平面向量数量积及最值与范围问题 讲义-2025届高三数学二轮专题突破

微专题18　平面向量数量积及最值与范围问题 [考情分析]　平面向量的数量积及有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大. 微点一　求参数值及最值(范围) 1.(2024·铜川模拟)在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为(　　) A. B. C.- D.- 2.(多选)(2024·绍兴模拟)已知平面向量a=(2，3)，b=(4，λ)，则(　　) A.若a∥b，则λ=6 B.若a⊥b，则λ= C.若b在a方向上的投影向量为，则λ= D.若a·(a+b)=24，则λ=1 3.已知I为△ABC的内心，cos A=，若=x+y，则x+y的最大值为(　　) A. B. C. D. 4.(5分)(2024·深圳调研)设点A(-2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||=2||，且=λ+μ，则λ+2μ的最大值为　　　　　　.  微点二　求数量积及最值(范围) 5.(2024·商洛模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，|a-b|=2，则a·b等于(　　) A.-2 B.-2 C.2 D.6 6.(5分)(2024·南充模拟)已知点O是△ABC的重心，OA=2，OB=3，OC=3，则·+·+·=　　　　.  7.(2024· 北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上.当·取得最小值时，PA等于(　　) A. B. C. D. 8.已知等边△ABC的外接圆的半径为1，M是△ABC的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则·的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D.0 微点三　求向量模、夹角及最值(范围) 9.(2024·重庆模拟)已知|a|=2，b=，=2，则向量a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 10.(2024·烟台模拟)已知向量a，b满足|a|=4，b在a方向上的投影向量为，且b⊥(2a-b)，则|a+b|的值为(　　) A.4 B.4 C.16 D.48 11.(2024·永州模拟)在△ABC中，∠ACB=120°，||=3，||=4，·=0，则|+|的最小值为(　　) A.6-2 B.2-4 C.3-1 D.-2 12.已知向量a，b满足|a-b|=3，|a|=2|b|，设a-b与a+b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　) A. B. C. D. [总结提升] 平面向量中有关最值问题的求解思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 1.(2024·芜湖模拟)已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则·等于(　　) A. B. C.- D.- 2.(2024·菏泽模拟)已知向量a=(-2，1)，b=(3，x)，且|a+b|=|a-b|，则x的值是(　　) A.-6 B.- C. D.6 3.(2024·安康模拟)若平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，|a+b|=，则向量a，b夹角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- 4.(2024·扬州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，动点P在BC边上(包括端点)，则·的取值范围是(　　) A.[0，1] B.[-1，2] C.[-2，2] D.[-1，1] 5.(2024·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若=λ，=μ，则λ+μ的最小值为(　　) A.+ B. C. D.1 6.(2024·天津模拟)在△ABC中，||=2，O为△ABC外心，且·=1，则∠ABC的最大值为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 8.已知平面向量a，b，c满足：|a|=2，a，b的夹角为60°，且c=-+tb(t∈R)，则|c|+|c-a|的最小值为(　　) A. B.4 C.2 D. 9.(多选)(2024·鹰潭模拟)已知向量a=(sin θ，cos θ)，b=(1，)，c=(3，)，则(　　) A.若a⊥b，则tan θ=- B.c在b方向上的投影向量为 C.存在θ，使得a在c-b方向上投影向量的模为1 D.的取值范围为 10.(多选)(2024·岳阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B.λ-μ的最大值为 C.·的最大值为2 D.λ+μ的最大值为1+ 11.(多选)(2024·南宁模拟)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cos∠BAC=，AO=2，则(　　) A.=+ B.·≤3 C.△ABC的面积的最大值为3 D.a的最小值为2 12.(5分)在△ABC中，BC=6，若在方向上的投影向量为.则·=　　　　.  13.(5分)已知非零向量a与b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且|c|=|a|=2，则a+b+c与b的夹角的最大值是　　　　.  14.