9 2024年安丘市学业水平第二次模拟试题(与诸城市、高密市联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ４９— — ５０— — ５１— 一、单项选择题（本大题共６小题，每小题４分，共２４分。在每小题给出的四个选项中只有一项是正确 的，请把正确的选项选出来。每小题选对得４分，错选、不选均记０分） １．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．一组数据２，５，５，６，７的方差为 （　　） Ａ．０ Ｂ．２．５ Ｃ．２．８ Ｄ．１４ ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ２·ａ３＝ａ６ Ｂ．（－ａｂ）３＝－ａ３ｂ３ Ｃ．槡５３－５＝槡３ Ｄ． １ ２０２４( ) －１ ＝－２０２４ ４．下列说法正确的是 （　　） Ａ．若某种彩票的中奖机会为１％，则买１００张这种彩票一定会中奖 Ｂ．为了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适 Ｃ．“若ａ，ｂ是非零实数，则ａ２＋ｂ２＞０”是随机事件 Ｄ．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为１３”是确定事件 ５．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心Ｏ的光线相交于点Ｐ， 点Ｆ是该凸透镜的焦点。若∠１＝１５０°，∠３＝５０°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° 第５题图 　　　　　 第６题图 ６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝４，若进行下列操作： ①将Ｒｔ△ＡＢＣ绕点Ａ顺时针旋转９０°后得到Ｒｔ△ＡＢ′Ｃ′，点Ｂ经过的路径为弧ＢＢ′； ②以点Ｃ为圆心，以线段ＣＢ长为半径画弧，得到弧ＡＢ。 则图中阴影部分的面积为 （　　） Ａ．４π Ｂ．４．８π Ｃ．８π Ｄ．９．６π 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对 得５分，部分选对得３分，错选、多选均记０分） ７．下列命题是真命题且其逆命题是假命题的是 （　　） Ａ．若ｘ＞ｙ，则ａ２ｘ＞ａ２ｙ Ｂ．若｜ｘ｜＋｜ｙ｜＝０，则ｘ＋ｙ＝０ Ｃ．全等三角形的对应角相等 Ｄ．正多边形的每个内角都相等 ８．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点Ｅ在边ＣＤ上，且ＣＤ＝３ＤＥ，将△ＡＤＥ沿ＡＥ对折至△ＡＦＥ，延长ＥＦ 交ＢＣ于点Ｇ，连接ＡＧ，ＣＦ，ＢＦ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ＡＧ垂直平分ＢＦ Ｂ．∠ＧＦＣ＝∠ＧＣＦ Ｃ．Ｓ△ＡＧＥ＝１７ Ｄ．∠ＧＡＥ＝ １ ２∠ Ｄ 第８题图 　　　 第９题图 　　　 图１ 　 图２ 第１０题图 ９．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于两点（ｘ１，０），（２，０），其中０＜ｘ１＜１，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＜０ Ｂ．ａ＋ｂ＋ｃ＞０ Ｃ．２ａ－ｃ＞０ Ｄ．不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞－ ｃ ｘ１ ｘ＋ｃ的解集为０＜ｘ＜ｘ１ １０．如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，直线ｌ垂直于ＡＢ所在的直线，当直线ｌ沿射线ＢＣ的方向从点Ｂ 开始向右平移时，直线ｌ与四边形ＡＢＣＤ的边分别相交于点Ｅ，Ｆ。设直线ｌ向右平移的距离为ｘ，线 段ＥＦ的长为ｙ，且ｙ与ｘ的函数关系如图２所示，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝３０° Ｂ．ＡＤ的长为３ Ｃ．当６≤ｘ≤８时，△ＢＥＦ的面积不变 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ的周长为１６＋槡３３ 三、填空题（本大题共４小题，每小题４分，共１６分。只填写最后结果） １１．因式分解：９ｘ４－ｘ２＝　　　　。 １２．如图，已知∠ＡＯＢ，以点Ｏ为圆心，以任意长为半径画弧ＭＮ，分别交ＯＡ，ＯＢ于点Ｍ，Ｎ，再以点Ｎ为圆心，以 ＭＮ长为半径画弧ＰＱ，交弧ＭＮ于点Ｃ，画射线ＯＣ。若∠ＡＯＢ＝３１°５２′１２″，则∠ＡＯＣ的度数为　　　　。 第１２题图 　　　 第１３题图 　　　 第１４题图 １３．已知一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为　　　　。（附：球的表面积公式Ｓ球＝４πｒ ２，其 中ｒ为球的半径） １４．正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｏ，Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｃ１，Ａ３Ｂ３Ｃ３Ｃ２，…按如图所示的方式放置。点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…和点Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，…分 别在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ和ｘ轴上，已知点Ａ１（０，１），Ｂ２（３，２），则△Ａ２Ｂ２Ａ３的面积为　　　　，△Ａ２０２３Ｂ２０２３Ａ２０２４ 的面积为　　　　。 四、解答题（本大题共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１０分）先化简，再求值： １ ｘ２－９ ＋１ ｘ＋３( )÷ｘ－２２ｘ＋６，其中ｘ是不等式组 ４（ｘ＋２）＜３ｘ＋７， ｘ ２ ＋２≥－ ｘ＋１ ５{ 的整数解。 １６．（１０分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＞ＣＤ，点Ｅ，Ｆ分别在线段ＡＣ，ＢＣ上，且∠ＦＡＣ＝∠ＡＤＥ， ∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ。 （１）求证：ＡＦ＝ＤＥ； （２）若ＡＦ２＝ＢＦ·ＣＥ，求证：∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ。 １７．（１２分）为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，市交管部门组织交警 深入各中小学校开展“知危险会避险”的交通安全主题宣传教育活动。为检验学习效果，组织学生进 行相关知识竞赛，从Ａ，Ｂ两校各随机抽取３０名学生的成绩（满分１００分），对数据（成绩）进行了整 理和分析。 数据收集： Ａ校成绩在８０≤ｘ＜９０这一组的数据是８１，８２，８３，８４，８４，８５，８５，８５，８５，８６，８７，８９。 数据整理： Ａ，Ｂ两校学生成绩的频数分布统计表 　　　组别 学校　　　 ｘ＜５０ ５０≤ｘ＜６０ ６０≤ｘ＜７０ ７０≤ｘ＜８０ ８０≤ｘ＜９０ ９０≤ｘ≤１００ Ａ １ ３ ６ ４ １２ ４ Ｂ ２ ６ ７ ９ ｍ ２ 数据分析： Ａ，Ｂ两校成绩的平均数、众数、中位数、方差如表。 　　　统计量 学校　　　　 平均数 众数 中位数 方差 Ａ ７５．９ ８５ ｎ １８５．４ Ｂ ６７．８ ７０ ６８ １６１．１ 根据以上信息，回答下列问题： （１）ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　； （２）若将Ａ校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在８０≤ｘ＜９０这一组的扇形的圆心角为多少 度？本次测试成绩更整齐的是哪个学校？请说明理由； （３）在此次测试中，某学生的成绩为７６分，在他所属学校随机抽取的学生中排在前１５名，该学生是 哪个学校的学生？请说明理由； （４）Ａ，Ｂ两校要举行升级赛，从样本中两校成绩均在９０≤ｘ≤１００范围内的学生中选取两名参加比 赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选２人来自同一学校的概率。 ９ ２０２４年安丘市学业水平第二次模拟试题 （与诸城市、高密市联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ５２— — ５３— — ５４— １８．（８分）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其他进制数，如计算机使用的数是二进制 数，二进制数可以转化为十进制数。