2  2023年潍坊市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ７— — ８— — ９— 一、单项选择题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．在实数１，－１，０，槡２中，最大的数是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－ 槡１ Ｃ．０ Ｄ．２ ２．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是 （　　） Ａ．－ｃ＜ｂ Ｂ．ａ＞－ｃ Ｃ．｜ａ－ｂ｜＝ｂ－ａ Ｄ．｜ｃ－ａ｜＝ａ－ｃ ４．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是 （　　） Ａ 　　　　　　　 Ｂ 　　　　　　　 Ｃ 　　　　　　　 Ｄ 榫 　 卯 第４题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 ５．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ｙ１＝ｘ－２与反比例函数ｙ２的图象交于Ａ，Ｂ两点，下列结论正确 的是 （　　） Ａ．当ｘ＞３时，ｙ１＜ｙ２ Ｂ．当ｘ＜－１时，ｙ１＜ｙ２ Ｃ．当０＜ｘ＜３时，ｙ１＞ｙ２ Ｄ．当－１＜ｘ＜０时，ｙ１＜ｙ２ ６．如图，在平面直角坐标系中，菱形ＯＡＢＣ的顶点Ａ的坐标为（－２，０），∠ＡＯＣ＝６０°。将菱形ＯＡＢＣ沿ｘ 轴向右平移１个单位长度，再沿ｙ轴向下平移１个单位长度，得到菱形Ｏ′Ａ′Ｂ′Ｃ′，其中点Ｂ′的坐标为 （　　） Ａ．（－２，槡３－１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．（－槡３，１） Ｄ．（－槡３，槡３－１） 二、多项选择题（共４小题，每小题５分，共２０分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得５分， 部分选对得３分，有错选的得０分） ７．下列运算正确的是 （　　） Ａ．３－槡 ６４＝ 槡４ Ｂ．４＝２ Ｃ．（－３ａ） ２＝９ａ２ Ｄ．ａ２·ａ３＝ａ６ ８．下列命题正确的是 （　　） Ａ．在一个三角形中至少有两个锐角 Ｂ．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 Ｃ．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 Ｄ．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 ９．已知抛物线ｙ＝ａｘ２－５ｘ－３经过点（－１，４），则下列结论正确的是 （　　） Ａ．抛物线的开口向下 Ｂ．抛物线的对称轴为直线ｘ＝ ５ ４ Ｃ．抛物线与ｘ轴有两个交点 Ｄ．当ｔ＜－ ４９ ８ 时，关于ｘ的一元二次方程ａｘ２－５ｘ－３－ｔ＝０有实数根 １０．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图 １是发动机的实物剖面图，图 ２是其示意图。 图２中，点Ａ在直线ｌ上往复运动，推动点Ｂ做圆周运动形成⊙Ｏ，ＡＢ与ＯＢ表示曲柄连杆的两直杆， 点Ｃ，Ｄ是直线ｌ与⊙Ｏ的交点。当点Ａ运动到点Ｅ时，点Ｂ到达点Ｃ；当点Ａ运动到点Ｆ时，点Ｂ到 达点Ｄ。若ＡＢ＝１２，ＯＢ＝５，则下列结论正确的是 （　　） 图１ 　　　 图２ Ａ．ＣＦ＝２ Ｂ．ＥＦ＝１２ Ｃ．当ＡＢ与⊙Ｏ相切时，ＡＥ＝４ Ｄ．当ＯＢ⊥ＣＤ时，ＡＥ＝ＡＦ 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．从－槡２，槡３，槡６中任意选择两个数，分别填在算式 （□＋） ２÷槡２里面的“□”与“”中，计算该算式的 结果是　　　　　　　。（只需写出一种结果） １２．用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为２．２３６０６７９７７。借助显 示结果，可以将一元二次方程ｘ２＋ｘ－１＝０的正数解近似表示为　　　　。（精确到０．００１） １３．如图，投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为７的概率是　　　　。 　 第１３题图 　　　　　　 第１４题图 １４．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，ＡＢ表示塔的高度，ＣＤ表示 竹竿顶端到地面的高度，ＥＦ表示人眼到地面的高度，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ在同一平面内，点Ａ，Ｃ，Ｅ在一条水 平直线上。