3 2022年潍坊市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— １３— — １４— — １５— 一、单选题（共８小题，每小题３分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下列物体中，三视图都是圆的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，如图，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离 之比约为槡 ５－１ ２ ，下列估算正确的是 （　　） Ａ．０＜槡 ５－１ ２ ＜ ２ ５ Ｂ． ２ ５ ＜槡 ５－１ ２ ＜ １ ２ Ｃ． １ ２ ＜槡 ５－１ ２ ＜１ Ｄ．槡 ５－１ ２ ＞１ ３．不等式组 ｘ＋１≥０， ｘ－１＜０{ 的解集在数轴上表示正确的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．抛物线ｙ＝ｘ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个公共点，则ｃ的值为 （　　） Ａ．－ １ ４ Ｂ． １ ４ Ｃ．－４ Ｄ．４ ５．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面ＡＢ与ＣＤ平行，入射光线ｌ与反射光线 ｍ 平行。若入射光线ｌ与镜面ＡＢ的夹角∠１＝４０°１０′，则∠６的度数为 （　　） Ａ．１００°４０′ Ｂ．９９°８０′ Ｃ．９９°４０′ Ｄ．９９°２０′ 第５题图 　　　　　　　 第６题图 ６．地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同， 大气压不同，观察图中数据，你发现，下列说法正确的是 （　　） Ａ．海拔越高，大气压越大 Ｂ．图中曲线是反比例函数的图象 Ｃ．海拔为４千米时，大气压约为７０千帕 Ｄ．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 ７．观察我国原油进口月度走势图，２０２２年４月原油进口量比２０２１年４月增加２６７万吨，当月增速为６．６％ 计算方法： ２６７ ４０３６ ×１００％≈６．６％( )。２０２２年３月当月增速为－１４．０％，设２０２１年３月原油进口量为ｘ万吨， 下列算法正确的是 （　　） Ａ． ｘ－４２７１ ４２７１ ×１００％＝－１４．０％ Ｂ． ４２７１－ｘ ４２７１ ×１００％＝－１４．０％ Ｃ． ｘ－４２７１ ｘ ×１００％＝－１４．０％ Ｄ． ４２７１－ｘ ｘ ×１００％＝－１４．０％ 原油进口月度走势图 第７题图 　　　　 第８题图 ８．如图，在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝２，ＡＤ＝１，点Ｅ，Ｆ在ＡＢＣＤ的边上，从点Ａ同时出发，分别沿Ａ→ Ｂ→Ｃ和Ａ→Ｄ→Ｃ的方向以每秒１个单位长度的速度运动，到达点Ｃ时停止，线段ＥＦ扫过区域的面 积记为ｙ，运动时间记为ｘ，能大致反映ｙ与ｘ之间函数关系的图象是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ 二、多选题（共４小题，每小题３分，共１２分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得３分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ９．小莹所在班级１０名同学的身高数据如表所示。 编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 身高／ｃｍ １６５ １５８ １６８ １６２ １７４ １６８ １６２ １６５ １６８ １７０ 下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是 （　　） Ａ．平均数 Ｂ．方差 Ｃ．众数 Ｄ．中位数 １０．利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是 （　　） Ａ．若ａｂ＝０，则ａ＝０ Ｂ．对角线相等的四边形是矩形 Ｃ．函数ｙ＝ ２ ｘ 的图象是中心对称图形 Ｄ．六边形的外角和大于五边形的外角和 １１．如图，实数ａ，ｂ在数轴上的对应点分别在原点两侧，下列各式成立的是 （　　） Ａ． ａ ｂ ＞１ Ｂ．－ａ＜ｂ Ｃ．ａ－ｂ＞０ Ｄ．－ａｂ＞０ 第１１题图 　　　　　　 第１２题图 １２．