7 2024年奎文区学业水平第二次模拟试题(与潍城区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ３７— — ３８— — ３９— 一、单项选择题（本大题共６小题，每小题４分，共２４分。在每小题给出的四个选项中只有一项是正确 的，请把正确的选项选出来。每小题选对得４分，错选、不选均记０分） １．计算（２ａ３）２的结果为 （　　） Ａ．４ａ６ Ｂ．４ａ５ Ｃ．２ａ６ Ｄ．２ａ５ ２．如图，一个由长方体切割而成的机器零件，它的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ．主视图 Ｂ．左视图 Ｃ．俯视图 Ｄ．以上都不对 第２题图 　　　 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第５题图 ３．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： ２ｎｄＦ 槡　 ６ ４ ＋ （ （－） ２ ） ｘ ２ ＝ 则显示的结果为 （　　） Ａ．８ Ｂ．０ Ｃ．４ Ｄ．－４ ４．如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｐ。若∠Ａ＝４８°，∠ＡＰＤ＝８０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．３２° Ｂ．４２° Ｃ．４８° Ｄ．５２° ５．如图，点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上，ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，连接ＤＥ并延长交边ＢＣ于点Ｍ，交边ＡＢ 的延长线于点Ｇ。若ＡＦ＝２，ＢＦ＝１，则线段ＢＧ的长度为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．２．５ Ｃ．３ Ｄ．２３ ６．已知点Ｍ（ｘ１，ｙ１），点Ｎ（ｘ２，ｙ２）是二次函数ｙ＝ｘ ２－２ｘ图象上的两点，其中ｘ１＜ｘ２，则下列说法不正确的是 （　　） Ａ．若ｘ１＜ｘ２＜０，则ｙ１＞ｙ２ Ｂ．若ｘ１＋ｘ２＝２，则ｙ１＝ｙ２ Ｃ．若｜ｘ１－１｜＜｜ｘ２－１｜，则ｙ１＞ｙ２ Ｄ．若０＜ｘ１＜ｘ２＜２，则ｙ１·ｙ２＞０ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对 得５分，部分选对得３分，错选、多选均记０分） ７．下列命题的逆命题正确的是 （　　） Ａ．对顶角相等 Ｂ．若ａｃ＝ｂｃ，则ａ＝ｂ Ｃ．立方根等于本身的实数是±１ Ｄ．同弧（或等弧）所对的圆周角相等 ８．实数ａ，ｂ在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ａ＋ｂ＞０ Ｂ．ａ槡 ２＞ ｂ槡 ２ Ｃ．ａ３＞ｂ３ Ｄ． ａ ｂ ＜１ ９．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝３６°，ＡＦ是边ＢＣ的中线。以点Ｃ为圆心，以ＢＣ长为半径作弧交 ＡＣ于点Ｄ，再分别以点Ｂ，Ｄ为圆心，以大于 １ ２ ＢＤ的长为半径作弧，两弧相交于点Ｐ，作射线ＣＰ。射线 ＣＰ与ＡＢ，ＡＦ分别交于点Ｅ，Ｇ，连接ＤＥ，以下结论正确的是 （　　） Ａ．点Ｇ是△ＡＢＣ的外心 Ｂ．ＥＣ平分∠ＢＥＤ Ｃ．ＢＥ＝ＡＤ Ｄ． ＢＥ ＡＣ ＝槡５ －１ ２ １０．如图，将正方形纸片ＡＢＣＤ沿ＰＱ折叠，使点Ｃ的对称点Ｅ落在边ＡＢ上，点Ｄ的对称点为点Ｆ，ＥＦ交 ＡＤ于点Ｇ，连接ＣＧ交ＰＱ于点Ｈ，连接ＣＥ。当ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ＝２时，下列说法正确的是 （　　） Ａ．△ＰＢＥ∽△ＱＦＧ Ｂ．ｓｉｎ∠ＦＱＧ＝ ３ ５ Ｃ．ＤＱ＝ ４ ３ Ｄ． Ｓ△ＧＨＱ Ｓ△ＣＨＰ ＝１ ２ 三、填空题（本大题共４小题，每小题４分，共１６分。只填写最后结果） １１．因式分解：（ｘ＋１）（ｘ－２）＋２ｘ＋２＝　　　　。 １２．如图，等边三角形ＡＢＯ的边长为６，以Ｏ为坐标原点，ＯＡ所在的直线为ｘ轴建立 平面直角坐标系，点 Ｂ在第二象限，将△ＡＢＯ沿 ｘ轴正方向平移得到△Ａ′Ｂ′Ｏ′， Ａ′Ｂ′与ＯＢ交于点Ｃ。若Ａ′Ｃ＝ １ ３ Ａ′Ｂ′，则点Ｂ′的坐标为　　　　。 １３．小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给５人购票时，五人的座位 恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）。进入该车厢后， 小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则 奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是　　　　。 １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＣＡＢ＝６０°。Ｄ是边ＢＣ上一动点，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，设ＡＥ＝ｘ，△ＤＥＢ的面积为Ｓ，则Ｓ关于ｘ的函数表达式为　　　　。 四、解答题（本大题共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（９分）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法。 已知：如图甲，　　　　。 求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°。 证明：如图乙，作ＢＣ的延长线ＣＤ，在△ＡＢＣ外部，以ＣＡ为一边，作∠ＡＣＥ＝∠Ａ。 所以ＣＥ∥ＡＢ（内错角相等，两直线平行）。 所以∠Ｂ＝∠ＥＣＤ（　　　　　　　　　　　　）。 因为∠ＡＣＢ，∠ＡＣＥ，∠ＥＣＤ组成一个平角， 所以∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＤ＝１８０°（平角的定义）。 所以∠ＡＣＢ＋∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°（　　　　　　　　）。 （１）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； （２）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法。 甲 　　 乙 １６．（９分）“接发球”是排球队员常规训练的重要项目之一。某校排球队教练对球队中的甲、乙、丙三位 “自由人”球员各进行了十次接发球测试，测试完成后将三人的测试成绩整理并制作了下面的图表。 运动员甲测试成绩表 测试次序 第１次 第２次 第３次 第４次 第５次 第６次 第７次 第８次 第９次 第１０次 成绩（分） ７ ６ ８ ７ ７ ５ ８ ７ ８ ７ 运动员乙测试成绩统计图 　 运动员丙测试成绩统计图 　 　　三位运动员成绩统计分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 ７ ｂ ７ ０．８ 乙 ７ ７ ７ ｃ 丙 ａ ６ ６ ０．８１ （１）请补全运动员丙测试成绩统计图； （２）试计算“三位运动员成绩统计分析表”中ａ，ｂ，ｃ的值； （３）若在他们三人中选择一名运动员作为球队的主力自由人，请你作出选择，并给出理由。 １７．（１０分）小亮和小刚对关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－ａ－ １ ａ ＝０进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数ａ，ｂ，该方程总有两个不相等的实数根。” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同。” 请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由。 ７ ２０２４年奎文区学业水平第二次模拟试题 （与潍城区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ４０— — ４１— — ４２— １８．（１０分）如图，一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ 在第一象限交于Ａ（６，１），Ｂ（２，ｍ）两点，Ｃ是ｙ 轴上一动点，连接ＡＣ，ＢＣ。 （１）求一次函数的表达式； （２）若△ＡＢＣ的面积为１２，求点Ｃ的坐标。 １９．