已知ＡＣ＝２０米，ＣＥ＝１０米，ＣＤ＝７米，ＥＦ＝１．４米，人从点Ｆ远眺塔顶Ｂ，视线恰好经过竹 竿的顶端Ｄ，可求出塔的高度。根据以上信息，塔的高度为　　　　米。 四、解答题（共８小题，共９０分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１２分）（１）化简： ２ ｘ －１ ｘ－１( )÷ｘ ２－４ｘ＋４ ｘ２－２ｘ ； （２）利用数轴，确定不等式组 ３（ｘ＋４）≥２（１－ｘ）， ｘ－１ ２ ＜３－ ２ｘ ３{ 的解集。 １６．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＡＥ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＣ于点Ｆ，Ｇ是 ＢＣ的中点，连接ＦＧ。求证：ＦＧ＝ １ ２ ＡＢ。 １７．（１０分）如图，ｌ是南北方向的海岸线，码头Ａ与灯塔Ｂ相距２４千米，海岛Ｃ位于码头Ａ的北偏东６０° 方向。一艘勘测船从海岛Ｃ沿北偏西３０°方向往灯塔Ｂ行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码 头Ａ北偏东１５°方向的Ｄ处石油资源丰富。若规划修建从Ｄ处到海岸线的输油管道，则输油管道的 最短长度为多少千米？（结果保留根号） １８．（１２分）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试 剂挥发过程中剩余质量ｙ（克）随时间ｘ（分钟）变化的数据（０≤ｘ≤２０），并分别绘制在平面直角坐标 系中，如图所示。 场景Ａ 　　　　　 场景Ｂ （１）从ｙ＝ａｘ＋２１，ｙ＝ ｋ ｘ ，ｙ＝－０．０４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下ｙ随ｘ变化的 函数关系，并求出相应的函数表达式； ２ ２０２３年潍坊市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — １０— — １１— — １２— （２）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为３克。在上述实验中，该化学试剂在哪种场景 下发挥作用的时间更长？ １９．（１２分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投１篇稿件。学期 末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查。 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表。 投稿篇数（篇） １ ２ ３ ４ ５ 七年级频数（人） ７ １０ １５ １２ ６ 八年级频数（人） ２ １０ １３ ２１ ４ 【数据的描述与分析】 （１）求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数分布直方图； 　　　七年级样本学生投稿篇数扇形统计图　　八年级样本学生投稿篇数频数分布直方图 　　　　　　　　 （２）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 ３ ３ ｘ １．４８ 八年级 ｍ ｎ ３．３ １．０１ 直接写出表格中ｍ，ｎ的值，并求出ｘ； 【数据的应用与评价】 （３）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做 出评价。 ２０．（１２分）工匠师傅准备从六边形的铁皮 ＡＢＣＤＥＦ中，裁出一块矩形铁皮制作工件。如图所示，经测 量，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ与ＤＥ之间的距离为２米，ＡＢ＝３米，ＡＦ＝ＢＣ＝１米，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝∠Ｆ＝１３５°， ＭＨ，ＨＧ，ＧＮ是工匠师傅画出的裁剪虚线。当ＭＨ的长度为多少时，矩形铁皮ＭＮＧＨ的面积最大，最 大面积为多少？ ２１．（１２分）如图，正方形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，在ＡＢ ) 上取一点Ｅ，连接ＡＥ，ＤＥ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＡＥ，交⊙Ｏ于 点Ｇ，交ＤＥ于点Ｆ，连接ＣＧ，ＤＧ。 （１）求证：△ＡＤＦ≌△ＣＤＧ； （２）若ＡＢ＝２，∠ＢＡＥ＝３０°，求阴影部分的面积。 ２２．