10  2024年青州市学业水平第三次模拟试题(与寿光市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ５５— — ５６— — ５７— 一、单项选择题（本大题共６小题，每小题４分，共２４分） １．下列运算正确的是 （　　） Ａ．３ａ２＋ａ＝３ａ３ Ｂ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ Ｃ．ａ４ｂ÷ａ２＝ａ２ Ｄ．（ａｂ２）２＝ａ２ｂ４ ２．榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在 一起，如图是其中一种榫，其主视图是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第２题图 　　 第３题图 　　 第４题图 　　 第５题图 　　 第６题图 ３．将一把含３０°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放（直尺一边ＢＦ过点Ｂ），若∠ＡＤＥ＝ ５４°，则∠ＦＢＣ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２４° Ｃ．３２° Ｄ．４０° ４．近视眼镜的度数ｙ（度）与镜片焦距ｘ（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于 ５００度的近视眼镜，则焦距ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＞０．２ Ｂ．０＜ｘ＜０．２ Ｃ．０＜ｘ＜２ Ｄ．ｘ＞２ ５．如图，在平面直角坐标系中，已知Ａ（１２，８），Ｄ（６，４），Ｅ（２，３），△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位似，原点Ｏ是位似中 心，则点Ｂ的坐标为 （　　） Ａ．（４，５） Ｂ．（４，６） Ｃ．（５，６） Ｄ．（５，５） ６．在同一直角坐标系中，一次函数ｙ１＝ １ ２ ｘ＋２，ｙ２＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＜０）的图象如图所示，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．ｙ２随ｘ的增大而减小 Ｂ．ｂ＞３ Ｃ．当０＜ｙ１＜ｙ２时，－１＜ｘ＜２ Ｄ．方程组 ２ｙ－ｘ＝４， ｋｘ－ｙ＝－ｂ{ 的解为 ｘ＝２，ｙ＝３{ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对 得５分，部分选对得３分，错选、多选均记０分） ７．一元二次方程ｘ２－３ｘ＋２＝０的两根为ｘ１和ｘ２，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｘ１＋ｘ２＝－３ Ｂ．ｘ１ｘ２＝２ Ｃ．｜ｘ１－ｘ２｜＝１ Ｄ．ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝７ ８．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象上部分点的坐标（ｘ，ｙ）对应值列表如下： ｘ … －３ －２ －１ ０ １ … ｙ … －３ ２ ２ －３ －１３ … 则下列说法正确的是 （　　） Ａ．对称轴为直线ｘ＝－ ３ ２ Ｂ．开口向上 Ｃ．抛物线与坐标轴有３个交点 Ｄ．当ｘ＞－２时，ｙ随ｘ的增大而减小 ９．如图，在５×５的正方形方格图形中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ都在格点上，ＡＣ与小正方形的边交于点Ｄ，则下列说 法正确的是 （　　） Ａ．△ＡＢＣ是直角三角形 Ｂ．连接ＢＤ，则点Ｏ在ＢＤ上 Ｃ．点Ｏ是△ＡＢＣ的外心 Ｄ．ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ ４ ５ 第９题图 　　　　 第１０题图 １０．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力 计的示数Ｆ拉力（Ｎ）与石块下降的高度ｘ（ｃｍ）之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方 时，Ｆ拉力＝Ｇ重力，当石块入水后，Ｆ拉力＝Ｇ重力－Ｆ浮力），则下列说法正确的是 （　　） Ａ．当石块下降３ｃｍ时，此时石块已经接触到水 Ｂ．当６≤ｘ≤１０时，Ｆ拉力（Ｎ）与ｘ（ｃｍ）之间的函数表达式为Ｆ拉力＝－ ３ ８ ｘ＋ ２５ ４ Ｃ．