如图，△ＡＢＣ的内切圆（圆心为点Ｏ）与各边分别相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，连接ＥＦ，ＤＥ，ＤＦ。以点Ｂ为圆心， 以适当长为半径作弧分别交ＡＢ，ＢＣ于Ｇ，Ｈ两点；分别以点Ｇ，Ｈ为圆心，以大于 １ ２ ＧＨ的长为半径作 弧，两条弧交于点Ｐ；作射线ＢＰ。下列说法正确的是 （　　） Ａ．射线ＢＰ一定过点Ｏ Ｂ．Ｏ是△ＤＥＦ三条中线的交点 Ｃ．若△ＡＢＣ是等边三角形，则ＤＥ＝ １ ２ ＢＣ Ｄ．Ｏ不是△ＤＥＦ三条边的垂直平分线的交点 三、填空题（共４小题，每小题３分，共１２分。只写最后结果） １３．方程组 ２ｘ＋３ｙ＝１３， ３ｘ－２ｙ＝０{ 的解为 。 １４．小莹按照如图所示的步骤折叠Ａ４纸，折完后，发现折痕ＡＢ′与Ａ４纸的长边ＡＢ恰好重合，那么Ａ４纸 的长ＡＢ与宽ＡＤ的比值为 。 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １５．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美。如图，正方形 ＡＢＣＤ 的面积为４，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′。若Ａ′Ｂ′∶ＡＢ＝２∶１，则四 边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的外接圆的周长为 。 １６．如图，在平面直角坐标系中，边长为２个单位长度的正方形ＡＢＣＯ绕原点Ｏ逆时针旋转７５°，再沿ｙ 轴方向向上平移１个单位长度，则点Ｂ″的坐标为 。 四、解答题（共７小题，共７２分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本题满分５分）在数学实验课上，小莹将含３０°角的直角三角尺分别以两个直角边所在直线为轴旋 转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Ｇｅｏｇｅｂｒａ画出如下示意图。 甲 　　　　 乙 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边ＡＢ旋转得到，所以它们的侧面积相等。” 你认同小亮的说法吗？请说明理由。 ３ ２０２２年潍坊市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １６— — １７— — １８— １８．（本题满分１１分）（１）在计算 －２２－（－１）１０＋｜－６｜＋３３ 槡３ｔａｎ３０°－ ３ 槡６４×（－２） －２＋（－２）０ 时，小亮的计算过程如下： 解： －２２－（－１）１０＋｜－６｜＋３３ 槡３ｔａｎ３０°－ ３ 槡６４×（－２） －２＋（－２）０ ＝４ －（－１）－６＋２７ 槡３×槡３－４×２ ２＋０ ＝４ ＋１－６＋２７ ３－１６ ＝－２。 小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了３个错误。请你找出其他错误，参照①—③的格式写在 横线上，并依次标注序号： ①－２２＝－４；②（－１）１０＝１；③｜－６｜＝６； 　， 请写出正确的计算过程； （２）先化简，再求值：( ２ｘ－３－ １ ｘ)· ｘ２－３ｘ ｘ２＋６ｘ＋９ ，其中ｘ是方程ｘ２－２ｘ－３＝０的根。 １９．（本题满分１１分）２０２２年５月，Ｗ市从甲、乙两校各抽取１０名学生参加全市语文素养水平监测。 【学科测试】每名学生从３套不同的试卷中随机抽取１套作答，小亮、小莹都参加测试，请用画树状图 或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率； 样本学生语文测试成绩（满分１００分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 ５０ ６６ ６６ ６６ ７８ ８０ ８１ ８２ ８３ ９４ ７４．６ １４１．０４ ａ ６６ 乙校 ６４ ６５ ６９ ７４ ７６ ７６ ７６ ８１ ８２ ８３ ７４．６ ４０．８４ ７６ ｂ 表中ａ＝ ；ｂ＝ ； 请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩； 【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为３组， 制成频数直方图，如图所示。 Ａ组：０＜ｘ≤２０；Ｂ组：２０＜ｘ≤４０；Ｃ组：４０＜ｘ≤６０。 