２＋２＝１， 解得ｘ＝ 槡２±２２。 ∵ｘ＞０，∴ｘ＝２＋槡２２。 当ｘ≥２时，ｙ随着ｘ的增大而减小， ∴当２≤ｘ≤６时，要使ｙ≥１，则ｘ≤２＋槡２２。 ∵当０≤ｘ＜２米时，ｙ随ｘ的增大而增大，且ｘ＝０时， ｙ＝１．５＞１， ∴当０≤ｘ≤６时，要使ｙ≥１，则０≤ｘ≤２＋槡２２。 ∵ＤＥ＝２米，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴ｄ的最大值为（２＋槡２２）－２＝槡２２。 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的 条件是ＯＢ≤ｄ。 ∴ｄ的最小值为２。 综上所述，ｄ的取值范围是２≤ｄ≤ 槡２２。 ２２．解：（１）观察表格，当ｘ＝４时，Ｓ＝２；当ｘ＝８时，Ｓ＝４。 ∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即Ｓ＝ １ ２ ｘ。 ∴当ｘ＝９时，Ｓ＝４．５。故答案为Ｓ＝ １ ２ ｘ。 （２）格点多边形如下图所示。（答案不唯一） 图１　　　　　　　图２ 图１ 图２ 边上的点数ｘ ６ ７ 多边形面积Ｓ ４ ４．５ 观察表格，当ｘ＝６时，Ｓ＝４；当ｘ＝７时，Ｓ＝４．５， ∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上１，即 Ｓ＝ １ ２ ｘ＋１。故答案为Ｓ＝ １ ２ ｘ＋１。                                                                —６３— （３）设格点多边形内部的点数为 ｙ，边上的点数为 ｘ， 则格点多边形的面积Ｓ＝ｙ＋ １ ２ ｘ－１， ∵图Ａ中，ｙ＝６，ｘ＝１３， ∴Ｓ＝ｙ＋ １ ２ ｘ－１＝６＋６．５－１＝１１．５， 即图Ａ的面积为１１．５。 （４）由题意，得 ｘ＝３ｙ， １９＝ｙ＋ ｘ ２ －１，{ 解得 ｘ＝２４，ｙ＝８。{ 设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多 边形如图所示。（答案不唯一） １２２０２３年诸城市学业水平第一次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ａ ＡＤ ＢＤ ＡＣＤＡＢＤ １．Ａ　【解析】∵实数ａ的相反数是－１，∴ａ＝１。 ∴ａ＋１＝２。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＧＦＢ＝∠ＦＥＤ＝４５°。 ∴∠ＧＦＨ＝∠ＧＦＢ－∠ＨＦＢ＝４５°－２０°＝２５°。 故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】１７５５０００００＝１．７５５×１０８≈１．７６×１０８。 故选Ａ。 ４．Ｃ　【解析】该正方体的三视图如图所示。 主视图 　 左视图 　 俯视图 故既是轴对称图形又是中心对称图形的是俯视图。 故选Ｃ。 ５．Ｃ　【解析】解第一个不等式，得ｘ≥－３，解第二个不等 式，得ｘ＜－２。所以不等式组的解集为－３≤ｘ＜－２。 故选Ｃ。 ６．Ａ　【解析】当ＡＣ经过点Ｄ时，如图１所示。 图１ ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＤＣＥ＝６０°。 ∵ＤＥ＝槡２３，∠ＤＥＣ＝９０°，∴ＣＥ＝ ＤＥ ｔａｎ６０° ＝槡２３ 槡３ ＝２。 当ＡＢ经过点Ｄ时，如图２所示。 图２ ∵∠Ｂ＝６０°，ＤＥ＝槡２３，∴ＢＥ＝２。 ∴ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝８－２＝６。 ①当０≤ｘ≤２时，如图３所示，ＡＣ与ＤＥ交于点Ｈ。 图３ 此时ＣＥ＝ｘ，∠ＨＣＥ＝６０°，∴ＥＨ＝ｔａｎ６０°·ＣＥ＝槡３ｘ。 ∴ｙ＝ １ ２ ＣＥ·ＥＨ＝ １ ２ ｘ·槡３ｘ＝ 槡３ ２ ｘ２； ②当２＜ｘ≤６时，如图４所示，ＡＣ与ＤＧ交于点Ｍ， 过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＣ于点Ｎ。 图４ 此时ＭＮ＝槡２３，∠ＭＣＮ＝６０°，∴ＣＮ＝２。 ∵ＣＥ＝ｘ，∴ＥＮ＝ＣＥ－ＣＮ＝ｘ－２。 ∵四边形ＤＥＮＭ是矩形，∴ＤＭ＝ＥＮ＝ｘ－２。 ∴ｙ＝ １ ２ （ＤＭ＋ＣＥ）·ＤＥ＝ １ ２ （ｘ－２＋ｘ）×槡２３＝槡２３ｘ－槡２３； ③当６＜ｘ≤８时，如图５所示。 ＡＣ与ＤＧ交于点 Ｉ，ＡＢ与 ＤＧ交于点 Ｋ，与 ＤＥ交于点 Ｔ，过点Ｉ作ＩＲ⊥ＢＣ于点Ｒ。 图５ 此时ＩＲ＝槡２３，∠ＩＣＲ＝６０°。∴ＣＲ＝２。 ∵ＣＥ＝ｘ，∴ＥＲ＝ＤＩ＝ｘ－２，ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝８－ｘ。 ∵∠Ｂ＝６０°，∴ＥＴ＝ＢＥ·ｔａｎ６０°＝槡３（８－ｘ）。 ∵ＤＥ＝槡２３，∴ＤＴ＝ＤＥ－ＥＴ＝槡２３－槡３（８－ｘ）＝槡３（ｘ－６）。 ∵ＤＧ∥ＢＣ，∴∠ＤＫＴ＝６０°。 ∴ＤＫ＝ ＤＴ ｔａｎ６０° ＝槡３（ｘ －６） 槡３ ＝ｘ－６。 ∴ｙ＝Ｓ四边形ＤＥＲＩ＋Ｓ△ＩＲＣ－Ｓ△ＤＴＫ                                                                —７３—