石块下降高度８ｃｍ时，此时石块所受浮力为１Ｎ Ｄ．当弹簧测力计的示数为３Ｎ时，此时石块距离水底 ２２ ３ ｃｍ 二、填空题（本大题共４小题，每小题４分，共１６分。只填写最后结果） １１．分解因式：ａ３－９ａ＝　　　　。 １２．如图，△ＡＢＣ的边ＡＣ是⊙Ｏ的直径。以点Ａ为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ， Ｅ，再分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，以大于 １ ２ ＤＥ的长为半径作弧，两弧在∠ＢＡＣ的内部相交于点Ｆ，射线ＡＦ 与⊙Ｏ交于点Ｐ，Ｍ是ＡＣＰ ) 上一点，连接ＡＭ，ＰＭ。若∠ＢＡＣ＝５４°，则∠Ｍ的度数为　　　　。 第１２题图 　　　　　　　 第１４题图 １３．对于实数ｘ，用［ｘ］表示不超过 ｘ的最大整数，记｛ｘ｝＝ｘ－［ｘ］。如［３．１４］＝３，｛３．１４｝＝０．１４。若 ａ＝ ［３－槡２］，ｂ＝｛３－槡２｝，则代数式（ａ＋槡２）ｂ＝　　　　。（要求答案为具体的数值） １４．如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是６ｃｍ的正六边形，侧棱长８ｃｍ，若用丝线从点Ａ处开始 经过六个侧面缠绕ｎ圈到达点Ｂ，则丝线长最短需要　　　　ｃｍ。 四、解答题（本大题共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１０分）（１）计算：槡２７＋（－２ｃｏｓ６０°） ２０２４－－１ ２( ) －２ －｜３＋槡２３｜； （２）先化简，再求值： ２ｘ ｘ＋１ －２ｘ －４ ｘ２－１ ÷ ｘ －２ ｘ２－２ｘ＋１ ，其中ｘ为方程ｘ２＋ｘ－２＝０的根。 １６．（１０分）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月 的追踪调查，他将调查结果分为四类：Ａ．很好；Ｂ．较好；Ｃ．一般；Ｄ．不达标，并将调查结果绘制成以下 两幅不完整的统计图。 　　　 请你根据统计图解答下列问题： （１）此次调查的总人数为多少？ （２）条形统计图缺少Ｃ组女生和Ｄ组男生的人数，请将它补充完整； （３）该校九年级共有学生１２００名，请你估计“达标”的共有多少人？ （４）为了共同进步，李老师准备从被调查的Ａ类和Ｄ类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互 助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率。 １７．（１０分）已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点。 （１）请直接写出ＥＦ与ＡＤ，ＢＣ之间的位置关系和数量关系； （２）请证明（１）的结论。 １０２０２４年青州市学业水平第三次模拟试题 （与寿光市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ５８— — ５９— — ６０— １８．（１０分）图１是小亮同学安装的化学实验装置，试管略向下倾斜，试管夹固定在距试管口的三分之一 处。图２是图１抽象出的几何模型，且所有点都在同一平面内。已知 ＡＢ＝３０ｃｍ，ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ，ＡＣ⊥ ＣＦ，ＤＥ⊥ＣＦ，试管ＡＢ倾斜角α为１０°。 （１）求ＡＣ与ＤＥ之间的水平距离ＣＤ的长度； （２）实验时，当导气管紧贴水槽ＭＮ，延长ＢＭ交ＣＮ的延长线于点Ｆ，且ＭＮ⊥ＣＦ（点Ｃ，Ｄ，Ｎ，Ｆ在一条 直线上），经测得ＤＥ＝２１．７ｃｍ，ＭＮ＝８ｃｍ，∠ＡＢＭ＝１４５°，求线段ＤＮ的长度。（参考数据：ｓｉｎ１０°≈０．１７， ｃｏｓ１０°≈０．９８，ｔａｎ１０°≈０．１８） 图１ 　　 图２ １９．（１２分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是边ＡＣ上的点，以ＡＤ为直径作⊙Ｏ交ＡＢ于点Ｆ，连接 ＢＤ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ，连接ＣＥ，ＣＥ＝ＢＣ。 （１）求证：ＣＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＤ＝２，ＢＣ＝４，求ＡＦ的长。 ２０．（１３分）数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系 进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。 