请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平 均数）；　 【监测反思】①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②若甲、乙两校学生都超过２０００人，按照Ｗ市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语 文素养水平可行吗？为什么？ 甲 　　　　 乙 ２０．（本题满分１２分）【情境再现】甲、乙两个含４５°角的直角三角尺如图１放置，甲的直角顶点放在乙斜 边上的高的垂足Ｏ处，将甲绕点Ｏ顺时针旋转一个锐角到图２位置。小莹用作图软件Ｇｅｏｇｅｂｒａ按 图２作出示意图，并连接ＡＧ，ＢＨ，如图３所示，ＡＢ交ＯＨ于点Ｅ，ＡＣ交ＯＧ于点Ｆ，通过证明△ＯＢＥ≌ △ＯＡＦ，可得ＯＥ＝ＯＦ。请你证明ＡＧ＝ＢＨ； 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ 　 图５ 　 图６ 【迁移应用】延长ＧＡ分别交ＯＨ，ＢＨ所在直线于点Ｐ，Ｄ，如图４，猜想并证明ＤＧ与ＢＨ的位置关系； 【拓展延伸】小亮将图２中的甲、乙换成含３０°角的直角三角尺如图５，按图 ５作出示意图，并连接 ＢＨ，ＡＧ，如图６所示，其他条件不变，请你猜想并证明ＡＧ与ＢＨ的数量关系。 ２１．（本题满分１０分）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研。 小莹根据水稻年产量数据，分别在平面直角坐标系中描出表示２０１７—２０２１年①号田和②号田年产 量情况的点（记２０１７年为第１年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图。 小亮认为，可以从ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＞０），ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ＞０），ｙ＝－０．１ｘ２＋ａｘ＋ｃ中选择适当的函数模型，模拟①号田 和②号田的年产量变化趋势。 （１）小莹认为不能选ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ＞０）。你认同吗？请说明理由； （２）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求 出函数表达式； （３）根据（２）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大为多少？ ２２．（本题满分１０分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则 泻水。如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至Ａ处，水沿射线ＡＤ方向泻至水渠ＤＥ， 水渠ＤＥ所在直线与水面ＰＱ平行。设筒车为⊙Ｏ，⊙Ｏ与直线 ＰＱ交于 Ｐ，Ｑ两点，与直线 ＤＥ交于 Ｂ，Ｃ两点，恰有ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，连接ＡＢ，ＡＣ。 （１）求证：ＡＤ是⊙Ｏ的切线； （２）筒车的半径为３ｍ，ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｃ＝３０°。当水面上升，Ａ，Ｏ，Ｑ三点恰好共线时，求筒车在水面下的 最大深度（精确到０．１ｍ，参考值：槡２≈１．４，槡３≈１．７）。 　　 ２３．（本题满分１３分）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业： 二次函数的图象经过点（－１，－１），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式。 【观察发现】请完成作业，并在平面直角坐标系中画出大致图象； 【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在ｙ轴的左侧。” 小莹说：“满足条件的函数图象一定在ｘ轴的下方。” 你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明； 【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的图象与系数ａ，ｂ，ｃ的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法。请你探究这个方法，写出探究 过程。 图３ 【迁移拓展】如图 ４，槡５－１ ２( ) ２ ＋槡５－１ ２( ) ４ ＋槡５－１ ２( ) ｎ ＋…＋槡５－１ ２( ) ２ｎ ＋…＝槡 ５－１ ２ 。 