（１２分）【材料阅读】 用数形结合的方法，可以探究ｑ＋ｑ２＋ｑ３＋…＋ｑｎ＋…的值，其中０＜ｑ＜１。 例：求 １ ２ ＋１ ２( ) ２ ＋１ ２( ) ３ ＋…＋ １ ２( ) ｎ ＋…的值。 方法１：借助面积为１的正方形，观察图１可知， １ ２ ＋１ ２( ) ２ ＋１ ２( ) ３ ＋…＋ １ ２( ) ｎ ＋…的结果等于该正方形的面积，即 １ ２ ＋１ ２( ) ２ ＋１ ２( ) ３ ＋…＋ １ ２( ) ｎ ＋…＝１。 方法２：借助函数ｙ＝ １ ２ ｘ＋ １ ２ 和ｙ＝ｘ的图象，观察图２可知， １ ２ ＋１ ２( ) ２ ＋１ ２( ) ３ ＋…＋ １ ２( ) ｎ ＋…的结果等于ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函 数图象的交点到ｘ轴的距离。 因为两个函数图象的交点（１，１）到ｘ轴的距离为１， 所以 １ ２ ＋１ ２( ) ２ ＋１ ２( ) ３ ＋…＋ １ ２( ) ｎ ＋…＝１。 【实践应用】 任务一：完善 ２ ３ ＋２ ３( ) ２ ＋２ ３( ) ３ ＋…＋ ２ ３( ) ｎ ＋…的求值过程。 方法１：借助面积为２的正方形，观察图３可知， ２ ３ ＋２ ３( ) ２ ＋２ ３( ) ３ ＋…＋ ２ ３( ) ｎ ＋…＝　　　　　　。 方法２：借助函数ｙ＝ ２ ３ ｘ＋ ２ ３ 和ｙ＝ｘ的图象，观察图４可知， 因为两个函数图象的交点坐标为　　　　　　， 所以 ２ ３ ＋２ ３( ) ２ ＋２ ３( ) ３ ＋…＋ ２ ３( ) ｎ ＋…＝　　　　　　。 任务二：参照上面的过程，选择合适的方法，求 ３ ４ ＋３ ４( ) ２ ＋３ ４( ) ３ ＋…＋ ３ ４( ) ｎ ＋…的值。 任务三：用方法２求 ｑ＋ｑ２＋ｑ３＋…＋ｑｎ＋…的值（结果用ｑ表示）。 【迁移拓展】 长、宽之比为槡 ５＋１ ２ ∶１的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄 金矩形。 观察图５，直接写出 槡５－１ ２       ２ ＋槡５－１ ２       ４ ＋槡５－１ ２       ｎ ＋…＋槡５－１ ２       ２ｎ ＋…的值。 图１ 　 图２ 　 图３ 图４ 　 图５ ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ。 ∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＤＢＣ＝∠ＣＤＥ。 ∵∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＣＤＥ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ。 ∴ＢＤ＝ＣＤ，ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３ 。 在Ｒｔ△ＣＤＥ中， ＣＥ ＣＤ ＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ １ ３ ， ∴ＣＤ＝３ＣＥ＝３×１＝３。∴ＢＤ＝３。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中， ＢＤ ＡＢ ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝ １ ３ ， ∴ＡＢ＝３ＢＤ＝３×３＝９，即⊙Ｏ的直径为９。 ２１．解：（１）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ。 将（０，４０），（１０，４５），（３０，４９）代入， 得 ４０＝ｃ， ４５＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ， ４９＝９００ａ＋３０ｂ＋ｃ，{ 解得 ａ＝－ １ １００ ， ｂ＝ ３ ５ ， ｃ＝４０。      所以ｙ＝－ １ １００ ｘ２＋ ３ ５ ｘ＋４０。 （２）根据函数表达式得函数对称轴为ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝ － ３ ５ －１ １００ ×２ ＝３０。 故太阳能板与水平地面的夹角为３０度时，日平均太 阳辐射量最大。 （３）ｙ＝－ １ １００ ｘ２＋ ３ ５ ｘ＋４０＝－ １ １００ （ｘ－３０）２＋４９。 如图，延长ＮＦ与过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＧＭ的线交于点 Ｈ， 延长ＡＮ交ＧＭ与点Ｊ。 设ＦＤ＝ｐｍ，则ＡＨ＝ｐｍ，ＡＮ＝２ＡＨ＝２ｐｍ。 ∴ＨＮ＝ ＡＮ２－ＡＨ槡 ２＝槡３ｐｍ。 ∵ＨＮ＝ＦＨ＋ＦＮ＝（ｐ＋４）ｍ， 槡∴ ３ｐ＝４＋ｐ。 ∴ｐ＝槡２３＋２，即ＡＮ＝（槡４３＋４）ｍ。 ∵∠ＡＪＧ＝∠ＡＧＪ，∴ＡＪ＝ＡＧ。 ∵ＡＪ＝ＡＮ＋ ＮＭ ｃｏｓ６０° ＝（槡４３＋６）ｍ， ∴ＡＧ＝（槡４３＋６）ｍ。∴ＣＧ＝ＡＧ－ＡＣ＝（槡４３＋５）ｍ。 ∴ＣＤ＝ＣＧ·ｓｉｎ３０°＝ ＣＧ ２≈ ２．５＋２×１．７３２≈６．０（ｍ）。 ∴ＣＤ的长约为６．０ｍ。 ２２．解：（１）当喷洒半径为９ｍ时， 喷洒的圆面积ｋ＝π×９２＝８１π （ｍ２）。 正方形草坪的面积ｓ＝１８２＝３２４（ｍ２）。 故喷洒覆盖率ρ＝ ｋ ｓ ＝８１π ３２４ ＝π ４≈ ０．７８５。 故答案为０．７８５。 （２）对于任意的 ｎ，喷洒面积 ｋｎ＝ｎ ２π ９ ｎ( ) ２ ＝８１π （ｍ２），而草坪面积始终为３２４ｍ２， 因此，无论ｎ取何值，喷洒覆盖率始终为π ４≈ ０．７８５。 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒 覆盖率不起作用。 （３）如图，连接ＥＦ。 要使喷洒覆盖率ρ＝１，即要求 ｋ ｓ ＝１，其中 ｓ为草坪面 积，ｋ为喷洒面积。 ∴⊙Ｏ１，⊙Ｏ２，⊙Ｏ３，⊙Ｏ４都经过正方形的中心点Ｏ， 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＥＦ＝２ｒｍ，ＡＥ＝ｘｍ。 ∵ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ，∴ＡＦ＝（１８－ｘ）ｍ。 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＥ２＋ＡＦ２＝ＥＦ２， 即４ｒ２＝ｘ２＋（１８－ｘ）２。 ∴ｙ＝πｒ２＝π ｘ２＋（１８－ｘ）２ ４ ＝π ２ （ｘ－９）２＋ ８１π ２ 。 ∴当ｘ＝９时，ｙ取得最小值， 此时４ｒ２＝９２＋９２，解得ｒ＝槡 ９２ ２ 。 （４）由（３），得当⊙Ｏ１的面积最小时， 此时圆为边长为９ｍ的正方形的外接圆。 当ｒ＝槡３２ｍ时，圆的内接正方形的边长为 槡２ ２ ×２×槡３２ ＝６（ｍ）。 而草坪的边长为１８ｍ， １８ ６ ＝３，即将草坪分为 ９个正 方形，将半径为 槡３２ｍ的自动喷洒装置放置于９个正 方形的中心，此时所用装置个数最少。所以至少安装 ９个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝１。 ２２０２３年潍坊市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ ＢＣ ＡＢ ＢＣ ＡＣ １．Ｄ　【解析】∵－ 槡１＜０＜１＜２，∴在实数１，－１，０，槡２中， 最大的数是槡２。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； Ｃ是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；Ｄ既 是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】由数轴可得ａ＜ｂ＜０＜ｃ，｜ｃ｜＜｜ｂ｜＜｜ａ｜，∴－ｃ＞ ｂ，故选项Ａ错误，不符合题意；ａ＜－ｃ，故选项 Ｂ错误，                                                                —３— 不符合题意；｜ａ－ｂ｜＝ｂ－ａ，故选项 Ｃ正确，符合题意； ｜ｃ－ａ｜＝ｃ－ａ，故选项Ｄ错误，不符合题意。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】从上面看可得俯视图是 。 故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】由题意，得当ｘ＞３时，ｙ１＞ｙ２，故选项Ａ结论 错误，不符合题意；当 ｘ＜－１时，ｙ１＜ｙ２，故选项 Ｂ结论 正确，符合题意；当０＜ｘ＜３时，ｙ１＜ｙ２，故选项Ｃ结论错 误，不符合题意；当－１＜ｘ＜０时，ｙ１＞ｙ２，故选项 Ｄ结论 错误，不符合题意。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】如图，过点 Ｂ 作ＢＥ⊥ｘ轴于点Ｅ， ∴∠ＢＥＡ＝９０°。 ∵点Ａ的坐标为（－２，０）， ∴ＯＡ＝２。 ∵四边形ＯＡＢＣ是菱形， ∴ＡＢ＝ＯＡ＝２，ＡＢ∥ＯＣ。 ∴∠ＥＡＢ＝∠ＡＯＣ＝６０°。 ∴∠ＡＢＥ＝３０°。 ∴ＡＥ＝ １ ２ ＡＢ＝ １ ２ ×２＝１。∴ＯＥ＝ＡＥ＋ＯＡ＝１＋２＝３。 由勾股定理，得ＢＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２＝ ２２－１槡 ２＝槡３， ∴点Ｂ的坐标为（－３，槡３）。 