【实验过程】如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点Ａ处开 始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间ｘ（单位：ｓ）、运动速度ｖ（单位：ｃｍ／ｓ）、 滑行距离ｙ（单位：ｃｍ）的数据。 记录的数据如下： 运动时间ｘ／ｓ ０ ２ ４ ６ ８ １０ … 运动速度ｖ／（ｃｍ／ｓ） １０ ９ ８ ７ ６ ５ … 滑行距离ｙ／ｃｍ ０ １９ ３６ ５１ ６４ ７５ … 【问题解决】 （１）根据ｖ，ｙ随ｘ的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适 当的函数模型，分别求出ｖ，ｙ满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （２）当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离。 ２１．（１３分）如图１，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，将矩形 ＡＢＣＤ绕点 Ａ按逆时针方向旋转得到矩形 ＡＥＦＧ，连接ＤＦ，ＤＧ。 （１）如图２，点Ｅ落在对角线ＢＤ上，ＡＤ与ＥＦ相交于点Ｈ。 ①连接ＡＦ，求证：四边形ＡＢＤＦ是平行四边形； ②求线段ＡＨ的长度； （２）在矩形ＡＥＦＧ绕点Ａ旋转一周的过程中，△ＤＦＧ面积的最大值为　　　　。 图１ 　　 图２ ２２．（１２分）某兴趣小组开展综合实践活动：在正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝４，动点Ｐ以每秒１个单位长度的速 度从点Ｂ出发匀速运动，到达点Ｃ时停止，作ＰＡ的垂线ＰＭ交ＣＤ于点Ｍ，连接ＭＡ，设点Ｐ的运动 时间为ｔ，Ｒｔ△ＡＤＭ的面积为Ｓ，探究Ｓ与ｔ的关系。 （１）如图１，当点Ｐ由点Ｂ向点Ｃ运动时，①当ｔ＝３秒时，ＭＣ＝　　　　，Ｓ＝　　　　； ②经探究发现Ｓ是关于ｔ的函数，请写出Ｓ关于ｔ的关系式； （２）若存在两个时刻ｔ１，ｔ２（ｔ１＜ｔ２）对应的Ｒｔ△ＡＤＭ的面积Ｓ相等，请直接写出ｔ１＋ｔ２的值。 图１ 　　 图２ ∴Ｃ（－２，－２）。 ∴不等式－２ｘ－６＜ ｋ ｘ 的解集为ｘ＞０或－２＜ｘ＜－１。 故答案为ｘ＞０或－２＜ｘ＜－１。 （３）设Ｍ（０，ａ），Ｎｂ， ４ ｂ( ) 。 已知以Ｃ，Ｄ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形， 当ＤＭ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 －１＝ｂ－２， ａ－４＝ ４ ｂ －２，{ 解得 ｂ＝１，ａ＝６，{ 即点Ｎ（１，４）； 当ＣＭ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 －２＝ｂ－１， ａ－２＝ ４ ｂ －４，{ 解得 ｂ＝－１，ａ＝－６，{ 即点Ｎ（－１，－４）（不合题意，舍去）。 当ＭＮ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 ｂ＝－１－２， ａ＋ ４ ｂ ＝－４－２，{ 解得 ｂ＝－３，ａ＝－１４３，{ 即点Ｎ －３，－ ４ ３( ) 。 综上，点Ｎ的坐标为（１，４）或 －３，－ ４ ３( ) 。 ２１．解：如图，延长ＢＡ交ＱＤ于点Ｅ，延长ＰＣ交ＡＥ于点Ｆ。 由题意，得 ＰＧ＝ＢＦ＝１００ｍ，ＰＣ＝ ８０ｍ，ＱＣ＝ＥＦ＝４０ｍ，ＢＥ⊥ＱＤ， ＰＦ⊥ＡＥ，ＱＥ＝ＣＦ。 设ＱＥ＝ＣＦ＝ｘｍ，则ＰＦ＝ＰＣ＋ＣＦ＝８０ ＋ｘ（ｍ）。 在Ｒｔ△ＡＥＱ中，∠ＡＱＥ＝４５°， ∴ＡＥ＝ＱＥ·ｔａｎ４５°＝ｘ（ｍ）。 在Ｒｔ△ＡＰＦ中，∠ＡＰＦ＝１６°， ∴ＡＦ＝ＰＦ·ｔａｎ１６°≈０．２９（ｘ＋８０）ｍ。 ∵ＥＦ＋ＡＦ＝ＡＥ，∴４０＋０．２９（ｘ＋８０）＝ｘ。 解得ｘ≈８９．０１，即ＡＥ≈８９．０１ｍ。 ∴ＡＢ＝ＢＦ＋ＥＦ－ＡＥ≈１００＋４０－８９．０１≈５１（ｍ）。 ∴万古塔ＡＢ的高度约为５１ｍ。 ２２．解：（１）如图１，连接ＣＭ。 图１ ∵半圆直径ＡＢ＝６，圆心Ｍ（－１，０）， ∴Ａ（２，０），Ｂ（－４，０）。 ∴ｙ＝ａ（ｘ－２）（ｘ＋４）＝ａ（ｘ２＋２ｘ－８）。 当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ（ｘ２＋２ｘ－８）＝－９ａ＝ ９ ２ ， 解得ａ＝－ １ ２ 。