图４ ３２０２２年潍坊市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ ＡＣＤＡＢＤＡＤＡＣ １．Ｃ　【解析】Ａ．圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯 视图是圆，不符合题意；Ｂ．圆锥的主视图是三角形，左 视图是三角形，俯视图是圆心处有一个点的圆，不符 合题意；Ｃ．球的三视图都是圆，符合题意；Ｄ．正方体的 三视图都是正方形，不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】∵４＜５＜９， 槡∴２＜５＜３。 槡∴１＜５－１＜２。 ∴ １ ２ ＜槡 ５－１ ２ ＜１。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】 ｘ＋１≥０，① ｘ－１＜０，②{ 解不等式①，得ｘ≥－１。 解不等式②，得ｘ＜１。∴不等式组的解集为－１≤ｘ＜１， 在数轴上表示为 。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】∵ｙ＝ｘ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个公共点， ∴ｘ２＋ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根。 ∴Δ＝１－４ｃ＝０，解得ｃ＝ １ ４ 。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与 镜面的夹角，可得∠１＝∠２。∵∠１＝４０°１０′，∴∠２＝ ４０°１０′。∴∠５＝１８０°－∠１－∠２＝１８０°－４０°１０′－４０°１０′＝ ９９°４０′。∵ｌ∥ｍ，∴∠６＝∠５＝９９°４０′。故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】Ａ．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题 意；Ｂ．∵图象经过点（２，８０），（４，６０），∴２×８０＝１６０，４× ６０＝２４０，１６０≠２４０。∴图中曲线不是反比例函数的图 象，该选项不符合题意；Ｃ．∵图象经过点（４，６０），∴海拔为 ４千米时，大气压约为６０千帕，该选项不符合题意；Ｄ．图 中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系， 该选项符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】设 ２０２１年 ３月原油进口量为 ｘ万吨，则 ２０２２年３月原油进口量比２０２１年３月增加（４２７１－ｘ） 万吨。依题意，得 ４２７１－ｘ ｘ ×１００％＝－１４．０％。故选Ｄ。 ８．Ａ　【解析】如图１，当 ０≤ｘ≤１时，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ＡＢ 于点Ｇ。 ∵∠Ａ＝６０°，ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ，∴ＡＧ＝ １ ２ ｘ。 由勾股定理，得ＦＧ＝槡 ３ ２ ｘ。∴ｙ＝ １ ２ ＡＥ×ＦＧ＝槡 ３ ４ ｘ２。 图象是一段开口向上的抛物线； 图１ 　 图２ 如图２，当１＜ｘ＜２时，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 ∵∠ＤＡＨ＝６０°，ＡＥ＝ｘ，ＡＤ＝１，ＤＦ＝ｘ－１，∴ＡＨ＝ １ ２ 。 由勾股定理，得ＤＨ＝槡 ３ ２ 。 ∴ｙ＝ １ ２ （ＤＦ＋ＡＥ）×ＤＨ＝槡 ３ ２ ｘ－槡 ３ ４ 。 图象是一条线段； 如图３，当２≤ｘ≤３时，过点Ｅ作ＥＩ⊥ＣＤ于点Ｉ。 图３ ∠Ｃ＝∠ＤＡＢ＝６０°，ＣＥ＝ＣＦ＝３－ｘ， 同理求得ＥＩ＝槡 ３ ２ （３－ｘ）。 ∴ｙ＝ＡＢ×ＤＨ－ １ ２ ＣＦ×ＥＩ＝槡３－ 槡３ ４ （３－ｘ）２＝－槡 ３ ４ ｘ２＋ 槡３３ ２ ｘ－槡 ５３ ４ 。图象是一段开口向下的抛物线。 观察四个选项，只有选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ９．ＡＣＤ　【解析】平均数、众数、中位数都能反映这组数 据的集中趋势，因此能够描述这组数据集中趋势的是 平均数、众数、中位数。故选ＡＣＤ。 １０．ＡＢＤ　【解析】Ａ．当ｂ＝０，ａ≠０时， ａｂ＝０，该选项符合题意； Ｂ．如图，四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ＝ＢＤ，但四边形ＡＢＣＤ不是矩 形，该选项符合题意； Ｃ．