专题20.1 函数（6大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题20.1 函数（6大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 【要点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【知识点2】函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【要点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【要点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量取值范围的确定 　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 【要点提示】自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【知识点5】函数的几种表达方式： 　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： 　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【要点提示】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【知识点6】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【要点提示】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 考点与题型目录 【考点一】常量和变量 【题型1】用表格表示变量间的关系................................................3 【题型2】用关系式表示变量间的关系..............................................4 【题型3】用图象表示变量间的关系................................................6 【考点二】函数 【题型4】函数概念..............................................................9 【题型5】函数解析式...........................................................10 【考点三】函数的表示 【题型6】求自变量的取值范围...................................................12 【题型7】求自变量的值或函数值.................................................13 【题型8】函数的三种表示方法...................................................15 【考点四】函数的初步应用 【题型9】从函数图象中获取信息.................................................17 【题型10】用描点法画函数图象..................................................19 【题型11】动点问题的函数图象..................................................20 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考............................................................23 【题型13】拓展延伸............................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】常量和变量 【题型1】用表格表示变量间的关系 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）时，水位是_____________m； （3）_____________h至_____________h水位上升最快． 【答案】（1）时间，水位，时间，水位；（2）；（3）， 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键． （1）根据表格即可直接得出答案； （2）根据表格即可直接得出答案； （3）根据表格找出水位上升最快的时段即可． 解：（1）解：由表可知： 上表反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位， 故答案为：时间，水位，时间，水位； （2）解：由表可以看出： 时，水位是， 故答案为：； （3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，至水位上升最快， 故答案为：，． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 某人投寄平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系．观察表格中的数据，然后确定正确的选项即可． 解：由表格发现：当时，， 选项中克满足要求， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 【答案】 【分析】本题考查了利用表格表示变量之间的关系．观察图表数据，气温每升高，声速增加，然后结合当气温为，音速增加，从而可得答案． 解：∵气温每升高，音速增加， 当气温为，音速增加， ∴当声音在空气中的传播速度为，气温是， 故答案为：． 【题型2】用关系式表示变量间的关系 【例2】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； （2）如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； （3）当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】（1）（或）的长，长方形的面积；（2）；（3）长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 解：（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意可直接进行求解． 解：由题意可得：这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系式的是； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现，，，，结合工作时间工作效率工作总量，且工作总量不变，即可作答． 解：由表格数据，得，，，， ∴这批毛绒玩具共360件， ∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故答案为：． 【题型3】用图象表示变量间的关系 【例3】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． （1）香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是______； （3）买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【答案】（1）正；（2）香蕉；（3）4x， 【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算． （1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例． （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价． （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可． 解：（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例； （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉； （3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元， 买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉； 故答案为：，． 【变式1】（24-25九年级上·广西防城港·期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 【考点二】函数 【题型4】函数概念 【例4】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解， 本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量． 解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）有以下关于的等式：（1）；（2）；（3）；（4），其中是的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，根据函数的概念分析即可． 解：（1），则，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数； （2），对于x的每一个确定的值，y的值不唯，不是的函数； （3），对于x的每一个确定的值，y的值不唯，不是的函数； （4），对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 综上所述，是的函数的有（1），（4），共2个， 故选：B ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 【题型5】函数解析式 【例5】（18-19八年级·全国·单元测试）下列关系式中不是函数关系的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在运动变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，x是自变量． 解：A、当x≥1时，对于x的每一个值，都有唯一确定的值，所以是函数． B、当x≥1时，对于x的每一个值，都有唯一确定的值，所以是函数． C、当x≤1时，对于x的每一个值，都有唯一确定的值，所以是函数． D、当x≥1时，对于x的每一个值，有两个互为相反数的值，而不是唯一确定的值，所以不是函数． 故选D． 【点拨】准确理解函数的概念，用函数的概念作出正确的判断． 【变式1】（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）为了进一步提升群众生活幸福感，某村委会决定将原有的长为、宽为的长方形广场进行扩建．若将该广场的宽增加，长不变，所得新广场的面积y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方形的长是解决问题的关键．根据长方形的面积公式列函数关系式即可. 解：由题意可得：， 故答案为： 【考点三】函数的表示 【题型6】求自变量的取值范围 【例6】（24-25九年级上·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式、分式由意义的条件，不等式的性质，函数自变量的取值，掌握自变量的取值方法是解题的关键． 根据二次根式，分式由意义的条件得到，由此即可求解． 解：函数中，， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分母不为0求解即可． 解：A.由可得或，解得或，不符合题意； B.由可得或，解得或，不符合题意； C.由可得，解得，不符合题意； D.由可得，解得，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 解：， ，， 且， 故答案为：且． 【题型7】求自变量的值或函数值 【例7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，先求出，，当时，，即，代入计算即可得解． 解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 【题型8】函数的三种表示方法 【例8】（21-22七年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 【点拨】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（20-21七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点拨】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 【考点四】函数的初步应用 【题型9】从函数图形获取信息 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列结论不正确的是（    ） A．这天3时的温度最低 B．这天15时的温度最高 C．这天12时的温度是 D．这天从最低温度到最高温度经过了12个小时 【答案】C 【分析】本题考查数形结合，会根据所给条件找到对应的横纵坐标的值．函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．根据图象的信息，逐一判断． 解：横轴表示时间，纵轴表示温度， 温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值：为3时，， A正确； 温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，，B正确； 从图象看出，这天12时的温度是，C错误，故符合题意； 这天从最低温度到最高温度是从3时到15时，即小时，D正确； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（   ） A．轿车的速度为 B．轿车出发后，两车相距 C．轿车比货车早到乙地 D．轿车出发后追上货车 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象上获取信息，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据图象可知轿车比货车早到乙地，结合图象可分别求出轿车和货车的速度，再逐一判断各个选项即可． 解：由题意可知，轿车的速度为：，故选项Ａ说法正确，不符合题意； 货车的速度为： 轿车出发后，两车相距 ， 故选项Ｃ说法正确，不符合题意； 设轿车出发小时后追上货车，根据题意得： 解得：， 即轿车出发后后追上货车， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，某人驾车从甲地到乙地，先以100的速度行驶一段时间，休息了1（h）后继续行驶到达乙地．