(5分)(2024·长宁模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=，|c|=2，若(c-a)·(c-b)=0，则|a-b|的最小值为　　　　. 答案精析 高频考点练 1.D　[因为点D为线段BC的中点， 点E满足=2，所以 所以 消去，得2-3=4， 所以=-=λ+μ， 所以λ=，μ=-， 所以λ+μ=-.] 2.ACD　[对于A，若a∥b，则有2λ-3×4=0，解得λ=6，故A正确； 对于B，若a⊥b，则有2×4+3×λ=0，解得λ=-，故B错误； 对于C，若b在a方向上的投影向量为， 则有·=··=， 化简得8+3λ=9，即λ=，故C正确； 对于D，若a·(a+b)=24， 则有2×+3×=24， 解得λ=1，故D正确.] 3.D　[点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是 =， 其中BC=a，AC=b，AB=c， 将O点取作A点代入得到 =+， 故x+y=⇒=1+， 由余弦定理得到cos A==⇒b2+c2-bc=a2， 故==， 又因为+≥2(当且仅当b=c时取等号)， 所以1-≥1-=， 所以=1+≥1+=，故x+y≤.] 4. 解析　设P(x，y)， 则=(-2-x，-y)，=， 由||=2||， 得=2， 整理得x2+y2=1， 又=(x+2，y)，==(2，1)， 代入=λ+μ⇒ 有x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ)， 所以λ+2μ=(x+y+2)， 由1=x2+y2≥2xy，得xy≤， 所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2，得x+y≤，当且仅当x=y=时等号成立， 所以λ+2μ=(x+y+2)≤+2)=. 即λ+2μ的最大值为. 5.A　[因为=2， 所以=12， 所以a2+b2-2a·b=12， 又==2， 所以a·b=-2.] 6.-11 解析　由于点O是△ABC的重心，故++=0， 故=0， 即+++2=0， 故·+·+·=-=-=-11. 7.B　[如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 由AB=AC=2，BC=2， 则OA==1， 所以A(0，1)，B(-，0)，C(，0)，设P(x，0)， 则=(-x，1)，=(--x，0)， 则·=-x·(--x)=x2+x=-， 当x=-时，·取得最小值，此时=，PA==.] 8.A　[如图，设等边△ABC的外心为O，又半径为1，且M是△ABC的边AC的中点， ∴B，O，M三点共线，且BO=2OM=1， ∴·=(-)·(-)=·-·(+)+=1××(-1)-· +1=-·=-cos〈〉， 又〈〉∈[0，π]， ∴当〈〉=π时，·取最大值，最大值为-×(-1)=1.] 9.D　[由b=，得=， 由=2，得=4， 即a2+4b2+4a·b=4， 所以a·b=-3， 所以cos〈a，b〉==-， 又0≤〈a，b〉≤π，所以向量a，b的夹角为.] 10.B　[由题意可知，=4， 因为b在a方向上的投影向量为 a=a=a， 可得a·b=8， 又因为b⊥， 则b·=2a·b-b2 =16-b2=0，可得=4， 则=a2+2a·b+b2=48，所以=4.] 11.A　[由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B(4，0)， 由·=0，可得D是以BC为直径的圆上一点， 所以D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4， 取BD的中点为M，设M(x，y)，D(x0，y0)， 可得所以 所以(2x-6)2+(2y)2=4， 所以点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=1，圆心为H(3，0)，半径为1， 由+=2， 所以|+|=2||， 所以|+|min=2||min， 所以||min=||-1=-1=3-1， 所以|+|min=6-2.] 12.B　[令b2=t，则a2=4b2=4t， 则=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9， 2a·b=5t-9， 由5t-9=2a·b≤2=4t得t≤9， 由5t-9=2a·b≥-2=-4t得t≥1， 所以1≤t≤9，===， 所以cos θ====， 令y=，1≤t≤9， 显然y>0，t2-10yt+9y=0， 所以Δ=100y2-36y≥0，y≥， 当y=时，t=∈[1，9]， 所以cos θ的最小值为=.] 补偿强化练 1.D　[边长为1的正方形ABCD， ·=0，==1，=+=+，==， 所以·=·=-=-.] 2.D　[因为=， 即=， 化简，整理得a·b=0， 则a·b=-6+x=0，解得x=6.] 3.A　[设向量a，b的夹角为θ， =两边平方得 a2+b2+2a·b=5， 又==1， 即2+1+2××1×cos θ=5，解得cos θ=.] 4.C　[方法一　设=a，=b， 令=λ，λ∈[0，1]， ∵=+=-a+λb，==b， ∴·=b·(-a+λb)=-a·b+λb2=-2×2×cos 60°+4λ=4λ-2， ∵λ∈[0，1]，∴4λ-2∈[-2，2]. 方法二　如图建立平面直角坐标系， △ABC为等边三角形，A(0，)，D(2，)， 设P(x，0)，x∈[-1，1]， ∵=(x，-)，=(2，0)， ∴·=2x∈[-2，2].] 5.C　[如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线， 且=， 因为=+=+， 所以=+， 即=+， 又E，G，F三点共线， 所以+=1， 故λ+μ=(λ+μ)=+≥+×2=， 当且仅当λ=μ=时，等号成立.] 6.A　[由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则·==1， 故||=， 又||=2，设||=a， 则cos∠ABC===+≥2=， 当且仅当a=时，等号成立， 由0°<∠ABC<180°可知， 0°<∠ABC≤30°， 故∠ABC的最大值为30°.] 