如，二进制数１１０１换算成十进制数是１×２３＋１×２２＋０×２１＋１×２０ ＝１３。 第十四届国际数学教育大会（ＩＣＭＥ－１４）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展 现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数３７４５。 八进制是以８作为进位基数的数字系统，有０—７共８个基本数字。八进制数３７４５换算成十进制数 是３×８３＋７×８２＋４×８１＋５×８０＝２０２１，表示ＩＣＭＥ－１４的举办年份。 （１）八进制数３７４７换算成十进制数是　　　　； （２）小颖设计了一个ｍ进制数１５６，换算成十进制数是９０，求ｍ的值。 １９．（１２分）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱。如图２是过山车的示意图，其中过山 车的轨道近似看成⊙Ｏ，轨道的支撑ＡＤ，ＢＣ均与地面ＣＤ垂直，Ｅ是ＢＣ上一点，连接ＡＥ交⊙Ｏ于点 Ｆ，连接ＢＦ并延长与ＣＤ交于点Ｇ，连接ＤＦ。已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径且ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＥ＝∠ＥＢＦ。 （１）求证：ＡＤ是⊙Ｏ的切线； （２）当ＢＥ＝槡３，⊙Ｏ的半径为 ３ ２ ，求△ＡＤＦ的面积。 图１ 　　 图２ ２０．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝－２ｘ－６的图象与坐标轴交于点Ａ，Ｂ，与反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ 的图象交于点Ｃ，Ｄ。△ＡＯＣ和△ＢＯＤ面积均为３。 （１）求反比例函数的表达式和△ＯＣＤ的面积； （２）根据图象直接写出关于ｘ的不等式－２ｘ－６＜ ｋ ｘ 的解集　　　　； （３）Ｍ是ｙ轴上一点，Ｎ是反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 图象上一点，当以Ｃ，Ｄ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边 形时，直接写出点Ｎ的坐标。 ２１．（１２分）位于潍河南岸的万古塔，为唐式七层八角攒尖外加地宫建筑，框架结构。某校综合与实践小 组测量万古塔的高度，形成了不完整的实践报告： 测量对象 万古塔 测量目的 运用三角比有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 １．先将无人机从地面的点Ｇ处垂直上升１００ｍ至点Ｐ，测得塔的顶端Ａ的俯角为１６°； ２．再将无人机从点Ｐ处沿水平方向飞行８０ｍ到达点Ｃ处，然后沿垂直方向上升４０ｍ到达点Ｑ，测 得塔的顶端点Ａ的俯角为４５°，如图中各点均在同一竖直平面内。 测量示意图 　　 请根据以上测量数据，求万古塔ＡＢ的高度。（结果精确到１ｍ；参考数据：ｓｉｎ１６°≈０．２８，ｃｏｓ１６°≈０．９６， ｔａｎ１６°≈０．２９） ２２．（１４分）如图１是一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形，称为“蛋圆”，已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别为 “蛋圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径ＡＢ＝６，圆心Ｍ（－１，０），抛物线部分的最大值为 ９ ２ 。 （１）求“蛋圆”中的抛物线的表达式及线段ＣＤ的长； （２）如图２，连接ＢＤ，Ｐ是线段ＢＤ上方“蛋圆”上一点，过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｅ，交ＢＤ于点 Ｆ，求ＰＦ＋ＢＦ的最大值； （３）Ｑ是“蛋圆”上任意一点，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｈ，是否存在点Ｑ，使得△ＱＨＢ和△ＡＯＤ 相似。若存在，请直接写出点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由。 