函数ｙ＝ ２ ｘ 的图象是中心对称 图形，该选项不符合题意；Ｄ．多边形的外角和都相等， 等于３６０°，该选项符合题意。故选ＡＢＤ。 １１．ＡＤ　【解析】由题意可知，ａ＜０＜ｂ，且｜ａ｜＞｜ｂ｜，Ａ． ａ ｂ ＞                                                                —７— １，故本选项符合题意；Ｂ．－ａ＞ｂ，故本选项不符合题意； Ｃ．ａ－ｂ＜０，故本选项不符合题意；Ｄ．－ａｂ＞０，故本选项 符合题意。故选ＡＤ。 １２．ＡＣ　【解析】Ａ．以点 Ｂ为圆心，以适当长为半径作弧 分别交ＡＢ，ＢＣ于Ｇ，Ｈ两点；分别以点 Ｇ，Ｈ为圆心， 以大于 １ ２ ＧＨ的长为半径作弧，两条弧交于点Ｐ；作射 线ＢＰ，由此可得 ＢＰ是角平分线，所以射线 ＢＰ一定 过点Ｏ，说法正确，选项符合题意；Ｂ．边ＤＥ，ＥＦ，ＤＦ分 别是圆的弦长，所以 Ｏ是△ＤＥＦ三条边的垂直平分 线的交点，选项不符合题意；Ｃ．当△ＡＢＣ是等边三角 形时，可以证得Ｄ，Ｆ，Ｅ分别是三边的中点，根据中位 线概念可得ＤＥ＝ １ ２ ＢＣ，选项符合题意；Ｄ．边 ＤＥ，ＥＦ， ＤＦ分别是圆的弦长，所以Ｏ是△ＤＥＦ三条边的垂直 平分线的交点，选项不符合题意。故选ＡＣ。 １３．ｘ ＝２， ｙ＝３{ 　【解析】２ｘ＋３ｙ＝１３，①３ｘ－２ｙ＝０，②{ ①×２＋②×３，得１３ｘ＝ ２６，解得ｘ＝２。把ｘ＝２代入②，得６－２ｙ＝０， 解得ｙ＝３。故方程组的解为 ｘ ＝２， ｙ＝３。{ １４．槡２∶１　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ｄ＝∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝９０°。 由操作①可知，∠ＤＡＢ′＝∠Ｄ′ＡＢ′＝４５°，∠ＡＤ′Ｂ′＝ ∠Ｄ＝９０°，ＡＤ＝ＡＤ′。 ∴△ＡＢ′Ｄ′是等腰直角三角形。 ∴ＡＤ＝ＡＤ′＝Ｂ′Ｄ′。 由勾股定理，得ＡＢ′＝槡２ＡＤ。 又由操作②可知，ＡＢ′＝ＡＢ。 槡∴ ２ＡＤ＝ＡＢ。 ∴ ＡＢ ＡＤ ＝槡２。 ∴Ａ４纸的长ＡＢ与宽ＡＤ的比值为槡２∶１。 １５．槡４２π　【解析】如图，连接Ａ′Ｃ′。 ∵正方形ＡＢＣＤ的面积为４， ∴ＡＢ＝２。 ∵Ａ′Ｂ′∶ＡＢ＝２∶１， ∴Ａ′Ｂ′＝４。 ∴Ａ′Ｃ′＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。 ∴外接圆的周长＝槡４２π。 １６．（－槡２，槡６＋１）　【解析】如图，连接 ＯＢ，ＯＢ′，作Ｂ′Ｍ⊥ ｙ轴于点Ｍ。 ∵ＡＢＣＯ是正方形，ＯＡ＝２，∴∠ＣＯＢ＝４５°，ＯＢ＝槡２２。 ∵绕原点Ｏ逆时针旋转７５°， ∴∠ＢＯＢ′＝７５°。 ∴∠ＣＯＢ′＝３０°。 ∵ＯＢ′＝ＯＢ＝槡２２， ∴Ｂ′Ｍ＝槡２，ＯＭ＝槡６。 ∴点Ｂ′（－槡２，槡６）。 ∵沿ｙ轴方向向上平移１个单位长度， ∴点Ｂ″（－槡２，槡６＋１）。 １７．解：不认同。 理由：∵甲圆锥的底面半径为ＢＣ，母线为ＡＢ， ∴Ｓ甲侧＝π×ＢＣ×ＡＢ。 ∵乙圆锥的底面半径为ＡＣ，母线为ＡＢ， ∴Ｓ乙侧＝π×ＡＣ×ＡＢ。 ∵ＡＣ≠ＢＣ，∴Ｓ甲侧≠Ｓ乙侧。故不认同小亮的说法。 １８．解：（１）其他错误，有④ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３ ；⑤（－２）－２＝ １ ４ ； ⑥（－２）０＝１。 正确的计算过程： 解： －２２－（－１）１０＋｜－６｜＋３３ 槡３ｔａｎ３０°－ ３ 槡６４×（－２） －２＋（－２）０ ＝ －４－１＋６＋２７ 槡３× 槡３ ３ －４× １ ４ ＋１ ＝ －４－１＋６＋２７ １－１＋１ ＝２８。 （２） ２ ｘ－３ －１ ｘ( ) · ｘ ２－３ｘ ｘ２＋６ｘ＋９ ＝２ｘ －ｘ＋３ ｘ（ｘ－３） · ｘ（ｘ－３） （ｘ＋３）２ ＝ ｘ ＋３ ｘ（ｘ－３） · ｘ（ｘ－３） （ｘ＋３）２ ＝ １ ｘ＋３ 。 ∵ｘ２－２ｘ－３＝０， ∴（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０，ｘ－３＝０或ｘ＋１＝０。 ∴ｘ１＝３，ｘ２＝－１。 ∵ｘ＝３分式没有意义， ∴ｘ的值为－１。当ｘ＝－１时，原式＝ １ －１＋３ ＝１ ２ 。 １９．解：【学科测试】设３套不同的试卷分别为 １，２，３，列 表如下： １ ２ ３ １ （１，１）（２，１）（３，１） ２ （１，２）（２，２）（３，２） ３ （１，３）（２，３）（３，３） 一共有９种等可能的情况，其中小亮、小莹作答相同 试卷的情况有３种， 因此小亮、小莹作答相同试卷的概率为 １ ３ 。 