将菱形ＯＡＢＣ沿ｘ轴向右平移 １个单位长度，再沿 ｙ 轴向下平移１个单位长度，得到菱形Ｏ′Ａ′Ｂ′Ｃ′， ∴点Ｂ′的坐标为（－２，槡３－１）。故选Ａ。 ７．ＢＣ　【解析】Ａ．３－槡 ６４＝－４，本选项不符合题意； 槡Ｂ．４＝ ２，本选项符合题意；Ｃ．（－３ａ）２＝９ａ２，本选项符合题 意；Ｄ．ａ２·ａ３＝ａ５，本选项不符合题意。故选ＢＣ。 ８．ＡＢ　【解析】Ａ．在一个三角形中至少有两个锐角，本 选项符合题意；Ｂ．在圆中，垂直于弦的直径平分弦，本 选项符合题意；Ｃ．如果两个角互余，那么它们的补角 不互余，本选项不符合题意；Ｄ．两条平行线被第三条 直线所截，同位角一定相等，本选项不符合题意。 故选ＡＢ。 ９．ＢＣ　【解析】∵抛物线ｙ＝ａｘ２－５ｘ－３经过点（－１，４）， ∴４＝ａ－５×（－１）－３。∴ａ＝２。 ∴抛物线的表达式为ｙ＝２ｘ２－５ｘ－３。 Ａ．∵ａ＝２＞０，∴抛物线开口向上，本选项不符合题意； Ｂ．∵ａ＝２，ｂ＝－５，∴抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－ －５ ２×２ ＝５ ４ ，本选项符合题意； Ｃ．∵ａ＝２，ｂ＝－５，ｃ＝－３， ∴Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×２×（－３）＝４９＞０。 ∴抛物线与ｘ轴有两个交点，本选项符合题意； Ｄ．∵抛物线的表达式为ｙ＝２ｘ２－５ｘ－３， 即ｙ＝２ｘ－ ５ ４( ) ２ －４９ ８ ， ∴将抛物线向上移动超过 ４９ ８ 个单位长度时，抛物线与 ｘ轴无交点，即当 ｔ＜－ ４９ ８ 时，关于 ｘ的一元二次方程 ａｘ２－５ｘ－３－ｔ＝０没有实根，本选项不符合题意。 故选ＢＣ。 １０．ＡＣ　【解析】如图１， 图１ 由题意可得ＡＢ＝ＣＥ＝１２，ＡＢ＋ＯＢ＝ＯＥ＝１７，ＤＦ＝ＡＢ＝ １２，ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ＝５， ∴ＣＦ＝ＤＦ－ＣＤ＝１２－１０＝２。故选项Ａ符合题意； ＥＦ＝ＣＥ－ＣＦ＝１２－２＝１０。故选项Ｂ不符合题意； 如图２，当ＡＢ与⊙Ｏ相切时，∠ＡＢＯ＝９０°， 图２ ∴ＯＡ＝ ＡＢ２＋ＯＢ槡 ２＝１３。 ∴ＡＥ＝ＯＥ－ＯＡ＝１７－１３＝４。故选项Ｃ符合题意； 当ＯＢ⊥ＣＤ时，如图３， 图３ ∴ＯＡ＝ ＡＢ２－ＯＢ槡 ２＝ １２２－５槡 ２＝槡１１９。 ∴ＡＥ＝ＯＥ－ＯＡ＝１７－槡１１９，ＡＦ＝ＯＡ－ＯＦ＝槡１１９－２－５＝ 槡１１９－７。 ∴ＡＥ≠ＡＦ。故选项Ｄ不符合题意。故选ＡＣ。 １１．槡 ５２ ２ －槡２３（答案不唯一）　【解析】若“□”是－槡２，“” 是槡３，则 （－槡２＋槡３） ２÷槡２＝（５－ 槡２６）÷槡２＝ 槡５２ ２ － 槡２３；若“□”是－槡２，“”是槡６，则 （－槡２＋槡６） ２÷槡２＝ （８－ 槡２ １２）÷槡２＝槡４２－槡２６；若“□”是槡３，“”是槡６， 则 （槡３＋槡６） ２÷槡２＝（９＋ 槡２ １８）÷槡２＝ 槡９２ ２ ＋６。故计 算该算式的结果可以为 槡 ５２ ２ －槡２３。（答案不唯一） １２．０．６１８　【解析】∵ｘ２＋ｘ－１＝０，∴ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝－１， Δ＝ｂ２－４ａｃ＝１２－４×１×（－１）＝５。 ∴ｘ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ － 槡１±５ ２ 。 ∴ｘ１＝ －１－槡５ ２ ≈ －１．６１８（舍去），ｘ２＝ －１＋槡５ ２ ≈ ０．６１８。                                                                —４— １３． １ ６ 　【解析】列表如下： 　 第一枚 第二枚　　 １ ２ ３ ４ ５ ６ １ （１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（１，６） ２ （２，１）（２，２）（２，３）（２，４）（２，５）（２，６） ３ （３，１）（３，２）（３，３）（３，４）（３，５）（３，６） ４ （４，１）（４，２）（４，３）（４，４）（４，５）（４，６） ５ （５，１）（５，２）（５，３）（５，４）（５，５）（５，６） ６ （６，１）（６，２）（６，３）（６，４）（６，５）（６，６） 由表可知共有３６种等可能的结果，其中朝上一面的 点数之和为７的结果有６种， 所以投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为 ７的概 率是 ６ ３６ ＝１ ６ 。 １４．１８．２　【解析】如图，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＣＤ，垂足为Ｇ，延 长ＦＧ交ＡＢ于点Ｈ。 