图１ 　　 图２ ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴平行四边形ＡＢＣＤ是菱形。 （２）证明：如图，连接ＯＥ，ＯＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴∠ＥＤＡ＝∠ＥＤＦ，ＡＥ＝ＣＥ。 ∴∠ＥＯＡ＝∠ＥＯＦ。 ∴ＡＥ＝ＥＦ。∴ＣＥ＝ＥＦ。 ∵Ｇ是ＣＦ的中点，∴ＥＧ⊥ＣＤ。 ∵ＣＥ＝ＥＦ，且Ｏ是直径ＡＤ的中点， ∴ＯＥ是△ＣＡＤ的中位线。 ∴ＯＥ∥ＣＤ。∴ＥＧ⊥ＯＥ。 又∵ＯＥ是⊙Ｏ的半径， ∴ＥＧ是⊙Ｏ的切线。 （３）解：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝槡４２，ＡＥ＝ＥＦ＝ＣＥ＝２。 ∴∠ＥＡＤ＝∠ＥＣＧ。 ∵∠ＡＥＤ＝∠ＣＧＥ＝９０°，∴△ＡＥＤ∽△ＣＧＥ。 ∴ ＣＧ ＡＥ ＝ＣＥ ＡＤ ，即 ＣＧ ２ ＝ ２ 槡４２ ，解得ＣＧ＝槡 ２ ２ 。 ∵ＣＥ＝ＥＦ，且ＥＧ⊥ＣＤ， ∴ＣＦ＝２ＣＧ＝槡２。 ２２．（１）解：∵正方形纸片 ＡＢＣＤ，翻折∠Ｂ，∠Ｄ，使两个 直角的顶点重合于对角线ＢＤ上一点Ｐ， ∴△ＢＥＦ和△ＤＧＨ是等腰直角三角形。 ∴当ＡＥ＝１时，重合点Ｐ是ＢＤ的中点。 ∴点Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的中心。 故答案为正方形ＡＢＣＤ的中心。 （２）证明：∵正方形纸片 ＡＢＣＤ，翻折∠Ｂ，∠Ｄ，使两 个直角的顶点重合于对角线ＢＤ上一点Ｐ， ∴△ＢＥＦ≌△ＰＥＦ。 ∴ＢＥ＝ＰＥ，ＢＦ＝ＰＦ，∠ＥＢＦ＝∠ＥＰＦ＝９０°。 ∴∠ＥＢＰ＝∠ＥＰＢ＝４５°。 ∴∠ＢＥＰ＝９０°。∴四边形ＢＥＰＦ是矩形。 又∵ＢＥ＝ＰＥ，∴四边形ＢＥＰＦ是正方形。 （３）解：六边形ＡＥＦＣＧＨ周长是定值。理由如下： ∵四边形ＢＥＰＦ是正方形，∴ＥＦ＝ＰＢ。 同理可得ＧＨ＝ＰＤ。 ∴ＥＦ＋ＧＨ＝ＢＤ。∴ＥＦ＋ＧＨ＝ＡＣ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝２，∴ＡＣ＝槡２２。 ∴六边形ＡＥＦＣＨＧ周长＝ＡＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ＣＧ＋ＧＨ＋ＡＨ ＝（ＡＥ＋ＣＧ）＋（ＣＦ＋ＡＨ）＋（ＥＦ＋ＧＨ） ＝２＋２＋槡２２＝４＋槡２２。 ∴六边形ＡＥＦＣＨＧ周长的值不变。 （４）解：∵六边形 ＡＥＦＣＨＧ面积＝正方形 ＡＢＣＤ的面 积－△ＥＢＦ的面积－△ＧＤＨ的面积，ＡＥ＝ｘ， ∴六边形ＡＥＦＣＨＧ面积＝２２－ １ ２ ＢＥ·ＢＦ－ １ ２ ＤＧ·ＤＨ＝ ４－ １ ２ ×（２－ｘ）（２－ｘ）－ １ ２ ｘ·ｘ＝－ｘ２＋２ｘ＋２＝－（ｘ－１）２＋３。 ∴当ｘ＝１时，六边形ＡＥＦＣＨＧ面积为最大值３。 ∴当０＜ｘ≤１时，六边形ＡＥＦＣＧＨ面积逐渐变大，当１ ＜ｘ＜２时，六边形ＡＥＦＣＧＨ面积逐渐变小。 ９２０２４年安丘市学业水平第二次模拟试题 （与诸城市、高密市联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ａ ＢＣＤＡＢＤ ＡＣ ＡＤ １．Ｃ　【解析】Ａ是中心对称图形，不是轴对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，也是中心对称 图形，故选项符合题意；Ｄ既不是轴对称图形，也不是 中心对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】ｘ＝ ２＋５＋５＋６＋７ ５ ＝５，ｓ２＝ １ ５ ×［（２－５）２＋２× （５－５）２＋（６－５）２＋（７－５）２］＝２．８。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ．ａ２·ａ３＝ａ５，故选项计算错误； Ｂ．（－ａｂ）３＝－ａ３ｂ３，故选项计算正确； Ｃ．槡５３和５不能合并，故选项计算错误； Ｄ． １ ２０２４( ) －１ ＝ １ １ ２０２４ ＝２０２４，故选项计算错误。 故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．某种彩票的中奖机会为１％，买１００张这 种彩票不一定会中奖，故选项不符合题意； Ｂ．为了解一批炮弹的杀伤力，采用抽样调查的调查方 式比较合适，故选项不符合题意； Ｃ．“若ａ，ｂ是非零实数，则ａ２＋ｂ２＞０”是必然事件，故选 项不符合题意； Ｄ．