由表可得甲校的中位数 ａ＝ ７８＋８０ ２ ＝７９，乙校的众数 ｂ＝７６。故答案为７９；７６。 从平均数看两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比 较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看 乙校的成绩好于甲校。 【问卷调查】根据频数分布直方图， 得甲校样本学生阅读课外书的平均数量为 ４×１０＋１×３０＋５×５０ １０ ＝３２（本）， 乙校样本学生阅读课外书的平均数量为 ３×１０＋４×３０＋３×５０ １０ ＝３０（本）。                                                                —８— 【监测反思】①从语文测试成绩来看，甲、乙平均数一 样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比 乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；从课外阅读 量来看，虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整 体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳。综 上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会越好一些，所 以要尽可能地增加课外阅读量。（合理即可） ②甲、乙两校学生都超过２０００人，不可以按照Ｗ市 的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文 素养水平。因为 Ｗ市的抽样方法是各校抽取了 １０ 人，样本容量较小，而甲、乙两校的学生人数太多，评估 出来的数据不够精确，所以不能用这１０个人的成绩来 评估全校２０００多人的成绩。 ２０．【情境再现】证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＯＡ⊥ＢＣ， ∴ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°。 ∵∠ＢＯＨ＋∠ＡＯＨ＝９０°，∠ＡＯＧ＋∠ＡＯＨ＝９０°， ∴∠ＢＯＨ＝∠ＡＯＧ。 ∵ＯＨ＝ＯＧ，∴△ＢＯＨ≌△ＡＯＧ（ＳＡＳ）。∴ＡＧ＝ＢＨ。 【迁移应用】解：ＤＧ⊥ＢＨ。 证明：∵△ＢＯＨ≌△ＡＯＧ，∴∠ＢＨＯ＝∠ＡＧＯ。 ∵∠ＤＧＨ＋∠ＡＧＯ＝４５°，∴∠ＤＧＨ＋∠ＢＨＯ＝４５°。 ∵∠ＯＨＧ＝４５°，∴∠ＤＧＨ＋∠ＢＨＯ＋∠ＯＨＧ＝９０°。 ∴∠ＨＤＧ＝９０°。∴ＤＧ⊥ＢＨ。 【拓展延伸】解：ＢＨ＝槡３ＡＧ。 证明：在Ｒｔ△ＡＯＢ中，ｔａｎ３０°＝ ＯＡ ＯＢ ＝槡３ ３ ， 在Ｒｔ△ＨＯＧ中，ｔａｎ３０°＝ ＯＧ ＯＨ ＝槡３ ３ ， ∴ ＯＡ ＯＢ ＝ＯＧ ＯＨ 。 由上一问题可知，∠ＢＯＨ＝∠ＡＯＧ， ∴△ＢＯＨ∽△ＡＯＧ。∴ ＡＧ ＢＨ ＝ＯＡ ＯＢ ＝槡３ ３ 。 ∴ＢＨ＝槡３ＡＧ。 ２１．解：（１）认同。理由如下： 观察①号田的年产量变化：每年增加 ０．５吨，呈一次 函数关系； 观察②号田的年产量变化：经过点（１，１．９），（２，２．６）， （３，３．１）， ∵１×１．９＝１．９，２×２．６＝５．２，１．９≠５．２， ∴不是反比例函数关系。 小莹认为不能选ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ＞０）是正确的。 （２）由（１）知①号田符合ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＞０）。 由题意，得 ｋ＋ｂ＝１．５， ２ｋ＋ｂ＝２，{ 解得 ｋ＝０．５，ｂ＝１。{ 因此①号田的函数表达式为ｙ＝０．５ｘ＋１。 经检验，当ｘ＝４时，ｙ＝２＋１＝３，符合题意。 ②号田符合ｙ＝－０．１ｘ２＋ａｘ＋ｃ。 由题意，得 －０．１＋ａ＋ｃ＝１．９， －０．４＋２ａ＋ｃ＝２．６，{ 解得 ａ＝１，ｃ＝１。{ 因此②号田的函数表达式为ｙ＝－０．１ｘ２＋ｘ＋１。 经检验，当ｘ＝４时，ｙ＝－１．６＋４＋１＝３．４，符合题意。 （３）设总年产量为ｗ吨。 由题意，得ｗ＝－０．１ｘ２＋ｘ＋１＋０．５ｘ＋１＝－０．１ｘ２＋１．５ｘ＋２＝ －０．１（ｘ－７．５）２＋７．６２５。 ∵－０．１＜０，∴当ｘ＝７或８时，ｗ有最大值，最大值为７．６。 ∴在２０２３年或２０２４年总年产量最大，最大为７．６吨。 ２２．（１）证明：如图 １，连接 ＡＯ并延长交⊙Ｏ于点 Ｍ，连 接ＢＭ。 ∴ＡＭ是⊙Ｏ的直径。