∴抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４。 ∴点Ｄ（０，４）。 ∵半圆直径ＡＢ＝６，∴ＣＭ＝ＢＭ＝３。 ∴ＯＣ＝ ＣＭ２－ＯＭ槡 ２＝ ９－槡 １＝槡２２。 ∴ＣＤ＝４＋槡２２。 （２）设点Ｅ（ｘ，０），则点Ｐｘ，－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４( ) 。 由点Ｂ，Ｄ的坐标知，∠ＦＢＥ＝４５°， 直线ＢＤ的表达式为ｙ＝ｘ＋４，则点Ｆ（ｘ，ｘ＋４）。 ∴ＰＦ＝－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４－ｘ－４＝－ １ ２ ｘ２－２ｘ。 ∴ＢＦ＝槡２ＢＥ＝槡２（ｘ＋４）。 ∴ＰＦ＋ＢＦ＝槡２（ｘ＋４）－ １ ２ ｘ２－２ｘ ＝－１ ２ （ｘ－槡２＋２） ２＋３＋槡２２≤３＋槡２２。 故ＰＦ＋ＢＦ的最大值为３＋槡２２。 （３）由点Ａ，Ｏ，Ｄ的坐标，得ｔａｎ∠ＡＤＯ＝ １ ２ 。 当△ＱＨＢ和△ＡＯＤ相似时，ｔａｎ∠ＢＱＨ＝２或 １ ２ 。 当点Ｑ在半圆上时，如图２，连接ＱＭ， 当ｔａｎ∠ＢＱＨ＝ １ ２ 时，设ＢＨ＝ｍ，则ＱＨ＝２ｍ； 当ｔａｎ∠ＢＱＨ＝２时，设ＢＨ＝２ｍ，则ＱＨ＝ｍ。 在Ｒｔ△ＨＭＱ中，ＨＭ２＋ＱＨ２＝ＱＭ２， 即３２＝（２ｍ）２＋（３－ｍ）２或３２＝ｍ２＋（３－２ｍ）２， 解得ｍ＝ ６ ５ 或 １２ ５ 或０（舍去）。 所以点Ｑ － １４ ５ ，－ １２ ５( ) 或 ４５，－１２５( ) ； 图２ 　　 图３ 当点Ｑ在抛物线上时，如图３， 当△ＱＨＢ和△ＡＯＤ相似时，ｔａｎ∠ＡＢＱ＝２或 １ ２ 。 设点Ｑｎ，－ １ ２ ｎ２－ｎ＋４( ) ，则ＢＨ＝ｎ＋４。 ｔａｎ∠ＡＢＱ＝ －１ ２ ｎ２－ｎ＋４ ｎ＋４ ＝２或 １ ２ ， 解得ｎ＝１或－２， 即点Ｑ（－２，４）或 １， ５ ２( ) 。 综上，点 Ｑ的坐标为 － １４ ５ ，－ １２ ５( ) 或 ４５，－１２５( ) 或 １， ５ ２( ) 或（－２，４）。 １０２０２４年青州市学业水平第三次模拟试题 （与寿光市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ ＢＣ ＡＣ ＢＤ ＢＤ １．Ｄ　【解析】３ａ２与ａ不能合并，故选项Ａ不符合题意；                                                                —０３— （ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２，故选项Ｂ不符合题意； ａ４ｂ÷ａ２＝ａ２ｂ，故选项Ｃ不符合题意； （ａｂ２）２＝ａ２ｂ４，故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】该几何体的主视图是 。故选Ｂ。 ３．Ｂ　【解析】∵ＤＥ∥ＢＦ， ∴∠ＢＦＤ＝∠ＡＤＥ＝５４°。 ∵∠Ｃ＝３０°，∴∠ＦＢＣ＝∠ＢＦＤ－∠Ｃ＝２４°。故选Ｂ。 ４．Ａ　【解析】根据题意，得近视眼镜的度数 ｙ（度）与镜 片焦距ｘ（米）成反比例，设ｙ＝ ｋ ｘ 。 ∵点（０．４，２５０）在此函数的图象上， ∴ｋ＝０．４×２５０＝１００。∴ｙ＝ １００ ｘ （ｘ＞０）。 ∵ｙ＜５００，∴ １００ ｘ ＜５００。 ∵ｘ＞０，∴５００ｘ＞１００。∴ｘ＞０．２， 即镜片焦距ｘ的取值范围是ｘ＞０．２。故选Ａ。 ５．Ｂ　【解析】∵△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位似，原点 Ｏ是位似中 心，Ａ（１２，８），Ｄ（６，４）， ∴△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的相似比为２∶１。 ∵点Ｅ的坐标为（２，３）， ∴点Ｂ的坐标为（２×２，３×２），即（４，６）。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】由图象，得ｙ２随ｘ的增大而减小，故选项 Ａ 不符合题意； 由图象，得ｂ＞３，故选项Ｂ不符合题意； 把（ｍ，３）代入ｙ１＝ １ ２ ｘ＋２，得３＝ １ ２ ｍ＋２，解得ｍ＝２。 当ｙ＝０时，即０＝ １ ２ ｘ＋２，解得ｘ＝－４。 故直线ｙ１＝ １ ２ ｘ＋２与 ｙ２＝ｋｘ＋ｂ的交点坐标为（２，３）， 与ｘ轴的交点坐标为（－４，０）。 所以当０＜ｙ１＜ｙ２时，－４＜ｘ＜２。故选项Ｃ符合题意； 由图象，得方程组 ２ｙ－ｘ＝４， ｋｘ－ｙ＝－ｂ{ 的解为 ｘ＝２，ｙ＝３。{ 故选项Ｄ不符合题意。