7.A　[连接OA(图略)，由题可知|OA|=1，OA⊥PA， 因为|PO|=， 所以由勾股定理可得|PA|=1， 则∠POA=. 设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合， 则-<θ<，∠APD=+θ， 且|PD|=cos θ. 所以·=||||cos =cos θcos =cos θ =cos2θ-sin θcos θ =+cos 2θ-sin 2θ =+cos， 所以当θ=-时，·取得最大值为.] 8.A　[由题意知，可设a==(2，0)，tb=， 因为a，b的夹角为60°， 则点B在直线y=x上，如图，C(-1，0)，D(-3，0)， 则-a=(-1，0)=，c=-a+tb=+=， c-a=-a+tb=+=， 则|c|+|c-a|=|BC|+|BD|的最小值可转化为在直线y=x上取一点B，使|BC|+|BD|最小，作点C关于直线y=x的对称点C'， 则|BC|+|BD|的最小值即为|DC'|， 设点C'(x，y)， 则解得 则|C'D|==， 故|c|+|c-a|的最小值为.] 9.ACD　[对于A，若a⊥b，则a·b=sin θ+cos θ=2sin=0， 则θ+=kπ， 即θ=kπ-， 所以tan θ=tan=-，故A正确； 对于B，c在b方向上的投影向量为b=b=b，故B错误； 对于C，a在c-b方向上的投影向量的模为===|sin θ|， 所以存在θ=+kπ，k∈Z，使得a在c-b方向上的投影向量的模为1，故C正确； 对于D，|a-b|===， 因为-1≤sin≤1， 所以-4≤-4sin≤4， 所以1≤5-4sin≤9， 所以1≤|a-b|≤3，故D正确.] 10.ABD　[以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系， 则A(-1，-1)，B(1，-1)，D(-1，1)， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 则=(1+cos θ，1+sin θ)，=(2，0)，=(-2，2)，=(0，2)， 所以·=2(1+cos θ)， 所以当θ=0时，·的最大值为4，A正确； ·=-2(1+cos θ)+2(1+sin θ)=2(sin θ-cos θ)=2sin， 所以当θ=时，·的最大值为2，C错误； 由=λ+μ知(1+cos θ，1+sin θ)=λ(2，0)+μ(0，2)， 所以得 则λ-μ=(cos θ-sin θ)=cos， 所以当θ=时，λ-μ的最大值为，B正确； λ+μ=1+(cos θ+sin θ) =1+sin， 所以当θ=时，λ+μ的最大值为1+，D正确.] 11.BC　[O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，则D是BC中点， ==×+)=+，A错； 由=+得+=3， 所以9=(+)2=++2·≥2||||+2·， 又·=||||cos∠BAC=||||， 即||||=5·， 所以2×5·+2·≤9×22， 所以·≤3，当且仅当||=||时等号成立，B正确； ||||=≤15， 当且仅当||=||时等号成立， sin∠BAC==， S△ABC=||||sin∠BAC≤×15×=3，C正确； 由9=(+)2=++2·， 得||2+||2=36-2·=36-||||， 所以a2=b2+c2-2bccos∠BAC=||2+||2-2||||·cos∠BAC=36-||||≥36-×15=24， 所以a≥2，当且仅当||=||时等号成立， 所以a的最小值是2，D错.] 12.24 解析　如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， 因为向量在方向上的投影向量为，可得=， 所以=， 又因为BC=6，则·=·==×36=24. 13. 解析　因为|c|=|a|，c为b在a方向上的投影向量，且a与b的夹角为锐角， 所以c=a，故a+b+c=2a+b. 因为|a·b|=|a|·|c|=4， 且a·b>0， 所以a·b=4. 设|b|=x>0， 则(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×4+x2=32+x2， 故|2a+b|=. 又(2a+b)·b=2a·b+b2=2×4+x2=8+x2. 设2a+b与b的夹角为θ， 所以cos θ===. 因为3x2(32+x2)≤=4(8+x2)2 (当且仅当3x2=32+x2，即x=4时取等号)， 所以x2(32+x2)≤(8+x2)2， 即≥，故cos θ≥. 又0≤θ≤π，所以0≤θ≤. 故a+b+c与b的夹角的最大值是. 14.2 解析　由于a·b=[(a2+b2+2a·b)-(a2+b2-2a·b)]=[(a+b)2-(a-b)2]， 且(a+b)2+(a-b)2=(|a|2+|b|2+2a·b)+(|a|2+|b|2-2a·b)=2(|a|2+|b|2)=2(10+10)=40， 故有0=(c-a)·(c-b)=|c|2-(a+b)·c+a·b≥|c|2-|a+b||c|+a·b=4-2|a+b|+a·b =4-2|a+b|+[(a+b)2-(a-b)2] =4-2|a+b|+[40-2(a-b)2] =4-2+(40-2|a-b|2) =14-2-|a-b|2， 所以28-|a-b|2≤4， 令|a-b|2=t，t≥0， 则28-t≤4， 即t2-40t+144≤0， 解得4≤t≤36， 故4≤|a-b|2≤36， 所以2≤|a-b|≤6， 所以|a-b|的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$