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数 之和为１３”是不可能事件，属于确定事件，故选项符合 题意。故选Ｄ。 ５．Ａ　【解析】∵∠１＝１５０°，∴∠ＰＦＯ＝３０°。 ∵∠３＝∠ＰＦＯ＋∠ＰＯＦ，∠３＝５０°， ∴∠ＰＯＦ＝２０°。∴∠２＝２０°。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝４， ∴ＡＢ＝槡２ＡＣ＝槡４２。 根据题意，得 ＡＢ′＝ＡＢ＝ 槡４２，∠ＢＡＢ′＝９０°，ＡＣ′＝ＡＣ＝ ＢＣ＝Ｂ′Ｃ＝４，∠Ｃ′＝９０°， ∴阴影部分的面积＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ扇形ＡＢＢ′－Ｓ扇形ＣＡＢ－Ｓ△ＡＢ′Ｃ′ ＝１ ２ ×４×４＋ ９０π×（槡４２） ２ ３６０ －９０π ×４２ ３６０ －１ ２ ×４×４ ＝８π－４π＝４π。故选Ａ。 ７．ＢＣＤ　【解析】Ａ．若ｘ＞ｙ，则 ａ２ｘ＞ａ２ｙ是假命题，它的逆 命题是若ａ２ｘ＞ａ２ｙ，则 ｘ＞ｙ，逆命题是真命题。故选项 不符合题意； Ｂ．若｜ｘ｜＋｜ｙ｜＝０，则 ｘ＋ｙ＝０是真命题，它的逆命题是 若ｘ＋ｙ＝０，则｜ｘ｜＋｜ｙ｜＝０，逆命题是假命题。故选项符 合题意； Ｃ．全等三角形的对应角相等是真命题，它的逆命题是 对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题。故选项 符合题意； Ｄ．正多边形的每个内角都相等是真命题，它的逆命题 是每个内角都相等的多边形是正多边形，逆命题是假                                                                —７２— 命题。故选项符合题意。故选ＢＣＤ。 ８．ＡＢＤ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵ＡＢ＝６＝ＣＤ，ＣＤ＝３ＤＥ，∴ＤＥ＝２，ＣＥ＝４。 ∵将△ＡＤＥ沿ＡＥ对折至△ＡＦＥ， ∴ＡＤ＝ＡＦ，ＤＥ＝ＥＦ，∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＥ。∴ＡＢ＝ＡＦ。 在Ｒｔ△ＡＢＧ和Ｒｔ△ＡＦＧ中， ＡＢ＝ＡＦ， ＡＧ＝ＡＧ，{ ∴Ｒｔ△ＡＢＧ≌Ｒｔ△ＡＦＧ（ＨＬ）。∴ＢＧ＝ＦＧ。 而ＡＢ＝ＡＦ，∴ＡＧ垂直平分ＢＦ。故Ａ正确； ∵Ｒｔ△ＡＢＧ≌Ｒｔ△ＡＦＧ（ＨＬ）， ∴ＢＧ＝ＦＧ，∠ＢＡＧ＝∠ＦＡＧ。 ∵ＥＧ２＝ＣＥ２＋ＣＧ２， ∴（２＋ＢＧ）２＝１６＋（６－ＢＧ）２。 ∴ＢＧ＝３。∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ＝３＝ＢＧ。 ∴ＦＧ＝ＣＧ。∴∠ＧＦＣ＝∠ＧＣＦ。故Ｂ正确； ∵ＥＧ＝ＢＧ＋ＥＦ＝５， ∴Ｓ△ＡＧＥ＝ １ ２ ＥＧ·ＡＦ＝ １ ２ ×５×６＝１５。故Ｃ错误； ∵∠ＢＡＧ＝∠ＦＡＧ，∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＥ， ∴∠ＧＡＥ＝∠ＦＡＧ＋∠ＦＡＥ＝ １ ２ （∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ）＝ １ ２ × ∠ＢＡＤ＝４５°。故Ｄ正确。故选ＡＢＤ。 ９．ＡＣ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∵抛物线的对称轴在ｙ轴右侧， ∴ａ，ｂ异号。∴ｂ＜０。 ∵抛物线与ｙ轴的交点在ｘ轴上方， ∴ｃ＞０。∴ａｂｃ＜０。故Ａ正确； ∵当ｘ＝１时，ｙ＜０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。故Ｂ错误； ∵抛物线与ｘ轴交于两点（ｘ１，０），（２，０），其中０＜ｘ１＜ １，∴４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０。∴ｂ＝ －４ａ－ｃ ２ 。 ∵ａ＋ｂ＋ｃ＜０，∴ａ＋ －４ａ－ｃ ２ ＋ｃ＜０， 即２ａ－ｃ＞０。故Ｃ正确； 如图，设抛物线交ｘ轴于点Ａ（ｘ１，０），点Ｂ（ｘ２，０），交ｙ 轴于点Ｃ（０，ｃ），则直线ＡＣ的表达式为ｙ＝－ ｃ ｘ１ ｘ＋ｃ。 当ｘ＜０或ｘ＞ｘ１时，ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＞－ ｃ ｘ１ ｘ＋ｃ， 即不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞－ ｃ ｘ１ ｘ＋ｃ的解集为 ｘ＜０或 ｘ＞ｘ１。 