∴∠ＡＢＭ＝９０°。 ∴∠ＢＡＭ＋∠ＡＭＢ＝９０°。 ∵ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，∴ ＡＤ ＢＤ ＝ＣＤ ＡＤ 。 又∵∠Ｄ＝∠Ｄ，∴△ＤＡＢ∽△ＤＣＡ。 ∴∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＡ。 又∵∠ＢＣＡ＝∠ＡＭＢ，∴∠ＢＡＭ＋∠ＤＡＢ＝９０°。 ∴∠ＤＡＭ＝９０°。 ∵ＡＭ是⊙Ｏ的直径，∴ＡＤ是⊙Ｏ的切线。 图１ 图２ （２）解：如图２，连接ＢＱ，ＡＰ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｃ＝３０°， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝ １ ２ （１８０°－∠Ｃ）＝ １ ２ （１８０°－３０°）＝７５°。 ∵ＡＱ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＱ＝∠ＡＰＱ＝９０°。 ∵∠Ｃ＝３０°，∴∠ＡＱＢ＝∠Ｃ＝３０°。 ∴∠ＢＡＱ＝９０°－∠ＡＱＢ＝６０°。 ∴∠ＱＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＱ＝７５°－６０°＝１５°。 ∵ＰＱ∥ＢＣ，∴ＢＰ ) ＝ＣＱ) 。 ∴∠ＱＡＣ＝∠ＢＱＰ＝１５°。 ∴∠ＰＱＡ＝∠ＢＱＰ＋∠ＡＱＢ＝１５°＋３０°＝４５°。 过点Ｏ作ＯＦ⊥ＰＱ交⊙Ｏ于点Ｆ，交ＰＱ于点Ｅ。 ∴△ＯＥＱ是等腰直角三角形。 ∵ＯＱ＝３ｍ，∴ＯＥ＝ＯＱ·ｓｉｎ４５°＝３×槡 ２ ２ ＝槡３２ ２ （ｍ）。 ∴ＥＦ＝ＯＦ－ＯＥ＝３－槡 ３２ ２≈ ０．９（ｍ）。 ∴筒车在水面下的最大深度约为０．９ｍ。 ２３．解：【观察发现】根据题意，得抛物线 ｙ＝－ｘ２经过点 （－１，－１），且不经过第一象限， 画出图象，如图。（答案不唯一） 【思考交流】不认同他们的说法。举例如下： 抛物线ｙ＝－ｘ２的对称轴为 ｙ轴，故小亮的说法不正 确；抛物线ｙ＝－ｘ２经过ｘ轴，故小莹的说法不正确。 【概括表达】∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点（－１，－１） 且不经过第一象限，∴ａ－ｂ＋ｃ＝－１，且ａ＜０。                                                                —９— ①当对称轴在ｙ轴右侧时，ｂ＞０，此时顶点在ｘ轴上或 ｘ轴下方，∴ｂ２－４ａｃ≤０，即ｂ２≤４ａｃ。∴ａｃ＞０。 ∵ａ＜０，∴ｃ＜０。 ∵（ａ－ｃ）２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃ＝（ａ＋ｃ）２－４ａｃ≥０， ∴４ａｃ≤（ａ＋ｃ）２＝（ｂ－１）２。∴ｂ２≤（ｂ－１）２。 当０＜ｂ＜１时，ｂ≤１－ｂ，解得ｂ≤ １ ２ ； 当ｂ≥１时，ｂ≤ｂ－１不成立。∴０＜ｂ≤ １ ２ ； ②当对称轴在ｙ轴左侧或ｙ轴上时，ｂ≤０，此时只需 保证与ｙ轴交点在ｘ轴上或ｘ轴下方，∴ｃ≤０。 综上所述，ａ＜０，ｂ≤ １ ２ ，ｃ≤０，且ａ－ｂ＋ｃ＝－１。 ４２０２４年潍城区学业水平第一次模拟试题 （与奎文区、高新区、寒亭区、坊子区、滨海区联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ ＢＤ ＡＣＤ ＢＣ ＢＣＤ １．Ｃ　【解析】Ａ．沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能 够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；Ｂ．沿一条 直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴 对称图形，不符合题意；Ｃ．沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；Ｄ．沿一 条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是 轴对称图形，不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】１３．５５万＝１３５５００＝１．３５５×１０５。故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】“堑堵”的俯视图是一个矩形。故选Ａ。 ４．Ｄ　【解析】根据题图，得－２＜ａ＜－１，０＜ｂ＜１。 ∵ａ＜０，ｂ＞０，∴ａｂ＜０。