专题19.3 平面直角坐标系与几何综合（5大考点4大考点11类题型）（考点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题19.3 平面直角坐标系与几何综合（5大考点4大考点11类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 【知识点1】基本公式与结论 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅垂线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点2】点的坐标与几何图形性质结合 （1）根据几何图形求点的坐标：给出一个几何图形，如三角形、四边形等在平面直角坐标系中的位置，要求根据图形的边长、角度等条件求出某个顶点的坐标。 （2）根据点的坐标判断几何图形性质：给出一些点的坐标，让判断这些点构成的几何图形的形状、大小或相关性质。 【知识点3】平移、旋转、对称等变换与坐标的关系 （1）图形变换后求点的坐标：给出一个几何图形在平面直角坐标系中的初始位置，将其进行平移、旋转或对称变换后，要求求出变换后图形顶点的坐标。 （2）根据点的坐标变化判断图形变换：已知点坐标的变化情况，判断图形进行了何种变换。 【知识点4】几何图形中的动点问题与坐标 动点轨迹问题：一个点在几何图形上按照一定的规律运动，求该动点的轨迹方程或轨迹图形。 【知识点5】坐标法解决几何证明问题 （1）利用坐标计算证明几何定理：将几何图形放在平面直角坐标系中，通过计算点的坐标、线段的长度、直线的斜率等，利用代数方法来证明几何定理。 （2）根据条件建立坐标系证明几何问题：根据给定的几何问题，合理建立平面直角坐标系，将几何元素用坐标表示，然后通过代数运算和推理来证明几何结论。比如，对于一些具有对称性质的几何图形，通过建立合适的坐标系，可以使证明过程更加简洁明了。 第一部分【考点梳理与题型目录】 【考点一】点的坐标与几何图形性质结合 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形..............................................2 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形..............................................6 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形.............................................10 【题型4】平面直角坐标系中的全等三角形.............................................15 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型5】平面直角坐标系中的图形平移...............................................19 【题型6】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠）.....................................23 【题型7】平面直角坐标系中的图形的旋转.............................................27 【题型8】平面直角坐标系中“将军饮马”问题.........................................30 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型9】平面直角坐标系中几何动点问题.............................................34 【题型10】平面直角坐标系中几何规律问题............................................40 【考点四】建立平面直角坐标系中解决几何问题 【题型11】建立平面直角坐标系解决几何问题..........................................44 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】点的坐标与几何图形性质结合 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形 【例1】（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在等腰中，，． （1）点A的坐标是______； （2）若点P在y轴上，且为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质运用分类讨论的思想解题是关键． （1）过点A作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得点A的坐标； （2）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；分别进行计算即可． 解：（1）过点A作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标的坐标为， 故答案为：； （2）∵点P在y轴上，且为等腰三角形， ∴当时，点的坐标为或； 当时，如图，过点A作于点， 此时， ∴点的坐标为； 当时，如图，过点A作于点， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， ∴点的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或或． 【变式1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一．过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，点的坐标为，点位于轴的正半轴上．若是等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，勾股定理等知识，根据题意分、和三种情况讨论，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．学会分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 解：∵， ∴． ①当时，， 则． ②当时，， 则． ③当时， 设， 则，， ∴， 解得， ∴． 综上，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形 【例2】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，在直角坐标系中，，且，点D在第一象限内，，点B在线段上，射线相交于M，相交于N． （1）求点D的坐标； （2）求证：为直角三角形． （3）求证： 【答案】（1）点D的坐标；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）过D作轴于H，得到，证明 ，结合，得到，得到，，即得点D的坐标； （2）根据，得到，，，，即得为直角三角形． （3）根据，，得到，结合，得到，即得． 解：（1）解：过D作轴于H． 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形．    （3）解：∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角坐标系中，直角三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可． 解：由矩形和折叠可知， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键． 【变式2】（20-21八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理．因为点、、在轴上，所以、、三点不能构成三角形．再分和两种情况进行分析即可． 解：点、、在轴上， 、、三点不能构成三角形． 设点的坐标为． 当为直角三角形时， ①，点在原点处坐标为； ②时，如图， ， ， ， 解得，， 点的坐标为； 当为直角三角形时， ①，点在原点处坐标为； ②时， ，， ， 点的坐标为． 综上所述点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形， （1）求点，点的坐标； （2）如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 【答案】（1），；（2）①3；②点Q的横坐标为5或7． 【分析】（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标； （2）①当时，最小，利用含30度直角三角形性质即可求解； ②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作，证明，则得，过Q作轴于E，利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧时，同理可得． 解：（1）解：∵，且， ∴， 即， 解得：， ∴，； （2）解：∵是等边三角形，是的外角平分线， ∴，，， 由A、B的坐标知，； ①当时，最小， 则， ∴； 故答案为：3； ②当点P在点B左侧时，如图，过点P作交于H；    则， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； 过Q作轴于E， ∵平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为5； 当点P在点B右侧时，如图，过点P作交延长线于H；    则同理可得：是等边三角形，且，； 同理证明， ∴； 过Q作轴于E，则， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为7． 