故Ｄ错误。故选ＡＣ。 １０．ＡＤ　【解析】当ｘ＝６，ｙ＝３时，点 Ｆ运动到点 Ａ处，如 图１， 图１ ∴ＢＥ＝６，ＡＥ＝３。∴ｓｉｎＢ＝ １ ２ 。 ∵ｓｉｎ３０°＝ １ ２ ，∴∠Ｂ＝３０°。故Ａ正确； 当ｘ＝８时，点Ｅ到达点Ｃ处，如图２， 图２ ∴ＢＥ＝ＢＣ＝８，ＡＦ＝２。 当ｘ＝１１时，点Ｆ到点Ｄ处， ∴ＢＥ＋ＤＦ＝１１。∴ＤＦ＝３。 ∴ＡＤ＝５。故Ｂ错误； 当６≤ｘ≤８时，△ＢＥＦ的底边ＥＦ长度不变，点Ｂ到ＥＦ 的距离逐渐增大，∴△ＢＥＦ面积逐渐变大。故Ｃ错误； 如图３， 图３ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＭ＝∠ＡＭＢ＝６０°。 ∵ＥＦ∥ＡＭ，∴∠ＤＡＭ＝∠ＤＦＣ＝６０°。 ∵ＤＦ＝ＥＦ＝３，∴△ＥＦＤ是等边三角形。∴ＣＤ＝３。 ∵ＡＢ＝ ６２－３槡 ２＝槡３３。 ∴四边形ＡＢＣＤ的周长为５＋３＋８＋槡３３＝１６＋槡３３。 故Ｄ正确。故选ＡＤ。 １１．ｘ２（３ｘ＋１）（３ｘ－１）　【解析】原式＝ｘ２（９ｘ２－１） ＝ｘ２（３ｘ＋１）（３ｘ－１）。 １２．６３°４４′２４″　【解析】根据题意，得∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝ ３１°５２′１２″， ∴∠ＡＯＣ＝２∠ＡＯＢ＝２×３１°５２′１２″＝６３°４４′２４″。 １３．４π　【解析】由三视图可知，这个几何体是一个底面 直径为２，高为１的半球体与一个底面直径为２，高为 槡３的圆锥体的组合体，圆锥体的母线长为２，它的表 面积＝ １ ２ ×４π×１２＋ １ ２ ×２π×２＝４π。 １４．２ ２４０４３　【解析】∵点Ａ１（０，１），Ｂ２（３，２）， ∴ＯＡ１＝１，ＯＣ２＝３，Ｂ２Ｃ２＝２。 ∴正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｏ的边长Ａ１Ｂ１＝ＯＣ１＝ＯＡ１＝１， Ａ２Ｂ２＝Ａ２Ｃ１＝Ｃ１Ｃ２＝ＯＣ２－ＯＣ１＝２。 ∴Ａ２Ｂ１＝２－１＝１＝Ａ１Ｂ１。 ∴∠Ａ２Ａ１Ｂ１＝４５°。∴∠Ａ３Ａ２Ｂ２＝４５°。 ∴Ａ３Ｂ２＝Ａ２Ｂ２＝２。 ∴△Ａ２Ｂ２Ａ３的面积为 １ ２ Ａ２Ｂ２·Ａ３Ｂ２＝２。 ∴Ａ３Ｃ２＝２＋２＝４＝２ ２。 ∴Ｃ２Ｃ３＝Ａ３Ｃ２＝Ａ４Ｂ３＝Ａ３Ｂ３＝４。 ∴Ｃ３Ａ４＝４＋４＝８＝２ ３。∴Ａ４Ｂ４＝Ｃ３Ａ４＝２ ３。 以此类推Ａ２０２３Ｂ２０２３＝２ ２０２２。 ∴△Ａ２０２３Ｂ２０２３Ａ２０２４的面积为 １ ２ ×２２０２２×２２０２２＝２４０４３。                                                                —８２— １５．解：原式＝ １＋ｘ－３ （ｘ＋３）（ｘ－３） · ２（ｘ＋３） ｘ－２ ＝ ｘ －２ （ｘ＋３）（ｘ－３） · ２（ｘ＋３） ｘ－２ ＝２ ｘ－３ 。 ∵ ４（ｘ＋２）＜３ｘ＋７， ｘ ２ ＋２≥－ ｘ＋１ ５ ，{ ∴－ ２２ ７≤ ｘ＜－１。 ∴该不等式组的整数解为－３，－２。 ∵ｘ２－９≠０，ｘ－２≠０，∴ｘ≠±３，ｘ≠２。 当ｘ＝－２时，原式＝ ２ －２－３ ＝－２ ５ 。 １６．证明：（１）∵∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ，∴ＡＣ＝ＡＤ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＣＦ。 ∵∠ＦＡＣ＝∠ＡＤＥ，∴△ＡＤＥ≌△ＣＡＦ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＦ＝ＤＥ。 （２）∵△ＡＤＥ≌△ＣＡＦ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＡ。∴∠ＣＥＤ＝∠ＡＦＢ。 ∵ＡＦ２＝ＢＦ·ＣＥ，∴ ＡＦ ＣＥ ＝ＢＦ ＡＦ 。 ∵ＡＦ＝ＤＥ，∴ ＡＦ ＣＥ ＝ＢＦ ＤＥ 。 ∴△ＡＢＦ∽△ＣＤＥ。∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ。 １７．解：（１）ｍ＝３０－２－６－７－９－２＝４。 将Ａ校随机抽取的 ３０名学生的成绩按照从小到大 的顺序排列，排在第１５和１６名的成绩为８１，８２， 所以ｎ＝（８１＋８２）÷２＝８１．５。 故答案为４；８１．５。 （２）Ａ校成绩在８０≤ｘ＜９０这一组的扇形的圆心角为 ３６０°× １２ ３０ ＝１４４°。 