（１３分）第４１届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲、乙两种风筝的文创产品向游客销售。 已知甲种的进价比乙种的进价每件多１元，用１６００元采购甲种的件数是用７２０元采购乙种的件数 的２倍，两种文创产品的售价均为每件１５元。 （１）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元； （２）商铺计划采购这两种文创产品共８００件，采购乙种的件数不低于４９０件，但不超过甲种件数的４ 倍。厂家给出的优惠方案是若一次性采购甲种超过１８０件时，则甲种超过的部分按原进价打６折。 设这次购买甲种文创产品的件数为ｘ，售出甲、乙两种产品所获的总利润为ｗ元，请写出ｗ与ｘ的函 数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润。 ２０．（１４分）如图，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，且ＡＢ＝６，过⊙Ｏ上一点Ｃ作平行四边形ＡＯＣＤ，Ｅ是ＡＤ的中 点，连接ＣＥ，ＡＣ，∠ＣＡＢ＝∠Ｄ。 （１）判断ＣＥ与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由； （２）延长ＤＡ，ＣＯ分别交⊙Ｏ于点Ｆ和点Ｇ，连接ＦＧ并延长交ＣＢ的延长线于点Ｍ，ＢＦ与ＣＧ交于点 Ｈ，求阴影部分的面积与ＧＭ的长。 ２１．（１２分）在复习过程中，小明从“函数视角”对二次根式 ｘ２＋槡 １进行了深入的研究与思考。 初步探究 ｘ … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ … ｘ２＋槡 １ … 槡 槡１０ ５ ｍ １ 槡 槡 槡２ ５ １０ … （１）表中ｍ＝　　　　； （２）若 ｘ２＋槡 １＝槡１７，则ｘ＝　　　　； 探究发现 若令ｙ＝ ｘ２＋槡 １，小明发现，对任意的实数ｘ，该式的值ｙ都是唯一确定的，因此ｙ是ｘ的函数。 （３）请你写出该函数具有的两条性质； （４）若ｙ＝ ４ｘ２－８ｘ＋槡 ９，则ｙ有最　　　　值（填“大”或“小”），此时ｘ＝　　　　。 探究应用 如图，甲船位于海平面的点Ａ处，乙船位于甲船正东２６千米的点Ｂ处。现在甲、乙两船分别从Ａ，Ｂ 两处同时出发，甲船以１２千米／小时的速度朝正北方向行驶，乙船以５千米／小时的速度朝正西方向 行驶。行驶了ｘ小时后，甲船到达点Ａ′，乙船到达点Ｂ′。试求ｘ为何值时，两船距离最近，最近距离 为多少？ ２２．（１３分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝槡４３，ＢＣ＝４，以ＡＣ为边在△ＡＢＣ外作等边三角形ＡＣＤ，点 Ｇ是△ＡＢＣ内部或边上一点，连接ＡＧ，线段ＡＧ绕点Ａ顺时针旋转６０°后的对应线段为ＡＭ，连接ＤＭ。 （１）图１中，若点Ｇ在边ＡＢ上，则线段ＤＭ与线段ＣＧ之间的数量关系是　　　　；线段ＤＭ与线段 ＣＧ所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为　　　　； （２）图２中，若点Ｇ在△ＡＢＣ内部，判断（１）中的结论是否成立，并说明理由； （３）在（２）的条件下，求ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ的最小值，并说明此时ＣＧ∥ＡＭ。 图１ 　　 图２ 　　 备用图 ∴当△ＣＮＱ与△ＰＢＭ相似时， 有 ＮＱ ＣＱ ＝ＰＭ ＢＭ 或 ＮＱ ＣＱ ＝ＢＭ ＰＭ 两种情况， ∵ＣＱ⊥ＰＭ，垂足为Ｑ， ∴Ｑ（ｐ，３），且Ｃ（０，３），Ｎｐ， ３ ５ ｐ＋３( ) 。 ∴ＣＱ＝ｐ，ＮＱ＝ ３ ５ ｐ＋３－３＝ ３ ５ ｐ。∴ ＣＱ ＮＱ ＝５ ３ 。 由点Ｂ，Ｍ，Ｐ的坐标， 得ＢＭ＝５－ｐ，ＰＭ＝－ ３ ５ ｐ２－ １８ ５ ｐ＋３( ) 。 当 ＮＱ ＣＱ ＝ＰＭ ＢＭ 时，则ＰＭ＝ ３ ５ ＢＭ， 即－ ３ ５ ｐ２＋ １８ ５ ｐ－３＝ ３ ５ （５－ｐ）， 解得ｐ＝２或ｐ＝５（舍去），此时Ｐ２，－ ９ ５( ) ； 当 ＮＱ ＣＱ ＝ＢＭ ＰＭ 时，则ＢＭ＝ ３ ５ ＰＭ， 即５－ｐ＝ ３ ５ －３ ５ ｐ２＋ １８ ５ ｐ－３( ) ， 解得ｐ＝ ３４ ９ 或ｐ＝５（舍去），此时Ｐ ３４ ９ ，－ ５５ ２７( ) ； 综上可知点Ｐ的坐标为 ２，－ ９ ５( ) 或 ３４９，－５５２７( ) 。 ７２０２４年奎文区学业水平第二次模拟试题 （与潍城区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｃ ＢＣ ＢＤ ＢＣ ＡＢＣ １．Ａ　【解析】（２ａ３）２＝４ａ６。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】这个几何体的三视图如下： 主视图 　 左视图 　 俯视图 主视图和左视图都是轴对称图形，不是中心对称图形； 俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形。故选Ｃ。 ３．Ａ　【解析】３槡６４＋（－２） ２＝４＋４＝８。故选Ａ。 ４．Ａ　【解析】∵∠Ａ＝４８°，∠ＡＰＤ＝８０°， ∴∠Ｃ＝８０°－４８°＝３２°。 ∵ＡＤ) ＝ＡＤ) ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３２°。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】∵ＥＦ⊥ＡＢ，∴∠ＡＦＥ＝∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵∠ＥＡＦ＝∠ＣＡＢ，∴△ＥＡＦ∽△ＣＡＢ。∴ ＡＥ ＡＣ ＝ＡＦ ＡＢ 。 ∵ＡＦ＝２，ＢＦ＝１，∴ＡＢ＝３＝ＣＤ。 ∴ ＡＥ ＡＣ ＝２ ３ 。∴ ＣＥ ＡＥ ＝１ ２ 。 ∵ＣＤ∥ＡＧ，∴△ＤＣＥ∽△ＧＡＥ。 ∴ ＣＤ ＡＧ ＝ＣＥ ＡＥ ＝１ ２ 。∴ＡＧ＝２ＣＤ＝６。 ∴ＢＧ＝ＡＧ－ＡＢ＝６－３＝３。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】由二次函数 ｙ＝ｘ２－２ｘ可知，抛物线开口向 上，对称轴为直线ｘ＝－ －２ ２×１ ＝１，抛物线与ｘ轴的交点为 （０，０），（２，０）。 Ａ．若ｘ１＜ｘ２＜０，则点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），点 Ｎ（ｘ２，ｙ２）在对称轴 的左侧，ｙ随ｘ的增大而减小，所以ｙ１＞ｙ２。 故选项不符合题意； Ｂ．若ｘ１＋ｘ２＝２，则点Ｍ（ｘ１，ｙ１），点 Ｎ（ｘ２，ｙ２）关于对称 轴对称，所以ｙ１＝ｙ２。故选项不符合题意； Ｃ．例如：ｘ１＝０，ｘ２＝５，满足｜ｘ１＋１｜＜｜ｘ２－１｜，但点 Ｍ（０，ｙ１）到对称轴的距离小于点Ｎ（５，ｙ２）到对称轴的 距离，此时ｙ１＜ｙ２。故选项符合题意； Ｄ．若０＜ｘ１＜ｘ２＜２，则点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），点 Ｎ（ｘ２，ｙ２）在 ｘ轴 的下方，ｙ１＜０，ｙ２＜０，ｙ１·ｙ２＞０。 故选项不符合题意。故选Ｃ。 ７．ＢＣ　【解析】Ａ．相等的角不一定是对顶角，故选项不符 合题意；Ｂ，Ｃ中命题的逆命题正确，故选项 Ｂ，Ｃ符合 题意；Ｄ．相等的圆周角所对的弧不一定是等弧，故选项 不符合题意。故选ＢＣ。 ８．ＢＤ　【解析】由题图可知，－３＜ａ＜－２，１＜ｂ＜２。 Ａ．∵｜ａ｜＞｜ｂ｜，∴ａ＋ｂ＜０。故选项不符合题意； Ｂ．ａ槡 ２＝－ａ， ｂ槡 ２＝ｂ，－ａ＞ｂ，故选项符合题意； Ｃ．∵ａ３＜０，ｂ３＞０，∴ａ３＜ｂ３。故选项不符合题意； Ｄ． ａ ｂ ＜１，故选项符合题意。故选ＢＤ。 ９．ＢＣ　【解析】由作图可知，点 Ｇ是△ＡＢＣ的内心，故选 项Ａ错误； ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝３６°， ∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １ ２ （１８０°－３６°）＝７２°。 在△ＢＣＥ和△ＤＣＥ中， ＢＣ＝ＤＣ， ∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＥ， ＣＥ＝ＣＥ，{ ∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＢ，ＢＥ＝ＤＥ，∠Ｂ＝∠ＣＤＥ＝７２°， 即ＥＣ平分∠ＢＥＤ。故选项Ｂ正确； ∵∠ＣＤＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＤＥＡ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ＝３６°。 ∴ＤＡ＝ＤＥ。∴ＢＥ＝ＡＤ。故选项Ｃ正确； ∵∠ＢＣＥ＝∠ＤＡＥ，∠Ｂ＝∠Ｂ，∴△ＣＢＥ∽△ＡＢＣ。 ∴ ＡＢ ＢＣ ＝ＢＣ ＢＥ ，即 ＡＣ ＡＣ－ＢＥ ＝ＡＣ －ＢＥ ＢＥ 。 整理，得ＢＥ２－３ＡＣ·ＢＥ＋ＡＣ２＝０。∴ＢＥ＝ 槡 ３±５ ２ ＡＣ。 ∵ＡＣ＞ＢＥ，∴ ＢＥ ＡＣ ＝３ －槡５ ２ 。故选项Ｄ错误。故选ＢＣ。 １０．ＡＢＣ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，ＢＥ＝ １ ３ ＡＢ ＝２，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ ＡＤ＝６。∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４。 由折叠可知∠ＦＥＰ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｆ＝∠Ｄ＝９０°。 ∴∠ＢＥＰ＋∠ＡＥＧ＝∠ＡＥＧ＋∠ＡＧＥ＝９０°。 ∴∠ＢＥＰ＝∠ＡＧＥ＝∠ＦＧＱ。 ∴△ＰＢＥ∽△ＱＦＧ∽△ＥＡＧ。故选项Ａ正确；                                                                —１２— 设ＰＥ＝ＰＣ＝ｘ，则ＰＢ＝６－ｘ。 在Ｒｔ△ＢＥＰ中，ＢＥ２＋ＰＢ２＝ＰＥ２，即２２＋（６－ｘ）２＝ｘ２， 解得ｘ＝ １０ ３ 。∴ＰＥ＝ＰＣ＝ １０ ３ ，ＰＢ＝ ８ ３ 。 又∵△ＰＢＥ∽△ＱＦＧ，∴∠ＦＱＧ＝∠ＢＰＥ。 ∴ｓｉｎ∠ＦＱＧ＝ｓｉｎ∠ＢＰＥ＝ ＢＥ ＰＥ ＝２ １０ ３ ＝３ ５ 。故选项Ｂ正确； ∵△ＰＢＥ∽△ＥＡＧ， ∴ ＡＥ ＢＰ ＝ＡＧ ＢＥ ＝ＥＧ ＰＥ ，即 ４ ８ ３ ＝ＡＧ ２ ＝ＥＧ １０ ３ 。 ∴ＡＧ＝３，ＥＧ＝５。∴ＦＧ＝１。 又∵ｓｉｎ∠ＦＱＧ＝ ＦＧ ＱＧ ＝３ ５ ，∴ＱＧ＝ ５ ３ 。 ∴ＱＤ＝ＡＤ－ＡＧ－ＱＧ＝６－３－ ５ ３ ＝４ ３ 。故选项Ｃ正确； ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＱＧＨ＝∠ＰＣＨ，∠ＧＱＨ＝∠ＣＰＨ。 ∴△ＧＱＨ∽△ＣＰＨ。 ∴ Ｓ△ＧＨＱ Ｓ△ＣＨＰ ＝ＱＧ ＰＣ( ) ２ ＝ ５ ３ １０ ３         ２ ＝１ ４ 。故选项Ｄ错误。 故选ＡＢＣ。 １１．ｘ（ｘ＋１）　【解析】原式＝（ｘ＋１）（ｘ－２）＋２（ｘ＋１） ＝（ｘ＋１）（ｘ－２＋２）＝ｘ（ｘ＋１）。 １２．（１，槡３３）　【解析】如图，分别 过点Ｃ和点 Ｂ′作 ｘ轴的垂线， 垂足分别为Ｍ和Ｎ。 由平移可知，ＡＢ＝Ａ′Ｂ′＝６， ∠Ｂ′Ａ′Ｏ′＝∠ＢＡＯ＝６０°。 又∵∠ＢＯＡ＝６０°，∴△Ａ′ＯＣ是等边三角形。 ∵Ａ′Ｃ＝ １ ３ Ａ′Ｂ′，∴Ａ′Ｃ＝２。 ∵Ａ′Ｃ＝ＯＣ，ＣＭ⊥ｘ轴，∴Ａ′Ｍ＝ＯＭ＝１。 在Ｒｔ△Ａ′ＣＭ中，ＣＭ＝ ２２－１槡 ２＝槡３。 ∵ＣＭ∥Ｂ′Ｎ，∴△Ａ′ＣＭ∽△Ａ′Ｂ′Ｎ。 ∴ ＣＭ Ｂ′Ｎ ＝Ａ′Ｍ Ａ′Ｎ ＝Ａ′Ｃ Ａ′Ｂ′ ＝１ ３ 。 ∴Ｂ′Ｎ＝３ＣＭ＝槡３３，Ａ′Ｎ＝３Ａ′Ｍ＝３。 ∴ＯＮ＝Ａ′Ｎ－ＯＡ′＝３－２＝１。 ∴点Ｂ′的坐标为（１，槡３３）。 １３． ２ ５ 　【解析】列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｆ Ａ Ａ，Ｂ Ａ，Ｃ Ａ，Ｄ Ａ，Ｆ Ｂ Ｂ，Ａ Ｂ，Ｃ Ｂ，Ｄ Ｂ，Ｆ Ｃ Ｃ，Ａ Ｃ，Ｂ Ｃ，Ｄ Ｃ，Ｆ Ｄ Ｄ，Ａ Ｄ，Ｂ Ｄ，Ｃ Ｄ，Ｆ Ｆ Ｆ，Ａ Ｆ，Ｂ Ｆ，Ｃ Ｆ，Ｄ 共有２０种等可能的结果，其中奶奶和小莹的座位相 邻的结果有８种，所以奶奶和小莹的座位相邻的概率 是 ８ ２０ ＝２ ５ 。 １４．Ｓ＝ １ ２ ｘ２－（１＋槡３）ｘ＋２＋槡３　【解析】如图，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＡＢ于点Ｆ。 ∵∠ＡＦＣ＝９０°，∠ＣＡＢ＝６０°，ＡＣ＝２， ∴ＡＦ＝ＡＣ·ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝２× １ ２ ＝１， ＣＦ＝ＡＣ·ｓｉｎ∠ＣＡＢ＝２×槡 ３ ２ ＝槡３。 ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＢＣＦ＝９０°－∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＢＤＥ＝ ９０°－∠ＡＢＣ＝４５°。 ∴ＢＦ＝ＣＦ＝槡３，ＢＥ＝ＤＥ。 ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝１＋槡３。 ∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝１＋槡３－ｘ。 ∴Ｓ＝ １ ２ ＢＥ·ＤＥ＝ １ ２ （１＋槡３－ｘ） ２＝１ ２ ｘ２－（１＋槡３）ｘ＋２＋槡３。 １５．解：（１）已知：如图甲，△ＡＢＣ。 求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°。 证明：如图乙，作ＢＣ的延长线 ＣＤ，在△ＡＢＣ外部，以 ＣＡ为一边，作∠ＡＣＥ＝∠Ａ。 所以ＣＥ∥ＡＢ（内错角相等，两直线平行）。 所以∠Ｂ＝∠ＥＣＤ（两直线平行，同位角相等）。 因为∠ＡＣＢ，∠ＡＣＥ，∠ＥＣＤ组成一个平角， 所以∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＤ＝１８０°（平角的定义）。 所以∠ＡＣＢ＋∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°（等量代换）。 （２）如图，过点Ａ作ＡＤ∥ＢＣ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＡＣ＝∠Ｃ（两直线平行，内错角相等）， ∠ＢＡＤ＋∠Ｂ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ＋∠Ｂ＝１８０°。 ∴∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°。 １６．解：（１）运动员丙测试成绩为７分的次数为 １０－（２＋４＋１）＝３，补全运动员丙测试成绩统计图 如下： 运动员丙测试成绩统计图 （２）ａ＝ ２×５＋４×６＋３×７＋１×８ １０ ＝６．３； ∵将甲１０次成绩由小到大排列：５，６，７，７，７，７，７，８， ８，８，第５个、第６个数据分别为７，７，                                                                —２２— ∴ｂ＝（７＋７）÷２＝７； 由运动员乙测试成绩统计图可知，ｃ＝ １ １０ ［２×（６－７）２＋ ６×（７－７）２＋２×（８－７）２］＝０．４。 （３）选乙。理由如下： 甲、乙的平均数、中位数、众数都高于丙，说明甲、乙的 水平高于丙，甲、乙的平均数、中位数、众数分别相等， 说明甲、乙水平相当，但乙的方差小于甲的方差，说明 乙的成绩波动较小，故选乙。 １７．解：小亮和小刚的说法均正确。理由如下： ∵方程ａｘ２＋ｂｘ－ａ－ １ ａ ＝０是关于ｘ的一元二次方程， ∴Δ＝ｂ２－４ａ（－ａ－ １ ａ ）＝ｂ２＋４ａ２＋４＞０。 ∴对于任意实数ａ，ｂ，该方程总有两个不相等的实数根。 ∴小亮的说法正确。 设方程的两根为ｘ１，ｘ２，∴ｘ１·ｘ２＝ －ａ－ １ ａ ａ ＝－１－ １ ａ２ ＜０。 ∴该方程的两个实数根的符号不相同。 ∴小刚的说法正确。 １８．解：（１）∵Ａ（６，１），Ｂ（２，ｍ）两点在反比例函数图象 上，∴ｋ２＝６×１＝２ｍ。 ∴ｋ２＝６，ｍ＝３。∴Ｂ（２，３）。 ∵Ａ（６，１），Ｂ（２，３）在一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象上， ∴ ６ｋ１＋ｂ＝１， ２ｋ１＋ｂ＝３，{ 解得 ｋ１＝－ １ ２ ， ｂ＝４。{ ∴一次函数的表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ＋４。 （２）由（１），知Ａ（６，１），Ｂ（２，３）。 如图，设一次函数与ｙ轴交于点Ｄ。由一次函数的表 达式可知Ｄ（０，４）。 设点Ｃ的坐标为（０，ｔ），则ＣＤ＝｜４－ｔ｜。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ△ＢＤＣ＝１２， ∴ １ ２ ×６×｜４－ｔ｜－ １ ２ ×２×｜４－ｔ｜＝１２。 整理，得｜４－ｔ｜＝６，解得ｔ＝－２或ｔ＝１０。 ∴Ｃ（０，－２）或（０，１０）。 １９．