综上，点Q的横坐标为5或7． 【点拨】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，垂线段最短等知识，构造适当辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一个边长为3的等边三角形和一个边长为6的等边三角形组成一个“沙漏”图形，其中B，A，D三点共线且平行于x轴，已知点B的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形，作于，由等边三角形的性质可得，，结合勾股定理得出，求出点的横坐标为，点的纵坐标为，即可得解． 解：如图，作于， ， ∵为边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∵点B的坐标为，为边长为的等边三角形， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面直角坐标系中， 射线 与 x 轴的夹角为 ，在 上取一点 A，点 B 是x 轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边三角形，设，则点 C 的横坐标是 ．（用含 m 的式子表示） 【答案】 【分析】分别过点作轴，设交于点E，交于点D，利用等边三角形的性质证明，推出，再根据含30度角的直角三角形求出，得到，即可解答． 解：分别过点作轴，设交于点E，交于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点 C 的横坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出辅助线，没构造三角形全等是解题的关键． 【题型4】平面直角坐标系中的全等三角形 【例4】（23-24八年级上·广东佛山·期中）综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，，，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决；    类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为________． 【答案】（1）证明见分析；（2）点B的坐标为；（3）． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过B作轴于D，先证，再证明，可得，即可解决问题； （3）过点C作轴于点F，过点B作交FC的延长线于点E，过点A作于点D，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴，而于D， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）过B作轴于D，如图2所示：    ∵，, ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． （3）如图3，过点C作轴于点F，过点A作于点D，过点B作交的延长线于点E，    同（1）（2）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为，横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 由题意过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 解：过A和B分别作于D，于E， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 过C作轴于点D，轴于点E，证，得即可解决问题． 解：如图，过C作轴于点D，轴于点E，则， ∵点， ∴， 由题意得是等腰直角三角形，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型5】平面直角坐标系中的图形平移 【例5】（21-22七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且． （1）求点A，B的坐标； （2）将三角形ABC平移，平移后点C的对应点的坐标为，点B的对应点为点D，如图②．求三角形ACD的面积； （3）是一动点，若三角形PCO的面积等于三角形AOC的面积，求出点P的坐标． 【答案】（1）点，点；（2）9；（3）点P的坐标为或 【分析】（1）根据，得，，解出，，即可得，的坐标； （2）根据平移后点的对应点的坐标为，得向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度；根据平移的性质，得点点的坐标；点的坐标；根据，即可； （3）根据，点，得；，即可求出的值． 解：（1）∵ ∴； ∴，解得 ∴，． （2）∵点平移后点的对应点的坐标为 ∴向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度 ∵ ∴， 连接 ∴ ； （3）∵点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的坐标为或． 【点拨】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换，解二元一次方程等知识，解题的关键是掌握解二元一次方程，图形平移的性质． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C的坐标为经过变换得到且点E在y轴上，这种变换可以是（    ） A．绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位长度 B．绕点C逆时针旋转，再向下平移3个单位长度 C．绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 D．绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查图形的旋转平移，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据旋转变换和平移变换对各选项进行判断． 解：∵在中， ∵， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴把绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位得到． 故选：A． 【变式2】（2020·甘肃武威·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】（7,0） 【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解． 解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：， 由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等， 设E点横坐标为a， 则a-6=1，∴a=7， ∴E点坐标为（7,0） ． 故答案为：（7,0） ． 【点拨】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键. 【题型6】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠） 【例6】（23-24八年级下·天津·阶段练习）将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点，点，，点C在边上（C不与点O，B重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边交于点D，且，点B的对应点为点E．设． （1）如图①，当时，求的大小和点E的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； 【答案】（1），；（2）t的取值范围为 【分析】本题考查了坐标与图形、折叠的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可知：，，得出，过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，则四边形是矩形，，求出、的长即可得解； （2）利用含角的直角三角形的性质计算即可得出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∵，， ∴由折叠的性质可知：，， ∴， 过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 点； （2）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 当点E和点A重合时，如图， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的四边形，t的取值范围为． 【变式1】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交轴于点，由四边形是矩形与折叠的性质，证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长，进而得出，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积即可求解． 解：如图所示，设交轴于点，      ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 设到轴的距离为， ∴， 即， 则点的横坐标为． 故选：D． 