本次测试成绩更整齐的是Ｂ校。理由如下： Ａ校成绩的方差为１８５．４，Ｂ校成绩的方差为１６１．１， ∵１８５．４＞１６１．１，∴本次测试成绩更整齐的是Ｂ校。 （３）该学生是Ｂ校的学生。理由如下： ∵Ｂ校成绩的中位数为６８，７６＞６８， ∴该学生是Ｂ校的学生。 （４）将样本中Ａ校成绩在９０≤ｘ≤１００范围内的４名 学生分别记为 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，将样本中 Ｂ校成绩在 ９０≤ ｘ≤１００范围内的２名学生分别记为ｅ，ｆ，列表如下： ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ （ａ，ｂ）（ａ，ｃ）（ａ，ｄ）（ａ，ｅ）（ａ，ｆ） ｂ （ｂ，ａ） （ｂ，ｃ）（ｂ，ｄ）（ｂ，ｅ）（ｂ，ｆ） ｃ （ｃ，ａ）（ｃ，ｂ） （ｃ，ｄ）（ｃ，ｅ）（ｃ，ｆ） ｄ （ｄ，ａ）（ｄ，ｂ）（ｄ，ｃ） （ｄ，ｅ）（ｄ，ｆ） ｅ （ｅ，ａ）（ｅ，ｂ）（ｅ，ｃ）（ｅ，ｄ） （ｅ，ｆ） ｆ （ｆ，ａ）（ｆ，ｂ）（ｆ，ｃ）（ｆ，ｄ）（ｆ，ｅ） 共３０种等可能的结果，其中所选２人来自同一学校 的结果有１４种，所以所选２人来自同一学校的概率 是 １４ ３０ ＝７ １５ 。 １８．解：（１）３７４７＝３×８３＋７×８２＋４×８１＋７×８０ ＝１５３６＋４４８＋３２＋７ ＝２０２３。 故答案为２０２３。 （２）根据题意，得１×ｍ２＋５×ｍ１＋６×ｍ０＝９０， 解得ｍ１＝７，ｍ２＝－１２（舍去）。故ｍ的值为７。 １９．（１）证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＥＢ＋∠ＥＢＦ＝９０°。 ∵ＡＤ⊥ＣＤ，ＢＣ⊥ＣＤ， ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ。 ∵∠ＢＡＥ＝∠ＥＢＦ， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ＋∠ＥＢＦ＝９０°。 ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径，且ＡＤ⊥ＯＡ， ∴ＡＤ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：如图，作ＦＨ⊥ＡＤ于点Ｈ， 则∠ＡＨＦ＝９０°。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＡＢＥ＝３６０°－３×９０°＝９０°。 ∵ＢＥ＝槡３，⊙Ｏ的半径为 ３ ２ ，ＡＢ＝ＡＤ， ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ ３ ２ ×２＝３。 ∵ｔａｎ∠ＢＡＥ＝ ＢＥ ＡＢ ＝槡３ ３ ，∴∠ＢＡＥ＝３０°。 ∴∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ＝６０°。 ∵ ＡＦ ＡＢ ＝ｃｏｓ３０°＝槡 ３ ２ ， ∴ＡＦ＝槡 ３ ２ ＡＢ＝槡 ３ ２ ×３＝槡 ３３ ２ 。 ∵ ＦＨ ＡＦ ＝ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ ， ∴ＦＨ＝槡 ３ ２ ＡＦ＝槡 ３ ２ ×槡３３ ２ ＝９ ４ 。 ∴Ｓ△ＡＤＦ＝ １ ２ ＡＤ·ＦＨ＝ １ ２ ×３× ９ ４ ＝２７ ８ 。 ２０．解：（１）在ｙ＝－２ｘ－６中， 令ｘ＝０，则ｙ＝－６；令ｙ＝０，则ｘ＝－３。 ∴Ａ（－３，０），Ｂ（０，－６）。 ∴ＯＡ＝３，ＯＢ＝６。 设Ｄ（ｎ，－２ｎ－６）。 ∵△ＡＯＣ和△ＢＯＤ面积均为３， ∴ １ ２ ×（－ｎ）×６＝３。∴ｎ＝－１。∴Ｄ（－１，－４）。 ∴ｋ＝（－１）×（－４）＝４。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ４ ｘ 。 ∴△ＯＣＤ的面积＝△ＡＯＢ的面积－△ＡＯＣ的面积－ △ＢＯＤ的面积＝ １ ２ ×３×６－３－３＝３。 （２）设Ｃ（ｍ，－２ｍ－６）。 ∵△ＡＯＣ面积为３， ∴ １ ２ （２ｍ＋６）×３＝３。∴ｍ＝－２。                                                                —９２— ∴Ｃ（－２，－２）。 ∴不等式－２ｘ－６＜ ｋ ｘ 的解集为ｘ＞０或－２＜ｘ＜－１。 故答案为ｘ＞０或－２＜ｘ＜－１。 （３）设Ｍ（０，ａ），Ｎｂ， ４ ｂ( ) 。 