解：（１）设甲种文创产品每件的进价为 ａ元，则乙种 文创产品每件的进价为（ａ－１）元。 根据题意，得 １６００ ａ ＝２× ７２０ ａ－１ ， 解得ａ＝１０。 经检验，ａ＝１０是所列方程的解，且符合题意。 因此ａ－１＝１０－１＝９。 答：甲种文创产品每件的进价为１０元，乙种文创产品 每件的进价为９元。 （２）设购买甲种文创产品的件数为 ｘ，则购买乙种文 创产品的件数为（８００－ｘ）。 根据题意，得 ８００－ｘ≥４９０， ８００－ｘ≤４ｘ，{ 解得１６０≤ｘ≤３１０。 当１６０≤ｘ≤１８０时， ｗ＝（１５－１０）ｘ＋（１５－９）（８００－ｘ）＝－ｘ＋４８００。 ∵－１＜０，∴ｗ随ｘ的增大而减小。 ∴当ｘ＝１６０时，ｗ取最大值， ｗ最大＝－１６０＋４８００＝４６４０； 当１８０＜ｘ≤３１０时， ｗ＝（１５－１０）×１８０＋（１５－１０×０．６）（ｘ－１８０）＋ （１５－９）（８００－ｘ）＝３ｘ＋４０８０。 ∵３＞０，∴ｗ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝３１０时，ｗ取最大值， ｗ最大＝３×３１０＋４０８０＝５０１０。 ∵４６４０＜５０１０， ∴这次采购的文创产品的最大利润为５０１０元。 ２０．解：（１）ＣＥ与⊙Ｏ相切。理由如下： ∵四边形ＡＯＣＤ是平行四边形，ＯＡ＝ＯＣ， ∴四边形ＡＯＣＤ是菱形。 ∵∠ＣＡＢ＝∠Ｄ，∠ＡＯＣ＝∠Ｄ，∴∠ＣＡＢ＝∠ＡＯＣ。 ∴ＡＣ＝ＯＣ。∴ＯＡ＝ＡＣ＝ＯＣ。 ∴△ＡＯＣ是等边三角形。∴∠ＯＣＡ＝６０°。 ∵ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＯＣ＝∠Ｄ＝６０°， ∴△ＡＤＣ是等边三角形。∴∠ＡＣＤ＝６０°， ∵Ｅ是ＡＤ的中点， ∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＝ １ ２∠ ＡＣＤ＝３０°。 ∴∠ＯＣＥ＝∠ＯＣＡ＋∠ＡＣＥ＝６０°＋３０°＝９０°。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径，且ＣＥ⊥ＯＣ， ∴ＣＥ与⊙Ｏ相切。 （２）∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，且ＡＢ＝６， ∴∠ＡＦＢ＝９０°，ＯＢ＝ １ ２ ＡＢ＝３。 ∵∠ＢＯＧ＝∠ＡＯＣ＝６０°，∴∠ＢＦＧ＝ １ ２∠ ＢＯＧ＝３０°。 ∴∠ＡＦＭ＝∠ＡＦＢ＋∠ＢＦＧ＝９０°＋３０°＝１２０°。 ∵∠ＯＡＣ＝∠ＤＡＣ＝６０°，∴∠ＢＡＦ＝１８０°－∠ＯＡＣ－ ∠ＤＡＣ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°。 ∵∠ＢＡＦ＋∠ＡＦＭ＝６０°＋１２０°＝１８０°，∠ＯＢＨ＝９０°－ ∠ＢＡＦ＝９０°－６０°＝３０°，∴ＡＢ∥ＦＭ，∠ＯＨＢ＝１８０°－ ∠ＢＯＧ－∠ＯＢＨ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°。 ∴ＯＨ＝ １ ２ ＯＢ＝ ３ ２ 。 ∴ＢＨ＝ ＯＢ２－ＯＨ槡 ２＝ ３２－ ３ ２( )槡 ２ ＝槡３３ ２ 。 ∴Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＯＧ－Ｓ△ＢＯＨ ＝６０ ×π×３２ ３６０ －１ ２ ×３ ２ ×槡３３ ２ ＝３π ２ －槡９３ ８ 。 ∵ＯＢ∥ＧＭ，∴△ＣＯＢ∽△ＣＧＭ。 ∴ ＯＢ ＧＭ ＝３ ＧＭ ＝ＣＯ ＣＧ ＝１ ２ 。 ∴ＧＭ＝２×３＝６。                                                                —３２— ∴阴影部分的面积为 ３π ２ －槡９３ ８ ，ＧＭ的长为６。 ２１．解：（１）当ｘ＝－１时， ｘ２＋槡 １＝槡２，因此ｍ＝槡２。 故答案为槡２。 （２）∵ ｘ２＋槡 １＝槡１７， ∴ｘ２＋１＝１７。∴ｘ＝４或－４。 故答案为４或－４。 （３）该函数的图象关于ｙ轴对称。 当ｘ≥０时，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的 增大而减小（答案不唯一，合理即可）。 （４）ｙ＝ ４ｘ２－８ｘ＋槡 ９＝ ４（ｘ－１） ２＋槡 ５。 ∵４（ｘ－１）２＋５≥５， ∴ｙ≥槡５。∴ｙ有最小值，此时ｘ＝１。 故答案为小；１。 