由题意，得 ＦＨ⊥ＡＢ，ＡＨ＝ ＣＧ＝ＥＦ＝１．４米，ＡＣ＝ＧＨ ＝２０米，ＣＥ＝ＦＧ＝１０米， ∴∠ＤＧＦ＝∠ＢＨＦ＝９０°。 ∵ＣＤ＝７米， ∴ＤＧ＝ＣＤ－ＣＧ＝７－１．４＝５．６（米）。 ∵∠ＤＦＧ＝∠ＢＦＨ，∴△ＦＤＧ∽△ＦＢＨ。∴ ＤＧ ＢＨ ＝ＦＧ ＦＨ 。 ∴ ５．６ ＢＨ ＝ １０ １０＋２０ 。∴ＢＨ＝１６．８米。 ∴ＡＢ＝ＢＨ＋ＡＨ＝１６．８＋１．４＝１８．２（米）。 ∴塔的高度为１８．２米。 １５．解：（１） ２ ｘ －１ ｘ－１( ) ÷ｘ ２－４ｘ＋４ ｘ２－２ｘ ＝２（ｘ －１）－ｘ ｘ（ｘ－１） · ｘ（ｘ－２） （ｘ－２）２ ＝ ｘ－２ ｘ（ｘ－１） · ｘ ｘ－２ ＝１ ｘ－１ 。 （２） ３（ｘ＋４）≥２（１－ｘ），① ｘ－１ ２ ＜３－ ２ｘ ３ ，②{ 解不等式①，得ｘ≥－２， 解不等式②，得ｘ＜３， 在数轴上表示不等式①，②的解集如图所示。 因此原不等式组的解集为－２≤ｘ＜３。 １６．证明：∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ。 ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＦＥＣ＝∠ＢＣＤ。 ∴∠ＡＣＤ＝∠ＦＥＣ。∴ＥＦ＝ＣＦ。 ∵ＡＥ⊥ＣＤ，∴∠ＡＥＣ＝９０°。 ∴∠ＥＡＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝９０°。 ∴∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＦ。∴ＡＦ＝ＥＦ。∴ＡＦ＝ＣＦ。 ∵Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＧＦ是△ＡＢＣ的中位线。 ∴ＦＧ＝ １ ２ ＡＢ。 １７．解：如图，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，标注Ｆ，Ｇ。 由题意，得∠ＢＡＤ＝１５°， ∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＢＣＦ＝３０°， ＡＢ∥ＦＧ， ∴∠ＡＣＧ＝∠ＢＡＣ＝６０°， ∠ＢＣＦ＝∠ＡＢＣ＝３０°。 ∴∠ＡＣＢ＝１８０°－∠ＡＣＧ－∠ＢＣＦ＝９０°。 ∵ＡＢ＝２４千米， ∴ＡＣ＝ １ ２ ＡＢ＝１２（千米），ＢＣ＝槡３ ＡＣ＝ 槡１２３（千米）。 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝４５°， ∴ＣＤ＝ＡＣ·ｔａｎ４５°＝１２（千米）。 ∴ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝ 槡１２３－１２（千米）。 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，∠ＡＢＣ＝３０°， ∴ＤＥ＝ １ ２ ＢＤ＝槡６３－６（千米）。 ∴输油管道的最短长度为（槡６３－６）千米。 １８．解：（１）观察两种场景可知，场景Ａ的函数表达式为 ｙ＝－０．０４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，场景 Ｂ的函数表达式为 ｙ＝ ａｘ＋２１， 把（１０，１６），（２０，３）代入ｙ＝－０．０４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 －４＋１０ｂ＋ｃ＝１６， －１６＋２０ｂ＋ｃ＝３，{ 解得 ｂ＝－０．１，ｃ＝２１。{ ∴ｙ＝－０．０４ｘ２－０．１ｘ＋２１。 把（５，１６）代入ｙ＝ａｘ＋２１，得５ａ＋２１＝１６，解得ａ＝－１， ∴ｙ＝－ｘ＋２１。 ∴场景Ａ的函数表达式为ｙ＝－０．０４ｘ２－０．１ｘ＋２１，场景 Ｂ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋２１。 （２）当ｙ＝３时，场景Ａ中，ｘ＝２０（负值舍去）， 场景Ｂ中，ｘ＝１８。 ∵２０＞１８，∴化学试剂在场景 Ａ下发挥作用的时间 更长。 １９．解：（１）α＝３６０°×（１－１４％－３０％－２４％－１２％）＝７２°。 补全频数分布直方图如下： 八年级样本学生投稿篇数频数分布直方图 （２）∵八年级投稿篇数数据由小到大排列后，第２５， ２６个数据分别为３，４， ∴ｍ＝ ３＋４ ２ ＝３．５。 ∵八年级投稿篇数为４出现次数最多，∴ｎ＝４。 ｘ＝ ７×１＋１０×２＋１５×３＋１２×４＋６×５ ７＋１０＋１５＋１２＋６ ＝３。                                                                —５— （３）从平均数看八年级平均数高于七年级平均数，所 以八年级投稿数量多于七年级；从方差看八年级方 差小于七年级方差，说明八年级投稿情况波动较小， 所以八年级投稿情况好于七年级。（答案不唯一） ２０．解：如图，连接ＣＦ，与ＭＨ交于点Ｑ，与ＧＮ交于点Ｐ。 ∵ＡＦ＝ＢＣ＝１米，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， ∴ＡＦ∥ＢＣ。 ∴四边形ＡＢＣＦ是矩形。 ∵四边形ＭＮＧＨ是矩形， ∴∠ＨＭＮ＝∠ＭＮＧ＝９０°， ＭＨ＝ＮＧ。 ∴ＡＦ∥ＭＨ∥ＮＧ∥ＢＣ。 ∴∠ＨＱＦ＝∠ＧＰＣ＝９０°，ＭＱ＝ＡＦ＝ＮＰ＝ＢＣ＝１米。 ∵∠ＢＣＧ＝∠ＡＦＨ＝１３５°，∴∠ＨＦＱ＝∠ＧＣＰ＝４５°。 ∴ＦＱ＝ＨＱ，ＣＰ＝ＧＰ。∴ＦＱ＝ＨＱ＝ＭＨ－ＭＱ＝ＭＨ－１。 同理可得ＣＰ＝ＭＨ－１， ∴ＡＭ＝ＢＮ＝ＭＨ－１。 ∴ＭＮ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＮ＝３－（ＭＨ－１）－（ＭＨ－１）＝ ５－２ＭＨ。　 ∴Ｓ矩形ＭＮＧＨ＝ＭＮ·ＭＨ＝（５－２ＭＨ）·ＭＨ ＝５ＭＨ－２ＭＨ２＝－２（ＭＨ２－ ５ ２ ＭＨ） ＝－２ＭＨ－ ５ ４( ) ２ ＋２５ ８ 。 ∵１米＜ＭＨ＜２米， ∴当ＭＨ的长度为 ５ ４ 米时，矩形铁皮 ＭＮＧＨ的面积 最大，最大面积为 ２５ ８ 平方米。 ２１．（１）证明：∵ＡＧ⊥ＡＥ，∴∠ＥＡＧ＝９０°。 ∴∠ＥＤＧ＝∠ＥＡＧ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＣ＝９０°。 ∵∠ＡＤＦ＋∠ＦＤＣ＝∠ＣＤＧ＋∠ＦＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＧ。 在△ＡＤＦ和△ＣＤＧ中， ∠ＦＡＤ＝∠ＧＣＤ， ＡＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＧ，{ ∴△ＡＤＦ≌△ＣＤＧ（ＡＳＡ）。 （２）解：如图，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＡＧ于点 Ｈ，连接 ＯＡ，ＯＤ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ＝２， ∠ＡＧＤ＝ １ ２∠ ＡＯＤ＝ １ ２ × ９０°＝４５°。 ∵∠ＤＡＧ＋∠ＢＡＧ＝∠ＢＡＥ＋ ∠ＢＡＧ＝９０°， ∴∠ＤＡＧ＝∠ＢＡＥ＝３０°。 ∵ＤＨ⊥ＡＧ，∴∠ＤＨＧ＝９０°。 ∵∠ＦＤＧ＝９０°， ∴△ＨＤＧ和△ＤＦＧ都是等腰直角三角形。 在Ｒｔ△ＡＤＨ中，∠ＤＡＧ＝３０°， ∴ＤＨ＝ １ ２ ＡＤ＝ １ ２ ×２＝１＝ＨＧ，ＡＨ＝ ＡＤ２－ＤＨ槡 ２＝槡３。 ∴ＡＧ＝ＡＨ＋ＨＧ＝槡３＋１，ＤＦ＝ＤＧ＝槡２ＤＨ＝槡２。 ∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＡＤＧ－Ｓ△ＤＦＧ＝ １ ２ （槡３＋１）×１－ １ ２ ×槡２×槡２ ＝槡３ －１ ２ 。 ∵ＯＡ＝ＯＤ，∠ＡＯＤ＝９０°， ∴△ＡＯＤ是等腰直角三角形。∴ＯＡ＝槡 ２ ２ ＡＤ＝槡２。 ∴Ｓ弓形ＡＤ＝Ｓ扇形ＡＯＤ－Ｓ△ＡＯＤ＝ ９０π（槡２） ２ ３６０ －１ ２ ×槡２×槡２＝ π ２ －１。 ∴Ｓ阴影部分＝Ｓ△ＡＤＦ＋Ｓ弓形ＡＤ＝ 槡３－１ ２ ＋π ２ －１＝槡 ３＋π－３ ２ 。 ２２．解：【实践应用】任务一：２　（２，２）　２ 任务二： 方法１：借助面积为３的正方形，观察图１可知， ３ ４ ＋ ３ ４( ) ２ ＋ ３ ４( ) ３ ＋…＋ ３ ４( ) ｎ ＋…＝３。 图１ 方法２：借助函数ｙ＝ ３ ４ ｘ＋ ３ ４ 和ｙ＝ｘ的图象，观察图２ 可知， 因为两个函数图象的交点坐标为 （３，３）， 所以 ３ ４ ＋ ３ ４( ) ２ ＋ ３ ４( ) ３ ＋…＋ ３ ４( ) ｎ ＋…＝３。 图２ 任务三： 借助函数ｙ＝ｑｘ＋ｑ和ｙ＝ｘ的图象，观察图３可知， 因为两个函数图象的交点坐标为 ｑ １－ｑ ， ｑ １－ｑ( ) ， 所以ｑ＋ｑ２＋ｑ３＋…＋ｑｎ＋…＝ ｑ １－ｑ 。                                                                —６— 图３ 【迁移拓展】如图 ４，槡５－１ ２( ) ２ ＋槡５－１ ２( ) ４ ＋槡５－１ ２( ) ｎ ＋…＋槡５－１ ２( ) ２ｎ ＋…＝槡 ５－１ ２ 。 图４ ３２０２２年潍坊市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ ＡＣＤＡＢＤＡＤＡＣ １．Ｃ　【解析】Ａ．圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯 视图是圆，不符合题意；Ｂ．