故选Ｃ。 ７．ＢＣ　【解析】∵方程ｘ２－３ｘ＋２＝０的两根为ｘ１，ｘ２， ∴ｘ１＋ｘ２＝３，ｘ１ｘ２＝２。 故选项Ａ不符合题意，选项Ｂ符合题意； ｘ２１＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２＝９－４＝５， 故选项Ｄ不符合题意； （ｘ１－ｘ２） ２＝ｘ２１＋ｘ ２ ２－２ｘ１ｘ２＝５－４＝１， ∴｜ｘ１－ｘ２｜＝１。故选项Ｃ符合题意。故选ＢＣ。 ８．ＡＣ　【解析】二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图， ∵抛物线过点（－２，２），（－１，２）， ∴抛物线对称轴为ｘ＝－ ３ ２ 。故选项Ａ正确； 根据表格可知抛物线开口向下， 故选项Ｂ不正确； 由图象可知抛物线与坐标轴有３个交点， 故选项Ｃ正确； 当ｘ＜－ ３ ２ 时，ｙ随ｘ的增大而增大； 当ｘ＞－ ３ ２ 时，ｙ随ｘ的增大而减小。故选项Ｄ错误。 故选ＡＣ。 ９．ＢＤ　【解析】如图，连接 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ ＡＢ于点Ｅ。∵ＡＣ２＝３２＋４２＝２５，ＢＣ２＝３２＋１２＝１０， ＡＢ２＝２５，２５＋１０≠２５，∴ＡＣ２＋ＢＣ２≠ＡＢ２。 ∴△ＡＢＣ不是直角三角形。故选项Ａ不符合题意； ∵ＡＤ＝ＣＤ，∴ＢＤ是△ＡＢＣ的中线。 ∵ＯＣ＝ＯＢ＝ ２２＋１槡 ２＝槡５，ＯＡ＝ １ ２＋３槡 ２＝槡１０， ＣＤ＝ ２２＋ ３ ２( )槡 ２ ＝５ ２ ，ＯＤ＝ １２＋ １ ２( )槡 ２ ＝槡５ ２ ， ∴ＯＣ２＋ＯＢ２＝ＢＣ２，ＣＤ２＝ＯＣ２＋ＯＤ２。∴ＯＣ＝ＯＢ≠ＯＡ。 ∴∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝９０°。∴∠ＢＯＤ＝１８０°。 ∴点Ｏ在ＢＤ上，点Ｏ不是△ＡＢＣ的外心，故选项Ｂ符 合题意，选项Ｃ不符合题意。 ∵ＡＣ＝５，∴ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ ＡＥ ＡＣ ＝４ ５ 。故选项Ｄ符合题意。 故选ＢＤ。 １０．ＢＤ　【解析】由图象，得当石块下降 ３ｃｍ时，拉力不 变，此时石块没有接触到水，故选项Ａ不符合题意； 设 Ｆ拉力 ＝ｋｘ＋ｂ，把 （６，４），（１０，２．５）代 入， 得 ６ｋ＋ｂ＝４， １０ｋ＋ｂ＝２．５，{ 解得 ｋ＝－ ３ ８ ， ｂ＝ ２５ ４ ，{ 即Ｆ拉力＝－３８ｘ＋２５４，故选项Ｂ符合题意； 把ｘ＝８代入Ｆ拉力＝－ ３ ８ ｘ＋ ２５ ４ ， 得Ｆ拉力＝ １３ ４ ，４－ １３ ４ ＝３ ４ ，故选项Ｃ不符合题意； 把Ｆ拉力＝３代入Ｆ拉力＝－ ３ ８ ｘ＋ ２５ ４ ， 得ｘ＝ ２６ ３ ，１６－ ２６ ３ ＝２２ ３ ，故选项Ｄ符合题意。故选ＢＤ。 １１．ａ（ａ＋３）（ａ－３）　【解析】ａ３－９ａ＝ａ（ａ２－３２）＝ａ（ａ＋３） （ａ－３）。 １２．６３°　【解析】∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＰＣ＝９０°。 由题意，得ＡＰ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＣＡＰ＝ １ ２∠ ＢＡＣ＝２７°。                                                                —１３— ∴∠Ｃ＝９０°－∠ＣＡＰ＝６３°。∴∠Ｍ＝∠Ｃ＝６３°。 １３．槡２　【解析】 槡∵１＜２＜２， ∴１＜３－槡２＜２。∴ａ＝［３－槡２］＝１， ｂ＝｛３－槡２｝＝３－槡２－１＝２－槡２。 ∴（ａ＋槡２）ｂ＝（１＋槡２）（２－槡２）＝槡２。 １４．４ ４＋８１ｎ槡 ２　【解析】如图，将直棱柱展开，连接 ＡＢ。 从点Ａ开始经过６个侧面缠绕ｎ圈到达点Ｂ，相当于 两条直角边分别为３６ｎｃｍ和８ｃｍ， 根据两点之间线段最短， 得ＡＢ＝ ８２＋（３６ｎ）槡 ２＝４ ４＋８１ｎ槡 ２（ｃｍ）。 １５．解：（１）原式＝槡３３＋（－２× １ ２ ）２０２４－４－（３＋槡２３） ＝ 槡３３＋（－１） ２０２４－４－３－槡２３ ＝槡３３＋１－４－３－槡２３ ＝槡３－６。 （２）原式＝ ２ｘ ｘ＋１ － ２（ｘ －２） （ｘ＋１）（ｘ－１） · （ｘ－１）２ ｘ－２ ＝２ｘ ｘ＋１ －２（ｘ －１） ｘ＋１ ＝２ｘ －２ｘ＋２ ｘ＋１ ＝２ ｘ＋１ 。 解方程ｘ２＋ｘ－２＝０，得ｘ１＝１，ｘ２＝－２。 ∵ｘ－１≠０且ｘ＋１≠０且ｘ－２≠０，∴ｘ＝－２。 当ｘ＝－２时，原式＝ ２ －２＋１ ＝－２。 １６．