探究应用 ∵ＡＡ′＝１２ｘ千米，ＡＢ′＝（２６－５ｘ）千米，∴Ａ′Ｂ′＝ ＡＡ′２＋ＡＢ′槡 ２ ＝ （１２ｘ）２＋（２６－５ｘ）槡 ２＝ （１３ｘ－１０）２＋槡 ５７６（千米）。 ∴Ａ′Ｂ′≥槡５７６＝２４（千米）。 ∴当ｘ＝ １０ １３ 时，两船距离最近，最近距离为２４千米。 ２２．解：（１）如图１，延长ＤＭ交ＣＧ于点Ｑ。 图１ ∵线段ＡＧ绕点Ａ顺时针旋转６０°后的对应线段为ＡＭ， ∴ＡＧ＝ＡＭ，∠ＧＡＭ＝６０°。 ∵△ＡＣＤ是等边三角形，∴ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝６０°。 ∴∠ＧＡＭ＝∠ＣＡＤ。∴∠ＧＡＣ＝∠ＭＡＤ。 ∴△ＧＡＣ≌△ＭＡＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＭ＝ＣＧ，∠ＡＤＭ＝∠ＡＣＧ。 ∴∠ＣＱＭ＝∠ＣＡＤ＝６０°。 故答案为相等；６０°。 （２）成立。理由如下： 如图２，延长ＤＭ交ＣＧ的延长线于点Ｑ。 图２ ∵线段ＡＧ绕点Ａ顺时针旋转６０°后的对应线段为ＡＭ， ∴ＡＧ＝ＡＭ，∠ＧＡＭ＝６０°。 ∵△ＡＣＤ是等边三角形，∴ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝６０°。 ∴∠ＧＡＭ＝∠ＣＡＤ。∴∠ＧＡＣ＝∠ＭＡＤ。 ∴△ＧＡＣ≌△ＭＡＤ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＭ＝ＣＧ，∠ＡＤＭ＝∠ＡＣＧ。 ∴∠ＣＱＭ＝∠ＣＡＤ＝６０°。 （３）由（２），知ＣＧ＝ＤＭ，△ＡＧＭ是等边三角形， ∴ＡＧ＝ＧＭ。 如图３，连接ＧＭ，ＢＤ，ＢＧ。 图３ ∴ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ＝ＧＭ＋ＢＧ＋ＤＭ。 ∴当点Ｇ，Ｍ在ＢＤ上时，ＢＧ＋ＧＭ＋ＤＭ＝ＢＤ最小。 ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝槡４３，ＢＣ＝４， ∴ＡＣ＝８，∠ＢＡＣ＝３０°。∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∴ＢＤ＝ ８２＋（槡４３）槡 ２＝槡４７。 ∴ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ的最小值为 槡４７。 如图４，由△ＡＭＤ≌△ＡＧＣ可知，∠ＡＭＤ＝∠ＡＧＣ＝１２０°， 图４ ∴∠ＡＧＣ＋∠ＧＡＭ＝１８０°。∴ＣＧ∥ＡＭ。 ８２０２４年寿光市学业水平第二次模拟试题 （与青州市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ ＢＣ ＡＢＤ ＢＣ ＡＣ １．Ｂ　【解析】选项ＡＣＤ均不能找到这样的一个点，使图 形绕某一点旋转１８０度后和原图形完全重合，所以不 是中心对称图形；选项 Ｂ能找到这样的一个点，使图 形绕某一点旋转１８０度后和原图形完全重合，所以是 中心对称图形。故选Ｂ。 ２．Ｂ　【解析】∵∠Ａ是锐角，ｓｉｎＡ＝ ３ ５ ， 且ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１，∴ｃｏｓＡ＝ ４ ５ 。 ∴ｔａｎＡ＝ ｓｉｎＡ ｃｏｓＡ ＝ ３ ５ ４ ５ ＝３ ４ 。故选Ｂ。 ３．Ｂ　【解析】三棱柱的两个底面是三角形，所以三视图 不可能都是矩形。故选项Ａ不符合题意； 长方体的三视图都是矩形，故选项Ｂ符合题意； 圆柱的两个底面是圆形，所以三视图不可能都是矩形。 故选项Ｃ不符合题意； 正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视 图是带圆心的圆，故选项Ｄ不符合题意。故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】根据题意，得 １－ｍ＜０， ２－ｍ＜０，{ 解得ｍ＞２。故选Ｄ。 ５．Ｂ　【解析】Ａ．反比例函数图象在第二、四象限，则 ａ＜ ０；二次函数图象开口向上，则 ａ＞０。故选项不符合 题意； Ｂ．反比例函数图象在第一、三象限，则 ａ＞０；二次函数 图象开口向上，则ａ＞０。故选项符合题意； Ｃ．反比例函数图象在第一、三象限，则 ａ＞０；二次函数                                                                —４２—