第五章 图形的轴对称（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第五章 图形的轴对称（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如图，在中，，，交于点D，，则的长是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 3．如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（） A．36 B．18 C．9 D． 4．如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（  ） A．60 B．40 C．30 D．20 5．如图，四边形中，，，点E、F分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 10．已知长方形纸片中，点E，H在边上（点E在点H左侧），点F，G在边上（点F在点G左侧），现将点A，B，C，D分别沿、折叠至如图的点N，M，P，K处．若，且，则的度数为 ． 11．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则∠FBC= °， °． 12．如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 13．如图，已知，、分别平分和且度，则 度． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在中，，，是内的一点，且，连接，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 15．如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 16．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 17．数学实验课上，小红、小明、小张三位同学每人拿得一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，他们进行如下操作： (1)如图1，小红在边上取中点，连接，发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小明在小红的基础上，在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且恰好是的平分线，求的度数； (3)如图3，小张在的延长线上取一点，使得，请你直接写出的度数． 18．综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】（3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，长方形纸片，点，分别在边，上，将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点H．若比的倍多，则 ． 20．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ． 21．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 22．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 23．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 25．在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；． (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ①求的大小；②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 26．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．首先连接，由在中，，可求得，又由的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F，易得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，交于点D，，则的长是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质．先根据等腰三角形的性质得出，再由得出，，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， 交于点，， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（） A．36 B．18 C．9 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由，，得，，由是的中点，得，，，则，而，即可根据“”证明，则，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， 是的中点， ，，， ， 在和中，， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（  ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形．过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质及角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据平行线间的距离处处相等求出，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 5．如图，四边形中，，，点E、F分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及折叠的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．依据平行线的性质，即可得到，，再根据折叠的性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， 由折叠性质可得， 故选：A． 6．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 7．如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 8．如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可. 【详解】平分， ，①错误； 平分， ， ， ， ， ， ②正确： ， ， ③正确； 当时， 不一定等于， ④错误； ，， ， ⑤错误． 综上，正确的结论有个， 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．已知长方形纸片中，点E，H在边上（点E在点H左侧），点F，G在边上（点F在点G左侧），现将点A，B，C，D分别沿、折叠至如图的点N，M，P，K处．若，且，则的度数为 ． 【答案】/98度 【分析】设与交于点Q，根据折叠的性质，得，，，继而得到 ，利用长方形的性质，平角定义，平行线的性质解答即可． 【详解】解： 设与交于点Q，根据折叠的性质，得，，， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 11．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则∠FBC= °， °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识；根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分，可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 由折叠可得：， ， 平分， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：45，； 12．如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键，作交的延长线于点,由是的角平分线，得,则,进而即可根据“”证明,得,最后利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：如图，作交的延长线于点, ，是的角平分线， ,, , ,， , 在和中， , , , ， 故答案为：． 13．如图，已知，、分别平分和且度，则 度． 【答案】60 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD， ∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），∴∠BEC=∠BAC， ∵∠BEC=30°，∴∠BAC=60°， 过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD， ∴EF=EH，EF=EG，∴EF=EG=EH，∴AE平分∠CAH， ∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．故答案为：60°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在中，，，是内的一点，且，连接，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，周角的定义，求出的度数，利用四边形的内角和为360度，求出的度数即可； （3）分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ； （2）∵， ∴， ， ， ． （3）是等腰直角三角形， ． 当时，是等腰三角形，此时， ， ． 当时，是等腰三角形， ， ， ． 当时，是等腰三角形， ， ． 综上所述，当的度数为或或时，是等腰三角形． 15．如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明，从而得到，即可求证； （3）分别延长，，相交于点F，由（2）得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：，为的中点， ，，             ， ， ，， ，         而， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，             又，， ， ．             为的中点， ， ． （3）解：如图，分别延长，，相交于点F， 由（2）得，，     ， ， ， 的面积为． 16．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接， ，，， ， ， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 17．数学实验课上，小红、小明、小张三位同学每人拿得一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，他们进行如下操作： (1)如图1，小红在边上取中点，连接，发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小明在小红的基础上，在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且恰好是的平分线，求的度数； (3)如图3，小张在的延长线上取一点，使得，请你直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形折叠，等腰三角形的判定与性质； （1）根据垂直平分线的性质判断即可； （2）设，由折叠和角平分线可得，，则，，根据列方程求出，最后求即可； （3）作等边三角形，在左边，连接，证明得到，，即可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在边上取中点，连接，发现， ∴垂直平分， ∴； （2）解： 设， ∵将沿翻折， ∴，， ∴ ∵恰好是的平分线， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴； （3）作等边三角形，在左边，连接， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 18．综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】 （3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）的度数为或 【分析】本题考查了几何综合，折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）图2中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即； （3）分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ， ， 即，， ， ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：， ， 又， ， 即， ， 综上所述：的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，长方形纸片，点，分别在边，上，将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点H．若比的倍多，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质，可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，过点作 于，由轴对称性质得，，即，从而有，则，进而即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点是边的中点，, ∴，， ∵将沿折叠至，点的对应点为， ∴，，即， ∴， ∴， 当，即点与点重合时， 的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． 21．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 22．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． ． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 23．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 【答案】70或45或25 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键．分当时，当时，当时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图， ， 由折叠性质，知， ， ； 当时，如图， 由折叠性质，知， ； 当时，如图， 由折叠性质，知， ； 当时与当时相同， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：45或25或70． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 【答案】(1)12；(2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）运用线段垂直平分线的性质解答即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：分别是边的垂直平分线，， ， 的周长， 的周长为12． （2）解：， ． 由（1）可得， ， ， ， 的度数为． 25．在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；． (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)2或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）证明，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵点D在的平分线上，且，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； ②延长交于H，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在内部时，如图3： 设点D到三边所在直线的距离为h， ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图4： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴ ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 26．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)①，②，理由见解析 (2)当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时， 【分析】（1）①证即可得解； ②见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （2）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：解：①在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴直线垂直平分，则， ∴，， ∴． 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$