【点拨】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【题型7】平面直角坐标系中的图形的旋转 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． （1）求点P 的坐标； （2）当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【答案】（1）；（2）的值不发生变化，其值为 2 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、坐标与图形，熟练掌握第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． （1）根据第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求解即可； （2）过点作轴于，于，，由角平分线的性质可得，由得到，证明得到，最后由即可得到答案． 解：（1）解：点在第一象限的角平分线上， ， ， ； （2）解：值不变； 过点作轴于，于， ， 则， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，先求出点坐标，连接，作出旋转后的线段，过点作轴，证明，进而求出的坐标即可． 解：∵为等腰直角三角形，四边形为矩形，，， ∴轴，， ∴， 连接，设旋转后点的对应点为，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故答案为：． 【题型8】平面直角坐标系中“将军饮马”问题 【例8】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，画出，并写出、、的坐标； （2）若直线l上存在点P，使最小，则点P的坐标为____________，的最小值为____________． 【答案】（1）作图见分析；（2），5． 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题， （1）利用轴对称的性质分别作出A，，的对应点，，即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 由作图可知：，最小值为5， 故答案为：，5． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，作点A关于y轴的对称点J，连接JC，过点C作于点H，过点J作于点K．求出，证明可得结论． 解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点J，连接JC，过点C作于点H，过点J作于点K． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决问题． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型9】平面直角坐标系中几何动点问题 【例9】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】（1）①； ；②；（2）见分析 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 解：（1）解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，   ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点拨】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据可得，可判断正确；由，可得，可判断②错误；延长交x轴于E点，由，可得，由可得，进而可得，可判断③正确；由的长为定值，且可得的长也为定值，可判断④错误． 解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 如图，延长交x轴于E点， ，， ， ， ， ， ∴所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变为． 故③正确； ∵点A是轴正半轴上一个定点， ∴的长为定值， ， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的向上移动，线段的值不变， 故④错误． 综上，说法正确的为①③． 故选：B 【点拨】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，当点的坐标为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】此题考查了勾股定理，解题的关键是构造直角三角形并用勾股定理求出边长． 如答图，过点作轴于点轴于点，首先根据勾股定理求出，设点的坐标为，然后根据题意分三种情况讨论，然后分别根据勾股定理求解即可． 解：如答图，过点作轴于点轴于点． ，， ． 设点的坐标为，则， 分三种情况： ①为斜边， ， 解得； ②为斜边， ， 解得；③为斜边， ， 解得． 故当点的坐标为或或时，为直角三角形． 故答案为：或或． 【题型10】平面直角坐标系中几何规律问题 【例10】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． （2）按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； （3）的面积为______ 【答案】（1），，48；（2），；（3） 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 解：（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为： ． 【考点三】建立平面直角坐标系中解决几何问题 【题型11】建立平面直角坐标系解决几何问题 【例11】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，在边长为1的小正方形的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）画出绕点O顺时针旋转后的； （3）点A关于原点对称的点的坐标为 ；的面积是 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）；的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据，两点建立坐标系即可； （2）根据网格结构找出点、绕点顺时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用关于原点对称的特征即可求出点A关于原点对称的点的坐标，再利用割补法即可求出的面积． 解：（1）解：如图所示，平面直角坐标系为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：点A关于原点对称的点的坐标为； 的面积为：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 【答案】（1）见分析，；（2）见分析；（3）是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中的点以及网格问题，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据A，B两点坐标确立平面直角坐标系即可； （2）先确定三点位置，再顺次连接即可； （3）分别计算出、和，由勾股定理逆定理判断即可． 解：（１）如图，即为所求作的平面直角坐标系，点C的坐标为； （2）如图，即为所作； （3）∵、和， 又，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，已知图中点和点的坐标分别为和． （1）请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系； （2）写出点的坐标为________； （3）连接、和得，在轴的负半轴有点满足，则点的坐标为________，________个平方单位； 【答案】（1）见分析；（2）；（3）； 【分析】本题考查了直角坐标系、三角形的面积计算，能找到直角坐标系的原点、横纵坐标的正方向并画出直角坐标系是解答本题的关键． （1）根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向即可得到答案； （2）根据直角坐标的特点，即可写出的坐标； （3）根据点在直角坐标系中的位置，先算出的面积，再根据三角形的面积公式即可算出答案． 解：（1）解：根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向，得到直角坐标系如下图： （2）解：根据直角坐标系的特点，得到点的坐标为：， 故答案为：； （3）解：画图如下： 根据点在直角坐标系中的位置，得到：， 假设点的坐标为， ， 又， ， ， 或， 在轴的负半轴， ， 故的坐标为，个平方单位， 故答案为：；． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 平面直角坐标系与几何综合（5大考点4大考点11类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 【知识点1】基本公式与结论 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅垂线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点2】点的坐标与几何图形性质结合 （1）根据几何图形求点的坐标：给出一个几何图形，如三角形、四边形等在平面直角坐标系中的位置，要求根据图形的边长、角度等条件求出某个顶点的坐标。 （2）根据点的坐标判断几何图形性质：给出一些点的坐标，让判断这些点构成的几何图形的形状、大小或相关性质。 【知识点3】平移、旋转、对称等变换与坐标的关系 （1）图形变换后求点的坐标：给出一个几何图形在平面直角坐标系中的初始位置，将其进行平移、旋转或对称变换后，要求求出变换后图形顶点的坐标。 （2）根据点的坐标变化判断图形变换：已知点坐标的变化情况，判断图形进行了何种变换。 【知识点4】几何图形中的动点问题与坐标 动点轨迹问题：一个点在几何图形上按照一定的规律运动，求该动点的轨迹方程或轨迹图形。 