故选项Ａ不符合题意； ∵ａ＜０，ｂ＞０，∴ １ ａ ＜０， １ ｂ ＞０。∴ １ ａ ＜ １ ｂ 。 故选项Ｂ不符合题意； ∵－２＜ａ＜－１，０＜ｂ＜１， ∴１＜｜ａ｜＜２，０＜｜ｂ｜＜１。∴｜ａ｜＞｜ｂ｜。 故选项Ｃ不符合题意； ∵－２＜ａ＜－１，０＜ｂ＜１， ∴１＜ａ２＜４，０＜ｂ２＜１。 ∴ａ２＞ｂ２。∴ａ－２＜ｂ－２。故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ５．Ｄ　【解析】如图，连接ＯＡ，ＯＢ，ＡＤ，ＢＤ。 ∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＡＯＢ＝ ３６０° ５ ＝７２°。 ∴∠ＡＤＢ＝ １ ２∠ ＡＯＢ＝３６°。 ∵正五边形ＡＢＣＤＥ的外接圆为⊙Ｏ， ∴四边形ＡＰＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形。 ∴∠ＡＰＢ＋∠ＡＤＢ＝１８０°。 ∴∠ＡＰＢ＝１８０°－３６°＝１４４°。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】将ｘ＝０代入ｙ１＝－ｘ＋２，得ｙ１＝２， 所以点Ｃ的坐标为（０，２）。 同理可得点Ｄ的坐标为（２，０）。 ∴ＯＣ＝ＯＤ＝２。 在Ｒｔ△ＣＯＤ中，ｔａｎ∠ＣＤＯ＝ ＯＣ ＯＤ ＝１。 故选项Ａ不符合题意； ∵Ａ（－１，３），Ｃ（０，２）， ∴ＡＣ＝ （－１－０）２＋（３－２）槡 ２＝槡２； 同理可得ＢＤ＝槡２，ＣＤ＝槡２２。 ∴ＡＣ＋ＢＤ＝ＣＤ。故选项Ｂ不符合题意； 由所给函数图象可知， 当－１＜ｘ＜０时，ｙ１＜ｙ２； 当０＜ｘ＜１时，ｙ１＞ｙ２。 故选项Ｃ不符合题意； 如图，Ｓ△ＡＯＣ＝ １ ２ ×２×１＝１， Ｓ△ＢＯＤ＝ １ ２ ×２×１＝１， ∴Ｓ△ＡＯＣ＝Ｓ△ＢＯＤ。故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ７．ＢＤ　【解析】ｘ２＋ｘ３≠ｘ５，故选项Ａ不符合题意； （－ａ２）３＝－ａ６，故选项Ｂ符合题意； ２ｍ６÷ｍ２＝２ｍ４，故选项Ｃ不符合题意； －槡４－ ３－槡 ８＝－２－（－２）＝－２＋２＝０，故选项Ｄ符合题意。 故选ＢＤ。 ８．ＡＣＤ　【解析】由作图，得 ＤＦ垂直平分 ＡＢ，ＡＥ平分 ∠ＤＡＣ，∴ＤＦ⊥ＡＢ。故选项Ａ符合题意； ∵ＡＤ＝ＢＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝３０°。 ∴∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝６０°。故选项Ｃ符合题意； ∵∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４０°，∴∠ＢＡＣ＝１１０°。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝８０°。 ∴∠ＤＡＣ≠∠Ｃ。∴ＡＤ≠ＣＤ。∴ＢＤ≠ＣＤ。 故选项Ｂ不符合题意； ∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ， ∴∠ＣＡＥ＝ １ ２∠ ＣＡＤ＝４０°＝∠Ｃ。∴ＡＥ＝ＣＥ。 故选项Ｄ符合题意。故选ＡＣＤ。 ９．ＢＣ　【解析】当投掷次数是１０００时，“钉尖向上”的次 数不一定正好是６２０，故选项Ａ不符合题意；当投掷第 １０００次时，“钉尖向上”的概率是０．６２０，故选项 Ｂ符 合题意；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋 近于０．６１８，故可以估计其概率是０．６１８，故选项Ｃ符合 题意；若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数是 １０００时，“钉尖向上”的频率不一定是０．６２０，故选项Ｄ 不符合题意。故选ＢＣ。 １０．ＢＣＤ　【解析】∵沿圆柱体侧面由点Ａ爬行到点Ｃ的 最短路径长为ｌ１， ∴ｌ１＝ （πｒ） ２＋２槡 ２＝ π２ｒ２＋槡 ４。 ∵沿母线ＡＢ与上底面直径ＢＣ形成的折线段爬行到 点Ｃ的路径的长为ｌ２，∴ｌ２＝２＋２ｒ。 ∵ｄ＝ｌ２１－ｌ ２ ２， ∴ｄ＝π２ｒ２＋４－（２＋２ｒ）２ ＝π２ｒ２＋４－４－８ｒ－４ｒ２ ＝（π２－４）ｒ２－８ｒ。 当ｄ＝０时，（π２－４）ｒ２－８ｒ＝０， 解得ｒ１＝０，ｒ２＝ ８ π２－４ 。 ∴函数图象与ｘ轴交于原点或 ８ π２－４ ，０( ) 。 相关图象如下：                                                                —０１—