图中的折线表示他在整个驾车过程中离乙地的距离y（）与时间x（h）之间的函数关系，则休息以后该车行驶的速度是 ． 【答案】90 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据图象求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 解：由图可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用的时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是； 故答案为：90． 【题型10】用描点法画函数图象 【例10】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点拨】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，函数图像对称的性质；取的图象任意一点，再写出这个点关于轴的对称点，然后通过判断点是否满足四个选项中的解析式得到正确答案． 解：设点为的图象上一点， 点关于轴的对称点为， 而点满足， 所以和函数的图象关于轴对称． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案． 本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意； 步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变， 在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少． 故选：B． 【题型11】动点问题的函数图象 【例11】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的化简，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得：当时，，再根据图2中点的实际意义可得：，，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为0时，的长为6， 当时，， 由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为时，的值最大，最大为6， 当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为． ∴ ． 故选：C． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型12】链接中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2025·河南郑州·一模）如图（），点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图（）是点运动时随变化的关系图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，点沿直线运动时，又，点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，然后由勾股定理即可求解． 解：设点为点运动的转折点，如图， 结合题图可知，，，，点沿直线运动时，， ∴故点在的平分线上， ∴， 过点作于点，则，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． （1）如图1，当点F与点C重合时，求的长； （2）如图2，设，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如图2，连接，若是直角三角形，求的长． 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答； （2）证明等边三角形，求出，可得，根据，根据，得到，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案； （3）分为两种情况：①为直角顶点时．②为直角顶点时，分别构建方程求解即可． 解：（1）解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得 ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵角的两边分别与的边、交于点、， ∴过作于，最后只能到点， ∴， ∴在中，， ∴此时是， ∴函数的定义域（即的取值范围）是：． （3）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． ①当时，如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 由（2）可知是等边三角形， ∴， ∵，即， 解得：， 即时，是直角三角形； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵，即， 解得：， 即时，是直角三角形； 综上所述：当或时，是直角三角形． 【点拨】本题综合考查含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定及性质，学会利用参数构建方程，掌握分类讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20.1 函数（6大知识点5大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 【要点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【知识点2】函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【要点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【要点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量取值范围的确定 　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 【要点提示】自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【知识点5】函数的几种表达方式： 　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： 　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【要点提示】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【知识点6】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【要点提示】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 考点与题型目录 【考点一】常量和变量 【题型1】用表格表示变量间的关系................................................3 【题型2】用关系式表示变量间的关系..............................................3 【题型3】用图象表示变量间的关系................................................4 【考点二】函数 【题型4】函数概念..............................................................5 【题型5】函数解析式............................................................6 【考点三】函数的表示 【题型6】求自变量的取值范围....................................................6 【题型7】求自变量的值或函数值..................................................7 【题型8】函数的三种表示方法....................................................7 【考点四】函数的初步应用 【题型9】从函数图象中获取信息..................................................8 【题型10】用描点法画函数图象...................................................9 【题型11】动点问题的函数图象..................................................10 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考............................................................11 【题型13】拓展延伸............................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】常量和变量 【题型1】用表格表示变量间的关系 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位的变化情况如表： 时间 0 4 8 12 16 20 24 水位 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了_____________和_____________之间的关系，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）时，水位是_____________m； （3）_____________h至_____________h水位上升最快． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 某人投寄平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 【题型2】用关系式表示变量间的关系 【例2】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； （2）如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； （3）当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【题型3】用图象表示变量间的关系 【例3】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． （1）香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是______； （3）买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【变式1】（24-25九年级上·广西防城港·期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图像描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【考点二】函数 【题型4】函数概念 【例4】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）有以下关于的等式：（1）；（2）；（3）；（4），其中是的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【题型5】函数解析式 【例5】（18-19八年级·全国·单元测试）下列关系式中不是函数关系的是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）为了进一步提升群众生活幸福感，某村委会决定将原有的长为、宽为的长方形广场进行扩建．若将该广场的宽增加，长不变，所得新广场的面积y与x之间的关系式为 ． 【考点三】函数的表示 【题型6】求自变量的取值范围 【例6】（24-25九年级上·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【题型7】求自变量的值或函数值 【例7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 【题型8】函数的三种表示方法 【例8】（21-22七年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【变式2】（20-21七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 【考点四】函数的初步应用 【题型9】从函数图形获取信息 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列结论不正确的是（    ） A．这天3时的温度最低 B．这天15时的温度最高 C．这天12时的温度是 D．这天从最低温度到最高温度经过了12个小时 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（   ） A．轿车的速度为 B．轿车出发后，两车相距 C．轿车比货车早到乙地 D．轿车出发后追上货车 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，某人驾车从甲地到乙地，先以100的速度行驶一段时间，休息了1（h）后继续行驶到达乙地．图中的折线表示他在整个驾车过程中离乙地的距离y（）与时间x（h）之间的函数关系，则休息以后该车行驶的速度是 ． 【题型10】用描点法画函数图象 【例10】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【变式1】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【题型11】动点问题的函数图象 【例11】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A． B．1 C．3 D．4 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型12】链接中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2025·河南郑州·一模）如图（），点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图（）是点运动时随变化的关系图象，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． （1）如图1，当点F与点C重合时，求的长； （2）如图2，设，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如图2，连接，若是直角三角形，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$