圆锥的主视图是三角形，左 视图是三角形，俯视图是圆心处有一个点的圆，不符 合题意；Ｃ．球的三视图都是圆，符合题意；Ｄ．正方体的 三视图都是正方形，不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】∵４＜５＜９， 槡∴２＜５＜３。 槡∴１＜５－１＜２。 ∴ １ ２ ＜槡 ５－１ ２ ＜１。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】 ｘ＋１≥０，① ｘ－１＜０，②{ 解不等式①，得ｘ≥－１。 解不等式②，得ｘ＜１。∴不等式组的解集为－１≤ｘ＜１， 在数轴上表示为 。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】∵ｙ＝ｘ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个公共点， ∴ｘ２＋ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根。 ∴Δ＝１－４ｃ＝０，解得ｃ＝ １ ４ 。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与 镜面的夹角，可得∠１＝∠２。∵∠１＝４０°１０′，∴∠２＝ ４０°１０′。∴∠５＝１８０°－∠１－∠２＝１８０°－４０°１０′－４０°１０′＝ ９９°４０′。∵ｌ∥ｍ，∴∠６＝∠５＝９９°４０′。故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】Ａ．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题 意；Ｂ．∵图象经过点（２，８０），（４，６０），∴２×８０＝１６０，４× ６０＝２４０，１６０≠２４０。∴图中曲线不是反比例函数的图 象，该选项不符合题意；Ｃ．∵图象经过点（４，６０），∴海拔为 ４千米时，大气压约为６０千帕，该选项不符合题意；Ｄ．图 中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系， 该选项符合题意。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】设 ２０２１年 ３月原油进口量为 ｘ万吨，则 ２０２２年３月原油进口量比２０２１年３月增加（４２７１－ｘ） 万吨。依题意，得 ４２７１－ｘ ｘ ×１００％＝－１４．０％。故选Ｄ。 ８．Ａ　【解析】如图１，当 ０≤ｘ≤１时，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ＡＢ 于点Ｇ。 ∵∠Ａ＝６０°，ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ，∴ＡＧ＝ １ ２ ｘ。 由勾股定理，得ＦＧ＝槡 ３ ２ ｘ。∴ｙ＝ １ ２ ＡＥ×ＦＧ＝槡 ３ ４ ｘ２。 图象是一段开口向上的抛物线； 图１ 　 图２ 如图２，当１＜ｘ＜２时，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ。 ∵∠ＤＡＨ＝６０°，ＡＥ＝ｘ，ＡＤ＝１，ＤＦ＝ｘ－１，∴ＡＨ＝ １ ２ 。 由勾股定理，得ＤＨ＝槡 ３ ２ 。 ∴ｙ＝ １ ２ （ＤＦ＋ＡＥ）×ＤＨ＝槡 ３ ２ ｘ－槡 ３ ４ 。 图象是一条线段； 如图３，当２≤ｘ≤３时，过点Ｅ作ＥＩ⊥ＣＤ于点Ｉ。 图３ ∠Ｃ＝∠ＤＡＢ＝６０°，ＣＥ＝ＣＦ＝３－ｘ， 同理求得ＥＩ＝槡 ３ ２ （３－ｘ）。 ∴ｙ＝ＡＢ×ＤＨ－ １ ２ ＣＦ×ＥＩ＝槡３－ 槡３ ４ （３－ｘ）２＝－槡 ３ ４ ｘ２＋ 槡３３ ２ ｘ－槡 ５３ ４ 。图象是一段开口向下的抛物线。 观察四个选项，只有选项Ａ符合题意。故选Ａ。 ９．ＡＣＤ　【解析】平均数、众数、中位数都能反映这组数 据的集中趋势，因此能够描述这组数据集中趋势的是 平均数、众数、中位数。故选ＡＣＤ。 １０．ＡＢＤ　【解析】Ａ．当ｂ＝０，ａ≠０时， ａｂ＝０，该选项符合题意； Ｂ．如图，四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ＝ＢＤ，但四边形ＡＢＣＤ不是矩 形，该选项符合题意； Ｃ．函数ｙ＝ ２ ｘ 的图象是中心对称 图形，该选项不符合题意；Ｄ．多边形的外角和都相等， 等于３６０°，该选项符合题意。故选ＡＢＤ。 １１．ＡＤ　【解析】由题意可知，ａ＜０＜ｂ，且｜ａ｜＞｜ｂ｜，Ａ． ａ ｂ ＞                                                                —７—