已知以Ｃ，Ｄ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形， 当ＤＭ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 －１＝ｂ－２， ａ－４＝ ４ ｂ －２，{ 解得 ｂ＝１，ａ＝６，{ 即点Ｎ（１，４）； 当ＣＭ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 －２＝ｂ－１， ａ－２＝ ４ ｂ －４，{ 解得 ｂ＝－１，ａ＝－６，{ 即点Ｎ（－１，－４）（不合题意，舍去）。 当ＭＮ是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得 ｂ＝－１－２， ａ＋ ４ ｂ ＝－４－２，{ 解得 ｂ＝－３，ａ＝－１４３，{ 即点Ｎ －３，－ ４ ３( ) 。 综上，点Ｎ的坐标为（１，４）或 －３，－ ４ ３( ) 。 ２１．解：如图，延长ＢＡ交ＱＤ于点Ｅ，延长ＰＣ交ＡＥ于点Ｆ。 由题意，得 ＰＧ＝ＢＦ＝１００ｍ，ＰＣ＝ ８０ｍ，ＱＣ＝ＥＦ＝４０ｍ，ＢＥ⊥ＱＤ， ＰＦ⊥ＡＥ，ＱＥ＝ＣＦ。 设ＱＥ＝ＣＦ＝ｘｍ，则ＰＦ＝ＰＣ＋ＣＦ＝８０ ＋ｘ（ｍ）。 在Ｒｔ△ＡＥＱ中，∠ＡＱＥ＝４５°， ∴ＡＥ＝ＱＥ·ｔａｎ４５°＝ｘ（ｍ）。 在Ｒｔ△ＡＰＦ中，∠ＡＰＦ＝１６°， ∴ＡＦ＝ＰＦ·ｔａｎ１６°≈０．２９（ｘ＋８０）ｍ。 ∵ＥＦ＋ＡＦ＝ＡＥ，∴４０＋０．２９（ｘ＋８０）＝ｘ。 解得ｘ≈８９．０１，即ＡＥ≈８９．０１ｍ。 ∴ＡＢ＝ＢＦ＋ＥＦ－ＡＥ≈１００＋４０－８９．０１≈５１（ｍ）。 ∴万古塔ＡＢ的高度约为５１ｍ。 ２２．解：（１）如图１，连接ＣＭ。 图１ ∵半圆直径ＡＢ＝６，圆心Ｍ（－１，０）， ∴Ａ（２，０），Ｂ（－４，０）。 ∴ｙ＝ａ（ｘ－２）（ｘ＋４）＝ａ（ｘ２＋２ｘ－８）。 当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ（ｘ２＋２ｘ－８）＝－９ａ＝ ９ ２ ， 解得ａ＝－ １ ２ 。∴抛物线的表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４。 ∴点Ｄ（０，４）。 ∵半圆直径ＡＢ＝６，∴ＣＭ＝ＢＭ＝３。 ∴ＯＣ＝ ＣＭ２－ＯＭ槡 ２＝ ９－槡 １＝槡２２。 ∴ＣＤ＝４＋槡２２。 （２）设点Ｅ（ｘ，０），则点Ｐｘ，－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４( ) 。 由点Ｂ，Ｄ的坐标知，∠ＦＢＥ＝４５°， 直线ＢＤ的表达式为ｙ＝ｘ＋４，则点Ｆ（ｘ，ｘ＋４）。 ∴ＰＦ＝－ １ ２ ｘ２－ｘ＋４－ｘ－４＝－ １ ２ ｘ２－２ｘ。 ∴ＢＦ＝槡２ＢＥ＝槡２（ｘ＋４）。 ∴ＰＦ＋ＢＦ＝槡２（ｘ＋４）－ １ ２ ｘ２－２ｘ ＝－１ ２ （ｘ－槡２＋２） ２＋３＋槡２２≤３＋槡２２。 故ＰＦ＋ＢＦ的最大值为３＋槡２２。 （３）由点Ａ，Ｏ，Ｄ的坐标，得ｔａｎ∠ＡＤＯ＝ １ ２ 。 当△ＱＨＢ和△ＡＯＤ相似时，ｔａｎ∠ＢＱＨ＝２或 １ ２ 。 当点Ｑ在半圆上时，如图２，连接ＱＭ， 当ｔａｎ∠ＢＱＨ＝ １ ２ 时，设ＢＨ＝ｍ，则ＱＨ＝２ｍ； 当ｔａｎ∠ＢＱＨ＝２时，设ＢＨ＝２ｍ，则ＱＨ＝ｍ。 在Ｒｔ△ＨＭＱ中，ＨＭ２＋ＱＨ２＝ＱＭ２， 即３２＝（２ｍ）２＋（３－ｍ）２或３２＝ｍ２＋（３－２ｍ）２， 解得ｍ＝ ６ ５ 或 １２ ５ 或０（舍去）。 所以点Ｑ － １４ ５ ，－ １２ ５( ) 或 ４５，－１２５( ) ； 图２ 　　 图３ 当点Ｑ在抛物线上时，如图３， 当△ＱＨＢ和△ＡＯＤ相似时，ｔａｎ∠ＡＢＱ＝２或 １ ２ 。 设点Ｑｎ，－ １ ２ ｎ２－ｎ＋４( ) ，则ＢＨ＝ｎ＋４。 ｔａｎ∠ＡＢＱ＝ －１ ２ ｎ２－ｎ＋４ ｎ＋４ ＝２或 １ ２ ， 解得ｎ＝１或－２， 即点Ｑ（－２，４）或 １， ５ ２( ) 。 综上，点 Ｑ的坐标为 － １４ ５ ，－ １２ ５( ) 或 ４５，－１２５( ) 或 １， ５ ２( ) 或（－２，４）。 １０２０２４年青州市学业水平第三次模拟试题 （与寿光市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ ＢＣ ＡＣ ＢＤ ＢＤ １．Ｄ　【解析】３ａ２与ａ不能合并，故选项Ａ不符合题意；                                                                —０３—