解：（１）此次调查的总人数为（１＋２）÷１５％＝２０。 （２）∵Ｃ组的人数为２０×２５％＝５， ∴Ｃ组女生人数为５－２＝３。 ∴Ｄ组的人数为２０×（１－５０％－２５％－１５％）＝２。 ∴Ｄ组男生人数为２－１＝１。补全统计图如下： （３）１２００×（１５％＋５０％＋２５％）＝１０８０（人）。 答：估计“达标”的共有１０８０人。 （４）画树状图如下： 从树状图看出，所有等可能出现的结果共有６种，所 选两位同学恰好是相同性别的结果共有３种。 所以Ｐ（所选两位同学恰好是相同性别）＝ ３ ６ ＝１ ２ 。 １７．（１）解：ＥＦ∥ＡＤ∥ＢＣ，ＥＦ＝ １ ２ （ＡＤ＋ＢＣ）。 （２）证明：如图，连接ＡＦ并延长交ＢＣ的延长线于点Ｇ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠Ｄ＝∠ＦＣＧ，∠ＤＡＦ＝∠Ｇ。 在△ＡＤＦ与△ＧＣＦ中， ∠ＤＡＦ＝∠Ｇ， ∠Ｄ＝∠ＦＣＧ， ＤＦ＝ＣＦ，{ ∴△ＡＤＦ≌△ＧＣＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＦ＝ＦＧ，ＡＤ＝ＣＧ。 ∵ＡＥ＝ＢＥ，∴ＥＦ是△ＡＢＧ的中位线。 ∴ＥＦ＝ １ ２ ＢＧ，ＥＦ∥ＢＧ。 ∴ＥＦ∥ＡＤ∥ＢＣ。∴ＥＦ＝ １ ２ （ＡＤ＋ＢＣ）。 １８．解：（１）如图，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ。 由题意，得ＥＧ＝ＣＤ。 ∵ＡＢ＝３０ｃｍ，ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ， ∴ＢＥ＝ １ ３ ×３０＝１０（ｃｍ）。 ∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝２０（ｃｍ）。 在Ｒｔ△ＡＥＧ中，∠ＡＥＧ＝１０°， ∴ＥＧ＝ＡＥ·ｃｏｓ１０°≈２０×０．９８＝１９．６（ｃｍ）。 ∴ＣＤ≈１９．６ｃｍ。∴ＡＣ与ＤＥ之间的水平距离ＣＤ的 长度约为１９．６ｃｍ。 （２）如图，过点 Ｂ作 ＢＨ⊥ＤＮ于点 Ｈ，ＢＰ⊥ＤＥ于点 Ｐ，过点Ｍ作ＭＱ⊥ＢＨ于点Ｑ。 由题意，得ＤＰ＝ＢＨ，ＭＱ＝ＨＮ，∠ＰＢＨ＝９０°， ＭＮ＝ＨＱ＝８ｃｍ，∠ＡＢＰ＝１０°。 在Ｒｔ△ＥＢＰ中，ＢＥ＝１０ｃｍ， ∴ＥＰ＝ＢＥ·ｓｉｎ１０°≈１０×０．１７＝１．７（ｃｍ）， ＢＰ＝ＢＥ·ｃｏｓ１０°≈１０×０．９８＝９．８（ｃｍ）。 ∵ＤＥ＝２１．７ｃｍ， ∴ＤＰ＝ＢＨ＝ＤＥ－ＥＰ＝２１．７－１．７＝２０（ｃｍ）。 ∴ＢＱ＝ＢＨ－ＱＨ＝２０－８＝１２（ｃｍ）。 ∵∠ＡＢＭ＝１４５°， ∴∠ＭＢＱ＝∠ＡＢＭ－∠ＡＢＰ－∠ＰＢＨ＝４５°。 在Ｒｔ△ＢＱＭ中，ＭＱ＝ＢＱ·ｔａｎ４５°＝１２（ｃｍ）， ∴ＨＮ＝１２ｃｍ。 ∴ＤＮ＝ＤＨ＋ＨＮ＝ＢＰ＋ＨＮ≈９．８＋１２＝２１．８（ｃｍ）。 ∴线段ＤＮ的长度约为２１．８ｃｍ。 １９．（１）证明：如图，连接ＯＥ， 则ＯＥ＝ＯＤ。 ∴∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ＝∠ＢＤＣ。                                                                —２３— ∵ＣＥ＝ＢＣ，∴∠ＣＥＢ＝∠ＣＢＥ。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＥＤ＋∠ＣＥＢ＝∠ＢＤＣ＋∠ＣＢＥ＝９０°。 ∵ＯＥ是⊙Ｏ的半径，且ＣＥ⊥ＯＥ， ∴ＣＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：如图，连接ＤＦ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＦＤ＝９０°。 ∵ＣＤ＝２，∴ＯＣ＝ＯＤ＋２。 ∵ＯＥ２＋ＣＥ２＝ＯＣ２，且ＯＥ＝ＯＤ，ＣＥ＝ＢＣ＝４， ∴ＯＤ２＋４２＝（ＯＤ＋２）２，解得ＯＤ＝３。 ∴ＡＤ＝２×３＝６，ＡＣ＝２×３＋２＝８。 ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ８２＋４槡 ２＝槡４５。 ∵ ＡＦ ＡＤ ＝ＡＣ ＡＢ ＝ｃｏｓＡ， ∴ＡＦ＝ ＡＣ·ＡＤ ＡＢ ＝８ ×６ 槡４５ ＝ 槡１２５ ５ 。 ２０．解：（１）由表格数据可知 ｖ与 ｘ的函数关系为一次函 数关系，设ｖ＝ｋｘ＋ｃ。 把（０，１０），（２，９）代入， 得 ｃ＝１０， ２ｋ＋ｃ＝９，{ 解得 ｋ＝－ １ ２ ， ｃ＝１０。{ 因此ｖ与ｘ的函数关系式为ｖ＝－ １ ２ ｘ＋１０。 