【知识点5】坐标法解决几何证明问题 （1）利用坐标计算证明几何定理：将几何图形放在平面直角坐标系中，通过计算点的坐标、线段的长度、直线的斜率等，利用代数方法来证明几何定理。 （2）根据条件建立坐标系证明几何问题：根据给定的几何问题，合理建立平面直角坐标系，将几何元素用坐标表示，然后通过代数运算和推理来证明几何结论。比如，对于一些具有对称性质的几何图形，通过建立合适的坐标系，可以使证明过程更加简洁明了。 第一部分【考点梳理与题型目录】 【考点一】点的坐标与几何图形性质结合 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形...............................................2 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形...............................................3 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形...............................................4 【题型4】平面直角坐标系中的全等三角形...............................................5 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型5】平面直角坐标系中的图形平移.................................................6 【题型6】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠）.......................................7 【题型7】平面直角坐标系中的图形的旋转...............................................8 【题型8】平面直角坐标系中“将军饮马”问题...........................................9 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型9】平面直角坐标系中几何动点问题..............................................10 【题型10】平面直角坐标系中几何规律问题.............................................11 【考点四】建立平面直角坐标系中解决几何问题 【题型11】建立平面直角坐标系解决几何问题...........................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】点的坐标与几何图形性质结合 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形 【例1】（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在等腰中，，． （1）点A的坐标是______； （2）若点P在y轴上，且为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，点的坐标为，点位于轴的正半轴上．若是等腰三角形，则点的坐标为 ． 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形 【例2】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，在直角坐标系中，，且，点D在第一象限内，，点B在线段上，射线相交于M，相交于N． （1）求点D的坐标； （2）求证：为直角三角形． （3）求证： 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角坐标系中，直角三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ． 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形， （1）求点，点的坐标； （2）如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一个边长为3的等边三角形和一个边长为6的等边三角形组成一个“沙漏”图形，其中B，A，D三点共线且平行于x轴，已知点B的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面直角坐标系中， 射线 与 x 轴的夹角为 ，在 上取一点 A，点 B 是x 轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边三角形，设，则点 C 的横坐标是 ．（用含 m 的式子表示） 【题型4】平面直角坐标系中的全等三角形 【例4】（23-24八年级上·广东佛山·期中）综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，，，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决；    类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为________． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型5】平面直角坐标系中的图形平移 【例5】（21-22七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且． （1）求点A，B的坐标； （2）将三角形ABC平移，平移后点C的对应点的坐标为，点B的对应点为点D，如图②．求三角形ACD的面积； （3）是一动点，若三角形PCO的面积等于三角形AOC的面积，求出点P的坐标． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C的坐标为经过变换得到且点E在y轴上，这种变换可以是（    ） A．绕点C顺时针旋转，再向下平移3个单位长度 B．绕点C逆时针旋转，再向下平移3个单位长度 C．绕点C顺时针旋转，再向下平移1个单位长度 D．绕点C逆时针旋转，再向下平移1个单位长度 【变式2】（2020·甘肃武威·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型6】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠） 【例6】（23-24八年级下·天津·阶段练习）将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点，点，，点C在边上（C不与点O，B重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边交于点D，且，点B的对应点为点E．设． （1）如图①，当时，求的大小和点E的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； 【变式1】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【题型7】平面直角坐标系中的图形的旋转 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． （1）求点P 的坐标； （2）当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【题型8】平面直角坐标系中“将军饮马”问题 【例8】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，画出，并写出、、的坐标； （2）若直线l上存在点P，使最小，则点P的坐标为____________，的最小值为____________． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型9】平面直角坐标系中几何动点问题 【例9】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【变式1】1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，当点的坐标为 时，为直角三角形． 【题型10】平面直角坐标系中几何规律问题 【例10】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． （2）按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； （3）的面积为______ 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【考点三】建立平面直角坐标系中解决几何问题 【题型11】建立平面直角坐标系解决几何问题 【例11】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，在边长为1的小正方形的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）画出绕点O顺时针旋转后的； （3）点A关于原点对称的点的坐标为 ；的面积是 ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，已知图中点和点的坐标分别为和． （1）请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系； （2）写出点的坐标为________； （3）连接、和得，在轴的负半轴有点满足，则点的坐标为________，________个平方单位； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$