5.3.3 函数的最大(小)值 课件- 2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用 第五章 一元函数的导数及其应用 课时3 函数的最大(小)值 新知探究 探究一：函数的最大(小)值 情境设置 问题1：如图，观察区间上函数的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 问题2：对上述的函数，你能找出它在区间上的最大值、最小值吗？在区间(𝑎,𝑏) 上呢？ 2 新知生成 知识点一 函数的最大(小)值 1.若函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[𝑎,𝑏] 上一定 能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得. 2.对函数最值的三点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的连续函数不一定有最值，若有唯 一的极值，则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (3)“函数𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续”是“函数𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏] 上有最大值或最小值”的充 分不必要条件. 3 一、函数的最值 例题1 求函数在上的最大值与最小值. 【解析】 ，当时，或 ； 当时， . 所以在上，当时，取得极小值，极小值为 . 又，， 所以函数在 上的最大值为4，最小值 为 . 4 反思感悟 方法总结 1.求函数在闭区间 上的最值的方法： (1)求函数的导函数 ； (2)计算函数在区间内使得的所有点的函数值以及端点的函 数值与 ； (3)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. 2.求一个函数在无穷区间（或开区间）上的最值与在闭区间上的最值的方法是不 同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 5 新知运用 跟踪训练1 求下列函数的最值. (1) ，， ； (2) . 【解析】(2) 函数的定义域是，且 .令，得或；令，得 .故函数 在和内单调递增，在内单调递减.因此函数 在 处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为 . 令，得或；令 ，得 ，所以函数的大致图象如图所示. 由函数图象可得，，函数无最大值. 6 二、含参函数的最值问题 例题2 已知函数， . (1)讨论函数𝑓(𝑥) 的单调性； (2) 求函数在区间上的最小值. 【解析】(1) 函数的定义域是 ， . 当时，恒成立，在 上单调递减； 当时，，时，；，时， ， 所以在，上单调递减，在， 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减， 在，上单调递增. 7 二、含参函数的最值问题 例题2 已知函数， . (1)讨论函数𝑓(𝑥) 的单调性； (2) 求函数在区间上的最小值. 【解析】(2) 由(1)可知， 当时，在上单调递减， ； 当，即时，在上单调递减， ； 当，即时，在，上单调递减，在，上单调递增， . 综上，当时，；当时， . 8 反思感悟 方法总结 对于含参函数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故解此类问题时，可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定． 9 新知运用 跟踪训练2 已知函数，.求函数. 【解析】 ， 令，解得， . ①当时，在上单调递减，在 上单调递增， 所以 . ②当时，，在上单调递增，所以 . ③当时，在，上单调递减，在， 上单调递增， 所以 . 综上所述，当时，的最小值为 ； 当时， 的最小值为0； 当时，的最小值为 . 10 三、由函数的最值求参数问题 例题3 已知函数，是否存在实数，，使在上取得最 大值3，最小值？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 【解析】由显然， . 令，解得或 （舍去）， 当时，在上变化时，， 的变化情况如表所示： 所以当时，有最大值， . 又，， ， 所以当时，取得最小值，即，解得 . 0 0 - 单调递增 极大值 单调递减 11 三、由函数的最值求参数问题 例题3 已知函数，是否存在实数，，使在上取得最 大值3，最小值？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 【解析】当时，在上变化时，， 的变化情况如表所示： 所以当时，有最小值， ， 又，， ， 所以当时， 取得最大值， 所以，解得 . 综上可得，存在实数，满足条件，，或， . 0 - 0 单调递减 极小值 单调递增 12 反思感悟 方法总结 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.结合已知求出参数，进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内. 13 新知运用 跟踪训练3 已知，为常数,且，函数， 的 极大值为2，且在区间上的最小值为，求，的值. 【解析】 . 令，解得， .， . 当变化时，， 的变化情况如表所示： 的极大值为，即 . ①当时，在上为减函数，在 上为增函数， 为最小值，且 ， 即，解得（和 舍去）. 又， ，， . ②当时，可知在 上单调递减， 当时，取到 上的最小值. ， 解得 .， 此时没有符合条件的， .综上所述，满足题意的𝑎的值为1， 的值为0. 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增 14 随堂检测 1. 函数在上的( ) . A.最小值为0，最大值为 B.最小值为0，最大值为 C.最小值为1，最大值为 D.最小值为1，最大值为 2. (多选题)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( ) . A.是函数 的极值点 B.是函数 的最小值点 C.在区间 上单调递增 D.在 处的切线的斜率小于零 3. 函数的最大值为( ) . A. B. C. D. BD D D 15 随堂检测 4. 已知函数在处取得极值，若，则的最小 值为____. 【解析】 ，由在处取得极值知 ,即 ，故 . 由此可得， ， 在上单调递减，在 上单调递增， 当时， . -4 16 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的最值； (2)含参函数的最值问题； (3)由函数的最值求参数问题. 17 $$