由表格数据可知ｙ与ｘ的函数关系为二次函数关系， 设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ。 把（２，１９），（４，３６）代入， 得 ４ａ＋２ｂ＝１９， １６ａ＋４ｂ＝３６，{ 解得 ａ＝－ １ ４ ， ｂ＝１０。{ 因此ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋１０ｘ。 （２）当ｖ＝－ １ ２ ｘ＋１０＝０时，ｘ＝２０。 把ｘ＝２０代入ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋１０ｘ， 得ｙ＝－ １ ４ ×２０２＋１０×２０＝１００。 因此当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距 离为１００ｃｍ。 ２１．（１）①证明：如图１，标注∠１，∠２，∠３。 图１ ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵矩形ＡＢＣＤ绕点Ａ按逆时针方向旋转得到矩形ＡＥＦＧ， ∴ＡＥ＝ＡＢ，ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＤ，∠１＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°。 在△ＡＢＤ和△ＥＡＦ中， ＡＢ＝ＥＡ， ∠ＢＡＤ＝∠１， ＡＤ＝ＥＦ，{ ∴△ＡＢＤ≌△ＥＡＦ（ＳＡＳ）。 ∴∠２＝∠ＥＡＦ，ＢＤ＝ＡＦ。 ∵ＡＢ＝ＡＥ，∴∠３＝∠２＝∠ＥＡＦ。∴ＡＦ∥ＢＤ。 又∵ＡＦ＝ＢＤ，∴四边形ＡＢＤＦ是平行四边形。 ②解：设ＤＨ＝ｘ，则ＡＨ＝４－ｘ。 ∵四边形ＡＢＤＦ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＤＦ，ＡＢ＝ＤＦ。∴∠ＡＤＦ＝∠ＢＡＤ＝９０°。 又∵∠１＝９０°，∴∠ＡＤＦ＝∠１。 ∵ＡＥ＝ＡＢ，ＡＢ＝ＤＦ，∴ＡＥ＝ＤＦ。 在△ＡＥＨ和△ＦＤＨ中， ∠ＡＨＥ＝∠ＦＨＤ， ∠１＝∠ＨＤＦ， ＡＥ＝ＦＤ，{ ∴△ＡＥＨ≌△ＦＤＨ（ＡＡＳ）。∴ＥＨ＝ＤＨ＝ｘ。 ∵∠１＝９０°，∴ＡＥ２＋ＥＨ２＝ＡＨ２。 又∵ＡＨ＝４－ｘ，ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＥＨ＝ｘ， ∴３２＋ｘ２＝（４－ｘ）２。 ∴ｘ＝ ７ ８ 。∴ＡＨ＝４－ｘ＝ ２５ ８ 。 （２）解：∵将矩形ＡＢＣＤ绕点 Ａ按逆时针方向旋转得 到矩形ＡＥＦＧ，∴旋转过程中，ＦＧ是定值。 当Ｄ，Ａ，Ｇ三点共线时，△ＤＦＧ的面积最大， 如图２，此时ＤＧ＝８， 图２ ∴Ｓ△ＤＦＧ＝ １ ２ ＦＧ·ＤＧ＝ １ ２ ×３×８＝１２。 故答案为１２。 ２２．解：（１）①当ｔ＝３时， ＰＢ＝３，ＰＣ＝４－３＝１。 又∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＣ＝４。 ∵ＰＡ⊥ＰＭ，∴∠ＡＰＢ＋∠ＣＰＭ＝∠ＰＭＣ＋∠ＣＰＭ＝９０°。 ∴∠ＡＰＢ＝∠ＰＭＣ。∴△ＡＢＰ∽△ＰＣＭ。 ∴ ＰＣ ＡＢ ＝ＭＣ ＰＢ ，即 １ ４ ＝ＭＣ ３ 。 ∴ＭＣ＝ ３ ４ 。∴ＭＤ＝ １３ ４ 。 ∴Ｒｔ△ＡＤＭ的面积 Ｓ＝ １ ２ ＡＤ·ＭＤ＝ １ ２ ×４× １３ ４ ＝１３ ２ 。 故答案为 ３ ４ ； １３ ２ 。 ②当点Ｐ由点Ｂ运动到点Ｃ时，ＰＢ＝ｔ。                                                                —３３— ∵△ＡＢＰ∽△ＰＣＭ， ∴ ＰＣ ＡＢ ＝ＭＣ ＰＢ ，即 ４－ｔ ４ ＝ＭＣ ｔ 。 ∴ＭＣ＝ ４ｔ－ｔ２ ４ 。∴ＭＤ＝４－ＭＣ＝ ｔ２－４ｔ＋１６ ４ 。 ∴Ｒｔ△ＡＤＭ的面积Ｓ＝ １ ２ ＡＤ·ＤＭ ＝１ ２ ×４× ｔ２－４ｔ＋１６ ４ ＝１ ２ ｔ２－２ｔ＋８（０≤ｔ≤４）。 （２）∵Ｓ＝ １ ２ ｔ２－２ｔ＋８， ∴ｔ１＋ｔ２＝－ －２ １ ２ ＝４。 １１２０２３年潍城区学业水平第一次模拟试题 （与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ ＢＤ ＡＢＣ ＢＣ ＡＢ １．Ｂ　【解析】－２０２３的相反数是２０２３。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】题图２“堑堵”的左视图是 。故选Ａ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．由数轴可知ａ＜０，ｂ＞０，∴ａ＜ｂ。故本选项 错误；Ｂ．由数轴可知ｃ＜０，ｂ＞０，｜ｂ｜＝｜ｃ｜，∴ｂ＋ｃ＝０。故 本选项错误；Ｃ．由数轴可知ａ＜０，ｂ＞０，∴ｂ－ａ＞０。故本 选项正确；Ｄ．由数轴可知ａ＜０，ｃ＜０，｜ｃ｜＜｜ａ｜，∴ａ－ｃ＜０。 ∴｜ａ－ｃ｜＝ｃ－ａ。故本选项错误。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】∵Ａ（２，４），Ｂ（１，２），Ｃ（４，０），将△ＡＢＣ向 左平移 ４个单位长度，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∴Ａ′（－２，４）， Ｂ′（－３，２），Ｃ′（０，０）。如图， ∵以原点 Ｏ为位似中心，作△Ａ′Ｂ′Ｃ′的位似三角形 Ａ″Ｂ″Ｃ″，使它与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为１∶２且在同一象限 内，∴点Ａ″的坐标为 －２＋０ ２ ， ４＋０ ２( ) ，即（－１，２）。故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】根据题意，得ｋ＜０，ｂ＞０。∴－ｋ＞０。 ∴一次函数ｙ＝－ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、三象限，反 比函数ｙ＝ ｂ ｘ 的图象位于第一、三象限内。故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】∵底面直径为ＡＢ，∴将圆柱侧面沿 ＡＣ“剪 开”后，点Ｂ在长方形上面那条边的中间。 ∵两点之间线段最短，∴选项Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ７．ＢＤ　【解析】Ａ．若 ａ２＞ｂ２，则｜ａ｜＞｜ｂ｜，原命题为假命 题，此项不符合题意；Ｂ．对顶角相等，原命题为真命题； 相等的角不一定是对顶角，即逆命题是假命题，此项符 合题意；Ｃ．若ａ为无理数，则ａ３不一定为无理数，故原 命题为假命题，此项不符合题意；Ｄ．等弧所对的圆周角 相等，原命题为真命题；圆周角相等，其所对的弧相等， 此命题只有在同圆或者等圆中成立，故逆命题是假命 题，此项符合题意。故选ＢＤ。 ８．ＡＢＣ　【解析】甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的 升高而增大，故选项 Ａ正确；当温度升高至 ｔ２℃时，甲 的溶解度比乙的溶解度大，故选项 Ｂ正确；当温度为 ０℃时，甲、乙的溶解度都小于２０ｇ，故选项Ｃ正确；当 温度为ｔ１℃时，甲、乙的溶解度相同，都为３０ｇ，故选项 Ｄ错误。故选ＡＢＣ。 ９．ＢＣ　【解析】根据题表可画出图象如图。 ∵抛物线过点（－２，２）（－１，２）， ∴抛物线对称轴为直线ｘ＝ －３ ２ 。故选项Ａ错误；根据 图象可知抛物线开口向下， 当ｘ＜－ ３ ２ 时，ｙ随 ｘ的增大 而增大。故选项Ｂ正确；当 ｘ＞－ ３ ２ 时，ｙ随 ｘ的增大而 减小。故选项Ｄ错误；由图 象可知抛物线与坐标轴有３个交点，故选项Ｃ正确。故 选ＢＣ。 １０．ＡＢ　【解析】设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝２，则ＡＥ＝ＯＥ＝１。 ∴ＣＥ＝ＥＦ＝ １２＋２槡 ２＝槡５，ＯＦ＝ＥＦ－ＯＥ＝槡５－１。 ∵ＡＢ⊥ＣＤ，∴ｔａｎ∠ＦＣＯ＝ ＯＦ ＯＣ ＝槡５ －１ ２ 。 故选项Ｂ正确，符合题意； ∵ＯＦ≠ＯＥ，ＡＢ⊥ＣＤ， ∴直线ＯＣ不是线段ＥＦ的垂直平分线。 ∴ＣＦ≠ＣＥ。∴△ＣＥＦ不是等边三角形。 故选项Ｄ错误，不符合题意； ∵ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，且ＡＢ⊥ＣＤ， ∴ＣＭ) ＋ＭＮ) ＋ＮＤ) ＝ＣＰ) ＋ＰＨ) ＋ＤＨ) 。 ∵ＣＭ) ＝ＭＮ) ＝ＣＰ) ＝ＰＨ) ， ∴ＤＮ) ＝ＤＨ) 。故选项Ａ正确，符合题意； 在Ｒｔ△ＣＯＦ中，ｔａｎ∠ＣＦＯ＝ ＣＯ ＯＦ ＝槡５ ＋１ ２ ， ∵ＣＥ＝ＥＦ，∴∠ＥＣＦ＝∠ＣＦＯ。 ∴ｔａｎ∠ＥＣＦ＝槡 ５＋１ ２ 。∴∠ＥＣＦ＞５４°。 故选项Ｃ错误，不符合题意。 故选ＡＢ。 １１．（ａ－ｂ）（ｘ＋２）（ｘ－２）　【解析】原式＝ｘ２（ａ－ｂ）－４（ａ－ ｂ）＝（ａ－ｂ）（ｘ２－４）＝（ａ－ｂ）（ｘ＋２）（ｘ－２）。 １２． １ ６ 　【解析】∵同时投掷两颗骰子，共有 ６×６＝３６种 等可能的结果，其中得到两颗骰子上的点数相同的情                                                                —４３—